KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN
− Giáo d
ục trung học phổ thông
Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y
3 2
6 9 4
x x x
= − + − +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.
3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt:
3 2
6 9 4 0
x x x m
− + − + =


Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)
A B C
− −
.
1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng
( )
ABC
.
2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng
( )
ABC
.

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng:
2 6 2
z z i
+ = +
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
(2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)
A B C
− −

1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng
( )
ABC
.
2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC.

x x x
= − + − +


3 2
6 9 4
y x x x
= − + − +



 Tập xác định:
D
=
ℝ



 Đạo hàm:
2
3 12 9
y x x
′
= − + −



 Cho
2
1

′

– 0 + 0 –
y
+∞ 4
0 –∞


 Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (
–∞;1), (3;+∞)
Hàm số đạt cực đại
CÑ
4
y
=
tại
CÑ
3
x
=
;
đạt cực tiểu
CT
0
y
=
tại
CT
1
x

0 4
x y
= ⇒ =



 Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 4 0 2 4 0


 Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây

3 2
( ) : 6 9 4
C y x x x
= − + − +
. Viết pttt tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.


 Giao điểm của
( )
C
với trục hoành:
(1;0), (4;0)
A B








 pttt với
( )
C
tại
(4;0)
B
:
vaø
pttt taïi

0 0
0
4 0
: 0 9( 4) 9 36
( ) (4) 9
x y
B y x y x
f x f


= =

⇒ − = − − ⇔ = − +

′ ′

( ) : 6 9 4
C y x x x
= − + − +
và
:
d y m
=
nên số
nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của
( )
C
và d.


 Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 4
m
< <



 Vậy, với 0 < m < 4 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.


2
60
2

2 3 2 0
t
t t
t

=

− − = ⇔

= −





 Với t = 2:
2 2 1
x
x
= ⇔ =



 Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1.

1
0
(1 )
x
I x e dx

x x x
I x e e dx e e e e e e e
= + − = + − + − = − − − =
∫



 Vậy,
1
0
(1 )
x
I x e dx e
= + =
∫



 Hàm số
2
( 1)
x
y e x x
= − −
liên tục trên đoạn [0;2]



2 2 2 2
( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2 1) ( 2)

 Ta có,
1 2
(1) (1 1 1)
f e e
= − − = −

0 2
(0) (0 0 1) 1
f e
= − − = −

2 2 2
(2) (2 2 1)
f e e
= − − =



 Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là
e
−
và số lớn nhất là
2
e



 Vậy,
khi khi
2

SBO SO BO SBO SBO
BO
= ⇒ = =

0
2. tan 60 6
a a
= =



 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là
3
1 1 1 4 6
. . . 2 .2 . 6
3 3 3 3
a
V B h AB BC SO a a a
= = = =

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa: Với
(2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)
A B C
− −
.


Ta có hai véctơ:
( 1; 2;4)


− −



 
 

không thẳng hàng.


 Điểm trên mp
( )
ABC
:
(2; 0; 1)
A
−



 vtpt của mp
( )
ABC
:
[ , ] ( 10; 5; 5)
n AB AC
= = − − −
 


=




 PTTS của
2
:
x t
d y t
z t


=



=



=



. Thay vào phương trình mp
( )
α
ta được:
1

 
= =
 
⇔ ⇔ ⇒ = − ⇒ = +
 
 
− = = −
 
 



 Vậy,
2 2
z i
= +

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb: Với
(2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)
A B C
− −
.
 Bài giải hoàn toàn giống bài giải câu IVa (phần của ban cơ bản): đề nghị xem lại phần trên


 Đường thẳng AC đi qua điểm
(2; 0; 1)
A
−


= = − − −




− −



 
 



 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC ta được
2 2 2
2 2 2
[ , ] ( 10) ( 5) ( 5)
15
( , )
14
( 2) (1) (3 )
AB u
d B AC
u
− + − + −
= = =
− + +



 Do đó,
670
2010 3 3 670 2010 670 2010 4 167 2 2010
( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) 2 . 2 .( ) . 2
i i i i i i
 
− = − = − = = = −
 
 

Vậy,
2011 2010
( 3 ) 2 .( 3 )
z i i
= − = − −
2010 2 2
2 . ( 3) 1 2011
z
⇒ = + =


4
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN
− Giáo d
ục trung học phổ thông

0
(1 cos )
I x xdx
π
= +
∫

3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
( 3)
x
y e x
= −
trên đoạn [–2;2].
Câu III (1,0 điểm):
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài là
3
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích toàn phần
của hình chóp.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm
(2;1;1)
A
và hai đường thẳng
,

P x y z
− + + =
và
2 2 2
( ) : – 4 6 6 17 0
S x y z x y z
+ + + + + =

1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng.
2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng.
Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dưới dạng lượng giác
1
2 2
z
i
=
+

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:


5
x
y
2
2
1

2
0 3 6 3 0 1
y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =



 Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞



 Bảng biến thiên
x –
∞
1 +
∞

y
′

+
0


Giao điểm với trục tung:
Cho
0 0
x y
= ⇒ =



 Bảng giá trị: x 0 1 2
y 0 1 2


 Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

3 2
( ) : 3 3
C y x x x
= − +
. Viết của
( )
C
song song với đường thẳng
: 3
y x
∆ =
.


 Tiếp tuyến song song với
: 3


 Với
0
0
x
=
thì
3 2
0
0 3.0 3.0 0
y
= − + =

và
0
( ) 3
f x
′
=
nên pttt là:
0 3( 0) 3
y x y x
− = − ⇔ =
(loại vì trùng với
∆
)


 Với
0

6.4 5.6 6.9 0
x x x
− − =
. Chia 2 vế pt cho
9
x
ta được
2
4 6 2 2
6. 5. 6 0 6. 5. 6 0
3 3
9 9
x x
x x
x x
   
 
 
 
− − = ⇔ − − =
 
 
 
   
(*)


 Đặt
2
3

2 3 2 2
1
3 2 3 3
x x
x
−
     
  
  
  
= ⇔ = ⇔ = −
  
  
  
     




V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t

0
0
0
2 2 2 2
x
I xdx
π
π
π π
= = = − =
∫




V
ớ
i

2
0
cos
I x xdx
π
=
∫



 Đặ

π π π
π
= − = − − = = − = −
∫




V
ậ
y,
2
1 2
2
2
I I I
π
= + = −




Hàm s
ố

2
( 3)
x
y e x
= −

x

= ∈ −

′
= ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

= − ∉ −






Ta có,
1 2
(1) (1 3) 2
f e e
= − = −

2 2 2
( 2) [( 2) 3]
f e e
− −
− = − − =

2 2 2
(2) (2 3)
f e e
= − =


V
ậ
y, khi khi
2
[ 2;2] [ 2;2]
min 2 1; max 2
y e x y e x
− −
= − = = =

Câu III



Theo gi
ả
thi
ế
t,
, , ,
SA AB SA AC BC AB BC SA
⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Suy ra,
( )
BC SAB
⊥
và nh
ư

a
SB
lên (
ABC
) nên

0
60
SBA
=

3
tan ( )
3
tan
SA SA a
SBA AB a BC
AB
SBO
= ⇒ = = = =
2 2 2 2
2
AC AB BC a a a
= + = + =

2
1 3 3 6
( 3. 2 . 3. 2 . )
2 2
TP SAB SBC SAC ABC
S S S S S
SA AB SB BC SA AC AB BC
a a a a a a a a a
∆ ∆ ∆ ∆
= + + +
= + + +
+ +
= + + + = ⋅

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:


 Đ
i
ể
m trên mp
( )
α
:
(2;1;1)
A






V
ậ
y, PTTQ c
ủ
a mp
( )
α
:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =

1( 2) 3( 1) 2( 1) 0
2 3 3 2 2 0
3 2 1 0
x y z
x y z
x y z
⇔ − − − + − =
⇔ − − + + − =
⇔ − + − =




PTTS c
ủ

(2 2 ) 3(2 3 ) 2( 1 2 ) 1 0 7 7 0 1
t t t t t
+ − − + − − − = ⇔ − = ⇔ =




Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
( )
α
và
d
′
là
(4; 1; 3)
B
− −



 Đườ
ng th
ẳ
ng



∆ = − ∈



= −



ℝ

Câu Va:
4 2
( ) 2( ) 8 0
z z
− − =



 Đặ
t
2
( )
t z
=
, thay vào ph
ươ
ng trình ta
đượ

= −

 


 

∓




V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m:
1 2 3 4
2 ; 2 ; 2 ; 2
z z z i z i
= = − = = −
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:




ầ
u (
S
) có tâm
I
(2;–3;–3), bán kính
2 2 2
2 ( 3) ( 3) 17 5
R
= + − + − − =




Kho
ả
ng cách t
ừ
tâm
I

đế
n mp(
P
):
2 2 2
2 2( 3) 2( 3) 1
( ,( )) 1
1 ( 2) 2
d d I P R


G
ọ
i
d
là
đườ
ng th
ẳ
ng qua tâm
I
c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u và vuông góc mp(
P
) thì
d
có vtcp
(1; 2;2)
u
= −

nên có PTTS
2
: 3 2
3 2

t t t t t
+ − − − + − + + = ⇔ + = ⇔ = −




V
ậ
y,
đườ
ng tròn (
C
) có tâm
5 7 11
; ;
3 3 3
H
 



− −



 
và bán kính
2 2
5 1 2
r R d



8



V
ậ
y,
1 1 2 2 2 2
cos sin
4 4 4 2 2 4 4 4
z i i i
π π
 
 







= + = + = +





 

bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

( )
C
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
2)
D
ự
a vào
( )
C
, hãy bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố

i
ể
m trên
( )
C
có hoành
độ
b
ằ
ng
3
.
Câu II (3,0 điểm):
1)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =

2)
Tính tích phân:
2
(1 ln )
e
e

đ
o
ạ
n
1
2
[ ;2]
−

Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp
S
.
ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình vuông c
ạ
nh
a
,
SA
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
đ

ạ

độ

( , , , )
O i j k

 
, cho
2 3 2
OI i j k
= + −


 
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
P
có ph
ươ
ng trình:
2 2 9 0
x y z
− − − =

1)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình mp
( )
Q
song song v
ớ
i mp
( )
P

đồ
ng th
ờ
i ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u
( )
S

Câu Va (1,0 điểm):
Tính di

ụ
c to
ạ

độ

Oxyz
, cho
đ
i
ể
m
A
(–1;2;7) và
đườ
ng th
ẳ
ng
d
có
ph
ươ
ng trình:
2 1
1 2 1
x y z
− −
= =

1)

t c
ầ
u tâm
A
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
.
Câu Vb (1,0 điểm):
Gi
ả
i h
ệ
pt
4 4 4
log log 1 log 9
20 0
x y
x y


+ = +


Câu I :


4 2
4 3
y x x
= − + −




T
ậ
p xác
đị
nh:
D
=
ℝ



 Đạ
o hàm:
3
4 8
y x x
′
= − +


 





Gi
ớ
i h
ạ
n:
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = −∞
;




B
ả
ng bi
ế
n thiên
x
–
∞


−∞ −
, NB trên các kho
ả
ng
( 2;0),( 2; )
− +∞

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i
y
CĐ
= 1 t
ạ
i
2
x = ±
CÑ
,
đạ
t c
ự
c ti
ể

3
x
x
y x x
x
x


= ±
=


= ⇔ − + − = ⇔ ⇔


= ±
=





Giao
đ
i
ể
m v
ớ
i tr
ụ

th
ị
hàm s
ố
:
x
y
y
= 2m
2
- 2
- 3
3
1
2m
-3
-1
O
1


4 2 4 2
4 3 2 0 4 3 2
x x m x x m
− + + = ⇔ − + − =
(*)



S

Ta có b
ả
ng k
ế
t qu
ả
:
M
2
m
S
ố
giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a (
C
) và
d
S
ố
nghi
ệ
m
c
ủ


m

<
–
1,5

2
m

<
–
3

2

2




0 0
3 0
x y
= ⇒ =3
0
( ) ( 3) 4 8 4 3

7
7 2.7 9 0 7 2. 9 0
7
x x x
x
−
+ − = ⇔ + − =
(*)


 Đặ
t
7
x
t
=
(
Đ
K:
t
> 0), ph
ươ
ng trình (*) tr
ở
thành
nhan
nhan
2 2
2( )
14





V
ớ
i
7
t
=
:
7 7 1
x
x
= ⇔ =




V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có các nghi
ệ
m :
1
x




=



= +



⇒
 
 
=
 

=




. Thay vào công th
ứ
c tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n ta
đượ

4 2
5 3
4 4
e e
I = −




Hàm s
ố

2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
1
2

0 [ ;2]
0 2 0
2 [ ;2]
x
y x x
x

= ∈ −

′
= ⇔ + = ⇔

= − ∉ −






Ta có,
(0) 2
f
=

1 5
2 2
f
 



ấ
t là
10
3




V
ậ
y,
khi khi
1 1
2 2
[ ;2] [ ;2]
10
min 2 0; max 2
3
y x y x
− −
= = = =

Câu III


Theo gi
ả
thi
ế
t,

⊥
.




A
,
B
,
D
cùng nhìn
SC
d
ướ
i 1 góc vuông nên
A
,
B
,
D
,
S
,
C
cùng thu
ộ
c
t c
ầ
u:
6
2 2
SC a
R = =



12



V
ậ
y, di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p
S
.
ABCD

 




Tâm c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u:
(2;3; 2)
I
−




Bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u:
2 2 2
2 2.3 2.( 2) 9
9
( ,( )) 3




( ) || ( ) : 2 2 9 0
Q P x y z
− − − =
nên (
Q
) có vtpt
( )
(1; 2; 2)
P
n n
= = − −
 

Do
đ
ó PTTQ c
ủ
a mp(
Q
) có d
ạ
ng
( ) : 2 2 0 ( 9)
Q x y z D D
− − + = ≠ −

=
− − − +

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

= −

+ − + −





V
ậ
y, PTTQ c
ủ
a mp(
Q
) là:
( ) : 2 2 9 0
Q x y z
− − + =

Câu Va:


Cho
3 2 3 2


hay
2
4 3 2
2
3 2
1
1
4 5 1 1
( 4 5 2) 2
4 3 2 12 12
x x x
S x x x dx x
 




= − + − = − + − = − =



 
∫
(
đ
vdt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:


Do
AH d
⊥
nên
. 0 (3 ).1 (2 1).2 ( 7).1 0 6 6 0 1
d
AH u t t t t t
= ⇔ + + − + − = ⇔ − = ⇔ =






V
ậ
y, to
ạ

độ
hình chi
ế
u c
ủ
a
A
lên
d
là
(3;3;1)

V
ậ
y, ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u là:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 7) 53
x y z
+ + − + − =

Câu Vb:

 Đ
K:
x
> 0 và
y
> 0




4 4 4 4 4
log log 1 log 9 log log 36 36
20 0 20 0 20
x y xy xy

X

= >

− + = ⇔

= >






V
ậ
y, h
ệ
pt
đ
ã cho có các nghi
ệ
m:
;
18 2
2 18
x x
y y
 
 
= =

y
x
−
=
−

1)
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

( )
C
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
2)

Câu II (3,0 điểm):
1)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
2 4
log log (4 ) 5 0
x x
− − =

2)
Tính tích phân:
3
0
sin cos
cos
x x
I dx
x
π
+
=
∫

3)
Tìm các giá tr
ị

3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +

Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp
S
.
ABC
có
đ
áy là tam giác vuông t
ạ
i
B
,

BAC
= 30
0
,
SA
=
AC
=
a
và
SA
vuông

ớ
i h
ệ
to
ạ

độ

( , , , )
O i j k

 
, cho
3 2
OM i k
= +



, m
ặ
t c
ầ
u
( )
S
có
ph
ươ
ng trình:

ể
m
M
n
ằ
m trên m
ặ
t
c
ầ
u, t
ừ

đ
ó vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
ti
ế
p xúc v
ớ
i m

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
,
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1 6 2
:
3 1 1
x y z
+ − −
∆ = =
−
.
Câu Va (1,0 điểm):
Gi
ả

di
ệ
n
ABCD
có to
ạ

độ
các
đỉ
nh là
A
(1;1;1) ,
B
(1;2;1) ,
C
(1;1;2) ,
D
(2;2;1)
1)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
AB

ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau
đ
ây
ln
y x
=
, tr
ụ
c hoành và
x
=
e
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
H
ọ
và tên thí sinh: S
ố
báo danh:
Ch
ữ
ký c

x
y
x
−
=
−




T
ậ
p xác
đị
nh:
\ {1}
D
=
ℝ



 Đạ
o hàm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x

n và ti
ệ
m c
ậ
n:
;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.
;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ




Giao
đ
i
ể
m v
ớ
i tr
ụ
c hoành:
1
0 2 1 0
2
y x x
= ⇔ − = ⇔ =

Giao
đ
i
ể
m v
ớ
i tr
ụ
c tung: cho
0 1
x y
= ⇒ =

1
x
C y
x
−
=
−




Ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng –4 nên
0
( ) 4
f x
′
= −

0 0
2





V
ớ
i
3
2
0 0
3
2
2. 1
3
4
2
1
x y
−
= ⇒ = =
−
.pttt là:
3
4 4 4 10
2
y x y x
 




y x y x
 



− = − − ⇔ = − +



 




V
ậ
y, có 2 ti
ế
p tuy
ế
n tho
ả
mãn ycbt là :
4 2
y x
= − +
và
4 10
y x
= − +



 Đặ
t
2
log
t x
=
, ph
ươ
ng trình (*) tr
ở
thành
3
2
2
2
2
3 log 3 2
6 0
2 log 2
2
t x x
t t
t x
x
−

 
= = =

8
x
=
và
1
4
x
=


3 3 3 3
0 0 0 0
sin cos sin cos sin
1.
cos cos cos cos
x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
π π π π
 
+



= = + = +



 
∫ ∫ ∫ ∫

cos sin . sin .
t x dt x dx x dx dt
= ⇒ = − ⇒ = −

Đổ
i c
ậ
n:
x
0
3
πt
1
1
2

Thay vào:
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2

3
I dx x
π
π
π
= = =
∫




V
ậ
y,
1 2
ln 2
3
I I I
π
= + = +



3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +

có TX
Đ

ự
c ti
ể
u t
ạ
i
2 2
0
(2) 0
3.2 6 .2 1 0
2
(2) 0
6.2 6 0
f
m m
x
f
m



′

=
− + − =



= ⇔ ⇔
 

⇔ ⇔ ⇔ =
 
 
<
− >
 







V
ậ
y, v
ớ
i
m
= 1 thì hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i



Ta có,
0
3
.cos 30
2
a
AB AC= =

và
0
.sin 30
2
a
BC AC
= =

2
2 2 2
3 7
4 2
a a
SB SA AB a= + = + =




2 3
.

1 3 8 21
( ,( )). ( ,( )) 3
3 24 7
7
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
a a
V d A SBC S d A SBC
S
a
∆
∆
= ⇒ = = ⋅ ⋅ =

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:


3 2 (3;0;2)
OM i k M
= + ⇒



và
2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 9
S x y z

M
vào ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u:
2 2 2
(3 1) (0 2) (2 3) 9
− + + + − =
là
đ
úng
Do
đ
ó,
( )
M S
∈





( )
α

đ
i qua

i
ể
m trên
d
:
(1; 2;3)
I
−




( )
α
có vtpt
(2;2; 1)
n
= −

và
∆
có vtcp
(3; 1;1)
u
∆
= −

nên
d
có vtcp

ậ
y, PTTS c
ủ
a
d
là:
1
2 5 ( )
3 8
x t
y t t
z t


= +



= − − ∈



= −



ℝ

Câu Va:
2

z i
− −
= = +
−

và
2
2 4
1 2
2
i
z i
− +
= = −
−

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:




Ta có,
(0;1;0)
AB
=

và
(1;1; 1)
CD

c
ủ
a
M
,
N
có d
ạ
ng
(1;1 ;1), (1 ;1 ;2 )
( ; ; 1)
M t N t t t
MN t t t t
′ ′ ′
+ + + −
′ ′ ′
⇒ = − − −






MN
là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
AB

 



 
 




V
ậ
y,
3 3 3 3 1 1
1; ;1 , ; ; ;0;
2 2 2 2 2 2
M N MN
     
  
  
  
⇒ = − −
  
  
  
     


hay
(1; 0;1)





= ∈



= +



ℝ




Ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
( )
S
có d
ạ
ng:
2 2 2

  
− − − + = + + − = = + + − =
  
  
  
− − − + = + + − = − = − =
  
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
− − − + = + + − = − = =
  
  
  
− − − + = + + − = − − + = −
  
  
  
/ 2
3 / 2
a









ln 0 1
y x x
= = ⇔ =




Di
ệ
n tích c
ầ
n tìm là:
1 1
ln ln
e e
S x dx xdx
= =
∫ ∫





Đặ
t
1
lnu x
du dx
x
dv dx

ln ln 1ln1 0 1 1
e
e e
S x x dx e e x e e
= − = − − = − − + =
∫
(
đ
vdt)



V
ậ
y, di
ệ
n tích c
ầ
n tìm là:
S
= 1 (
đ
vdt)

17
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN


( )
C
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
2)
Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố

b

để
ph
ươ
ng trình sau
đ
ây có 4 nghi

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
A
song song v
ớ
i
: 16 2011
d y x
= +

Câu II (3,0 điểm):
1)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
log ( 3) log ( 1) 3
x x
− + − =

2)
Tính tích phân:
2
3

x x
y e e x
−
= + +
trên
đ
o
ạ
n [1;2]
Câu III (1,0 điểm):
Cho t
ứ
di
ệ
n
SABC
có ba c
ạ
nh
SA
,
SB
,
SC

đ
ôi m
ộ
t vuông góc v
ớ

ủ
a m
ặ
t
c
ầ
u
đ
ó.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm):
Trong không gian
Oxyz
, cho
đ
i
ể
m
( 3;2; 3)
A
− −
và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 2 3
:

2)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) ch
ứ
a
1
d
và
2
d
. Tính kho
ả
ng cách t
ừ

A

đế
n mp(
P
).

Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxyz
, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 2 3
:
1 1 1
x y z
d
− + −
= =
−
và
2
1 6
:
1 2 3
x y z

i
2
d
. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a
1
d
và
2
d

Câu Vb (1,0 điểm):
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau
đ
ây:

2:


18
x
y
y = logm
- 2 2
4
-2
2
O
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I:


2 2 4 2
(4 ) 4
y x x x x
= − = − +




T
ậ
p xác
đị
nh:
D

 
=
= =

 
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔

 
− + = =
= ±

 
 





Gi
ớ
i h
ạ
n:
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = −∞
;

∞




Hàm s
ố

Đ
B trên các kho
ả
ng
( ; 2),(0; 2)
−∞ −
, NB trên các kho
ả
ng
( 2;0),( 2; )
− +∞

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i
y

i
ể
m v
ớ
i tr
ụ
c hoành:

cho
2
4 2
2
0 0
0 4 0
2
4
x x
y x x
x
x


= =


= ⇔ − + = ⇔ ⇔


= ±
=


2
−
0
2
2
y
0 0 0 4 0


 Đồ
th
ị
hàm s
ố
nh
ư
hình v
ẽ
bên
đ
ây:



4 2 4 2
4 log 0 4 log
x x b x x b
− + = ⇔ − + =


= log
b




D
ự
a vào
đồ
th
ị
,
(C)
c
ắ
t
d
t
ạ
i 4
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi
4


0 0
( ; )
A x y
. Do ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
A
song song v
ớ
i
: 16 2011
d y x
= +
nên nó có h
ệ
s
ố
góc
3 3
0 0 0 0 0 0
( ) 16 4 8 16 4 8 16 0 2
f x x x x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = −


i
ề
u ki
ệ
n:
3 0 3
3
1 0 1
x x
x
x x
 
 
− > >
 
⇔ ⇔ >
 
 
− > >
 
 
. Khi
đ
ó,
2 2 2
log ( 3) log ( 1) 3 log ( 3)( 1) 3 ( 3)( 1) 8
x x x x x x
 
− + − = ⇔ − − = ⇔ − − =
 

m duy nh
ấ
t:
x
= 5



19
I
M
H
S C
B
A

2
3
sin
1 2 cos
x
I dx
x
π
π
=
+
∫



Thay vào:
2
1 2
2 1
1
1 1 1
ln ln 2 ln 2
2 2 2 2
dx dt
I t
t t
 
−



= ⋅ = = = =



 
∫ ∫




V
ậ
y,
ln 2

= − +




Cho
2
4
0 4 3 0 3 0 3 4 0
x x x x x
x
y e e e e e
e
−
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + − =
(1)
Đặ
t
x
t e
=
(
t
> 0), ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
(nhan)

2
4
(2) 6
f e
e
= + +




Trong 2 k
ế
t qu
ả
trên s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t là:
4
3
e
e
+ +
, s
ố
l
ớ

max 6
y e
e
= + +
khi
x
= 2
Câu III



G
ọ
i
H
,
M
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
BC
,
SA
và

đ
o
ạ
n
SA
nên
IS
=
IAH
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
SBC
∆
và
( )
IH SBC
⊥
nên ( )
IS IB IC IA

)



Bán kính m
ặ
t c
ầ
u là:
2 2 2 2
( 2) 2 6
R IS SH IH
= = + = + =




Di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u :
2 2
4 4 ( 6) 24 ( )
S R cm
π π π
= = =


đ
i qua
đ
i
ể
m
2
(3;1;5)
M
, có vtcp
2
(1;2;3)
u
=





Ta có
1 2
1 1 1 1 1 1
[ , ] ; ; (5; 4;1)
2 3 3 1 1 2
u u
 
− −




ó
d
1
và
d
2
c
ắ
t nhau.

M
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) ch
ứ
a
1
d
và
2
d
.


20



y, PTTQ c
ủ
a mp(
P
) là:
5( 1) 4( 2) 1( 3) 0
x y z
− − + + − =

5 4 16 0
x y z
⇔ − + − =




Kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
A

đế
n mp(
P

1 1 0 0, 1
x x x x x x x x
+ − = + − ⇔ − = ⇔ = = ±




V
ậ
y, di
ệ
n tích c
ầ
n tìm là :
1
2 4
1
S x x dx
−
= −
∫

0 1
3 5 3 5
0 1
2 4 2 4
1 0
1 0
2 2 4
( ) ( )

m
1
(1; 2;3)
M
−
, có vtcp
1
(1;1; 1)
u
= −




 d
2

đ
i qua
đ
i
ể
m
2
( 3;2; 3)
M
− −
, có vtcp
2
(1;2;3)

và
1 2
( 4;4; 6)
M M
= − −





Suy ra,
1 2 1 2
[ , ]. 5.( 4) 4.4 1.( 6) 42 0
u u M M
= − − + − = − ≠

 
, do
đ
ó
d
1
và
d
2
chéo nhau.

M
ặ
t ph

vtpt c
ủ
a (
P
):
1 2
[ , ] (5; 4;1)
n u u
= = −
  




V
ậ
y, PTTQ c
ủ
a mp(
P
) là:
5( 1) 4( 2) 1( 3) 0
x y z
− − + + − =

5 4 16 0
x y z
⇔ − + − =



1 2 2
2 2 2
5.( 3) 4.2 ( 3) 16
42
( , ) ( ,( )) 42
42
5 ( 4) 1
d d d d M P
− − + − −
= = = =
+ − +

Câu Vb:



Ta có,

2
2 ( 0)
2
y
y x x y= ⇔ = >
và
4 4
x y x y
+ = ⇔ = −Tr

=






Di
ệ
n tích c
ầ
n tìm là:
2
2
0
4
2
y
S y dx
= + −
∫

2
2 3 2
2
0
0
14 14
( 4) 4
2 6 2 3 3

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (3,0 điểm):
Cho hàm s
ố
:
3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1
y x m x m x m
= + + + − − +

1)
Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị

( )
C

( )
C
v
ớ
i tr
ụ
c tung.
3)
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x

ố

2
2
.
x
y x e
−
=
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng,
2
(1 )
xy x y
′
= −

Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp
S
.
ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình ch

i
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S
.
ABCD
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm):
Trong không gian
Oxyz
, cho
(0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3), ( 1;2; 4)
A B C D
− − − − − − −

1)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau
đ
ây trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c:
2
2 2 5 0
ω ω
− + =

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm):
Trong không gian
Oxyz
, cho
(0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3)
A B C
− − − − −

1)
Ch
ứ


đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
ABC
).
Xác
đị
nh to
ạ

độ

đ
i
ể
m
D
trên
∆
sao cho t
ứ
di

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
H
ọ
và tên thí sinh: S
ố
báo danh:
Ch
ữ
ký c
ủ
a giám th
ị
1: Ch
ữ
ký c
ủ
a giám th
ị
2:


22
x
y
1
2
-1
O
-1
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

2
6 6
y x x
′
= +




Cho
hoac
2
0 6 6 0 0 1
y x x x x
′
= ⇔ + = ⇔ = = −




Gi
ớ
i h
ạ
n:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞


Hàm s
ố

Đ
B trên các kho
ả
ng
( ; 1),(0; )
−∞ − +∞
, NB trên kho
ả
ng
( 1;0)
−

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i
y
CĐ
= 0 t
ạ
i

′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −
.
Đ
i
ể
m u
ố
n:
1 1
;
2 2
I
 



− −



 




Giao
đ
i
ể

ả
ng giá tr
ị
:
x

3
2
−

1
−

1
2
−
0
1
2

y
1
−
0
1
2
−

1
−

(0; 1)
A
−




0 0
0 ; 1
x y
= = −




(0) 0
f
′
=




V
ậ
y, pttt t
ạ
i
A
(0;–1) là:

= + + + −




12 2( 1)
y x m
′′
= + +




Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
0
0
x
=
khi và ch
ỉ



⇔
 
′′
 
>
+ + >
 







= ±
− =



⇔ ⇔ ⇔ = = − − < −
 
 
> −
+ >
 




x x
− + − =

(*)


 Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
2 0
2
1
2 1 0
2
x
x
x
x
x


>



− >

đ
ó,
(*)
2 2
2 2 2 2
log ( 2) log (2 1) 0 log ( 2) log (2 1)
x x x x
⇔ − − − = ⇔ − = −

(loai)
(nhan)
2 2
1
( 2) (2 1) 6 5 0
5
x
x x x x
x

=

− = − ⇔ − + = ⇔

=







1 1 0 0
0
0
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2.1 ) ( 2.0 ) 2
x x x x
e e dx e x e e e e e e
e
− − − −
= + + = + − = + − − + − = + −
∫




V
ậ
y,
2
1
0
( 1) 1
2
x
x
e
I dx e
e
e
+

′
 



′ ′

= + = + −



 
2 2 2
2 2
2 2 2
. (1 )
x x x
e x e x e
− − −
= − = −




Do
đ
ó,
2 2
2 2 2
2 2

y x e
−
=
ta có
2
(1 )
xy x y
′
= −

Câu III




( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA


⊥



⊥ ⇒ ⊥






2 2 0 2 2
tan .tan .tan 60 (2 ) . 3 15
SA
SCA SA AC SCA AB BC a a a
AC
= ⇒ = = + = + =




2
. .2 2
ABCD
S AB BC a a a
= = =




V
ậ
y, th
ể
tích kh
ố
i chóp
S


2 2 2
(4; 2; 1) 4 ( 2) ( 1) 21
BC BC
= − − ⇒ = + − + − =


. 2.4 2.( 2) 4.( 1) 0
AB BC ABC
⇒ = − − − − − = ⇒ ∆
 
vuông t
ạ
i
B




Di
ệ
n tích
1 1
: . .2 6. 21 3 14
2 2
ABC S AB BC∆ = = =


Vi
ế

[ , ] ; ; ( 6; 18;12)
2 1 1 4 4 2
ABC
u n AB BC
 
− − − − − −




= = = = − −




− − − −



 
 
 




PTTQ c
ủ
a mp(
ABC

a t
ứ
di
ệ
n
ABCD
là kho
ả
ng cách t
ừ

D

đế
n (
ABC
)
2 2 2
1 3.2 2( 4) 1
14
( ,( )) 14
14
1 3 ( 2)
h d D ABC
− + − − +
= = = =
+ + −








V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
(*)
có 2 nghi
ệ
m ph
ứ
c phân bi
ệ
t:
;
1 2
2 6 1 3 2 6 1 3
4 2 2 4 2 2
i i
i i
ω ω
+ −
= = + = = −

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:


ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
ABC
)


 Đ
i
ể
m trên
∆
:
( 2; 1; 2)
B
− − −




vtcp c
ủ
a
∆




PTTS c
ủ
a
∆
:
2
1 3 ( )
2 2
x t
y t t
z t


= − +



= − + ∈



= − −



ℝ


BD ABC
⊥
nên
1 1
. . 14 .3 14 14
3 3
ABCD ABC
V BD S t t
= = =




V
ậ
y,
14 14 14 1
ABCD
V t t
= ⇔ = ⇔ = ±

1 ( 1;2; 4)
t D
= ⇒ − −

1 ( 3; 4;0)
t D
= − ⇒ − −

Câu Vb:

b b b
+ = ⇔ + + + = ⇔ + + + =
  

  

= −
+ + = + + = + + =
  

  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
   
=
= = =
   

  
  




V
ậ
y,
z
= –2 +2
i