1
Lời cảm ơn Tiểu luận “Trường điện từ và ống dẫn sóng” đã đem lại cho tôi nhiều kiến thức
hơn về chuyên ngành của mình và ứng dụng của nó trong thực tế. Để hoàn thành đề tài
này tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ
Hữu Hậu đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này. Cám ơn
các bạn cùng khóa đã đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành đề tài này. Vì thời gian nghiên
cứu và vốn kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót. Kính mong
được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
2
Mục lục
Trang
Lời cảm ơn
Phần 1 : MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… 3
Phần 2 : NỘI DUNG
CHƯƠNG I : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ.
1. Trường điện từ và các đại lượng điện từ……………………………………… 4
1.1 Trường điện từ……………………………………………………………… 4
1.2 Các đại lượng điện từ……………………………………………………… 4
2. Các phương trình cơ bản của trường điện từ…………………………………… 5
2.1 Dạng vi phân của định lý Gaus. Phương trình Maxuel I…………………… 5
2.2 Định luật dòng toàn phần. Phương trình Maxuel II……………………… 5
2.3 Định luật về đường sức cảm ứng từ. Phương trình Maxuel III…………… 6
2.4 Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình Maxuel
IV…………………………………………………………………… 7
2.5 Hệ các phương trình Maxuel……………………………………………… 7
3. Ống dẫn sóng trụ tròn……………………………………………… 21
3.1 Trường điện ngang ……………………………………………… …………….22
3.2 Trường từ ngang …………………………………………………………… …24
4. Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng có tổn hao……………… 26
4.1 Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật…………… 27
4.2 Sự suy giảm sóng điện từ trong ống dẫn sóng trụ tròn…………………… 28
5. Tạo sóng trong ống dẫn sóng…………………………………………… 29
6. Tính trường điện từ trong ống dẫn sóng theo nguồn cho trước……………… 31
7. Kích thích ống dẫn sóng qua khe hở………………………………………… 36
Phần 3: KẾT LUẬN …………………………………………………………………38
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………….39
3
Phần 1: MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Vật lý là một môn khoa học thực nghiệm nghiên cứu những hiện tượng xảy ra
trong tự nhiên.Vật lý có những ứng dụng rất lớn trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật liên
quan đến cuộc sống của chúng ta. Như ta đã biết, sóng điện từ là một trong những chuyên
đề quan trọng của vật lý bởi nó được ứng dụng rất nhiều trong đời sống và trong kĩ thuật.
Đặt biệt là trong kĩ thuật vô tuyến điện. Do đó em chọn đề tài “Trường điện từ và ống
dẫn sóng”. Qua nghiên cứu đề tài này giúp em mở rộng kiến thức và hiểu sâu hơn về bản
chất của trường điện từ và ứng dụng của nó trong kĩ thuật và đời sống.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết cơ bản về trường điện từ và ứng dụng của nó trong kĩ
thuật và đời sống.
3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI.
Trường điện từ, thể thống nhất của hai trường lực là điện trường và từ trường,
là dạng vật chất đặc biệt, phân bố liên tục trong không gian dưới dạng sóng - hạt. Lý
.
Vector cảm ứng từ
B
.
Các phương trình Maxuel biểu thị cho các định luật điện từ dưới dạng các hệ
thức liên quan đến từng điểm của không gian và thời gian. Vì vậy, để nhận được các
phương trình Maxuel, ta cần phải xây dựng các định luật điện từ dưới dạng vi phân.
1.2 Các đại lượng điện từ.
Nói chung, các đại lượng
E
,
D
,
B
và
H
là hàm của toạ độ và thời gian.
Chúng xác định tất cả các quá trình liên quan đến các hiện tượng điện từ trong chân
không và trong môi trường vật chất.
Đối với các môi trường đẳng hướng,
E
và
D
2
m
C
và
m
F
.
Tương tự với
B
và
H
, ta có:
HB
m
F
9
0
910
4
1
và
m
H
7
0
104
.
Hằng số điện môi tỉ đối được cho bởi
0
'
và độ từ thẩm tỉ đối
0
'
S
lim
0
Từ các định nghĩa trên của
và
ta suy ra giá trị của điện tích nguyên tố de:
de =
dV
de =
dS
Mặt khác ta có thể xem dòng điện I sinh ra là do sự thay đổi lượng điện e trong
5
khoảng không gian nào đó và theo thời gian, ta có:
.
Mật độ dòng điện i
:
dl
dI
i
i
có phương chiều trùng với phương chiều của dòng điện
tại điểm quan sát. i
có đơn vị
m
A
.
Từ các định nghĩa của
j
và i
, ta có giá trị
VS
dVDdivSdD
Mà:
V
dVe
nên
VV
dVdVDdiv
Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ, ta suy ra:
Ddiv
hay
D
SV
SdjdV
t
hay
VV
dVjdivdV
t
Vì thể tích V là bất kỳ và không đổi nên: jdiv
t
0
jdiv
t
(1)
Phương trình (1) là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là
phương trình liên tục.
2.2.2. Dòng điện dịch.
Đối với dòng điện dừng vì
0
t
nên:
0jdiv
Đối với dòng điện biến đổi vì
0
t
nên:
0jdiv
j
t
D
div
Từ phương trình trên ta thấy
t
D
là phải có thứ nguyên của
j
.
t
D
được gọi là
mật độ dòng điện dịch.
Tổng của mật độ dòng điện dẫn
j
và mật độ dòng điện dịch
t
SC
SdHrotldH
Nên:
SS
SdjSdHrot
Vì chu tuyến (C) và mặt S được chọn bất kỳ nên: jHrot
Đối với dòng điện biến đổi: ta thay mật độ dòng điện dẫn
j
bằng mật độ dòng
toàn phần.
Suy ra:
t
D
jHrot
nên: 0
V
dVBdiv
I
(C) Hình 1.37
Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ, ta suy ra:
0Bdiv
(3)
(3) là dạng vi phân của định luật về đường sức cảm ứng từ. Đây là phương
trình Maxuel thứ III.
2.4. Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình
Maxuel thứ IV.
Xét một mặt bất kỳ không đổi S giới hạn bởi chu tuyến khép kín (C). Định luật
cảm ứng điện từ Faraday được viết dưới dạng:
dt
d
SdB
dt
d
ldE
Áp dụng định lý Stoke cho vế trái:
SC
SdErotldE
Thay vào công thức trên và đưa đạo hàm theo thời gian vào trong dấu tích phân
của vế phải, ta được:
SS
Sd
t
B
SdErot
t
D
jHrot
Ddiv
0Bdiv
Dạng tích phân:
SC
SdB
dt
d
ldE
Các phương trình diễn tả quan hệ giữa điện từ trường với các tính chất điện từ
8
của môi trường vật chất:
ED
,
HB
- Các phương trình vi phân có tính chất tổng quát hơn vì chúng được viết cho
từng điểm và từng thời điểm.
- Trong trường hợp sự phân bố điện tích, dòng điện và điện từ trường có dạng
hình học đơn giản, các phương trình tích phân cho phép tính toán nhanh gọn hơn.
- Lưu ý là hệ các phương trình Maxuel chỉ áp dụng được trong các điều kiện
sau:
+ Các vật thể đứng yên hoặc chuyển động chậm trong điện từ trường.
+ Các đại lượng
,
không phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc vào các
R
1
là điện dẫn suất của dây.
Mặt khác:
S
J
Suy ra : lE
Do đó :
Ej
Vì dòng điện và điện trường bao giờ cũng cùng phương, cùng chiều, ta có:
Ej
2
2
1
Đặt
tV
Q
w
là nhiệt lượng tỏa ra trong một đơn vị thời gian trong một đơn
vị thể tích, ta được:
2
j
q
Vì: Ej
nên Ejw
(7)
(7) là dạng vi phân của định luật Joule – Lenx.
3.3. Vector mật độ dòng năng lượng
Ta có:
t
B
S
Hình 1.4
P9
0
0
EjHrotE
t
D
E
ErotH
t
B
H
(10)
Vì:
2
2
22
2
2
BH
t
H
t
t
H
H
t
B
H
DE
t
E
tt
E
E
t
D
E
Nên (10) có thể viết lại như sau:
0
2
EjHEdiv
BHDE
năng lượng, gọi là mật độ năng lượng của điện từ trường:
2
BHDE
w
Số hạng
HE
cũng chỉ phụ thuộc điện từ trường có thứ nguyên:
Ta đặt:
HEP
0
QSdP
dt
dW
S
(13)
Vậy khi năng lượng điện từ trường trong thể tích V biến đổi theo thời gian
phải có:
Năng lượng Mật độ năng lượng
=
Thể tích x thời gian thời gian
Mật độ năng lượng x độ dài
= mật độ năng lượng x vận tốc
Thời gian
10
+ Dòng năng lượng điện từ chảy vào hoặc chảy ra khỏi thể tích V.
+ Nhiệt lượng Joule – Lenx tỏa ra trong thể tích đó.
4. XUNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
4.1. Lực tác dụng trong điện từ trường .
Xét một thể tích V bất kỳ trong đó có điện từ trường tương tác với các điện
tích, ngoài ra không còn tương tác nào khác. Lực Lorentz do điện từ trường tác dụng lên
một điện tích điểm e chuyển động với vận tốc v là:
BveEeF
Ddiv
và
vj
t
D
Hrot
Nên biểu thức (14) có thể được viết lại:
B
t
D
BHrotDdivEf
t
Biểu thức (15) có thể được viết lại dưới dạng khác:
16BD
t
BHrotDErotBdivHDdivEf
Có thể chứng minh rằng bốn số hạng đầu tiên trong vế phải của (14) là div của
một vector
X
có các thành phần:
zxzxzyxyxyxxxxx
BHDEXBHDEX
BHDE
BHDEX
;;
2
Do đó (17) trở thành:
x
x
BD
t
Xdivf
Đối với thể tích V ta thực hiện phép tích phân:
20
1
2
dVHE
cdt
d
dVXdivdVfF
x
VVV
xx
Vì :
SV
SdXdVXdiv
D 0
H 0
B
nên:
0
S
SdX
(22)
Vậy:
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
x
VV
x
dVHE
c
dt
d
dVf
z
VV
z
(25)
Ba biểu thức (23), (24), (25) có thể gôm lại dưới dạng vector sau:
0
1
2
dVHE
c
dt
d
dVf
VV
(26)
V
h
dVHE
c
G
dt
d
Hay
constdVHE
c
G
V
h
Gọi g
là mật độ xung lượng, ta có:
22
1
c
P
HE
c
g
(28)
Ta suy ra:
constGG
th
Vậy đối với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện trường tương tác với nhau
thì xung lượng tổng cộng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi.
5. ĐIỀU KIỆN BIÊN.
Các phương trình Maxuel chỉ áp dụng được trong những môi trường liên tục,
trong đó các đại lượng
và
Vì hình trụ là rất nhỏ, có thể coi
B
không đổi trong mỗi mặt đáy S
1
và S
2
nên:
31)2(
30)1(
222
111
2
1
SBSBSdB
SBSBSdB
n
Trong đó
b
B
là giá trị trung bình của B
n
trên mặt S
b
.
Thay (30), (31) và (32) vào (29) ta được:
0)1()2(
12
bbnn
SBSBSB
(33)
Cho chiều cao h của hình trụ dần tới 0, khi đó
0,,
0201
b
SSSSS
.
Do đó, (33) trở thành:
0
mnn
eSDSD )0()0(
12
(e
m
là điện tích mặt chứa trên mặt S
0
).
Do đó :
nn
DD
12
(36)
là mật độ điện tích mặt tại P trên mặt phân cách. (36) là điều kiện biên
của
D
.
5.3. Điều kiện biên của vector
E
.
Xét một điểm P trên mặt phân cách của hai môi trường 1 và 2. Pháp tuyến tại P
là
n
Nên:
37
SS
Sd
t
B
SdErot
Áp dụng định lý Stoke cho vế trái của (37):
b
lllS
ldEldEldEldESdErot
1
S
Hình 1.5
S
0
P
I
2
N
t
(2)
(1) I
1
Hình 1.6
I
0
P
40
bb
l
lEldE
b
Mặt khác, vì
B
cũng liên tục và giới nội trên các cạnh bên nên:
S
t
B
Sd
t
B
S
0,,
0201
Sllll
nên ta có:
0
0
12
0102
tt
tt
EE
lElE
(43)
Đây là điều kiện biên của
E
5.4. Điều kiện biên của vector
H
.
Lập luận tương tự như đối với
E
ta có :
S
t
D
của vector mật độ dòng điện mặt i
tại P. Ta được:
Ntt
iHH
12
(45)
Đây là điều kiện biên của
H
.
14
CHƯƠNG II: ỐNG DẪN SÓNG Đường truyền định hướng là một trong hai phương thức cơ bản để truyền tín
hiệu từ điểm phát đến điểm thu. Hệ định hướng là những đường truyền dẫn sóng điện từ
đi theo hướng xác định với tổn hao nhỏ nhất. Ưu điểm của truyền sóng theo đường truyền
định hướng là không chịu ảnh hưởng của môi trường và tổn hao khí quyển mà tổn hao
này tăng theo tần số làm việc. Các đường truyền định hướng sử dụng dải tần số siêu cao
nhờ vậy mà băng thông rộng và tốc độ truyền lớn.
Các hệ định hướng thông dụng hiện nay là:
đáng kể sau nhiều lần phản xạ và giao thoa, tần số sóng phải lớn hơn một giới hạn nào đó
gọi là tần số tới hạn. Tần số tới hạn phụ thuộc vào dạng, kích thước của ống dẫn sóng.
Tiết diện của ống dẫn sóng càng bé thì tần số tới hạn càng cao. Do đó để kích thước ống
dẫn sóng không quá lớn, tần số sóng truyền trong ống dẫn sóng phải lớn, thường không
thấp hơn 10
9
Hz.
Ống dẫn sóng có nhiều loại, các loại ống dẫn sóng khác nhau được thể hiện ở
hình dạng khác nhau của mặt kim loại cấu tạo thành ống và do đó khác nhau về dạng của
thiết diện ống: ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn, ống dẫn sóng elíp…
15
a) b) c)
Hình 2.1. Ống dẫn sóng : a) Ống dẫn sóng chữ nhật, b) Ống dẫn sóng tròn,
c) Ống dẫn sóng elíp.
Sau đây ta sẽ khảo sát tính chất của hai loại ống dẫn sóng thông dụng nhất là
ống dẫn sóng chữ nhật và ống dẫn sóng trụ tròn.
2. ỐNG DẪN SÓNG CHỮ NHẬT.
Để tìm trường có thể tồn tại trong ống
dẫn sóng chữ nhật không tổn hao cần giải hệ
phương trình Maxuel đối với miền giới hạn bởi
các tấm kim loại dẫn điện lý tưởng, với điều
kiện bờ bằng không. Ta sẽ coi ống dẫn sóng dài
vô cùng, và trong miền khảo sát không tồn tại
nguồn trường.
Sử dụng hệ toạ độ vuông góc (hình 2) ta sẽ viết điều kiện bờ trên các thành ống
dưới dạng.
.
Ví dụ:
x
z
xo
x
eyx
z
z
, v.v…
Do đó theo các phương trình Maxuel đối với miền trong của ống dẫn sóng, khi
j
= 0 và
6
5
4
3
2
1
z
x
y
(2.3)
ở đây
và
là hằng số điện môi và từ môi của môi trường choán trong ống.
y z
b
O
x a
Hình 2.2
16
Nếu ta thay
x
sẽ được biểu thị qua các đại lượng
z
và
z
:
yx
i
k
xy
i
k
x
i
yk
2
2
1
1
1
1
(2.4)
ở đây
222
kk
c
.
Đối với sóng truyền lan theo hướng ngược, cần thay
trong các biểu thức
(2.3) và (2.4 ) bởi
.
Như vậy tất cả các thành phần ngang của vector
E
và
điều biểu thị được
qua thành phần dọc
:
0
2
2
2
2
2
zc
zz
k
yx
(2.5)
0
2
2
2
2
2
c
y
z
2
c
x
z
22
2
y
z
2
x
z
2
c
2
c
,
0
z
gọi là trường từ ngang TM hay
sóng từ ngang TM (còn gọi là sóng điện ).
Trong ống dẫn sóng không tồn tại loại sóng điện từ ngang TEM ( loại sóng
mà
,
vuông góc với phương truyền tức là 0
z
, 0
z
).
Thật vậy giả sử
0
z
Sd
t
ld S.
với S là diện tích giới hạn bởi C
do đó :
00
z
S
z
dS
t
Hình 2.3
Sau đây ta lần lượt khảo sát sóng TM và TE trong ống dẫn sóng chữ nhật.
2.1. Trường điện ngang.
Theo (2.7) trường TE trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần dọc
z
y
z
tại y =0 ; y = b
Dùng phương pháp phân ly biến số ta tìm nghiệm
z
của (2.5) dưới dạng:
z
z
eyx
(2.11)
Ở đây X(x) và Y(y) là các hàm số chỉ phụ thuộcvào x và y. Thay biểu thức trên
vào (2.5) và thực hiện các phép biến đổi đơn giản sẽ nhận được :
0
2
qxqx
pxpx
sincos
sincos
22
11
Do đó theo (2.11) thành phần
z
sẽ bằng :
z
z
eqyqypxpx
sincossincos
2211
(2.12)
Để tìm các đại lượng chưa biết, ta áp dụng điều kiện bờ (2.10). Từ điều kiện
thứ nhất của (2.10) suy ra được:
B
b
n
a
m
k
c
(C)
18
2
22
22
k
b
n
a
m
kk
cmn
mn
=A
1
A
2
Bây giờ thay giá trị
z
vào (2.7), ta sẽ tìm được các biểu thức cuối cùng đối
với hình chiếu của các vector trường điện ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật:
mn
mn
mn
mn
mn
ey
b
n
x
a
m
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
ey
coscos
sincos
cossin
0
cossin
sincos
2
2
2
2
(2.13)
Như ta thấy từ các đẳng thức trên, khi m = n = 0 tất cả các thành phần trường,
trừ
z
đều bằng không. Do đó số m và n có thể lấy các giá trị bất kì bằng 0, 1, 2, 3
nhưng không được lấy đồng thời bằng không.
Như vậy trong ống dẫn sóng chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện
ngang khác nhau được đặc trưng bởi các giá trị m, n khác nhau ( trường TE
b
n
a
m
kii
mnmn
(2.14)
mn
là hằng số pha (số sóng). Muốn có được như vậy, cần thực hiện bất đẳng
thức sau đối với các đại lượng f , m, n, a và b:
22
22
m
k
thì trường sẽ trở thành trường suy giảm .
Do đó trong ống dẫn sóng cũng như trong khoảng không gian giữa các mặt
phẳng dẫn điện, trường TE
mn
sẽ có đặc tính sóng nếu tần số dao động f lớn hơn tần số
tới hạn
th
f
xác định từ điều kiện
0
mn
.
Áp dụng (2.14) sau một vài biến đổi đơn giản sẽ nhận được
th
f :
22
22
1
th
b
n
a
m
c
kf
c
22
22
(2.16)
(2.18)
còn bước sóng trong ống dẫn sóng:
cf
th
f
f
2
1
(2.19)
Do đó
f
th
mn
nh
(2.20)
Từ các công thức đối với vận tốc pha và vận tốc nhóm (2.18) và (2.20) ta thấy
ống dẫn sóng chữ nhật là môi trường tán tần.
Trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp sóng điện ngang có giá
trị bằng:
2
1
, thành
phần này thoả mãn phương trình vi phân (2.6) và các điều kiện bờ :
0
z
tại x = 0 ; x = a (2.22)
0
z
tại y = 0 ; y = b
Vì phương trình (2.5) và (2.6) tương tự nhau nên lời giải của (2.6) cũng sẽ có
dạng giống như (2.12) nghĩa là:
z
z
eqyqypxpx
sincossincos
2211
(2.23)
với
222
kqp
và
Áp dụng các kết quả này vào (2.23) ta sẽ có :
z
mnz
mn
ey
b
n
x
a
m
sinsin
ở đây B
mn
=B
1
B
2
.
Thay giá trị
z
vào công thức (2.8) ta sẽ nhận được các biểu thức cuối cùng
của các thành phần vector trường từ ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật:
cossin
sinsin
cossin
sincos
2
2
2
2
z
z
mn
c
y
z
mn
c
y
z
mnz
z
mn
c
mn
y
z
mn
c
mn
x
mn
ey
b
n
x
a
m
b
n
k
ey
b
n
x
a
m
a
m
k
2
22
k
b
n
a
m
mn
Như vậy trong ống dẫn sóng chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu sóng từ ngang,
đặc trưng bởi các số m, n khác nhau (sóng TM
f
f
ZZ
th
o
mn
TM
c
(2.27)
Như vậy tất cả các lời giải có thể có trong ống dẫn sóng chữ nhật đã được thể
hiện đầy đủ bởi các phương trình (2.13) và (2.26) với m, n =0, 1, 2, 3, các trường này
được gọi là trường riêng hay sóng riêng của ống dẫn sóng chữ nhật. Hiển nhiên là nếu có
một trường bất kỳ khác, với cấu trúc phức tạp tại các điểm không có nguồn ta cũng có thể
21
biểu thị nó dưới dạng tổ hợp của các trường riêng nói trên.
3. ỐNG DẪN SÓNG TRỤ TRÒN.
Giống như trong ống dẫn sóng chữ
nhật trường điện từ trong ống dẫn sóng trụ bất
kỳ, không tổn hao, cũng có thể được biểu thị
dưới dạng tổ hợp của các sóng điện ngang và
từ ngang khác nhau
Giả sử có ống dẫn sóng hình trụ dài vô tận. Phương trình bề mặt của nó trong
hệ toạ độ trụ tổng quát z,,
và
0
22
k
Ở đây
22
k
,
và
là các thông số của môi trường choán trong ống dẫn
sóng, vì vậy đối với các thành phần
z
và
z
có thể viết ngay được:
(3.2)
Trong trường hợp này (3.1) sẽ có dạng :
0
22
,
zcz
k
(3.3)
0
22
,
zcz
k
(3.4)
ở đây
2
,
là toán tử Laplas nhị biến còn
trong hệ toạ độ trụ
z
,
,
.
Áp dụng các phương trình Maxuel và chú ý đến (3.2) ta sẽ biểu thị các hình
chiếu
,
và
,
qua
z
và
z
zz
c
zz
c
zz
c
zz
c
i
k
i
k
i
k
i
k
2
z
i
o
i
z Hình 2.4 ống dẫn sóng hình
tr
ụ.
22
Vì trong hệ toạ độ trụ toán tử
2
,
có thể biểu thị dưới dạng:
0
11
2
2
2
22
2
zc
zzz
k
(3.7)
0
11
0;
1
;
0;;
1
22
22
z
z
c
z
c
0;;
1
0;
1
;
22
22
z
z
(3.10)
Trường từ ngang TM có thành phần dọc 0
z
, 0
z
.
Trường điện ngang TE có thành phần dọc
0
z
,
0
z
.
Sau đây ta sẽ khảo sát sóng TE và TM trong ống dẫn sóng trụ tròn.
3.1. Trường điện ngang.
Theo (3.9) sóng điện ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần
dọc
z
(3.11)
Trong hệ toạ độ này hướng bán kính sẽ trùng với phương pháp tuyến ngoài của
mặt
a
nên biểu thức (3.11) có thể được viết dưới dạng:
0
n
z
tại
a
(3.12)
Dùng phương pháp phân ly biến số tìm nghiệm
z
của (3.7) dưới dạng:
z
z
c
k
Q
Q
R
R
R
R
(**)
Phương trình (**) có nghiệm tổng quát là:
z
mmcmmcmmz
emDmCkNkJ
sincos
cos
(3.13)
Như đã biết hàm số Bessel loại 2 sẽ bằng vô cùng khi 0
. Thế nhưng theo
quan điểm vật lý thì trường ở tâm của ống ( 0
) phải có giá trị hữu hạn, vì vậy trong
(3.13) cần đặt B
m
= 0. Lời giải của phương trình (3.7) bây giờ sẽ có dạng:
z
cmmz
emkJ
cos
(3.14)
Vì hàm số
z
; m = 0, 1, 2, 3 , (3.15)
ở đây dấu ( ’ ) là ký hiệu đạo hàm theo argumen.
Lý thuyết hàm số Bessel đã cho biết rằng với mỗi giá trị m sẽ có vô số nghiệm
của phương trình
0
vJ
m
. Ta ký hiệu các nghiệm này là
mn
v
, ở đây n là số thứ tự của
nghiệm.
Giá trị của một vài nghiệm đầu, với m = 0, 1, 2, được cho ở bảng 1.
Nghiệm của đạo hàm hàm số Bessel.
Bảng 1
Từ đẳng thức (3.15) ta viết được
mnc
vak
.
Từ đó suy ra:
a
v
k
mn
c
; m = 0, 1, 2, 3, ; n = 1, 2, 3, (3.16)
a
v
k
mn
mn
(3.17)
Từ các biểu thức (3.9), (3.14), (3.16) và (3.17) ta nhận được các thành phần
của các vector trường điện ngang trong ống dẫn sóng tròn:
z
mn
mmnz
z
mn
mmn
c
mn
z
mn
mmn
c
mn
z
z
mn
mmn
c
z
a
v
J
m
k
i
cos
sin
cos
0
(hoặc H
mn
) với các số m, n khác nhau. Các số này có quan hệ đến cấu trúc trường trong
mặt cắt ngang của ống dẫn sóng: m đặc trưng cho sự biến đổi trường theo bán kính. Cũng
giống như trong ống dẫn sóng chữ nhật, mỗi kiểu trường sẽ có tần số tới hạn và bước
sóng tới hạn riêng.
Tần số tới hạn của trường TE
mn
được xác định bởi:
a
v
kf
mn
c
TE
th
2
2
1
(3.19)
Còn bước sóng tới hạn :
oo
41.3
11
.
Với ý nghĩa ấy sóng TE
11
cũng tương tự như sóng TE
10
trong ống dẫn sóng
chữ nhật. Sự giống nhau giữa hai sóng này được thể hiện chính ở sự giống nhau về cấu
tạo trường của chúng .
Các công thức đối với vận tốc pha và vận tốc nhóm của sóng TE
mn
trong ống
dẫn sóng có dạng sau:
2
1
f
f
Z
Z
th
o
TE
c
3.2. Trường từ ngang.
Trường từ ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần
z
, thành
phần này thoả mãn phương trình vi phân (3.8) và hàm số
z
phải thoả mãn điều kiện bờ
trên mặt ống dẫn sóng 0
z
Lời giải này sẽ thoả mãn điều kiện (3.22) nếu:
a
k
mn
c
ở đây
mn
là nghiệm của phương trình
0
m
J ; m = 0, 1, 2, 3, , n = 1, 2, 3,
Giá trị của một số nghiệm đầu của phương trình
0
m
J
khi m = 0, 1, 2, 3,
được dẫn ra ở bảng 2.
25
Bảng 2:
Số thứ tự
của nghiệm
nm
em
a
J
k
i
em
a
J
m
k
i
em
a
J
em
a
J
m
k
em
a
J
k
z
z
mn
mmn
c
z
(3.23)
2
2
k
a
mn
mn
2
1
(3.24)
còn bước sóng tới hạn:
oomn
TM
th
a
2
(3.25)
Nếu
TM
th
ff hoặc
TM
th
thì trường sẽ truyền lan trong ống dẫn sóng
luận vật lý đơn giản. Giả sử các đường sức của vector
nằm hoàn toàn trong mặt cắt
ngang của ống dẫn sóng. Các đường sức từ khép kín tất nhiên phải bao quanh đường sức
Copyright: Tài liệu đại học ©