1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
⋯⋞⋯⋟⋯
RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
THƯỜNG XUYÊN 3
Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Sinh viên thực hiện: Lê Lam Anh
Lớp: Toán 3B Huế, tháng 11 năm 2013
2
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 3
MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4
I. Phương trình cơ bản: 4
II. Phương trình dạng
asin cosx b x c
(1) với
,,a b c R
7
III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 10
4
MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Phương trình cơ bản:
Giả sử u,v là những biểu thức theo . Ta có:
2
sin sin
2
u v k
u v k
u v k
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k
12
2
,
cot cot ( , )
u v k
u v k k
u v k
Áp dụng: giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
a)
asin 0 0 sin
b
u b a u
a
1
1
b)
cos 0 0a u b a
giải tương tự (1)
c)
2
tan 0 0
tan
uk
a u b a
b
u
a
(2)
()k
5
d)
cot 0a u b
( 0)a
cot
uk
b
u
a
()k
Đặt
2
(1) 1 cos 2sin cos 1 cos
1 cos 2sin cos 1 cos 1 cos
1 cos 2sin cos 1 cos 0
1 cos 2sin 1 0
cos 1 cos
1
sin sin
26
2
2
( , , )
6
5
2
6
2
2
6
5
2
6
x x x
x x x x
x x x x
xx
x
x
xk
xl
,,k l m
Nếu
tan2 .tan3 1 0xx
thì vế phải của (*) bằng 0, suy ra vế trái của(*) bằng 0,
tức là
tan2 tan3xx
, lúc đó:
2
1 tan 2 1 tan2 .tan3 0x x x
(mâu thuẫn)
Vậy ta có:
tan2 .tan3 1 0xx
, suy ra:
tan 2 tan3
tan5
1 tan 2 .tan3
tan5 tan
5
6
,
6
xx
x
xx
xx
,,a b c R
1. Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c
(2)
2. Phương pháp chung:
Với điều kiện (2) được thỏa mãn,ta có:
0abc
:(1) có tập nghiệm là R
0, 0ab
(1) cosb x c
0, 0ab
(1) asin xc
0, 0, 0abc
:
(1) asin cos 0 tan 0x b x a x b
0, 0, 0abc
:
Cách 1:chia 2 vế của (1) cho
22
Cách 2:
Với
2,x k k
, đặt
tan
2
x
t
2
22
2
1
2
(1)
11
20
bt
at
x
t
, ta có:
2
22
2
21
(1) 3 2 1
11
1 3 2 3 3 0
1
33
3
13
24
( , )
23
tt
tt
tt
t
t
x
k
kl
x
l
2
2
3
xk
kl
xl
Nhận xét:
Đây là bài toán dạng
sin cosa x b x c
với
0, 0, 0abc
. Tuy nhiên
ta nhận thấy nếu dùng cách1 ta sẽ được một biểu thức khá phức tạp, do đó ta
dùng cách2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
cos ,
2
2
3
x
xx
xk
x k l
xl
,kl
Nhận xét:
Với bài toán này ta dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về việc giải hai
phương trình đơn giản hơn: một phương trình có dạng
cosxm
và một phương
trình dạng
sin cosa x b x c
với
1, 0a b c
. Việc giải bài toán trở nên đơn
giản hơn vì ta đã đưa về giải hai bài toán con đã được thiết lập thuật toán.
10
III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
1. Phương pháp chung:
Có nhiều dạng bài có thể áp dụng phương pháp này, sau đây là một số dạng bài và
cách đặt ẩn phụ:
Phương trình chứa
cos sinxx
(hay
cos sinxx
) và
sin cosxx
:
Đặt
cos sin , 2t x x t
(hay
cos sin ,0 2t x x t
), khi đó
2
1
sin cos
2
t
xx
, ta chuyển về giải phương trình theo biến
tR
.
Phương trình một ẩn đối với một hàm lượng giác duy nhất:
Đặt t bằng hàm lượng giác đó, tìm tập giá trị của t, chuyển bài toán về giải
phương trình theo biến t với tập xác định chính là tập giá trị của t.
Phương trình chứa
sin ,cos ,tanx x x
:
Đặt
tan
2
x
t
,khi đó:
với
()fx
là biểu thức chứa các hàm lượng giác.
Đặt
1
()
()
t f x
fx
, khi đó:
2
2
1
( ) 2
()
f x t
fx
, ta chuyển về giải phương
trình đại số theo biến
tR
.
11
Chú ý: với dạng bài này ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình, đó là
( ) 0fx
.
2. Một số ví dụ:
t
t
t
t
t
x
xk
k
xk
Đặt
cos , 1t x t
, khi đó phương trình ở trên tương đương với:
32
2
2 2 1 0
1
2 1 2 1 0
1
t t t
t
t t t
t
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
2
2 , ( , )
3
x k x l k l
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
(khối B-2003).
Giải:
2
2 2 2
2
42
22
1 2 2
4.
2
1
1
1 8 1
1
1 1 8
0
1
28
0
1
14
0
1
30
30
t
t
t
tt
t
t t t
t t t
0t
)
tan 3x
,
3
x k k
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
,
3
x k k
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
2
1
tan cot cot 5 0
cos
x x x
x
.
Giải:
Đặt
1
tan
tan
tx
x
, phương trình trên trở thành:
2
2
2 4 0
60
2
3
tt
tt
t
t
22
14
22
1
3 tan 3
tan
sin cos
3
cos sin
sin cos 3sin cos
2
sin 2
3
tx
x
xx
xx
x x x x
x
2
2 arcsin 2
3
2
2 arcsin 2
Đối chiếu điều kiện xác định ta có các nghiệm
1 2 1 2
; arcsin ; arcsin
4 2 3 2 3
x k x l x m
2
xk
là nghiệm của (1)
0ad
.
Xét
,
2
x k k
,chia 2 vế của (1) cho
2
cos x
,ta có:
22
2
(1) tan tan 1 tan
tan tan 0
a x b x c d x
a d x b x c d
xR
Phương trình đã cho tương đương với:
cos2 sin2
2 2 2
c a b a c
x x d
3. Ví dụ:
Giải phương trình:
2
3sin 3 3 sin cos 3cos 0x x x x
với
0,2x
.
Giải:
Nhận xét:
,
2
xx
x
x
xk
kl
xl
xk
x
k
k
k
k
k
k
k
k
Trường hợp này phương trình có đúng 2 nghiệm
5
, 0,2
44
xx
17
1
02
6
1 11
66
0
1
l
l
l
l
l
l
x x x x
.
Với dạng toán này, ta cần hết sức chú ý để tránh thiếu nghiệm
,
2
x k k
18 V. Phương trình bậc cao:
1. Phương pháp chung:
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Tùy vào
từng bài toán mà ta đưa ra những cách làm khác nhau. Nhưng nhìn chung,với các
bài toán loại này, ta thường dùng các công thức lượng giác để hạ bậc, đưa bài toán
về giải quyết các bài toán đơn giản hơn. Ta thường sử dụng các công thức sau:
22
2
2
cos sin 1
1
cos 1 cos2
x x k k
x
Kết hợp với các công thức biến đổi đại số đã biết.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x
(khối B-2008).
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2 2
22
sin sin cos 3cos sin cos 0
sin cos sin 3cos 0
cos2 sin 3cos 0
cos2 0
sin 3cos 0
x x x x x x
x x x x
kl
xl
.
Với điều kiện đó,phương trình đã cho tương đương với:
66
3
2 2 2 2 2 2
22
2 cos sin sin cos 0
2 cos sin 3sin cos sin cos sin cos 0
2 1 3sin cos sin cos 0
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
22
2
6sin cos sin cos 2 0
31
sin 2 sin 2 2 0
22
2
0
0
gx
f x g x
f x g x
fx
f x g x
f x g x
x
x x x x
x
xx
x
x
x
x x k k
Phương trình đã cho tương đương với:
2
cos sin cos sin cos sin 2 sin cos
sin cos cos sin sin cos 2 0
cos sin 0
cos sin sin cos 2 0
cos sin 0
2 cos 0
4
42
x x x x x x x x
x x x x x x
xx
x x x x
xx
x
xk
cos 4cos 5 0
cos 1 cos 5 0
cos 1
x x x x
x x x x x x
xx
x x x
x x x
xx
xx
x
2,x l l
(thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
3
4
xk
4
1
cos
2
2,
3
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x k k
3
x k k
.
Với phương trình chứa căn, ta cần chú ý điều kiện để phương trình xác định,
tránh trường hợp thừa nghiệm.
23
VII. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Phương pháp chung:
Ta chú ý các dạng cơ bản sau:
,0
,0
AA
A
AA
A B A B
2
2
cos cos3 2sin 2 1 cos2 2sin
2sin 2 sin 2sin 2 2sin 2sin
sin 2 sin 1 sin sin 1
sin 2 sin 1 sin sin 1 0
sin 1 sin 2 sin 0
sin 1
sin 2 sin
sin 1 2 ,
2
sin 2 sin
sin 0
sin 2 sin
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
xx
x x k k
xx
x
x
24
22
2
sin 0
sin 4cos 1 0
sin 0
sin 0
3 4sin 0
x
xx
x
x
x
2
3
xn
(
, , ,k l m n
).
Ví dụ 2: giải phương trình:
1
cot tan
sin
xx
x
Giải:
Điều kiện xác định:
sin 0
,
cos 0
2
x
k
xk
x
x
x
xx
x
x
xx
x x x
x
x x x
x
xx
cos
2
cot 0
2
2
3
cot 0
x
x
x
x
x
xl
x
xx
x x x
cot 0
cos 1
x
x
(loại do điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
2
2,
3
x l l
Copyright: Tài liệu đại học ©