Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ TUYN SINH I HC, CAO NG 2009
MÔN: TOÁN
BIÊN SON: T TOÁN – TT BI DNG VN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN : GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM S

I. MC ÍCH CHUYÊN 
- Chuyên đ này s trình bày cho các bn các phng pháp tìm giá tr ln nht ca
hàm s nh: dung đo hàm đ tìm GTLN, GTNN ; dùng phng pháp chiu bin
thiên hàm s, pp min giá tr…
- Các bn s nm vng đc các pp thng gp đ tìm GTLN, GTNN bng cách
dùng hàm s.
II. KIN THC C BN
1. Lý thuyt.
a. nh ngha:

Gi s F(x) là hàm s xác đnh trên min D. S M gi là giá tr ln nht ca F(x) trên
min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin sau:
1/ F(x) ≤ M.
2/ Tn ti x
0

∈
sao cho F(x
0
) = M.
M
Khi đó ta s dng ký hiu: M = max F(x).
S m gi là giá tr nh nht ca F(x) trên min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin
sau:

xz
+
+xz
y
+
+
z
yx
+
+xy
z

Trên min D = { x>0, y > 0, z > 0}
Nu bn làm:

+
x
yz
+
+yz
x
≥ 2

+
y
xz
+
+xz
y
≥ 2

x -2 0 2 4
F’(x) + 0 - 0 +
F(x) -20 0 -4 12
Ta thy khi hàm s có cc đi ti (0,0) => giá tr cc đi = 0
Hàm s có cc tiu ti (2,-4) => giá tr cc tiu= -4
Trong khi đó d thy:
Max F(x) = 12 Min F(x) = -20
x
∈D x ∈D
Trong VD này:
+ Giá tr ln nht ca F(x) trên min > giá tr cc đi ca hàm s.
+ Giá tr nh nht ca F(x) trên min < giá tr cc tiu ca hàm s.
Nh vy ta có th nói rng: Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s trên min D
mang tính toàn cc
; còn giá tr cc đi, giá tr cc tiu ca hàm s mang tính đa phng.
Dân gian có câu: “ X mù thng cht làm vua” . Có th ly câu ví von này làm VD
chng minh cho tính đa phng ca giá tr cc đi.
b. S dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s
:
- o hàm là công c duy nht đ tìm cc đi, cc tiu ca hàm s.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
-  tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s F(x) trên min D ta có th s
dng đo hàm và kt hp vi vic so sánh giá tr cc đi, cc tiu vi các giá tr đc bit (ta
gi đó là các giá tr ti hn).
- Giá tr ti hn này thng là giá tr ti đu mút các đon (mà trên đó cn tìm Giá tr ln
nht và giá tr nh nht ca mt hàm s) hoc là giá tr ca hàm s ti các đim mà không
tn ti đo hàm.
- Lc đ chung ca phng pháp s dng đo hàm đ tìm Giá tr ln nht và giá tr nh
nht ca mt hàm s F(x) trên min D cho trc nh sau:

, khi đó ta đa bài toán v: Tìm giá tr mã, min ca hàm s:
F(t) = t
2
+
3
t
vi 1 ≤ t ≤ 3.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Ta có: F’(t) = 2t -
2
3
t
=
−
2
2
2t 3
t

Lp bng xét du vi chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 :
t 1
3
3
2
3
F’(t) - 0 +
F(t) 4 3
3
9

3
2
<=> 3
x
=
3
3
2

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Suy ra: x= log
3

3
3
2
=
1
3
log
3

3
3
2

y = 1 -
1
3

2
u, ta có th đa hàm s F(x) v dng:
F(x) = -2Sin
2
+
2
2x
1x
+ Sin
+
2
2x
1x
+ 2.
t t = Sin
+
2
2x
1x
,
Vi x ∈R ta có: -1 ≤
+
2
2x
1x
≤ 1
-Sin1 ≤ t ≤ Sin1

(Do [-1,1] ∈[-
π

= Min {-2Sin
2
1 – Sin1 + 2; -2Sin
2
1 + Sin1 + 2 }
= -2Sin
2
1 – Sin1 + 2
Tóm li:
Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8
x
∈R.
t
≤ Sin1

Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
x ∈R.
t
≤ Sin1
= -2Sin
2
1 – Sin1 + 2

Giá tr nh nht ca F(x) đt đc khi t = - Sin1 = Sin(-1).
Tc là: Sin
+
2
2x

x + Cos
4
x + m SinxCosx, Vi x ∈R.
Tìm giá tr max, min ca hàm s và bin lun theo m?
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Ta có y = 1 –
1
2
Sin
2
2x +
m
2
Sin2x
t t = Sin2x. Bài toán quy v: Tìm giá tr max, min ca hàm s :
F(t) = -
1
2
t
2
+
m
2
t +1 vi -1 ≤ t ≤ 1
F'(t) = -t +
m
2
.
Xét các kh nng sau:

≤ 1). Ta có bng bin thiên sau:
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 9
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
t
m
2
-1 1
F'(t) 0 /// -
F(t) ///

Ta có:
Max F(t) =
t
≤ 1
F(-1) =
−+m1
2Min F(t) =
t
≤ 1
F(1) =
+m1
2

3) Nu -2 < m < 2 (Khi đó -1 <
m
2
< 1) Ta có bng bin thiên sau:

−+m1
2
;
+m1
2
}
=
⎧
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1m
2
1m
2

Nu -2 ≤ m ≤ 0

Tóm li ta đi đn kt qu sau:

⎪
⎪
⎨
⎪
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1m
2
1m
2

Nu m < 0
Chú ý: Có th vit đáp s gn hn: VD Min y =
+1m
2

Ví d 4
: Cho hàm s F(x) = 4x
2
– 4ax + a
2
– 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0
Tìm a đ: Min F(x): = 2?
-2 ≤ x ≤ 0
Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x =
a

⎣
a1 3
a1 3

Vì a> 0 nên ch ly giá tr: a = 1+
3
2) Nu a < -4 (Tc
a
2
< -2) Ta có bng bin thiên sau:
x
a
2
-2 0
F'(x) 0 /// + ///
F(x) /// ///

Vì th: Min F(x) = F(-2) = a
2
– 6a + 16.
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 12
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a
2
– 6a + 16 = 2.
<=> a
2
– 6a + 14 = 0

là mt giá tr tùy ý ca f(x) trên D, thì h sau đây (ca x) có nghim
0
() (1)
(2)
fx y
xD
=
⎧
⎨
∈
⎩
Tùy dng ca h (1) (2) mà ta có các điu kin có nghim tng ng. Trong nhiu trng
hp, điu kin y (sau khi bin đi) đa đc v dng
0
(3)y
α
β
≤
≤ . Vì y
o
là mt giá tr bt
kì ca f(x), nên t (3) ta có
() ; ()
xD xD
Min f x Max f x
α
β
∈∈
=
= . Nh vy khi s dng phng pháp

= có nghim.
D thy (1) <=> 2sinx + cosx + 1 = y
o
sinx - 2y
o
cosx + 3 y
o

<=> (2 - y
o
)sinx + (1 + 2 y
o
)cosx = 3 y
o
- 1 (2)
Vì (2) có nghim, nên ta có
2222 2
000 00 00 0
1
(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)
2
yyy yy yy y− ++ ≥ − ⇔ − −≤⇔ − −≤⇔−≤ ≤
T
(3) suy ra
1
() ; () 2
2
xR xR
Min f x Max f x
∈∈

x
x
++
=
∈
+
+

Bài gii:

Gi y
o
là mt giá tr tùy ý ca hàm s, thì phng trình sau (ca x)
2
0
2
2723
(1)
210
xx
y
x
x
++
=
++
có
nghim.
D thy
2

22
xR xR
Min f x Max f x
∈∈
=
= Thí d 3:

Tìm giá tr ln nht và nh nht ca biu thc vi x, y tha mãn
22
,Px y=+
{
}
222 2222
(, ) ( 1) 4 0xy D x y x y x y∈= − + + − − =
Bài gii:

Gi t
o
là mt giá tr tùy ý ca P, khi (, )
x
yD
∈
. Vy h sau đây (ca x,y)
22
0
222 2222
(1)

⎪⎪
⇔
⎨⎨
−++ =
+−+++=
⎪⎪
⎩
⎩
)
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 15
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
 (4) (ca x) có nghim ta cn có
2
00 0
35 35
310 (5
22
tt t
−+
−+≤⇔ ≤≤ )

Vi điu kin (5). Gi
x
là nghim ca (4), và thay vào (3) ta
có:
22 2 2 22
000 0 00
444 3144 4 1(*xyt t t yt ytt+=⇔−+−+=⇔=++)
(*) chc chn có nghim vì >0.
2

}
{
}
{}
22 2
1
22
2
(, ): 3, 0 (, ): 3, 0
(, ): 3, 0
Dxyxxyy y xyx y
Dxyxxyy y
=++≤==≤
=++≤≠
=

Ta có
12
22
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
Max P=Max Max P, Max P ,(1)
Min P=Min Min P, Min P (2)
xy D xy D xy D
xy D xy D xy D
∈∈∈
∈∈∈
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭

x
xy y t t
S
x
xy y t t
xx
yy
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
== =
++ ++
⎛⎞ ⎛⎞
++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Gi
α
là mt giá tr tùy ý ca S, tc là phng trình (n t)
2
2
3
(4)
1
tt
tt
α

−− −+
⇔+−≤⇔ ≤ ≤

Th li (5) có nghim
343 343
33
α
−− −+
⇔≤≤

Ta có
22
22 2
22
3
() ()
xxyy
P x xy y x xy y S
xxyy
−−
=++ =++
++
2
xxyy++ ≤

Do khi
22
()3
(,
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 17

Max P
∈
=− + . Tng t
2
(,)
343 (8)
xy D
Min P
∈
=− −
T (1), (2), (3), (7), (8) suy ra
22
(,) (,)
343; 343
xy D xy D
Max P Min P
∈∈
=− + =− − .
3. Phng pháp chiu bin thiên.
Phng pháp này kt hp vic s dng đo hàm đ kho sát tính đng bin và nghch bin
ca hàm s, vi vic so sánh các giá tr đc bit ca hàm s (các đim cc tr, các đim ti
hn). Xét các thí d minh ha sau:
Thí d 1

Tìm giá tr nh nht ca
111
Pxyz
x
yz
=

⎜⎟
⎝⎠
⇒++≥
++
⇒≥+++
++

t
3
t = x + y + z 0<t
2
⇒≤
. Xét hàm s
93
() ,0
2
ft t t
t
=
+<≤
;
2
9
'( ) 1ft
t
=
−

Ta có bng bin thiên sau:
0

5
. T (1) suy ra
15
2
P ≥
(2). Mt khác vi
1
2
xyz===
(khi đó
3
2
xyz++=
tha mãn điu kin
3
2
xyz
+
+≤
), ta có
15
2
P
=
. T đó kt hp vi (2) suy ra
15
2
MinP =

Chú ý:

vi
{
}
(, ) , 0, 1xy D xy x y=≥+=
∈
Bài gii:
a P v dng
22 2
()2(
1()1
)
x
xy y xy xy xy
P
xyxy xy xy
++ + + − + +
==
+++ + ++

Do x + y + 1, nên vi
(, )
x
yD∈ , ta có :
22
(1)
2
xy
P
xy
−

Ta có
2
6
'( )
(2 )
ft
t
−
=
+
, nên có bng bin thiên (các em t v hình) dn đn kt lun:
Vy
(,) (,)
2
1;
3
xy D xy D
Max P Min P
∈∈
==
Chú ý:

Max P đt đc
0
0, 1
01
1, 0
,0
xy
xy

f
xx x=+− khi
[
]
1,1x ∈− .
Bài gii

t
2
x
t= , thì 01t
≤
≤ . Ta có
6 233 33 23 3 2
4(1 ) 4(1 ) 4(1 3 3 ) 3 12 12 4
x
xt tt ttt ttt+− =+−=+−+−=−+ −+
Vy
1 2 01 11 01
() (); () ()
xtxt
M
axfx MaxFt Minfx MinFt
−≤≤ ≤≤ −≤≤ ≤≤
==
 đây vi
01
32
() 3 12 12 4Ft t t t=− + − + t
≤

() 4; ()
9
xx
Max f x Min f x
−≤≤ −≤≤
==

III. CNG C KIN THC
Bài 1

Tm giá tr ln nht và nh nht ca
2
33
x
y
P
=
+ , khi
{
}
(, ) 0, 0, 1xy D x y x y
∈
=≥ ≥ +=.
Bài gii:

Khi
(, ) 1
x
yD y∈⇒=−x,  đây
01

Xét hàm s
3
3
()
t
ft
t
+
=
vi 13 t≤≤
Ta có
3
2
2
'( )
t
ft
t
−
=
3
. Lp bng xét du sau:
t

f ’(t)
f (t)
1 3
0
4
1

∈≤≤
== =
⎛⎞
===
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=

Bài 2
.
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s:
() 1 sinx 1 osx,
f
xcxR
=
+++ ∈
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 20
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Do () 0,
f
xx≥∀∈Rnên ta có
22
() (); () ()(1)
xR xR xR xR
Max f x Max f x Min f x Min f x
∈∈∈∈
==
Ta thy
2

t
⎧
+−≤≤
⎪
=
⎨
−−≤≤
⎪
⎩
1−

Vì th có bng bin thiên sau:
t
F
’
(t)
F(t)
2−
-
1
2
422−
422+

0
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 21
Cho Tìm giá tr nh nht ca
, , 0 à x+y+z 1. xyz v>≤
222
22
11
Px y z
2
1
x
yz
=+++++
Áp dng công thc qui bin v véc t
wwuv uv
+
+≥++
f
ff fff

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Áp dng vi
11
,, ,,w,
ux vy z
1
,
x
yz
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞

2

Theo bt đng thc CôSi, thì:
22
22
111 111 111
81( ) 2 81( ) 18( )xyz xyz xyz
x
yz xyz xyz
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
++ + + + ≥ ++ + + = ++ + +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

Li theo bt đng thc c s có:
111
()xyz
xyz
⎛⎞
9
+
+++≥
⎜⎟
⎝⎠
. Vì th có:
2
2
111
81( ) 162xyz
xyz

111
()xyz
xyz
⎛⎞
9
+
+++≥
⎜⎟
⎝⎠
. Vì th có:
2
2
111
81( ) 162xyz
xyz
⎛⎞
++ ++ ≥
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Do (4)
2
( ) 1 80( ) 80xyz xyz++ ≤⇒ ++ ≤
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 22
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
T (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5)
Ly
1
82
3

'( )
f
x
()
f
x
-2 0
2
2
+
+
-
2
2
0
-2
2

(Chú ý: khi là bin thiên)
'( ) 0fx>
2x−≤ ≤0
T đó có:
2
ax f(x)=2 2
x
M
≤
Vy
2
f(x) = 2
x
Min
≤
−

rõ ràng đt đc trên min . Áp dng bt đng thc Bunhiacopsky:
0x >
ax f(x)M
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 23
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
(
)
(
)
22
2222
2
()
4(11) 4
8()22
x
2
x
xx
ffx

∈
=
Bài 2:
Tìm giá tr bé nht ca bin thiên:
111
(1)
xyz
Pxyz xy
xyz yzx
⎛⎞
= + ++ +++−−−
⎜⎟
⎝⎠
z trên min
{
}
(, ,): 0; 0; 0Dxyzx yz
=
>>>
áp s:
mi n 6P =
Bài 3:
Tìm giá tr ln nht ca bin thiên:
Pxyz
=
trên min
111
(, ,): 0; 0; 0; 2
111
Dxyzxyz

22
22
(4)
x
xy
P
xy
−−
=
+
trên min
{
}
22
(, ): 0Dxyxy=+>

áp s:
; P = - 2 2 2Min
−
ax P = 2 2 2M −
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Bài 6: Tìm giá tr ln nht và nh nht ca:
22
21
7
xy
P
xy
+
+

:3 6Dx x
=
−≤ ≤

áp s:
;
xD
ax f(x) = 3M
∈
xD
932
f(x) =
2
Min
∈
−

Bài 8:
Cho
22
() 4 4 2
f
xxaxa=−+−a xét trên min
{
}
:2 0Dx x
=
−≤ ≤ .
Tìm a đ
xD