Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc
giải phơng trình, bất phơng trình
Phần I: Lý thuyết
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó
+) M đợc gọi là GTLN của hàm số trên D. KH:
)(max xfM
Dx
=
thoả mãn
f(x)
DxM ,
Tồn tại
Dx
0
sao cho M = f(x
0
)
+) m đợc gọi là GTNN của hàm số trên D. KH:
)(min xfM
Dx
=
thoả mãn
f(x)
Dxm ,
Tồn tại
Dx
0
sao cho M = f(x
0
)

)(max xf
Ax
= f(x
0
) với x
0

A
. Do x
0

A

( )
BABx
0
Theo định nghĩa ta có,
)(max)(
0
xfxf
Bx

hay
)(max xf
Ax



)(max xf
Bx

21
DDD =
. Giả thiết tồn tại
)(max xf
i
Dx
và
)(min xf
i
Dx

với
_
,1 ni =
. Khi đó,






=

)(max),(maxmax)(max
21
xfxfxf
DxDxDx
v
{ }
)(min),(minmin)(min

ni ,1=
. Khi đó, ta có
)(max )(max)(max)(max
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx
+++
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x
0
thuộc D sao cho
)()(max
0
xfxf
ii
Dx
=

với
ni ,1=
)(min )(min)(min)(min
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx
+++
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x
0
thuộc D sao cho
)()(min

Dx




với
ni ,1=
. Khi
đó, ta có
))(max)) ((max))((max()(max
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx

)(min) (min)(min)(min
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx

Phần II: Bài tập
Chuyên đề 1:
Phơng pháp bất đẳng thức
I/ Lý thuyết:
Bất đẳng thức cosi: Cho
n
aaaa , ,,,
321
là các số không âm. Khi đó,

2211
22
2
2
1
22
2
2
1
) (
nnnn
babababbbaaa +++++++++
(1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
.
II/ Bài tập:
Bất đẳng thức cosi

xx
(2)
2
11
1.11
44
++
+=+
x
xx
(3)
Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta có,
xxxf +++ 111)(
(4) với mọi
Dx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi dấu = ở (1), (2) và (3) cùng xảy ra. Mà dấu = ở (1), (2) và
(3) xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
áp dụng bấtt đẳng thức cosi, với mọi
Dx
, ta có:
2
11
1.11
+
=
x
xx
(5)
2
11

0
nên
3)(max =

xf
Dx
.
Bài 2: (31 68) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
21
2
)( xx
x
xf +=
.
Hàm số có TXĐ:






=
2
1
;1D
Với mọi
Dx
, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
2

với mọi
Dx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
0
2
1
1
11
211
2
2
=








=
=
x
x
x
xx
Suy ra,
1)(max =

xf

+

=
11
),(
áp dụng bất đẳng thức cosi







+
+
yx
x
y
xy
y
x
2
2

)(2),( yxyxyxf +++

Hay
yxyxf +),(
(4)
Mặt khác

11
2
1
),(
(6)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
22
2
2211
4
=
+
+
yxxyyx
vì x + y = 1 (7)
Từ (7) suy ra,
222
2
111
2
1
),( =









2
1
=






f
. Vậy
2),(min
),(
=

yxf
Dyx
Bài 4: (18 49) Tìm các giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền
{ }
0:),( >>= yxyxD
a)
)(
1
),(
yxy
xyxf

+=
b)
2

3
=



++=

+=
yxy
yxy
yxy
yxy
yxy
xyxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = x y =
)(
1
yxy




=
=

1
2
y
x
Có

+
+=
+
+=
yyx
yy
yx
yyx
xyxg
3141
)1)((
4
.
2
1
.
2
1
).(4
4
2
==
+
++

yyx
yy
yx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi


yxg
Dyx
c) Lấy
Dyx ),(
tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
22
2
4
4
4
)(
1
.
2
.4
)(
1
22
),(
4
4
2
2
2
===






3
2
3
2
1
3
)(
1
2
y
x
yxy
yx
y
Có
D








2
3
,3
3
3
và

x
zyx
xyzzyxf +++








+++=
111
)1(),,(
trên miền
{ }
0,0,0:),,( >>>= zyxzyxD
HD:
Ta có,
zyx
zyxy
x
xy
x
z
xz
z
y
yzzyxf ++++++++=
111


++






+=+++++ z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
zyxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1=== zyx
Vì (1, 1, 1) thuộc D và f(1,1,1) = 6 nên
6),,(min =

zyxf
Dx
B i 6 : (23 57) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số






3
),,( xyzxyxzyxh ++=
trên miền
{ }
1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD
HD: (57)
a) Lấy (x,y,z)

D tuỳ ý. áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
5
2
511111
1
2
x
yz
x
z
x
y
x
zyx
x
++++=
++
++=+
5
2
511111
1

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức ta có,
125),,( zyxf
với mọi (x,y,z) thuộc D
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
3
1
1 ========= zyx
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
Mà
D






3
1
;

Dzyx
b) Lấy (x,y,z)
D
với x + y + z = 1 khi đó,
)161)((161)1(16)(1),,( yzzyyzzyyzzyzyxg +++=++=
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có,
yzzy 2+
và
yzyz 8161 +
yzyzzy 16)161)(( ++
Khi đó,
116161),,( =+ yzyzzyxg
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi












==
=

>>>
=++

1
và
1
4
1
,
4
1
,
2
1
=






g
. Vậy
1
4
1
,
4
1
,
2
1
max

{ }
1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD
HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, ta có






+
+








+
+






+
=
1

1
3
zyx
(1)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số








+++ 1
1
,
1
1
,
1
1
zyx
và
( )
1,1,1 +++ zyx
có
( ) ( )
9111)1()1()1(
1
1

1









+
+
+
+
+ zyx
(3)
Kết hợp (1) và (3) suy ra
3
4
4
9
3),,( =zyxf
có
D







),,(max =

zyxf
Dx
Bài 8: (34 74) Tìm GTLN của hàm số
)(),,( xzyzyxf =
trên miền
{ }
6)(2,1:),,(
222
=++=+= yxyyzxzyxD
HD: Ta có f(x,y,z) = y(z x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
)(, xz
và
( )
yzyx ++ 2,2
ta có
( )( )
[ ]
2
2
2222
)]([)2)(()2()2()2()( xzyyzxyxzyzyxxz =+++++++
Mà x
2
+ z
2
= 1 và (2x + y)







=
=
=

+
+
=

=++
=+
10
1
10
10
3
2
2
6)(2
1
2
22
z
y
x








fD
. Vậy
4),,(max =

zyxf
Dx
Bài 9 Bài 36(77)
a) Tìm GTNN của hàm số
yx
yxy
y
x
x
yxf ++
+
+

+

=
1
11
),(

1
1
1
1

+
+

+

=
yxyx
(1)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số








+ yxyx
1
,
1
1
,
1
1

91
1
1
1
1

+
+

+
yxyx
(2)
Từ (1) và (2)
2
5
2
2
9
),( = yxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi







==
+
=














fD
. Vậy
2
5
),(min =

yxf
Dx
Bài8: Bài 37(83) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
zyxzyxf ++=),,(
trên miền







HD:
a) Xét hàm số
333
),,( zyxzyxf ++=
trên
{ }
1,0,0,0:),,( =++= zyxzyxzyxD
Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
zzyyxx ,,
và
( )
zyx ,,
Ta có, suy ra,
2222
)(),,( zyxzyxf ++
(1) do x + y + z = 1
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho cặp số
( )
1,1,1
và
),,( zyx
Ta có,
3
1
)()(3
2222222
++++++ zyxzyxzyx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra












fD
. Vậy
9
1
),,(min =

zyxf
Dx
b) Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
4
4
4
,, zyx
và (1, 1, 1)
Ta có,
( )
2
4

3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
==













B 4: Vì y
0
là giá trị bất kì trên D. Đa ra kết luận.
Bài tập:
Bài 1: (96-185) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
102
2372
)(
2
2
++
++
=
xx
xx
xf
trên toàn trục số.
TXĐ: R
Gọi y
0
là một giá trị của hàm số. Khi đó, phơng trình
0
2
2
102
2372
y
xx
xx
=



0, khi đó phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi
0
0)2310)(2(4)72(
00
2
0
= yyy
2,
2
5
2
3
015169
000
2
0
+ yyyy
Vì y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x), nên
2
3
)(min,
2
5
)(max ==



4
1531
4
1531
0
+


y
Bài 4: (100-193) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
),( yxyxf +=

trên một miền
{ }
04)1(:),(
2222222
=++= yxyxyxyxD
HD: Gọi t
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phơng trình



=++
=+
)2(04)1(
)1(
2222222

Khi đó, (3) có nghiệm
4
13
0
2
0
2
+
=
tt
x
thế vào (2)
4
1
0
2
0
2
++
=
tt
y
thoả mãn có nghiệm
Mà t
0
là một giá trị tuỳ ý của f(x,y) trê D nên
2
53
),(max
),(

0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phơng trình





=+
=
++
++
)2(1
)1(
7
12
0
22
yx
t
yx
yx
có nghiệm
Từ (2) có x = 1 y thế vào (1)
( )
[ ]
0
22
712 tyyy ++=+
vì x

2
0

+


+= ttttttt
Kết hợp (3) có nghiệm khi
20
1025
30
1025
0
+


t
Vì t
0
là một giá trị bất kì của f(x,y) trên D nên
30
1025
),(max
),(
+
=

yxf
Dyx
và

== yxyxD
và
{ }
0:),(
2
= yyxD
. Khi đó,
21
DDD =
Nếu
1
),( Dyx
thì f(x,y) = 0. Vậy
0),(min),(max
1
1
==


yxfyxf
Dx
Dx
Nếu
2
),( Dyx
. Khi đó, ta có
1
2
2
22

y
x
y
x
y
x
yxf
Đặt
y
x
t
2
=
, đợc hàm số
1
44
1
)2(
)(
22
22
+

=
+

=
t
t
t

=++

tt
(1) có nghiệm
TH 1: Với

= 0 phơng trình (1) có nghiệm t =1.
TH 2: Với


0 phơng trình (1) có nghiệm
0,2222220)4(4' ++=

Kết hợp (1) có nghiệm khi
222222 +

Suy ra,
222)(max),(max
2
),(
+==

tFyxf
RtDyx
và
222)(min),(min
2
),(
==


343
)(
x
xx
xf
+
++
=
HD: Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ỳ của f(x).
Khi đó, phơng trình
0
22
42
)1(
343
y
x
xx
=
+
++
có nghiệm
03)2(2)3(
0
2
0
4
0




3
2
5
0
0'
0
t
S
Kết hợp hai trờng hợp (1) có nghiệm khi



3
2
5
0
t
Vậy
Bài 8: (105 201) Cho hàm số
1
)(
2
2
+
++
=
x

(2)
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm, xét 2 trờng hợp
TH 1: y
0
= 1 thì (2) có nghiệm khi
0p
hoặc p = 0 và q = 1.
TH 2: y
0


1 thì (2) có nghiệm khi
0))(1(4
00
2
= qyyp

0)4()1(44
2
0
2
0
+ qpyqy
201
yyy
Ta có
21
1 yy
vì với y
0

8
7
9
4
4
.
81
2
21
21
p
q
qp
yy
qyy
Vậy
Bài 9: (106 202) Cho hàm số
36
)(12
2
+
+
=
x
axx
y
tìm a nguyên khác 0 sao cho đại lợng
)(max xf
Rx
cũng

thì (2) có nghiệm
0)12(3636'
00
2
= yya
012
2
0
2
0
ayy

2
0
2
366366 aya +++
Nhận thấy y
0
= 0 thì
aa <= 0'
2
do vậy
22
3660366 aa +++
Kết hợp hai trờng hợp để (1) có nghiệm thì
2
0
2
366366 aya +++
Vậy

B 1: Giải phơng trình f (x) = 0 để tìm các nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, ,x
n
trong [a; b].
B 2: Tính các số f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
).
B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên.
Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxy
220
cossin +=
HD: Do
+=








2
;0

.
Ta có,
xxxxy sin.cos20cos.sin20'
1919
=
. Xét y = 0
















=
=
=


1






Kết luận:
512
1
min,1max ==


yy
Rx
Rx
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
102
2372
)(
2
2
++
++
=
xx
xx
xf
.
Bài 3: Cho hàm số

2
>
, nghịch biến khi
a
b
x
2
<
Nếu a < 0: Đồng biến khi
a
b
x
2
<
, nghịch biến khi
a
b
x
2
>
Tính chất 2:
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì - f(x) là hàm nghịch biến trên D.
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D và f(x) > 0 thì hàm
)(
1
xf
nghịch biến trên D.
Tính chất 3:
+) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm đồng biến trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến trên D.
+) Nếu f(x), g(x) là hai hàm đồng biến trên D và f(x) >0, g(x) > 0 trên D thì hàm f(x).g(x) cũng

Bài 5: (114 216) Tìm GTLN và GTNN của hàm số








++=
yx
yxyxf
11
)(),(
trên miền
{ }
21,31:),( = yxyxD
Bài 6: (119 227) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
31863 xxxxy +++=
trên miền
{ }
63: = xxD
Bài 7: (121 236) Cho hàm số
aaaxxxf 244)(
22
+=
xét trên miền
{ }
02: = xxD


x
. Biện luận
kết quả theo m.
Bài 10: (126 241) Cho hàm số
axxxf +=
2
)(
. Tìm a để
1)(min >

xf
Rx
Chuyên đề 5:
ứng dụng của GTLN và GTNN trong việc giải và biện
luận phơng trình và bất phơng trình.
Phơng pháp: Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = d(m). Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên I và so
sánh các GTLN và GTNN với a. Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình.
Bài tập:
Bài 1: (3-150-tuyển tập hàm số)
a) Tìm m để phơng trình
mxx =++ 12
2
có nghiệm.
b) Tìm m để bất phơng trình
Rxmxx >++ 12
2
HD: Xét hàm số
12
2

1
m
.
b) Bất phơng trình f(x) > m có nghiệm với mọi m khi
mxf
Rx
>=

2
1
)(min
Bài 2: Tìm m để phơng trình
mxxxx =+++ )2)(2(22
có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để bất phơng trình
Rxmxmx + 04
4
.
HD: Bất phơng trình
m
x
x
xfxxm
+
=+
1
4
)(4)1(
4
4

=
∈
4
4
27
3
1
)(max