TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
Tiểu luận
Môn:
LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG
Đề tài:
LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI
SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG
TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI.
Học viên thực hiện : Phan Huy Phong
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Giảng viên hướng dẫn : PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh
HUẾ, 2013
MỤC LỤC
Trang phụ bìa 1
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 2
1 LỜI TỰA 3
2 TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG
TRONG TRƯỜNG HỢP HÀM KHẢ VI 11
2.1 Những điều kiện cấp 1 đối với tính tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tính đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về hàm lồi suy rộng là sự phát triển lý thuyết hàm lồi. Nó mở rộng
các lớp hàm lồi với những tính chất tốt bằng cách giảm dần các khái niệm. Đây
là một môn học khá thú vị và có ý nghĩa ứng dụng cao trong thực tiễn. Được sự
hướng dẫn của thầy Phan Nhật Tĩnh, chúng tôi đã được dịch và tìm hiểu về một
số vấn đề được giao. Vì vậy trong tiểu luận này chúng tôi tìm hiểu về tổng quan
lý thuyết này và từ đó trình bày một số tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính
đơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi. Do đó, nội dung tiểu luận được chia

lớp tất cả các hàm có các tập mức con là lồi thì ta nhận được lớp các hàm tựa lồi.
Nó rộng hơn nhiều so với lớp các hàm lồi. De Finetti được xem là người đã đưa ra
thuật ngữ hàm tựa lồi vào năm 1949. Tuy nhiên tính tựa lồi đã đóng vai trò quan
trọng trong năm 1928 với định lý minimax của John von Neumann, định lý này
được đưa ra như một giả thuyết kĩ thuật chứ không phải là một loại hàm mới.
Nhiều lớp hàm lồi suy rộng khác cũng được đưa ra sau đó. Những năm gần đây,
bên cạnh hàm lồi suy rộng nhận giá trị thực cũng như giá trị vectơ, các hàm lồi
suy rộng đa trị cũng được tập trung nghiên cứu. Trong suốt 40 năm qua, các hoạt
động nghiên cứu trong lĩnh vực này có dấu hiệu gia tăng đáng kể.
Một điểm nổi bật của tính lồi đó là mối liên hệ gần gũi với tính đơn điệu: một
hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi gradient của nó là ánh xạ đơn điệu. Điều này có
thể mở rộng cho các hàm không khả vi thông qua các đạo hàm suy rộng, các vi
phân dưới và ánh xạ đa trị. Những liên hệ tương tự cũng được phát hiện giữa hàm
lồi suy rộng với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Ví dụ: hàm khả vi là tựa lồi khi và chỉ
3
khi gradient của nó tựa đơn điệu.
Mảng ánh xạ đơn điệu suy rộng không mới trong các tài liệu. Thật thú vị là
việc xuất hiện lần đầu của tính đơn điệu suy rộng lại là năm 1936 (trước cả khi ra
đời thuật ngữ này). Đáng lưu ý là điều này được tìm thấy độc lập và gần như cùng
thời gian trong cả 2 bài báo: một là của Georgescu-Roegen (1936) đề cập đến khái
niệm sở thích địa phương trong thuyết tiêu dùng của kinh tế học, và tài liệu kia là
của Wald (1936) chứa đựng chứng minh chặt chẽ đầu tiên về sự tồn tại trạng thái
cân bằng cạnh tranh chung. Điều đáng chú ý là những tiên đề khác nhau về sự ưa
thích được bộc lộ trong thuyết tiêu dùng thực ra là những điều kiện về tính đơn
điệu suy rộng.
Việc thừa nhận mối liên hệ gần gũi giữa trường được thiết lập tốt có sẵn của
tính lồi suy rộng với trường tương đối không phát triển được của tính đơn điệu
suy rộng đã mang lại sự thúc đẩy cho cả hai và dẫn đến sự gia tăng các hoạt động
nghiên cứu chuyên ngành. Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng thường được sử dụng
trong việc giải quyết các vấn đề phụ, bất đẳng thức biến phân và trạng thái cân

và tựa lồi trong không gian hữu hạn chiều. Vì phần này nghiên cứu chủ yếu trên
các tập đã biết, chẳng hạn các tính chất đại số và tôpô quan trọng nhất của không
gian con tuyến tính, tập affine, tập lồi và lồi đều, nón. Các kết quả tách nổi tiếng
cũng được trình bày và sau đó dùng để suy ra các biểu diễn đối ngẫu cho các tập
lồi (lồi đều). Phần tiếp theo chủ yếu nghiên cứu các hàm lồi, tựa lồi, tựa lồi đều.
Qua đó cho thấy việc nghiên cứu này có thể quy về nghiên cứu trên các tập được
khảo sát ở phần trước. Ví dụ: biểu diễn tương đương của kết quả tách các tập lồi
được sử dụng cho biểu diễn đối ngẫu của một hàm. Kết quả quan trọng trong phần
này là định lý Fenchel-Moreau đối với các hàm tựa lồi đều trong giải tích lồi và
sự suy rộng của nó. Phần cuối của chương trình bày một số ứng dụng quan trọng
của giải tích lồi và tựa lồi đối với thuyết tối ưu hóa, thuyết trò chơi và nghiên cứu
hàm tựa lồi đều thuần nhất dương.
Chương 2 được trình bày bởi Crouzeix, phần này dành cho đặc trưng cấp 1 và
2 của hàm lồi suy rộng, tiêu chuẩn cấp 1 đối với tính đơn điệu suy rộng. Đặc trưng
cấp 1 của hàm lồi (tựa lồi, giả lồi, ) suy rộng khả vi bao gồm các đặc trưng trong
điều kiện ánh xạ gradient đơn điệu (tựa đơn điệu, giả đơn điệu, ) suy rộng. Đặc
trưng cấp 2 của tính lồi suy rộng liên quan đến đặc trưng cấp 1 của tính đơn điệu
suy rộng. Trong đó sự hạn chế của dạng toàn phương (nửa) xác định dương trên
không gian con tuyến tính rất quan trọng. Nghiên cứu toàn diện vấn đề chính là
nội dung trình bày trong phần này. Chương bao gồm có một số ứng dụng quan
trọng của hàm Cobb-Douglas, điều kiện để một hàm là hàm toàn phương lồi suy
rộng, lồi, ánh xạ affine đơn điệu suy rộng, phương pháp điểm trong và tính tách
được cộng tính.
Tính lồi của đồ thị trên (epigraph), là cấu trúc hình học đẹp của hàm lồi được
biết đến trong giải tích lồi, có nhiều mối liên hệ mật thiết với tính đơn điệu và khả
vi theo hướng. Đối với hàm tựa lồi, đồ thị trên không lồi nhưng các tập mức con
vẫn lồi. Tương tự các hàm lồi, cấu trúc hình học của các tập mức con kéo theo các
tính chất liên tục và khả vi quan trọng của hàm tựa lồi. Chương 3 được viết bởi
Crouziex, cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự tranh luận trong giải tích tựa lồi giữa
tính chính quy hóa tựa lồi và sự tăng của nón, cũng như các tính chất liên tục và

không gian ảnh.
Chương 5 được viết bởi Lực, cũng giải quyết bài toán tối ưu vectơ nhưng trong
tình huống tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và dưới
dạng giải tích phi tuyến. Lớp các hàm vectơ lồi suy rộng khác nhau đều được giới
thiệu và nghiên cứu. Những kết quả tồn tại nghiệm hữu dụng và những tính chất
cấu tạo như tính compact, tính liên thông của các tập nghiệm cũng được khảo sát,
chứng minh. Các điều kiện tối ưu cũng được cung cấp cho 3 loại đạo hàm: đạo
hàm cổ điển, đạo hàm liên tiếp và các xấp xỉ Jacobian. Phần cuối của chương bàn
luận về phương pháp vô hướng hóa để giải bài toán tối ưu vectơ.
Một chủ đề trung tâm trong tối ưu là lý thuyết đối ngẫu lồi. Cho trước một bài
toán cực tiểu lồi gốc, một mặt nhúng nó vào một họ các bài toán cực tiểu nhiễu và
sau đó cân đối với các nhiễu này, một mặt kết hợp nó với một vấn đề đối ngẫu. Tồn
tại những mối quan hệ chặt chẽ giữa bài toán gốc và đối ngẫu giúp ích cho việc
phân tích các tính chất của bài toán ban đầu, và đặc biệt để đạt được điều kiện
tối ưu hóa. Chúng cũng được dùng để hệ thống các thuật toán số. Trong trường
hợp các vấn đề xuất hiện trong ứng dụng thuộc các khoa học khác nhau, đặc biệt
trong kinh tế học, các vấn đề đối ngẫu thường có giả thuyết đẹp mang lại một sự
động lực mới để phân tích chúng. Chương 6 được soạn bởi Martínez-Legaz, bàn
về đối ngẫu lồi suy rộng và các ứng dụng kinh tế của nó. Việc mở rộng lý thuyết
đối ngẫu lồi cho trường hợp lồi suy rộng được dựa vào sơ đồ đối ngẫu suy rộng
Fenchel-Moreau và vào lý thuyết chung của sự liên hợp. Trong giải tích tựa lồi sự
liên hợp các tập mức rất hữu dụng. Sơ đồ đối ngẫu tổng quát Fenchel-Moreau và
6
các liên hợp này cũng được đề cập chi tiết trong chương này. Phần cuối chương
dành cho các ứng dụng trong kinh tế học như: tính đối ngẫu giữa hàm tiện ích trực
tiếp và gián tiếp trong thuyết người tiêu dùng, tính đơn điệu của hàm nhu cầu và
thuyết người tiêu dùng trong trường hợp thiếu hàm tiện ích.
Khái niệm vi phân dưới của hàm lồi tại một điểm cho trước trong miền xác
định của nó đóng vai trò chính trong giải tích lồi. Thực vậy vi phân dưới đóng 2
vai trò khác nhau. Một là tính địa phương: nó trang bị một xấp xỉ địa phương cho

ứng dụng của chương trình phân thức này củng cố cho sự tương thích của tính lồi
suy rộng với các môn học ứng dụng, đặc biệt là đối với khoa học quản lý. Điều
7
này bổ sung cho sự trình bày những ứng dụng tính lồi suy rộng trong lý thuyết
kinh tế ở Chương 6. Tóm tắt những ứng dụng của lập trình phân thức kéo theo sự
phân tích cụ thể chương trình phân thức min-max, bao gồm tỉ số đơn và chương
trình phân thức min-max cổ điển được giới hạn hơn. Cơ sở của phân tích là phép
xấp xỉ tham số. Đầu tiên, thuật toán Dinkelbach gốc được đưa ra và các tính chất
hội tụ của nó được phân tích. Khi đó tính đối ngẫu được đưa ra để đáp ứng với
chương trình phân thức max-min đối ngẫu và những quan hệ đối ngẫu đều được
chứng minh. Cuối cùng thuật toán Dinkelbach đối ngẫu được trình bày và suy ra
những tính chất hội tụ của nó.
Chương đầu tiên của phần hai quyển sách là Chương 9, viết bởi Hadjisavvas và
Schaible. Nó được bắt đầu với giới thiệu sự biểu diễn của 9 loại ánh xạ đơn điệu
suy rộng và chỉ ra liên kết giữa những ánh xạ này và các hàm lồi suy rộng khả vi:
một hàm thuộc vào 1 trong 9 lớp hàm lồi suy rộng nếu và chỉ nếu gradient của nó
thuộc vào lớp ánh xạ đơn điệu suy rộng tương ứng. Phần cuối chương trình bày
tiêu chuẩn đối với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Đầu tiên trình bày về ánh xạ khả
vi rồi đến các ánh xạ không khả vi (Lipschitz địa phương hay chỉ liên tục). Cuối
cùng đề cập chi tiết đến trường hợp đặc biệt ánh xạ affine vì sự thích hợp của nó
với chương trình toàn phương lồi suy rộng và các bài toán phụ tuyến tính đơn điệu
suy rộng.
Các hàm lồi suy rộng không nhất thiết khả vi. Trong trường hợp này, gradient
của nó thường được thay bởi đạo hàm suy rộng xấp xỉ. Chương 10 viết bởi Komlósi
về việc nghiên cứu các hàm lồi suy rộng không trơn với các lớp đạo hàm suy rộng
đặc biệt. Một số kết quả được trình bày sự liên kết giữa tính đơn điệu suy rộng của
đạo hàm suy rộng với tính lồi suy rộng của hàm suy rộng trong phần bàn luận. Sự
phong phú các khái hiệu khác nhau của đạo hàm suy rộng đã thúc đẩy việc giải
quyết tiên đề, trong đó có khái niệm trừu tượng xấp xỉ bậc 1. Lợi ích của xấp xỉ
bậc 1 tựa lồi trong lý thuyết tối ưu cũng được khảo sát. Cụ thể, các hàm tựa khả

toán phụ và bất đẳng thức biến phân. Thông thường, đa số việc nghiên cứu trên
các khía cạnh khác nhau của bài toán cân bằng đều bị giới hạn bởi vấn đề tính
đơn điệu. Tuy nhiên, giả thiết tính đơn điệu tham gia làm hạn chế đối với nhiều
bài toán ứng dụng, đặc biệt trong kinh tế học và khoa học quản lý. Trong suốt
thập kỉ gần đây, các bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng đã được khảo sát kỹ
lưỡng hơn và nhiều tiến triển đã đạt được trong những hướng khác nhau. Chương
13 được viết bởi Konnov, trình bày những kết quả cơ bản trong lý thuyết và xây
dựng phương pháp giải cho bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng và bất đẳng thức
biến phân. Trong đó bài toán cân bằng giá trị vectơ cũng được đề cập đến.
Chắc chắn lợi ích đầu tiên của tính đơn điệu suy rộng (trước cả khi xuất hiện
thuật ngữ này) đã được tìm thấy cách đây 68 năm trong ngành kinh tế học. Như
đã nói ở trên, nó tồn tại độc lập trong một bài báo của Georgescu-Roegen (1936),
đưa ra khái niệm sở thích địa phương trong lý thuyết người tiêu thụ, và trong bài
báo của Wald (1936) chứa chứng minh gốc đầu tiên của sự tồn tại cân bằng chung
cạnh tranh. Những tiến bộ đáng kể sẽ được trình bày trong Chương 14 được viết
bởi John. Chương này đưa ra nhiều ví dụ quan trọng về cách dùng tính lồi suy
rộng và tính đơn điệu suy rộng trong kinh tế. Ví dụ đầu tiên là lý thuyết người
tiêu thụ. Phép xấp xỉ hàm tiện ích tăng thêm tầm quan trọng cho tính tựa lõm và
giả lõm của hàm. Phép xấp xỉ quan hệ nhu cầu được thể hiện bởi các tính chất
đơn điệu suy rộng, trong tài liệu kinh tế điều đó được xem như các tiên đề trong
thuyết ưa chuộng bộc lộ. Trong trường hợp sở thích không bắc cầu lồi (lần lượt
nửa lồi chặt hay lồi chặt), các tính chất đơn điệu suy rộng khác nhau của lượng
9
cầu xuất hiện khá tự nhiên. Ví dụ thú vị thứ hai là lý thuyết cân bằng chung. Sự
tương thích của lượng cầu giả đơn điệu vượt quá so với tính ổn định của trạng thái
cân bằng sẽ được chấp nhận bởi biểu diễn của nó như là nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân Minty.
Nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng vẫn được tiếp diễn
và những kết quả khoa học đã đạt được rất nhiều. Chúng được trình bày thường
xuyên hằng năm trong nhiều hội thảo chuyên ngành, đặc biệt ở Hội nghị khoa học

11
Cho a ∈ C, d ∈ E, ta định nghĩa:
I
a,d
= {t ∈ R| a + td ∈ C},
và với mỗi t ∈ I
a,d
: f
a,d
(t) = f(a + td).
Khi đó, hàm f lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên C nếu và chỉ nếu f
a,d
là
lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên I
a,d
với mọi a ∈ C, d ∈ E. Dựa vào định
nghĩa hàm lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) ta dễ dàng chứng minh điều này.
Chứng minh. Xét a ∈ C, d ∈ E, với mọi t
1
, t
2
∈ I
a,d
, λ ∈ (0, 1), ta có a + t
1
d, a +
t
2
d ∈ C, do đó
λ(a + t

2
d)

≤ λf(a + t
1
d) + (1 − λ)f(a + t
2
d) = λf
a,d
(t
1
) + (1 − λ)f
a,d
(t
2
).
Do đó f
a,d
lồi trên I
a,d
.
Ngược lại, giả sử f
a,d
lồi trên I
a,d
, ∀a ∈ C, d ∈ E. Khi đó với mọi a, b ∈ C, λ ∈
[0, 1] ta có
f

λa + (1 − λ)b

b + λ
1
(a − b)

+ (1 − α)f

b + λ
2
(a − b)

Mặt khác
f
b,a−b

αλ
1
+ (1 − α)λ
2

= f

b + [αλ
1
+ (1 − α)λ
2
](a − b)

= f

α[b + λ

(t
2
)(t
1
− t
2
) ≤ 0;
ii. ∀t
1
, t
2
∈ I, θ(t
1
) ≤ θ(t
2
) ⇒ θ

(t
2
)(t
1
− t
2
) ≤ 0;
iii. ∀t
1
, t
3
∈ I, t
1


(t
2
)(t
2
− t
1
) ≥ 0
là điều kiện cần và đủ để θ tựa lồi trên I.
Những đặc trưng này vẫn đúng cho các hàm tổng quát.
Mệnh đề 2.1.1. Giả sử f : C → R là khả vi trên tập con lồi C của E. Khi đó
mỗi điều kiện trong các điều kiện sau:
i) ∀x, y ∈ C, f(y) < f(x) ⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0;
ii) ∀x, y ∈ C, f(y) ≤ f(x) ⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0;
iii) ∀x, x − h ∈ C, f(x − h) < f(x), ∇f(x), h = 0
⇒ f(x) ≤ f(x + th), ∀t > 0 thỏa mãn x + th ∈ C;
iv) ∀x, y ∈ C, ∇f(x), y − x > 0 ⇒ ∇f (y), y − x ≥ 0,
là điều kiện cần và đủ cho f tựa lồi trên C.
Nhận xét 2.1.2. Đề cập đến tính khả vi nghĩa là xác định cấu trúc tôpô nào đó
trên không gian E và ta có thể sử dụng một số loại khả vi nào đó. Song ở đây
những điều kiện cực tiểu chỉ đòi hỏi: bất kỳ hàm f khả vi trên E cũng đủ suy ra
hàm một biến f
a,d
khả vi, a ∈ C, d ∈ E.
Nếu f lồi và ∇f(x) = 0 thì f đạt cực tiểu tại x. Song bản chất của điều kiện
tối ưu này không được bảo toàn đối với các hàm tựa lồi, chẳng hạn hàm f(t) = t
3
tựa lồi nhưng không có cực tiểu. Điều này thúc đẩy sự ra đời lớp các hàm giả lồi.
Cho tập lồi C và hàm f : C → R, khi đó:
i) f được gọi là giả lồi trên C nếu ∀x, y ∈ C, f (y) < f(x) ⇒ ∇f(x), y −x < 0;

x,y−x
(t) = ∇f(x + t(y − x)), y − x ≥ 0.
Suy ra f
x,y−x
(t) là hàm không giảm. Nên f
x,y−x
(0) ≤ f
x,y−x
(1), hay f (x) ≤ f(y).
Mâu thuẫn giả thiết. Vậy f là giả lồi.
Ngược lại, giả sử f là giả lồi nhưng không thỏa (iii). Khi đó tồn tại x, y ∈ C
sao cho ∇f(x), y − x ≥ 0 và ∇f(y), y − x < 0.
Vì f giả lồi nên theo định nghĩa ta có ∇f (x), y − x ≥ 0 suy ra f(y) ≥ f(x).
Mặt khác f giả lồi nên f tựa lồi. Theo Mệnh đề 2.1.1(ii), ∇f(y), x − y > 0 ⇒
f(x) > f(y) (mâu thuẫn).
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử f khả vi trên tập lồi C. Khi đó hai điều kiện sau tương
đương:
i) f giả lồi chặt trên C;
ii) ∀x, y ∈ C, x = y, ∇f(x), y − x ≥ 0 ⇒ ∇f(y), y − x > 0.
Chứng minh. Giả sử (ii) đúng và f không giả lồi chặt. Khi đó tồn tại x, y ∈
C, x = y thỏa f(y) ≤ f(x) và ∇f(x), y − x ≥ 0. Với mọi t ∈ (0, 1), ta có
∇f(x), (x + t(y − x)) − x ≥ 0. Do đó theo (ii)
∇f(x + t(y − x)), (x + t(y − x)) − x > 0
hay f

x,y−x
(t) = ∇f(x + t(y − x)), y − x > 0.
Suy ra hàm f
x,y−x
(t) liên tục và tăng nên f

. Khi đó θ là tựa lồi trên [0, 1] và θ

(0) = ∇f(a), d = 0. Hơn nữa
θ(1) < θ(0) nên θ(t) ≤ θ(0), ∀t ∈ [0, 1]. Đặt
t = max{t ∈ [0, 1]| θ(t) = θ(0)}.
Khi đó t ∈ [0, 1), θ(t) = θ(0) và θ(t) > θ(t), ∀t ∈ (t, 1]. Nếu t > 0, do θ là tựa
lồi thì θ(t) ≥ θ(t), ∀t ∈ [0, t]. Do đó θ

(t) = 0. Hơn nữa nếu t = 0 thì ta có ngay
θ

(0) = 0.
Đặt x = a + td, khi đó ∇f (x), d = θ

(t) = 0 và vì f không đạt cực tiểu địa
phương tại x nên ∇f(x) = 0.
Chọn k sao cho ∇f(x), k > 0 (chẳng hạn chọn k = ∇f(x) đối với E = R
n
hay E là không gian Hilbert). Vì a + d ∈ C, C mở, f liên tục tại a + d ∈ C và
f(a + d) < f(a) = f(x), nên tồn tại r > 0 sao cho:
a + d + rk ∈ C và f (a + d + rk) < f(x).
Mà f tựa lồi nên theo Mệnh đề 2.1.1(i) ta có
∇f(x), a + d + rk − x ≤ 0.
15
Mặt khác
∇f(x), a + d − x + rk
= ∇f(x), d − td + rk
= (1 − t)∇f(x), d + ∇f(x), rk = r∇f(x), k > 0.
Suy ra mâu thuẫn. Vậy f là giả lồi.
Nhận xét 2.1.7. Chú ý ở đây không yêu cầu tính liên tục của ∇f (x). Lập luận

), x
2
− x
1
;
ii) F giả đơn điệu trên C nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, F (x
1
), x
2
− x
1
 > 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 > 0;
điều này tương đương với
∀x
1
, x
2
∈ C, F (x
1

iv) F giả đơn điệu chặt nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, x
1
= x
2
, F (x
1
), x
2
− x
1
 ≥ 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 > 0.
Tính tựa đơn điệu được đưa ra bởi Hassouni và độc lập với Karamardian và
Schaible; tính giả đơn điệu của Karamardian. Trường hợp, tính giả đơn điệu áp
dụng cho ánh xạ không âm trên quỹ đạo dương chính là tiên đề yếu cho các hàm
được ưa thích phát hiện được.
Dễ thấy ánh xạ đơn điệu là giả đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu là tựa đơn
điệu. Giả sử f : C → R là khả vi trên tập lồi C. Khi đó bên cạnh các đặc trưng
của hàm lồi được biết đến, chúng ta có đặc trưng các hàm lồi suy rộng được suy
từ Mệnh đề 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4.


được định nghĩa G(x) = A
t
F (Ax + a). Khi đó G là tựa đơn điệu (giả đơn
điệu) trên C.
Chứng minh. i) Giả sử f : D → R và g : C → R, g(x) = f(Ax + a), ∀x ∈ C.
Chứng minh f tựa lồi thì g là tựa lồi. Với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có
g

λx + (1 − λ)y

= f

A(λx + (1 − λ)y) + a

= f

λA(x) + (1 − λ)A(y) + a

f

λ[Ax + a] + (1 − λ)[Ay + a]

≤ max{f(Ax + a), f(Ay + a)} = max{g(x), g(y)}.
17
Trường hợp f giả lồi suy ra g giả lồi được chứng minh tương tự.
ii) Giả sử F : D → Y

và G : C → X


F (Ax
1
+ a), x
2
− x
1
 > 0
⇔ F (Ax
1
+ a), Ax
2
− Ax
1
 > 0
⇒ F (Ax
2
+ a), Ax
2
− Ax
1
 ≥ 0 (vì F tựa đơn điệu)
⇔ G(x
2
), x
2
− x
1
 ≥ 0.
Chứng minh tương tự cho trường hợp F giả đơn điệu.
Ta có định lý tương ứng với Định lý 2.1.6 như sau:


là khả vi trên tập lồi C ⊂ E. Nếu F tựa đơn
điệu trên C thì (Sdp) đúng với mọi x ∈ int(C).
Chứng minh. Giả sử F là tựa đơn điệu nhưng không thỏa (Sdp) với bất kì x ∈
int(C) và h ∈ E. Khi đó với x ∈ int(C), tồn tại h ∈ E sao cho F (x), h = 0 và
F

(x)h, h ≤ 0. Ta có
F

(x)h, h ≤ 0 ⇔ lim
t↓0
F (x + th) − F(x)
t
, h ≤ 0
⇒ F (x + th), h ≤ 0.
F

(x)h, h ≤ 0 ⇔ lim
−t↑0
F (x − th) − F(x)
−t
, h ≤ 0
⇒ F (x − th), h ≥ 0.
Do đó tồn tại t > 0 sao cho x − th ∈ C, x + th ∈ C và
F (x + th), h < 0 < F (x − th), h.
Suy ra
F (x + th), (x + th) − (x − th) = 2F (x + th), h < 0
và
F (x − th), (x + th) − (x − th) = 2F (x − th), h > 0.

, h < 0.
Mâu thuẫn. Do đó F (x + h), h ≥ 0.
Tiếp theo ta giả sử F không giả đơn điệu chặt trên C. Khi đó tồn tại a, b ∈
C, a = b thỏa F (a), b − a ≥ 0 và F (b), a − b ≥ 0.
Do đó với mọi t ∈ [0, 1] ta có
F (b + t(a − b)), a − b ≥ 0;
F (a + t(b − a)), b − a ≥ 0.
Suy ra F (a + t(b − a)), b − a = 0, ∀t ∈ [0, 1].
Do đó F

[a + t(b − a)](b − a), (b − a) > 0 (theo (dp)), ∀t ∈ [0, 1].
Mặt khác
F

[a + t(b − a)](b − a), (b − a)
= lim
λ↓0
F (a + t(b − a) + λ(b − a)) − F(a + t(b − a))
λ
, b − a.
Vì F (a + t(b − a)), b − a = 0 và với λ > 0 đủ bé ta có F (a + (t + λ)(b −
a)), b − a = 0 nên F

(a + t(b − a))(b − a), b − a = 0. (mâu thuẫn). Vậy F giả
đơn điệu chặt.
Điều kiện (dp) là đủ nhưng không cần cho tính giả đơn điệu chặt. Chẳng hạn
xét f(t) = t
2
, t ∈ R. Ta có f là giả lồi (thậm chí là lồi chặt) nhưng không thỏa
điều kiện (dp) tại điểm mà đạo hàm bằng 0.