TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN VĂN SƠN BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƢỜNG TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Vật lý đại cƣơng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. ĐÀO CÔNG NGHINH

HÀ NỘI – 2014

Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khóa luận này
là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của
thầy cô giáo, đặc biệt là thầy giáo TS. Đào Công Nghinh. Những nội dung
này không trùng lặp với kết quả nghiên cứu của tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5năm 2014
Sinh viên Nguyễn Văn Sơn
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
NỘI DUNG
Chƣơng 1: ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN
ĐỘNG TRÒN ĐỀU 3
1.1. Đại cương về dao động điều hòa 3
1.1.1. Khái niệm 3
1.1.2. Phương trình dao động điều hòa 3
1.1.3. Các đại lượng trong dao động điều hòa 4
1.1.4. Năng lượng 5

điểm t một khoảng ∆t 19
2.1.4. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Tìm
thời điểm để vật cách VTCB một khoảng l lần thứ n nào đó. 23
2.1.5. Cho phương trình dao động của vật:
x A.cos( t )


. Tính
số lần vật qua li độ x
*
trong thời gian từ t
1
đến t
2
25

2.1.6. Cho phương trình dao động của vật:
  x A.cos t ()
. Tính
thời gian nhỏ nhất, lớn nhất để đi được cùng quãng đường S 30
2.2. Bài toán quãng đường 33
2.2.1. Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(

t +α). Tính
quãng đường mà vật đi được trong thời gian từ t
1

2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động
điều hòa nhằm phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải nhanh
cho từng dạng bài tập.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Khái quát lý thuyết chương phần “Dao động điều hòa”. Sử dụng mối liên
hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa cùng các phương pháp
2
giải bài tập để giải các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động
điều hòa.
4.Đối tƣợng nghiên cứu
Lý thuyết chương phần dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động
tròn đều.
Bài tập về thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa.
5.Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc và tra cứu tài liệu liên quan.
Giải các bài tập về dao động.
3
NỘI DUNG

CHƢƠNG I
ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU

1.1. Đại cƣơng về dao động điều hòa
1.1.1. Khái niệm


t + α) =

.A.cos (

t + α + π/2)(cm, m).
* Nhận xét
Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2.
v

luôn cùng chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì
v > 0, chuyển động theo chiều âm v < 0).
1.1.2.3. Phƣơng trình gia tốc
a = v
’
= x
’’
= -

2
.A.cos(

t +α) =

2
.A.cos(

t + α + π) (cm/s
2
, m/s

,
min
a
= 0
Ở biên: x =

A,
min
0v
,
2
max
.aA


1.1.3. Các đại lƣợng trong dao động điều hòa
1.1.3.1. Chu kỳ dao động
Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn
phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại
như cũ.
*Chú ý: Nếu trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động
thì ta có: ∆t = N.T
5

1.1.3.2. Tần số dao động
Là số dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo
của chu kỳ dao động.
1 N
f
Tt

2
.A
2
.cos
2
(

t + α).
Động năng: W
đ
=
1
2
m.v
2
=
1
2
m.

2
.A
2
.sin
2
(

t + α).
Định luật bảo toàn cơ năng:
W = W


24
mA

6

1.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
1.2.1. Chuyển động tròn đều
Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn.
VD: Chuyển động của các điểm trên ghế đu quay.
Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn và có tốc độ trung
bình trên mọi cung tròn là như nhau.
Vận tốc góc: Là góc quay của bán kính trong 1 đơn vị thời gian.
t





(rad/s)
Trong đó


là góc mà bán kính nối từ tâm đến vật quét được trong
những khoảng thời gian ∆t.
Chu kỳ của chuyển động tròn đều là thời gian cần thiết để vật đi được 1
vòng.

P
M
A
-A
Hình 1.1
7
phẳng quỹ đạo của điểm M, biên độ dài bằng OM, tần số góc bằng tốc độ góc

và pha ban đầu α bằng góc
xOM
ở thời điểm t = 0.
x = A. cos(

t +α)
A =
OM
, α =
xOM

* Chú ý:
Tại t = 0, v
0
< 0 thì
OM
ở trên trục Ox, khi đó α > 0. Ngược lại, v
0
> 0 thì
OM
ở dưới trục Ox, khi đó α < 0.
Thời gian vật dao động từ vị trí x

theo một tính chất nào đó
2.1.1.1. Phƣơng pháp giải
Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa.
Vẽ đường tròn tâm O bán kính
RA
, kẻ trục Ox nằm ngang và đánh
dấu vị trí các điểm x
1
và x
2
. Xác định
cung
12
MM
tương ứng như hình 2.1.
Ta cần tìm góc α do cung
12
MM
chắn. Khi đó
t




Cách 2: Sử dụng toán học thuần túy
Thay x
1
và x





Từ các phương trình trên ta tìm được các họ t
1
và t
2
.
Khi đó thời gian để vật chuyển động từ x
1
đến x
2
là ∆t = t
2
– t
1
.

Hình 2.1
0
α
x
2
x
1
x
A
-A
M

=
2.5
5

1
6




và sinα
2
=
2.5 3
5

2
3




Do đó α = α
1
+ α
2
=
2



  









1
1
π
4π 0.5
3
π
4π  0
3
cos t
sin t

  









M
2
M
1
α
-2.5
2.5
3

-5
5
0
Hình 2.2
10
2
1
π
5. 4π 2,5 3
3
π
20 . 4π0
3


  


















4πt
1
– π/3 = π/6 + k2π


2
1
24 2
k
t 

Để t > 0 thì k = 0, 1, 2, 3… Hay t
2
= 1/24, 13/24
Như vậy ∆t = 13/24 – 5/12 = 0,125 s.
Ví dụ 2: Một vật dao động với phương trình x = 4.cos(2t – π/6) cm. Tìm
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1

2
.
Cách 1
Ta vẽ đường tròn có bán kính 4cm.
Xác định các vị trí x
1
và x
2
như hình 2.3.
Dễ thấy α =
12


Vậy
/12
2 24
t
  

  Cách 2: Thay x
1
vào phương trình li độ ta được:
Hình 2.3
x
0
4







1
1
π
2 0.5
6
π
2 0
6
cos t
sin t
















6
x cos t
v sin t

  





  









2
2
π
2 2 / 2
6
π
4π  0
6
cos t
sin t


+ kπ
Để t > 0 thì k = 1, 2, 3… Hay t
2
=23π/24…
Như vậy ∆t = 23π/24 – 11π/12 =
24

s
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm vật nhỏ có m = 250 g treo
phía dưới một lò xo nhẹ có K = 100 N/m. Từ VTCB kéo vật xuống dưới một
đoạn sao cho lò xo giãn 7.5 cm và thả cho vật dao động điều hòa. Tìm tỉ số
giữa thời gian lò xo nén và thời gian lò xo giãn trong 1 chu kỳ.
Giải
Ở VTCB, lò xo bị giãn một đoạn:
0
0,25.10
100
0.025 2.5 m
m
l
K
m
g
c    

12
Ở vị trí kích thích, lò xo giãn 7.5 cm nên vị trí đó cách VTCB 5 cm. Vì ở
đây vận tốc bằng 0 nên điểm kích thích chính là biên của quỹ đạo chuyển
động.


Do đó thời gian lò xo giãn là:t
g
= T – t
n
=
2
3
T

Như vậy tỉ số giữa thời gian lò xo nén và thời gian lò xo giãn là 2.
Kết luận: Như vậy, bài toán tìm thời gian để vật chuyển động từ x
1
đến
x
2
có thể giải theo nhiều cách. Tuy nhiên việc sử dụng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hòa sẽ giúp ta giải quyết bài toán một
cách nhanh nhất.
2.1.1.3. Các bài tập tƣơng tự
1.Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương
trình x = A.cos(

t – α). Biết khi vật ở VTCB lò xo bị giãn ∆l và thời gian lò
xo giãn gấp 5 lần thời gian lò xo nén. Tìm liên hệ giữa ∆l và A.
2. Một mạch dao động lí tưởng có chu kỳ dao động là T. Tại một thời
điểm điện tích trên tụ là 8.10
-7
C và đang có xu hướng giảm. Sau đó một
0

2.1.2. Cho phƣơng trình dao động của vật: x = A.cos(

t + α). Tìm thời
điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n.
2.1.2.1. Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n khi kể đến chiều
dao động.
2.1.2.1.1. Phƣơng pháp giải
Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động
điều hòa.
Ta xác định vị trí ban đầu của vật
tại thời điểm ban đầu t = 0:
x
0
= Acosα và dấu của v = -

.sinα
Xác định vị trí tương ứng của li độ
trong dao động điều hòa với vật chuyển
động tròn đều. Khi kể đến chiều chuyển
động, mỗi vị trí của x tương ứng với 1 vị
trí của vật chuyển động tròn đều.
Xác định góc α rồi tính thời điểm theo công thức t = α/

.
x
M
0
M
1
α

phải quay thêm 2 vòng nữa, tức là thêm góc 2.2π. Vậy tổng góc quét là 11π/2.
Do đó thời điểm vật đi qua li độ x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 3 là:
11 / 2 11

48


  ts

Cách 2: Thời điểm vật qua vị trí x=2 cm theo chiều dương thỏa mãn:
π
4. 4πt 2
6
π
16 4πt 0
6


  



  









(4πt + π/6) = -π/3 + 2kπ


1
82
k
t



Hình 2.6
x
M
0
M

3π/2
2
-4
4
15
Để t > 0 thì k =1, 2, 3… và theo thứ tự của dãy số thì lần thứ 3 sẽ tương
ứng với k = 3. Do đó t =
11
8
s
2.1.2.2. Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n khi không kể đến
chiều dao động.
2.1.2.2.1. Phƣơng pháp giải

. 2
. 2
tk
tm
   
   
  
  




Theo thứ tự của lần thứ n sẽ ứng với giá trị của k và m. Biết được k hoặc
m thay ngược trở lại ta được thời điểm t cần tìm.

Hình 2.7
α
0
M
2
x
M
0
M
1
x
-A
A
16
2.1.2.2.2. Ví dụ minh họa



4πt π / 6 π / 3 2
4πt π / 6  π / 3 2
k
m


  
  



1
t 0,1 , 2 .
24 2
1
t 1,2,3
82
k
k
m
m
   

   


việc nhầm lẫn giữa các lần.
Chú ý: Từ việc tìm thời điểm vật đi qua li độ x nào đó lần thứ n, một
cách tương tự ta sẽ tìm được thời điểm:
+ Vật nhận vận tốc hay gia tốc nào đó lần thứ n.
+ Động năng bằng một giá trị nào đó của thế năng lần thứ n.
+ Lực phục hồi hay lực đàn hồi nhận giá trị nào đó lần thứ n.
+ Điện áp, cường độ dòng điện, điện tích nào đó lần n.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình
 
x 5cos 4 t / 3


cm. Tính từ lúc khảo sát dao động, vật có độ lớn gia
tốc cực đại lần thứ 2 vào thời điểm nào?
Giải
Từ phương trình chuyển động
chuyển sang phương trình gia tốc ta
được:
a = -80π
2
.cos(4πt - π/3) cm/s
2

Cực đại lần 2 tương ứng với
điểm M
2
trên vòng tròn. So với OM
0

bán kính OM đã quét được góc:


-80π
2
80π
2

18
Khi W
đ
= W
t

thì W = W
đ
+ W
t
= 2W
t


x = ±
2
2
A

Do có 2 tọa độ nên trong một chu
kỳ sẽ có 4 lần động năng bằng thế năng.
Vì vậy ta tách 2014 thành 2012 + 2 để
thời điểm động năng bằng thế năng lần
2014 được tính là: t

7
24
T
s
Vậy
2012
2012 7 12079

4 24 48
  
TT
ts

Kết luận
* Khi tính đến chiều dao động, thời điểm vật qua tọa độ x* theo một
chiều nào đó lần thứ n sẽ được tính bằng công thức:
t
n
= t
1
+ (n – 1).T
* Khi không tính đến chiều dao động, thời điểm vật qua tọa độ x* nào đó
lần thứ n sẽ được tính bằng công thức:
+ Nếu lần n là số lẻ thì: t
n
= t
1
+
n
2





0
Hình 2.10
19
Trong đó:
t
1
là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ nhất.
t
2
là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ hai.
T là chu kỳ dao động.
2.1.2.3. Các bài tập tƣơng tự
1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4.cos(4πt + π/6) cm. Tìm
thời điểm thế năng gấp 3 lần động năng lần thứ 2015?
2. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 7.cos(5πt + π/3) cm. Tìm
thời điểm để lực phục hồi có giá trị cực đại lần thứ 2?
3. Dao động điều hòa của một vật có phương trình x = 2.cos(10πt - π/3)
cm. Hỏi lần thứ 10 vật qua li độ x = - 1 cm đang tiến về VTCB vào thời điểm
nào?
4. Dòng điện xoay chiều qua một đoạn mạch RLC nào đó có biểu thức I
= I
0
cos(100πt – π/3) A. Tìm thời điểm để cường độ dòng điện có giá trị bằng
giá trị hiệu dụng lần thứ 2013 và 2014?
2.1.3. Cho phƣơng trình dao động của vật: x = A.cos(


.x
1.

Vì cứ sau nguyên lần chu kỳ thì vật quay về vị trí cũ.
+ Nếu giá trị đó là một số nguyên lẻ thì sẽ có kết quả: x
1
= - x
2
và
v
2
= - v
1
. Gia tốc a =

2
.x
1
và lực F = K.x
1
= m.
2

.x
1
.
20
Vì cứ sau bán nguyên lần chu kỳ thì độ lớn không thay đổi nhưng thay
đổi về dấu.
+ Nếu không rơi vào số nguyên thì ta sẽ dùng một trong hai cách sau:


.( ∆t) + α] = A.cos(

.t + α 

.∆t)
Dấu (-) là thời điểm trước và (+) là thời điểm sau.
Khi đó vận tốc của vật sẽ được tính theo biểu thức:
2
22
2
2
2
v
Ax



Gia tốc và lực sẽ được tính theo biểu thức: a = -

2
.x
2

và F = - K.x
2
= - m.
2

.x