PHẦN I - MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với
những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có nhiều ý kiến
cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự
trừu tượng của ngôn từ và hình ảnh. Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT
đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là
môn hình học không gian . Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán,
tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các
trường hợp củ thể từ các bài toán đơn giãn. Qua quá trình thực hiện tôi thấy từ
phương pháp này giúp các em giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt
phẳng một cách dễ dàng hơn và từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương
pháp giải các bài toán khác và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian
nhiều hơn.
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này.
PHẦN II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
1. Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó ”.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản).
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc với c
và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c.
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với những
bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác định được
các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán .
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba trường
hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp.
1
B. CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP CỦA BÀI “ TOÁN TÌM GÓC GIỮA HAI MẶT

+ 2a
2
= 4a
2

AB
2
= 4a
2
.
⇒ AC
2
+ CB
2
= AB
2
⇒ AC ⊥ CB (2).
Từ (1) và (2) ⇒ (SAC) ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB (3).
Từ (2) và (3) ⇒ góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Nhận xét.
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) là:
2
S
A
B
C
D
I
1. A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA

B
C
D
H
C
S
A
B
D
O
H
⇒
)(ABCDSO
BDSO
ACSO
⊥⇒



⊥
⊥
.
[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH ⊥ BC tại H (1).
⇒ (SOH) ⊥ BC
⇒ SH ⊥ BC (2).
Từ (1) và (2) ⇒ góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD).
I.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (

Bài 2. Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 60
0
, SA = SB
= SD =
2
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
II- TRƯỜNG HỢP 2.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của
hình chóp.
II.1. Các bài toán.
Bài toán 2.1.
4
S
A
I
B
C
D
Hình chóp S.ABCD có ΔSAB, ΔSAD đều. Xác
định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Theo giả thiết ΔSAB, ΔSAD đều.



⊥
⊥
⇒

I
S
A
B
C
D
K
Hình chóp S.ABCD. Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SDC).
Ta thấy, bài tập này không có điều kiện gì đặc
biệt để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt
phẳng vuông góc với SC tại một điểm. Vì vậy ta
giải như sau.
Giải:
Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH ⊥ SC tại H.
Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH ⊥ SC tại H cát
DC tại K.
⇒ góc BHK là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
II.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
) trong đó a = (
α
)
∩
(
β
) là một cạnh

Bài toán 3.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Xác định
góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
6
S
K
H
A
B
C
D
S
x
A
H
B
C
K
D
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S và
AB // CD.
Qua S dựng Sx // AB (//CD).
⇒
Sx = (SAB) ∩ (SCD).
Dựng SH ⊥ AB
⇒
SH ⊥ Sx.
⇒ góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
Dựng SK ⊥ CD

β
).
III.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp bằng
2
a
. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không
gian sao cho SO ⊥ (ABCD), SO = h. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD). Tính h theo a để (SAB) ⊥ (SCD).
7

8
PHẦN III – KẾT LUẬN.
Sau khi tổ chức dạy học theo phương đề xuất trên ở lớp 11A2 với n
1
= 46 học
sinh (HS) và khi dạy học phương pháp của sách giáo khoa hình học 11 - ban cơ
bản ở lớp 11A4 với n
2
= 36 HS, rồi tổ chức kiểm tra như nhau ở hai lớp ta thu
được kết quả sau:
Bảng 1
x
i
- Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Từ bảng 1 ta tính được các thông số thống kê.
* Tính trị trung bình số học: Công thứ tính
n
xf

n
Xxf
ii
Ta có các bảng số liệu sau:
Bảng 2
Lớp
x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
i
∑
i
f
=
x
i
f
i
∑
ii
fx
=
(x
i
-
1
X
)
(x

i
∑
ii
fx
=
(x
i
-
2
X
)
9
(x
i
-
2
X
)
2
(x
i
-
2
X
)
2
f
i
∑
=

m
d
d
∂
+
∂
−
=
+
−
=

Ta có: t =.
Kết luận :
• Từ kết quả thực nghiệm và những tính toán ở trên ta thấy có sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
).
• Giả sử sự sai lệch giữa
1
X

>
2
X
) là
không thực chất (tức là do ngẫu nhiên mà có) với mức ý nghĩa α = 0.05 = 5%.
• Gọi H
1
là đối giả thiết: Sự sai lệch giữa
1
X
và
2
X
(cụ thể
1
X
>
2
X
) là thực
chất (tức là do tác động của phương pháp mới mà có, chứ không phải do ngẫu
nhiên mà có).
• Theo các tính toán ở trên ta có:
+ Độ tin cậy t theo các số liệu thực nghiệm: t = 2.88
• Với N = 46 + 36 -2 = 80 và mức ý nghĩa α = 0.05 = 5% tra trên bảng Student
(dạng II), ở cột N = từ 63 đến 175, ta được t
α
= 2.0 , với xác suất tương ứng 95%.
• Với giá trị thực nghiệm t = 2.88, như vậy ta có kết quả so sánh: t > t
α