ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ NGỌC THỦY
CƠ SỞ GR
¨
OBNER
VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ NGỌC THỦY
CƠ SỞ GR
¨
OBNER
VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Tạ Duy Phượng
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Chương 1. Cơ sở Gr
¨
obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.Cấu trúc đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Lý thuyết cơ sở Gr
¨
obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảng thập
kỉ 60 của thế kỉ 20, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân của ngành Đại số
máy tính (Computer Algebra) và là một công cụ hữu hiệu trong rất nhiều
bài toán cơ bản của Đại số giao hoán, Hình học đại số. Dưới sự hướng dẫn
của Giáo sư Wolfgang Gr
¨
obner, năm 1965, Bruno Buchberger đã đưa ra
thuật toán Buchberger trong luận án tiến sĩ của mình. Điểm mấu chốt khởi
đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng
thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiều
biến. Cơ sở Gr
¨
obner về phương diện lý thuyết còn được khẳng định bằng
việc cung cấp chứng minh cho ba định lý của Hilbert: Định lý Hilbert về
cơ sở, Định lý Hilber t về xoắn và Định lý Hilbert về không điểm.
Trong các ứng dụng gần gũi nhất của lý thuyết cơ sở Gr
¨
obner, chúng tôi
quan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức. Thực chất việc tìm cơ sở
Gr
¨
obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trình ban đầu
về một hệ phương trình mới có dạng tam giác. Từ đó ta tìm được nghiệm
của hệ. Dưới góc độ của một giáo viên phổ thông, hy vọng đề tài này sẽ
đem đến cho chúng tôi cơ hội được học hỏi thêm nhiều hơn các công cụ
toán học hiện đại, góp phần soi sáng cho những nội dung liên quan trong

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học khoa
học - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học đã tận tâm
giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Bạch Đằng -
Hải Phòng, nơi tác giả đang công tác, các đồng nghiệp, gia đình và bạn
bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học
tập.
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Cơ sở Gr
¨
obner
1.1. Cấu trúc đại số cơ bản
1.1.1. Vành
Định nghĩa 1.1.1 Vành là một tập hợp R = /0 được trang bị phép toán
cộng “+”: (a,b) →a +b và phép toán nhân “.”: (a,b) →a.b thỏa mãn các
tính chất sau:
(i) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán.
(ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức là với mọi a, b,c ∈ R:
a.(b.c) = (a.b).c
(iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là a,b, c ∈ R:
a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a.
Phần tử "không" của vành được kí hiệu là 0. Để cho tiện, thông
thường ta viết ab thay cho tích a.b. R được gọi là vành có đơn vị nếu nó
chứa phần tử 1 thỏa mãn a1 = 1a = a với mọi a ∈ R. Khi cần nhấn mạnh
vành R ta dùng kí hiệu 0
R
,1

1.1.2. Ideal
Định nghĩa 1.1.5 Cho R là một vành. Tập con I = /0 của R được gọi
là iđêan nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Với mọi a, b ∈ I, a + b ∈ I.
(ii) Với mọi a ∈I và r ∈ R, ra ∈I.
Ví dụ :
1. Mọi vành R đều chứa iđêan tầm thường I = 0 và chính nó I = R .
2. Tập nZ là các iđêan trong vành Z.
Định nghĩa 1.1.6 Ta gọi là đêan trái (iđêan phải) của một vành R, là
một vành con A của R thỏa mãn điều kiện x a ∈ A(ax ∈ A) với mọi a ∈ A
với mọi x ∈ R. Một vành con A của vành R gọi là một iđêan của R nếu và
chỉ nếu A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của R.
Định lý 1.1.7 Một tập A khác rỗng của một vành R là một iđêan của
R nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) a −b ∈ A với mọi a,b ∈ A.
(ii) xa ∈ A, ax ∈ A với mọi a ∈A và mọi x ∈ X.
Ví dụ :
1. Tập
{
0
}
và X là hai iđêan của vành X.
2. Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước.
Định lý 1.1.8 Giao của một họ bất kì những iđêan của một vành R là
một iđêan của R.
Định lý 1.1.9 Giả sử X vành giao hoán có đơn vị và a
1
,a
2
, ,a

1.1.3. Trường
Định nghĩa 1.1.10 Ta gọi trường là một miền nguyên R trong đó mọi
phần tử khác 0 đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân R. Vậy một
vành R giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường nếu
và chỉ nếu R\
{
0
}
là một nhóm đối với phép nhân của R.
Ví dụ :
Tập hợp Q các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân các số là
một trường. Ta cũng có trường số thực R và trường số phức C.
Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X
ổn định đối với hai phép toán trong X. A gọi là một trường con của trường
X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường.
Định lý 1.1.12 Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử
của một trường X. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i). A là một trường con của trường X.
(ii). Với mọi x,y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x
−1
∈ A nếu x = 0.
(iii). Với mọi x,y ∈A, x −y ∈ A, xy
−1
∈ A nếu y = 0.
Ví dụ :
1 . X là một trường con của trường X. Bộ phận
{
0
}
không phải là

= 0 thì đơn thức được kí hiệu
là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau

x
a
1
1
x
a
n
n


x
b
1
1
x
b
n
n

= x
a
1
+b
1
1
x
a

là đồng dạng với nhau.
Để cho tiện ta kí hiệu x = (x
1
, x
n
), a = (a
1
, ,a
n
) ∈ N
n
và
x
a
= x
a
1
1
x
a
n
n
. Đa thức n biến x
1
, ,x
n
trên vành R là một tổng hình thức
của các từ:
f (x) =
∑

a
x
a
được xem là
bằng nhau nếu α
a
= β
a
với mọi a ∈N
n
.
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

∑
a∈N
n
α
a
x
a

+

∑
a∈N
n
β
a
x
a

α
a
x
a

+

∑
a∈N
n
β
a
x
a

=
∑
a∈N
n
γ
a
x
a
,
trong đó γ
a
=
∑
b,c∈N
n

1
1
x
a
n
n
trên R như là
từ

αx
a
1
1
x
a
n
n

x
a
m+1
m+1
trên vành R[x
1
, ,x
n
], có thể xem R[x
1
, ,x
n

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.2.3 Bậc tổng thể của đa thức f (x) =
∑
a∈N
n
α
a
x
a
là số
deg f (x) = max
{
a
1
+ + a
n
|
α
a
= 0
}
Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường. Đôi
khi bậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng gọi tắt là bậc, nếu như không
có sự hiểu nhầm nào xảy ra.
Chú ý 1.2.4
1. Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0. Bậc tổng thể của đa thức 0
được quy ước là một số tùy ý.
2. Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các biến,
chẳng hạn

1
, ,x
m
].
1.2.2. Định lý Hilber về cơ sở
Định nghĩa 1.2.5 ChoR là một vành giao hoán, có đơn vị là 1. Các
điều kiện sau là tương đương:
(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan
hệ bao hàm).
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R
I
1
⊆ I
2
⊆ ⊆ I
n
⊆ I
n+1
⊆
là dừng, tức là tồn tại k để I
k
= I
k+1
=
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh, tức là với mọi iđêan I ⊆ R tồn tại
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
1
, f

(i) h chia hết f
1
, , f
n
nghĩa là f
1
= q
1
g, , f
n
= q
n
g; q
1
, ,q
n
∈ K [x].
(ii) Nếu h là đa thức khác chia hết f
1
, , f
n
thì h chia hết g.
Trong trường hợp đó ta viết g = UCLN ( f
1
, , f
n
).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.2.11 Các đa thức f

1
, , f
n
) = UCLN (UCLN ( f
1
, , f
n−1
), f
n
).
Chứng minh. Xét Ideal I = ( f
1
, , f
n
). Theo hệ quả 1.2.8 tồn tại g ∈ K [x]
sao cho I = (g). Vì f
i
∈ (g), (i = 1, ,n) nên f
i
chia hết cho g. Giả sử h
chia hết cho f
1
, , f
n
, tức là f
1
= q
1
h, , f
n

= s
1
q
1
h + + s
n
q
n
h = (s
1
q
1
+ + s
n
q
n
)h,
chia hết cho h. Như vậy g = UCLN ( f
1
, , f
n
). Nếu g

là một ước chung
lớn nhất khác của f
1
, , f
n
thì g và g


n
).
Mặt khác, lại theo (ii) ta có:
( f
1
, , f
n−1
, f
n
) = (UCLN ( f
1
, , f
n
)).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do đó (g, f
n
) = (UCLN ( f
1
, , f
n
)). (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
UCLN ( f
1
, , f
n
) = UCLN (g, f
n

y
4
,x
4
y
3
,x
5
y
2

.
Bổ đề 1.2.14 Cho I = (x
a
; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức x
b
∈ I
khi và chỉ khi x
b
chia hết cho một đơn thức x
a
với a ∈A nào đó.
Chứng minh. Nếu x
b
chia hết cho một đơn thức x
a
với a ∈A thì x
b
∈I theo
định nghĩa của iđêan. Ngược lại nếu x

là tương đương:
(i) f ∈ I.
(ii) Mọi từ của f thuộc I.
(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Rõ ràng ta có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Để chứng minh (i) ⇒ (iii)
ta cũng có nhận xét giống bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho x
a
với
a ∈ A nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho x
a
lại thuộc I. Do đó mỗi từ
của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử K, tức là có (c).
Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức
của nó. 
Bổ đề 1.2.16 (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (x
a
;a ∈ A)
bao giờ cũng viết được dưới dạng I =

x
a(1)
, ,x
a(s)

, trong đó
a(1), ,a(s) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn sinh.
1.3. Cơ sở Gr
¨

sắp hoàn toàn.
Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa
trên được gọi là giả thứ tự (bộ phận, toàn phần).
Ví dụ
1. Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R là một thứ tự
toàn phần.
2. Kí hiệu P (X) là tập tất cả các tập con của X. Quan hệ bao hàm ⊆
là thứ tự bộ phận trên P(X).
3. Quan hệ chia hết là thứ tự bộ phận trên N, nhưng chỉ là giả thứ tự
bộ phận trên Z.
Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự . Phần tử
a ∈ X gọi là phần tử tối tiểu (phần tử tối đại) nếu quan hệ x  a (x  a)
kéo theo x = a. Phần tử a ∈ X gọi là phần tử nhỏ nhất (phần tử lớn nhất)
của X nếu, với mọi x ∈ X, ta có a  x (x  a).
Phần tử b là chặn trên (chặn dưới) của X nếu với mọi a ∈ X ta có
a  b (b  a).
Tập X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và
mọi tập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Khi đó ta nói thứ tự
tương ứng là thứ tự tốt.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.3.3 Thứ tự từ  là một thứ tự toàn phần trên tập M tất
cả các đơn thức của K [x] thỏa mãn tính chất sau:
(i) Với mọi m ∈M, 1  m.
(ii) Nếu m
1
,m
2
,m ∈ M mà m
1

> > m
n
trong A, ta lại tìm được m
n+1
∈ A sao cho
m
n
> m
n+1
. Bằng quy nạp ta xây dựng được một dãy vô hạn các đơn thức
thực sự giảm.
Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì dãy đó
không có phần tử nhỏ nhất. Vì vậy thứ tự đã cho không phải là thứ tự tốt.

Bổ đề 1.3.5 Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngược lại, mọi thứ tự tốt trên M
thỏa điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.3.3 là thứ tự từ.
1.3.2. Một số thứ tự từ
Cho  là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết:
x
1
> x
2
> > x
n
.
Định nghĩa 1.3.6 Thứ tự từ điển là thứ tự 
lex
, xác định như sau:
x
α

n
) là
một số âm. Nói cách khác, nếu tồn tại 0  i  n sao cho α
1
= β
1
, ,α
i
= β
i
,
nhưng α
i+1
< β
i+1
.
Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp trong từ điển, và do đó có
tên gọi như vậy.
Định nghĩa 1.3.7 Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự 
glex
xác định
như sau:
x
α
1
1
x
α
n
n

n
n

glex
x
β
1
1
x
β
n
n
nếu α
1
+ + α
n
<
β
1
+ + β
n
hoặc α
1
+ + α
n
= β
1
+ + β
n
và x


r lex
x
β
1
1
x
β
n
n
nếu hoặc với mọi 0  i  n có α
i
= β
i
hoặc
deg

x
α
1
1
x
α
n
n

< deg

x
β

thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của vectơ (α
1
−β
1
, ,α
n
−β
n
)
là một số dương. Nói cách khác, x
α
1
1
x
α
n
n

r lex
x
β
1
1
x
β
n
n
nếu α
1
+ +α

thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngược một cách
duy nhất sau khi xác định một thứ tự giữa các biến. Chẳng hạn khi nói về
thứ tự từ điển trong vành K [x,y,z] với x > y > z có nghĩa xem x như x
1
, y
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
như x
2
, z như x
3
, rồi áp dụng định nghĩa 1.3.6. Tương tự, nếu ta muốn có
một thứ tự khác giữa các biến x
1
, ,x
n
(chứ không phải x
1
> > x
n
), thì
phải thay đổi các định nghĩa trên một cách tương ứng.
2. Có thể kiểm tra ngay là thứ tự từ điển ngược không thể nhận được
từ thứ tự từ điển phân bậc bằng cách đổi chỉ số các biến.
1.3.3. Từ khởi đầu, đơn thức đầu
Kí hiệu R = K [x] = K[x
1
, ,x
n
] và M là tập đơn thức của nó.

giá trị tùy ý).
Ví dụ:
Cho f = x
3
y
2
z +5x yz −3x
4
+ 7yz
3
−2y
6
+ z
4
. Viết theo thứ tự các từ
giảm dần, ta có:
a. Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z :
f = −3x
4
+ x
3
y
2
z + 5xyz −2y
6
+ 7yz
3
+ z
4
và in

2
z −3x
4
+ 7yz
3
+ z
4
+ 5xyz và in
r lex
( f ) = −2y
6
.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bổ đề 1.3.11 Cho f ,g ∈ R và m ∈ M. Khi đó:
(a) in( f g) = in( f )in(g).
(b) in(m f ) = m in( f ).
(c) lm( f + g)  max
{
lm( f ) ,lm(g)
}
. Dấu < xảy ra khi và chỉ khi
in( f ) = −in(g).
Chứng minh. Vì in(m) = m nên (b) được suy ra từ (a). Để chứng minh
(a) và (c), giả sử
f = in( f ) +
∑
m
i
; m

n
j
.
Ta có in ( f ) > in (g) > n
j
nên in ( f ) > n
j
. . Theo định nghĩa từ khởi đầu
lại có in( f ) > m
i
. Vậy từ in ( f ) lớn nhất trong tổng trên và không giản ước
được với các từ khác, nên
lm( f + g) = lm ( f ) = max
{
lm( f ) ,lm(g)
}
.
Nếu lm( f ) = lm(g) và lc( f ) = −lc (g) thì
f + g = (lc ( f ) + lc (g))lm( f )+
∑
m
i
+
∑
n
j
.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do lc( f ) +lc (g) = 0 và lm ( f ) > m

Chú ý 1.3.12 Bất đẳng thức ở khẳng định (c) ở trên cũng thường
được viết dưới dạng:
in( f + g)  max
{
in( f ),in(g)
}
,
trong đó khi lm ( f ) = lm(g) thì max
{
in( f ),in(g)
}
được hiểu như là αlm( f )
với 0 = α ∈ K nào đó.
1.3.4. Ideal khởi đầu
Định nghĩa 1.3.13 Cho I là iđêan khởi đầu và  là một thứ tự từ.
Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu là in

(I), là iđêan của R sinh bởi các từ khởi
đầu của các phần tử của I, nghĩa là
in

(I) = (in

( f )
|
f ∈ I ).
Cũng như trên ta sẽ viết in(I) thay vì in

(I) nếu  đã rõ.
Chú ý 1.3.14 Thấy rằng in( f ) và lm ( f ) chỉ khác nhau bởi một hằng

obner của I đối với thứ tự từ , nếu
in

(I) = (in

(g
1
), ,in

(g
s
)).
Tập g
1
, ,g
s
∈ I được gọi là một cơ sở Gr
¨
obner, nếu nó là cơ sở Gr
¨
obner
của iđêan sinh bởi chính các phần tử này.
Từ Bổ đề Dickson 1.2.15 suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Gr
¨
obner (hữu
hạn). Chú ý rằng trong luận văn này ta luôn hiểu cơ sở như một hệ sinh.
Bổ đề 1.3.17 Cho G là cơ sở Gr
¨
obner của iđêan I đối với một thứ
tự từ nào đó. Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g

g
}
)) = in (I).
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Theo định nghĩa, từ đó suy ra G\
{
g
}
cũng là một cơ sở Gr
¨
obner của I. 
Bổ đề 1.3.18 Cho I là một iđêan tùy ý của R. Nếu g
1
, ,g
s
là cơ sở
Gr
¨
obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g
1
, ,g
s
là cơ sở của I.
Chứng minh. Đặt J = (g
1
, ,g
s
) ⊆ I. Vì
in(I) = (in (g

= xy −y
3
. Cho x > y,
khi đó in

lex
( f
1
) = in

lex
( f
2
) = xy, nên
{
f
1
, f
2
}
không là cơ sở Gr
¨
obner
của I đối với 
lex
, vì in

lex
(I) = I. Tuy nhiên in


2
là
cơ sở Gr
¨
obner của I đối với thứ tự từ điển phân bậc, cũng như đối với thứ
tự từ điển ngược.
2. Cho I = ( f
1
, f
2
) ⊆ K [x,y], trong đó f
1
= x
3
−2xy và f
2
= x
2
y −
2y
2
+ x. Xét thứ tự từ điển phân bậc hoặc thứ tự từ điển ngược. Khi đó
in( f
1
) = x
3
, in ( f
2
) = x
2

¨
obner của I. Thật vậy, mọi phần tử
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 = f ∈ I có dạng f = g.(x + y) + h.(y + z). Nếu in( f ) không chứa x và
y thì f chỉ chứa biến z, tức là f = f (z). Thay x = z và y = −z vào biểu
diễn vừa nêu của f , ta có f = f (z) = g (z,−z,z).0 + h (z,−z,z).0 = 0,
vô lý. Vậy in ( f ) ∈ (x,y) = (in(x + y),in(y + z)), hay x + y,y + z là cơ sở
Gr
¨
obner của I đối với thứ tự từ điển.
Như trên ta thấy việc kiểm tra một cơ sở của I có phải cơ sở Gr
¨
obner
của I không dễ ngay trong trường hợp iđêan I đơn giản. Ngay cả khi cố
định một thứ tự từ thì cơ sở Gr
¨
obner không xác định duy nhất, bởi vì khi
thêm một số phần tử vào cơ sở Gr
¨
obner đã biết, thì sẽ được một cơ sở
Gr
¨
obner mới. Bởi vậy ta cần khái niệm sau:
Định nghĩa 1.3.19 Cơ sở Gr
¨
obner tối tiểu của I đối với một thứ tự từ
đã cho là một cơ sở Gr
¨
obner G ⊂ I thỏa mãn các tính chất sau:

f
1
= x
3
−2xy, f
2
= x
2
y −2y
2
+ x, f
3
= −x
2
, f
4
= −2xy, f
5
= −2y
2
+ x.
Đầu tiên ta nhân các phần tử sinh với các hằng số thích hợp để được hệ
số đầu bằng 1. Thấy rằng in( f
1
) = x
3
= −x.in ( f
3
), theo bổ đề 1.3.17
ta có thể loại f