Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008
Chuyên đề
từ định lý viét đến giải
một số bài toán
về bất đẳng thức

Ngòi trình bày Phạm văn thơ
đơn vị Tổ : khoa học tự nhiên
Trơng : thcs quang trung

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
1
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
A- Đặt vấn đề :
* Chúng ta đã biết rằng dạy toán là dạy cho ngời học để có năng lực trí tuệ,
năng lực này sẽ giúp cho ngời học tiếp thu các kiến thức khác về tự nhiên
và xã hội , vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm đ-
ợc những kiến thức , những khái niệm , những định lý toán học
Điều quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ . Năng lực sẽ đ-
ợc hình thành và phát triển trong hoạt động . Phát triển năng lực chung quy
cũng là để tích cực độc lập , sáng tạo ở những nội dung toán học đợc nghiên
cứu.
*Trong xu thế chung của những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy
học là vấn đề cấp bách thiết thực nhất , nhằm đào tạo những con ngời có
năng lực hoạt động trí tuệ tốt . Đổi mới phơng pháp không chỉ trong giờ
giảng lý thuyết , mà ngay cả trong các giờ luyện tập . Luyện tập ngoài việc
rèn luyện kĩ năng tính toán , kĩ năng suy luận cần có những bài tập mở , đ-
ợc sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức một
cách năng động và sáng tạo .
* Trong chơng trình đại số lớp 9 .Định lý Viét là một phần kiến thức cơ

2
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
thạo các thao tác t duy phân tích , tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá . . .
Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh
có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán đợc các kết
quả , tìm đợc hớng giải quyết một bài toán ,hớng chứng minh một định lý . . . . .
- Hình thành và phát triển t duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán
cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều
năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng
nh ngoại khoá
Cơ sở thực tiễn :
- Hiện nay trong nhà trờng phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lời
học , lời t duy trong quá trình học tập .
- Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có những hoạt động đích
thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm
qua các trờng trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi
mới phơng pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 .
Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới
chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .
Định lý Viét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận
dụng vào giải quyết các bài tập .
- Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã đợc học trong sách giáo khoa vào
giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận
dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao .
Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai x
2
- 2(m - 1)x - 3- m = 0
( với x là ẩn , m là tham số )

Tìm m sao cho nghiệm x

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
3
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
I / B ớc thứ nhất :
Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức
mới :
1. Nội dung của sách giáo khoa đã biết :
Định lý Viét : Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình a x
2
+bx +c =0 (a0)
thì tổng và tích hai nghiệm đó là
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a


+ =




bài tập nói trên .
II/ B ớc thứ hai :
Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong
cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức đã học .
Bài số 1: Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x - 3 - m = 0
Tìm m sao cho số nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn điều kiện
x
1
2
+ x
2
2
10
Xét
2
, 2 , ,
1 15
( 1) ( 3)
2 4
m m m

= + + = +
ữ


+ x
2
2
10
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
4
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

( )
( ) ( )
2
1 2 1 2
2
2
2
2
2 10
4 1 2 3 10
4 6 0
3 9 9
2 16 16
3 9
4 16
3 3
4 4
3 3
3
4 4
2
3 3









Bài số 2 : Cho các số thực x , y , z khác không và thoả mãn điều kiện
x+y+z = xyz ; x
2
= yz
Chứng minh rằng : x
2
3
Giải
GV: Cho học sinh thấy đợc khi chuyển vế đợc
3
2
2
.
.
y z xyz x
y z x x
y z x
y z x
+ =

+ =


- 4] (2)
vì (1) có nghiệm nên 0
do x 0 nên từ (2) (1- x
2
)
2
- 4 0 (1- x
2
)
2
4
1-x
2
-2 x
2
3 (đpcm)
- Nếu bài toán trên giải theo cách khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều . Do
đó việc sử dụng định lý Viét là một cách giải hay đối với bài toán này .
Các em học sinh qua đó càng thấy đợc để giải một bài toán chúng ta có
nhiều cách giải khác nhau nhng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn
và chính xác .
Bài số 3 :
Các số thực x ,y ,z thoả mãn điều kiện x + y + z = 5 và yz +xz + xy = 8
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
5
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
Chứng minh rằng :
7 7 7
1 ;1 ;1
3 3 3

- 5x+ 8) 0
từ đó suy ra
7
1
3
x

vì vai trò của x , y , z nh nhau nên ta cũng có

7 7
1 ;1
3 3
y z


Bài số 4 :
Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
+ kx + a = 0 ( a 0)
Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức
3 3
1 2
2 1
( ) ( ) 52
x x
x x
nhng
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 1 1 2 1 2
( ) 2
2
x x x x x x k
x x x x x x a
x x
+
+
+ = = =
( định lý Viét)
Do đó
3 3
2 2
2
1 1
2 2
2 ( 2) 3 52
x x k k
x x a a


+ =



do a > 0 nên suy ra k
2
[6a . Bởi vậy ta có
6 6a k a

Vậy a < 0 , k là số thực bất kì hoặc
0
6 6
a
a k a
>







Bài số 5 :
Cho a 0 . Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình :
2
2
1
0
2

4
+ x
2
4
= ( x
1
2
+ x
2
2
)
2
- 2(x
1
x
2
)
2
= {( x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
}
2

1 1 1
2 2 2
a a a
a
= = =
Bài số 6 :
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình :
2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m +3 = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
|
Giải
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
7
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
Ta có :

m m
x x
+ = +


+ +
=


Nên A = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
| = |x
1
x
2
- 2(x
1
- x
2
)|

( ) ( ) ( )
2
2

m
=
Tìm giá trị nhỏ nhất của bbiểu thức A = x
1
4
+ x
2
4

Giải
Xét phơng trình
2
2
1
0x mx
m
=
(m 0)
Ta có : =
2
2
4
0 0m m
m
+ >
Theo định lý Viét ta có :
1 2
1 2
2
1

1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
}
2
- 2(x
1
x
2
)
2

SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
8
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
=
2
2 4
2 4 4 4
2 1 4 2
2. 4m m
m m m m

+ = + +

- a
2
x + a +1= 0 . có nghiệm nguyên .Giải
Xét phơng trình : x
2
- a
2
x + a +1 = 0 (1)
Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm nguyên của phơng trình (1)
ta có
2
1 2
1 2
(2)
. 1(3)
x x a
x x a

+ =

= +

( x

Thử lại ta thấy a = 2 thoả mãn yêu cầu của đề bài .
Bài số 9 :
Cho x + y + z = 3 (1)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x
2
+ y
2
+ z
2

b. Tìm giá trị lớn nhất của : B = xy + yz + zx
Giải
a - Từ đẳng thức (1) x + y = 3 - z .
từ A = x
2
+ y
2
+ z
2
A = ( x + y + z )
2
- ( xy + yz + zx )
A = 9 - 2xy -2(3 - z).z xy =
2
9 6 2
2
z z A
+
áp dụng định lý Viét ta có x ,y là nghiệm của phơng trình :
X

- 6z + 9 - 2A 0
Xét
z
= 9 - 27 + 6A = - 18 + 6A
Vì x , y là nghiệm của (*) suy ra z tồn tại
z
0 A 3
Vậy A
min
= 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1
b - Giải tơng tự :
III . B ớc thứ ba : Bài tập vận dụng
Với mục đích là đa ra các bài tập trong đó có áp dụng kiến thức về định lý
Viét để giải , giúp học sinh tự luyện tập , rèn luyện t duy độc lập sáng tạo
trong lời giải :
Bài tập 1 :
Cho phơng trình bậc hai 2x
2
+ 6x + m = 0
Với giá trị nào của tham số m . Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2

thoả mãn
1 2
2 1
2
x x
x x

4
3
và 0 c
4
3
Bài tập 4 :
Giả sử x
1
và x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
+ 2kx +4 = 0
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x

+
ữ ữ

Bài tập 5 :
Cho x , y , z R thoả mãn điều kiện
2 2 2
5
9
x y z

Cho a 0 Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình :

2
2
1
0x ax
a
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x
1
4
+ x
2
4

D . Kết luận :
+ Qua phần trình bày trên đây ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh các
bất đẳng thức , hay tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất , chúng ta thấy đợc
định lý Viét có vai trò quan trọng khi áp dụng để giải phơng trình bậc hai
.Ngoài ra chúng ta còn thấy đợc khi sử dụng định lý Viét vào giải các bất
đẳng thức đợc dễ dàng hơn và đặc biệt là giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về
định lý Viét . Những bài tập này giúp cho học sinh rèn t duy và kĩ năng biến
đổi , áp dụng kiến thức đã biết.
Thử nghiệm tôi đã thu đợc kết quả nh sau :
khi cha thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cả
bài tập số 1 là bài tập tơng đối dễ mà 100% học sinh không định hớng

tập áp dụng và bài tập nâng cao , từ đó xây dựng thành những chuyên đề
nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập t duy , khái quát hoá những kiến
thức . từ đó mà năng lực trí tuệ của các em mới đợc rèn luyện và nâng cao.
Trong chơng trình không phải nội dung kiến thức nào cũng có những kiến
thức lý thuyết bổ xung nằm tiềm ẩn bên trong nh bài định lý Viét . Xong
cũng có rất nhiều đơn vị kiến thức làm đợc nh vậy . Điều quan trọng hơn cả
là ở tâm huyết của ngời giáo viên đối với nghề nghiệp .
Chỉ qua một ví dụ về bài định lý Viét ta thấy đã rút ra nhiều điều bổ ích cho
việc giải bài tập về bất đẳng thức , tìm cực trị
Nếu chúng ta tiến hành nh vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc
chắn kết quả giáo dục ngày càng đợc nâng cao , đào tạo đợc nhiều nhân tài
cho đất nớc đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học .
SKKN__phạm Thơ_THCS Quang Trung
12
Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức
Mục lục
A . Đặt vấn đề : Trang 2
B . Cơ sở khoa học : Trang 3
C . Giải quyết vấn đề : Trang 5
D . Kết luận : Trang 12
E . Bài học rút ra : Trang 13

Tài liệu tham khảo

Nâng cao và phát triển toán 9 ( Vũ Hữu Bình)
Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu Trần Luận)
23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng)
Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thợng)
Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ
Nhận xét của tổ chuyên môn