ĐẠI

HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀNG MINH KHAI

ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG NHIỀU
CHIỀU VÀO BÀI TOÁN ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG
ĐÀO TẠO Ở TRƯỜNG THPT Chuyên ngành
:

Xác suất – Thống kê

Mã ngành
:
60 46 15

trường.
Tôi cũng chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc Bộ môn xác suất thống kê,
Phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh ñã
tạo ñiều kiện thuận lợi ñể tôi hoàn thành chương trình học cũng như trong quá trình
làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn các anh chị, bạn bè lớp Cao học Toán khóa 17 ñã ñộng viên và nhiệt
tình giúp ñỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn ñến gia ñình tôi, những người ñã hết lòng lo
lắng và luôn ở bên tôi trong những lúc khó khăn nhất.
Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu
xót, tôi rất mong ñược sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các
bạn bè ñồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010.

Đàng Minh Khai
-ii-
TÓM TẮT

Luận văn nêu cơ sở lý thuyết hai phương pháp phân tích số liệu ñịnh lượng nhiều
chiều:
Phân tích thành phần chính
Phân tích nhân tố
Qua ñó, luận văn ñi vào nghiên cứu nhằm xác ñịnh chất lượng ñào tạo tác ñộng
ñến sự hài lòng của học sinh Trường THCS và THPT Nguyễn Khuyến, với mẫu dữ liệu
thu thập ñược từ 517 học sinh của trường.
Trong mô hình phân tích số liệu nghiên cứu nói trên, các chỉ báo của khái niệm
chất lượng ñào tạo bao gồm: dịch vụ, ñào tạo và vật chất.

1.1.3. Ma trận tương quan 9
1.2 Quán tính 10
1.2.1 Quán tính và momen quán tính 10
1.2.2 Momen quán tính của một cá thể ñối với một trục 11
1.2.3. Trục quán tính chính của một cá thể. Mặt phẳng quán tính chính 12
1.3 Khái niệm không gian p chiều 13
1.4 Giá trị riêng, vectơ riêng 15
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 16
2.1 Phân tích thành phần chính 16
2.1.1 Giới thiệu 16
2.1.2. Định nghĩa thành phần chính 16
2.1.3. Mô tả toán học của phương pháp 17
2.1.3.1. Cơ sở hình học 17
2.1.3.1a. Biểu diễn hình học 17
2.1.3.1b. Tính chất 19
2.1.3.2. Cơ sở ñại số của các thành phần chính 22
2.1.3.2a. Sự thay ñổi tỷ lệ các thành phần chính 25
2.1.3.2b. Số lượng thành phần chính 25
2.1.3.2c. Tính toán thành phần chính 26
-iv-
2.1.3.2d Các thành phần chính của dữ liệu hai chiều với hệ số tương quan r 26
2.1.4 Phương pháp tìm trục chính trong R
p
30
2.1.5 Tỷ lệ ñóng góp của quán tính 34
2.1.6 Biểu diễn ñám mây ñiểm – cá thể trong siêu phẳng ñã chọn 34
2.1.7 Tìm các thành phần chính trong R
n
34
2.1.7.1 Phương pháp tìm các thành phần chính 34

HƯỚNG PHÁT TRIỂN - KẾT LUẬN 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
PHỤ LỤC 67

DANH SÁCH CÁC HÌNH VÀ BẢNG BIỂU
Hình Trang
Hình 1.1 10
Hình 1.2 11
Hình 1.3 11
Hình 1.4 11
Hình 1.5 12
Hình 1.6 12
Hình 1.7a 13
Hình 1.7b 13
Hình 1.8 14
Hình 2.1 31
Hình 2.2 38
Hình 2.3 38
Hình 2.4 56
Bảng
Bảng 3.1 Số liệu mẫu 58
Bảng 3.2 Kết quả phân tích nhân tố của “chất lượng ñào tạo” 59
Bảng 3.3 Kết quả phân tích nhân tố của “ sự hài lòng của học sinh” 60
Bảng 3.4 Kết quả phân tích hồi qui chất lượng ñào tạo 61
Bảng 3.5 Kết quả mô hình nghiên cứu 81 -1-
TỔNG QUAN ĐỀ TÀI


-2-
3. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Bước 1: Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về xác suất thống kê, các phương pháp
phân tích ñịnh lượng nhiều chiều.
Bước 2: Thu thập số liệu thống kê về một tổng thể.
Bước 3: Tổng hợp phân tích và ñánh giá thống kê.
Kỹ thuật phân tích số liệu ñịnh lượng:
Phân tích thành phần chính là một kỹ thuật biểu diễn các số liệu một cách tối
ưu theo một tiêu chuẩn ñại số và hình học ñặc biệt. Mục ñích của phân tích thành
phần chính là rút ra thông tin chủ yếu chứa trong bảng số liệu bằng cách xây dựng
một biểu diễn ñơn giản hơn với số chiều nhỏ hơn nhưng ñám mây số liệu thể hiện
rõ nhất, mà thông tin không bị sai lạc.
Phân tích nhân tố miêu tả và phân loại các cá thể theo các nhân tố, trên mỗi cá
thể người ta ño một số lớn chỉ tiêu, bản chất là mô tả hiệp phương sai giữa các biến
dưới dạng một vài biến cơ sở, giảm các biến dư thừa bằng cách dùng số lượng nhỏ
các nhân tố.
Luận văn ñược trình bày theo các chương sau ñây:
Tổng quan ñề tài: Tổng quan về bài toán phân tích số liệu ñịnh lượng trong luận
văn, ñiểm qua các phương pháp phân tích ñồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN, trình bày các ký hiệu, công cụ thống kê và
các tính chất có liên quan.
Chương 2. KHẢO SÁT CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐỊNH
LƯỢNG NHIỀU CHIỀU, phân tích thành phần chính và phân tích nhân tố.
Chương 3. ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ, ñánh giá chất lượng
ñào tạo của trường THCS và THPT Nguyễn Khuyến, trong ñó sử dụng phần mềm
SPSS phiên bản 16.0. Thông qua phân tích ñưa ra nhận xét ñánh giá và phương
hướng phát triển của trường.
Hướng phát triển của luận văn ñược trình bày trong phần kết luận.
Chương trình nguồn ñể xử lý số liệu ñược ñưa ra ở phần phụ lục.



-4-

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1. SƠ LƯỢC VỀ THỐNG KÊ
1.1 .1. Khái niệm
Biến ngẫu nhiên (ñại lượng ngẫu nhiên) là ñại lượng lấy giá trị thực tùy thuộc
vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử. Các chữ in
, ,
X Y
thường dùng ñể ký hiệu
các biến ngẫu nhiên và các giá trị của chúng ñược ký hiệu bằng
, ,
i i
X Y
Biến ngẫu
nhiên ñược chia làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.
Biến ngẫu nhiên
X
ñược gọi là rời rạc nếu mọi tập giá trị có thể có của nó là
hữu hạn hoặc vô hạn ñếm ñược.

1
k
i
i
p
=
=
∑

Hàm phân phối của biến
X
là:
(
)
{
}
<
= < =
∑
i
i
x x
F x P X x p

trong ñó
x
là một số thực. X x

(
)
f x
là
hàm mật ñộ xác suất của
X
tại ñiểm
x
thì
(
)
(
)
=
'
f x F x
.
Từ ñịnh nghĩa của hàm phân phối và hàm mật ñộ ta có:
{ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
−∞
≤ < = − =
=
∫
∫
1.
2.
x
a
x

EX MX x p p
µ
= =
= = = =
∑ ∑
(1.1)
Nếu
X
là biến liên tục thì:

( )
EX MX xf x dx
∞
−∞
= =
∫
(1.2)
Tính chất:
( ) ( )
E aX aE X a
µ
= =

b/ Mod
X
là giá trị của
X
có xác suất (tần số) lớn nhất.
Nếu
X

M X
là một số
∈
x X
và
(
)
=
1 / 2
F x

d/ Phương sai là trung bình của bình phương ñộ lệch giữa các giá trị của
X

với kỳ vọng của nó. Ký hiệu
2
2
, ,
X
VarX DX hay
σ µ
(
2
µ
:mômen trung tâm bậc 2).
Tức là:
(
)
2
2

so với một ñiểm
x
nào ñó và ký hiệu
(
)
X
I x
, tức là:
( ) ( )
2
1
n
X i i
i
I x x x p
=
= −
∑
gọi là quán tính của
X
theo
x
hay còn gọi là
phương sai hay mômen bậc 2 của
X
theo
x
.
e/ Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai (dương) của phương sai và ký hiệu
DX


Y
Yy
y
1
1Y
Y
2
2…
…
.
.
.
.y
y
n
n


2…
…p
p
1
1
n
nP
P
1
1X
X
2
2p
p
2


…
……
……
…
.
.…
…
.
.…
…
.
.…
…


m
n
np
p
m
mP
P
(
(
Y
Y
)
)q
q
1
1q
q
2

n
y y y
;
{
}
,
i j ij
P X x Y y p
= = =
,
1 1
0 1, 1
m n
ij ij
i j
p p
= =
≤ ≤ =
∑ ∑

X -7-
b/ Hàm phân phối của Z:
(
)
(
)
, ,

i j ij
P X x Y y p
và
(
)
ϕ
,
X Y

khi ñó:
( )
( )
( )
( )
( )
ϕ ϕ ϕ
= =
= = =
∑ ∑ ∑
1 1
, , ,
m n
i i i j ij
i i j
E X Y z P X Y z x y p

e/ Ta gọi hiệp phương sai của
Z
là:
(

)
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
cov ,
XY
X Y E XY E X E Y
R
X Y
D X D Y
σ σ
−
= =
(1.5)
là hệ số tương quan giữa X và Y.
Vectơ ngẫu nhiên liên tục – hai chiều
Cho vectơ ngẫu nhiên
(
)
,
X Y
liên tục.
a/ Hàm mật ñộ của vectơ ngẫu nhiên
(
)

 
∫∫
/ , ,
D
iii P X Y D f x y dxdy

Hàm
(
)
,
f x y
thỏa mãn i, ii là hàm mật ñộ xác suất của một vectơ ngẫu nhiên
(
)
,
X Y
nào ñó.
b/ Hàm phân phối của
(
)
,
X Y
-8-
Hàm phân phối của
(
)
,

Z(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
,
, ,
Z
x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy
ϕ
ϕ
<
 
= < = < =
 
∫∫
(1.7)
Lấy ñạo hàm
(
)

Z X Y
ϕ
=
. khi ñó
(
)
(
)
(
)
( )
2
, ,
R
E Z x y f x y dxdy
ϕ
=
∫∫
(1.8)
e/ Hiệp phương sai
Cho
(
)
,
Z X Y
= là vectơ ngẫu nhiên liên tục. Ta gọi covarian của
Z
là
(
)

f/ Ta gọi

(
)
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
cov ,
XY
X Y E XY E X E Y
R
X Y
D X D Y
σ σ
−
= =
(1.10)
là hệ số tương quan giữa X và Y.
Định lý: Với mọi vec tơ ngẫu nhiên
(
)
,
X Y
ta có:
/ 1

R
=
. Khi
0
XY
R
=
thì chưa chắc
X
và
Y
ñộc lập, trong trường hợp này ta nói
X
và
Y
không
tương quan với nhau.
1.1.2. Ma trận hiệp phương sai
Nếu
X
là véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị bất kỳ trong tổng thể nhiều biến, ma
trận hiệp phương sai của X hay của tổng thể là:

11 12 1
21 22 2
1 2
cov( )
p
p
p p pp

.
1.1.3. Ma trận tương quan
Ma trận tương quan tổng thể : 12 1
21 2
1 2
1
1
( )
1
p
p
p jk
p p
P
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
 
 
 
= =
 
 
 
 
L


-10-

12 1
21 2
1 2
1
1
( )
1
p
p
jk
p p
r r
r r
R r
r r
 
 
 
= =
 
 
 
 
L
L
M M M M
L

s
 
 
 
=
 
 
 
 
L
L
M M M M
L1.2. QUÁN TÍNH
1.2.1. Quán tính và momen quán tính
Đây là một khái niệm cơ bản, trọng tâm của một cá thể. Những khái niệm liên
quan ñến momen quán tính ñối với một ñiểm của một chất ñiểm, momen quán tính
ñối với một trục, trục quán tính chính, hệ tọa ñộ quán tính chính ñược sử dụng rất
phổ biến trong phân tích nhân tố cũng như trong phân tích thành phần chính.
Xét một cá thể bất kỳ, trọng tâm G của cá thể.
G: Trọng tâm ( ñiểm cân bằng)

Hình 1.1
Trong nghiên cứu chuyển ñộng của một cá thể, sự phân phối của khối lượng cá
thể xung quanh trọng tâm cá thể giữ một vai trò quan trọng. Để ñánh giá sự phân

Chú ý: Cho một cá thể S ñược tạo thành bởi k chất ñiểm có khối lượng m
1
,m
2
,
…, m
k
, người ta chứng minh ñược rằng trọng tâm của cá thể chính là ñiểm trong
không gian sao cho ñối với nó sẽ có momen quán tính của cá thể là cực tiểu.
1.2.2. Momen quán tính của một cá thể ñối với một trục
Xét một chất ñiểm có khối lượng m nằm cách ñường thẳng
∆
một ñoạn là d,
momen quán tính của chất ñiểm m so với trục
∆
ñược tính như sau:
Tương tự momen quán tính của một cá thể cấu tạo gồm k chất ñiểm có khối
lượng
1 2
, , ,
k
m m m
ñối với trục (
∆

m
4

m
k

m
3

d
1

m
2

d
4

d
k

d
3

Hình 1.3

m

d
(

1
∆
ñi qua G sao cho momen quán tính của cá thể so với trục
1
∆
là cực
tiểu.
Ta gọi trục quán tính chính cấp 2 là ñường thẳng
2
∆
ñi qua G, thẳng góc với
1
∆
và sao cho momen quán tính của cá thể ñối với
2
∆
là cực tiểu. Tương tự ta ñịnh
nghĩa cho trục quán tính chính cấp 3 là ñường thẳng
3
∆
qua G, thẳng góc với cả
1
∆
và
2
∆
và sao cho momen quán tính của cá thể ñối với
3
∆
là cực tiểu. Tương tự

2
/
1
k
s i i
i
m m d
∆
=
=
∑
m
1

m
2

m
3

m
k

d
1
d
3
d
k
d

Do
2
min
i i
M P →
∑
và
2
i i
M G cte
Σ =
, ñiều này có nghĩa là:

2
max
i
i
GP →
∑

Đối với trục quán tính chính cấp 1 ta có tổng bình phương các hình chiếu của
chất ñiểm lên trục là lớn nhất.
1.3. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN P CHIỀU
1.3.1. Không gian 2 chiều ( 3 chiều):
Là một không gian trong ñó có một hệ trục tọa ñộ trực giao ñược hình thành
bởi hai trục ( ba trục) thẳng góc với nhau từng ñôi một. Mỗi trục ñược xác ñịnh bởi
một vectơ ñơn vị.
X
3
X

X
1
( Hình 1.7b)

Trong không gian 2 chiều hoặc 3 chiều ta có thể biểu hiện bằng ñồ thị một
cách tường minh tọa ñộ và vị trí của một ñiểm khi tọa ñộ của chúng ñã biết ( hình
1.7a, 1.7b). Trong trường hợp không gian có p > 3 chiều, ta vẫn ñịnh nghĩa một hệ
trục trực giao có p trục thẳng góc với nhau từng cặp một. Như ta ñã biết, trong -14-
trường hợp này ta không thể mô tả hệ trục tọa ñộ này một cách tường minh như ñã
làm ở trường hợp
3
p
≤
.
1.3.2. Một số tính chất cơ bản:
Xét trong không gian 2 chiều ( p = 2) với hai vectơ ñơn vị
1
i
→
,
2
i
→
, gọi
u
→
là một

,x
2
)

u
→2
i
→

O
1
i
→

Hình 1.8
Ta có:

1 1 2
i
OM x i x i
= +
uuuur ur ur

Do ñó:
α α
∗ = +
uuuur ur

của ñiểm M .

Hình chiếu của M xuống trục
U
ur
sẽ là:
1 1 2 2 3 3
u x x x
α α α
= + +
Trong không gian n chiều: -15-
Ta gọi ñiểm M (x
1
, x
2
, …, x
n
) và
U
ur
là một trục có vectơ ñơn vị là
u
→
. Ta có:
1 1 2 2

n n

\ 0
u V∈
sao cho
(
)
f u u
λ
=

Vectơ
0
u
≠
ñó gọi là vectơ riêng của
f
ứng với giá trị riêng
λ
.
1.4.2. Định nghĩa 2
Cho ma trận
(
)
n
A M K
∈
, số
K
λ
∈
ñược gọi là giá trị riêng của A nếu tồn

)
ij
n
A a= là ma trận của
f
trong cơ sở
B
(
)
1 2 n
e ,e , ,e
= . Để tìm các giá trị
riêng, vectơ riêng của
f
(và của A) ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Lập ña thức ñặc trưng
(
)
(
)
(
)
A
det A I *
χ λ = − λ
Bước 2: Giải phương trình ñặc trưng
(
)
A
0

Phân tích thành phần chính (ñược viết tắt là PCA - Principal Component
Analysis) là một phương pháp ña biến dùng cho mục ñích làm giảm số chiều của
bảng số liệu ban ñầu mà không mất nhiều thông tin, cụ thể là thay tập các biến ban
ñầu bằng một tập biến nhỏ hơn gọi là thành phần chính có phương sai cực ñại.
Trong phần này công cụ làm việc chủ yếu là ma trận phương sai - hiệp phương
sai
Σ
, giá trị riêng và véctơ riêng tương ứng của
Σ
. Với bảng số liệu cồng kềnh
phức tạp khó tổng hợp, và khó thấy thông tin chứa trong ñó. Vì vậy mục ñích của
phân tích thành phần chính là rút ra thông tin chủ yếu chứa trong bảng số liệu bằng
cách xây dựng một biểu diễn ñơn giản hơn, sao cho trong biểu diễn ñó ñám mây số
liệu thể hiện rõ nhất, mà thông tin không bị sai lạc.
Lĩnh vực ứng dụng của phân tích thành phần chính rất rộng trong công – nông
nghiệp, kinh tế, khoa học cơ bản, giáo dục với bảng số liệu mà các cột là các biến
và các dòng là các cá thể, trên ñó ño giá trị các biến.
Mục tiêu của chương này là nghiên cứu cơ sở toán học của PCA. Sau ñó, ta sẽ
ứng dụng phương pháp này vào phân tích các ứng dụng trong chương 3.
2.1.2. ĐỊNH NGHĨA THÀNH PHẦN CHÍNH
Khi nghiên cứu ñánh giá một số lượng lớn các biến quan sát, thật hữu ích nếu
làm ñơn giản các phân tích bằng cách xét một số ít các tổ hợp tuyến tính các biến
ban ñầu. Ví dụ, ñánh giá thành tích học tập của học sinh . Với sự nổ lực ñánh giá,
các nhà quản lý thường cố gắng làm giảm việc ñánh giá trên các ñiểm từ các môn
học, nếu việc giảm ấy ñược thực hiện tới mức nhỏ nhất có thể mà làm mất ñi thông
tin ít nhất.
Sự lựa chọn tốt nhất là trung bình ñiểm các môn học. Với 3 ñiểm môn học
1 2 3
, ,
s s s

1
i
l
=
∑
ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính
chuẩn ( standardized linear combination) hoặc SLC. Bằng cách thu hẹp sự chú ý
vào các SLC, chúng ta có thể tạo nên các so sánh có ý nghĩa giữa các lựa chọn riêng
lẽ của các tổ hợp tuyến tính. Ví dụ, với các ñiểm kiểm tra, chúng ta có thể tìm ra tổ
hợp tuyến tính với phương sai lớn nhất như là một cách xếp hạng các học sinh và
tách chúng.
Phân tích thành phần chính tìm một tập hợp các SLC, ñược gọi là các thành
phần chính, chúng trực giao và kết hợp chúng với nhau ñể giải thích tất cả phương
sai của dữ liệu nguồn. Các thành phần chính ñược ñịnh nghĩa bởi Mardia, Kent và
Bibby (1979) như sau:
Nếu
x
là một vectơ ngẫu nhiên với vectơ giá trị trung bình
µ
và ma trận hiệp
phương sai
S
, thì ánh xạ thành phần chính là phép biến ñổi
(
)
'
x y x
µ
→ = Γ −
,

là cột thứ
i
của
Γ
.
Thành phần chính thứ nhất có phương sai lớn nhất trong số các SLC của
x
.
Tương tự, thành phần chính thứ hai có phương sai lớn nhất trong số các SLC còn lại
của
x
không tương quan với thành phần chính thứ nhất, v.v
Nói chung, có nhiều thành phần chính. Tuy nhiên, vì cách mà chúng ñược tính,
có thể xét một vài thành phần chính, mà có thể giải thích cho hầu hết sự biến thiên
ban ñầu.
2.1.3. MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP
2.1.3.1. Cơ sở hình học
2.1.3.1a. Biểu diễn hình học
1. Với n cá thể
∈
p
R
, hai cá thể bất kỳ ñược gọi là “gần nhau” nếu
p
tọa ñộ
của chúng gần nhau. -18-
2. Với p biến trong

Nếu biểu diễn ñám mây ñiểm trong siêu phẳng một chiều, thì ta cần tìm ñường
thẳng gần ñám mây nhất, và ñám mây sẽ biểu diễn bằng hình chiếu của các ñiểm
trên ñường thẳng ñó. Sự “gần gũi” của ñám mây với ñường thẳng ñược ño bằng
quán tính của nó theo ñường thẳng ñó.
Quán tính là tổng bình phương khoảng cách từ các ñiểm ñến ñường thẳng, nên
quán tính càng nhỏ thì ñường thẳng càng gần ñám mây ñiểm, và ngược lại.
Trong không gian nhiều chiều của tập dữ liệu ban ñầu, PCA tìm ra các trục
mới mà có thể tổng hợp dữ liệu tốt nhất.
Để ñạt ñược ñiều ñó PCA chọn trục chính thứ nhất là trục có quán tính nhỏ
nhất, tức là ñường thẳng qua tâm gần ñám mây ñiểm nhất.
Trục chính thứ hai là trục qua tâm trực giao với trục chính thứ nhất, và có quán
tính của ñám mây theo nó nhỏ nhất.
Hai trục này kết hợp tạo thành một mặt phẳng chính thứ nhất, mặt phẳng này
có quán tính của ñám mây theo nó nhỏ nhất. Khi ñó ñám mây ñiểm thể hiện trên nó
rõ nhất so với các mặt phẳng khác.
Tiếp tục, tìm trục chính thứ ba là ñường thẳng qua tâm và trực giao với hai
trục chính trên và gần ñám mây nhất sau hai trục thứ nhất và thứ hai. Với sự có mặt -19-
của trục này ta ñược thêm hai mặt phẳng chính nữa ñược tạo nên do trục 1 và trục 3,
trục 2 và trục 3.
Nếu việc tìm các trục chính ñược tiến hành ñến trục chính thứ q
( , )
q p n
≤
thì
ta ñược một hệ q vectơ trực giao, tạo thành không gian q chiều, mà ñám mây ñiểm
thể hiện trên nó rõ nhất.


z A x
=
,
vì
A
trực giao
x Az
⇒ =
.
Biến ñổi (2.2.1) :
1 1
( ) ( )
T T T
Az Az const z A Az
− −
Σ = = Σ
. Ta biết các véctơ riêng
của
1
−
Σ
tương tự các véc tơ riêng của
Σ
, giả sử tất cả chúng ñều dương, suy ra
1 1 1
T
A A z z const
− − −
Σ = ∆ ⇒ ∆ =
.