GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

1

chuyên đề
phân tích những Sai lầm khi giải toán
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là điều cần thiết song điều quan trọng
hơn là phân tích đợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó. Việc thấy đợc những sai
lầm có ý nghĩa đặc biệt về mặt phơng pháp vì chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình
thức, đi sâu vào bản chất của vấn đề.
Những sai lầm hạn chế năng lực học toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích
những sai lầm, ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đợc các sai lầm, thấy đợc
nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đợc những sai lầm, nắm kiến
thức một cách vững chắc hơn.
Chuyên đề này chỉ phân tích những sai lầm có tính điển hình mà học sinh thờng mắc.
1.1. Những khó khăn và những sai lầm học sinh thờng mắc khi ứng dụng đạo hàm để
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
* Do không nắm vững kiến thức có nhiều học sinh khi dùng đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN của hàm số đã mắc sai lầm nh sau:
Ví dụ 1
Với bài toán:
'' Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y =
3
1
x
x
+
trên [-2 ; 0] ''
+ Một số học sinh đã giải nh sau: y' =
2
2

biến thiên. Đây là sai lầm thờng gặp khi học sinh lập bảng biến thiên của hàm số dới dạng
phân thức.

www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

2
+ Lời giải đúng:
Bảng biến thiên của hàm số y =
3
1
x
x
+
Với x

[-2 ; 0] là:
x - 2 -
2
3
-1 0
y' - 0 + +
y 8 + 0

4
27
-

Vậy GTLN và GTNN của hàm số không tồn tại.
* Cũng có nhiều học sinh do không hiểu định nghĩa nên sau khi đã lập đúng đợc bảng

lim
x+
f(x) =
lim
x+
5
5xx+
= 0
Bảng biến thiên:

x 5 +
f'(x) -
f(x)
5
0

Do đó: f(x) = f(5) =
[]
5;
max
+
5 ;
[]
5;
min
+

f(x) = 0
+ Sai lầm: Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn giữa hai khái niệm minf(x)
và limf(x) nên mặc dù bảng biến thiên lập đúng nhng kết luận vẫn sai.

2
42
x
x+

y' = 0
0
1
2
x
x
=





=


Bảng biến thiên:

x - 1 -
1
2
0 1
y' + 0 - 0 +
y
7
12

Học sinh đã quên một bớc quan trọng là không so sánh các cực trị của f(x) với các giá
trị f(-1) và f(1).
www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

4
+ Lời giải đúng:
Xét hàm số y = f(x) =
32
4
32
xx
1
+
+
liên tục trên đoạn [-1;1]
f'(x) =
2
42
x
x
+
; f'(x) = 0
1
0(0)
2
11
()
22
xf

6

1
2

Vậy f(x) =
[]
1;1
max

17
; f(x) =
6
[]
1;1
min

1
6

* Một sai lầm điển hình mà nhiều học sinh thờng mắc nữa là chuyển đổi không tơng
đơng đối với những bài toán cần phải đổi biến số để tìm GTLN, GTNN.
Ví dụ 4
Với bài toán :
'' Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =
66
44
1sin cos
1sin cos
x

6
x = (sin
2
x)
3
+ (cos
2
x)
3
= sin
4
x + cos
4
x - sin
2
xcos
2
x
= 1 -
3
4
sin
2
2x
Vậy y =
2
2
3
2sin2
4

5
f'(t) =
()
2
8
28t


< 0 f(t) nghịch biến trên khoảng (- ; 4) và (4; +)
Bảng biến thiên:

x -

4 +
f'(x) - +
f(x)
3
2
+
-
3
2

Vậy không tồn tại GTLN, GTNN của f(t) không tồn tại GTLN, GTNN của y.
+ Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tơng đơng cho rằng GTNN,
GTNN của f(x) trùng với GTLN, GTNN của g(t) với t R nên sau khi đổi biến đã
không tìm miền xác định của f(t).
+ Lời giải đúng:
Biến đổi nh trên ta đợc y =
2


Bảng biến thiên:

t - 0 1 +
f'(t)
f(t) 1

5
6

Từ bảng biến thiên ta có:
() (0) 1
max
R
fx f
=
=
;
5
() (1)
6
min
R
fx f
=
=

www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3




Bảng biến thiên:

x - -m 0 m +
y' - 0 + 0 - 0 +
y

Vậy y= y(
[]
0;m
min
m ) = 4 - m
2
+ Sai lầm: Học sinh này là đã cho rằng với m > 0 thì m < m nên đã bỏ xót trờng
hợp khi 0 < m 1 thì m
m
+ Lời giải đúng:
Sau khi lập đợc bảng biến thiên cần xét hai trờng hợp:
- Nếu m
m 0 < m 1 thì y = y(m) = m
[]
0;m
min
4
- 2m
3
+ 4
- Nếu m
m> m > 1 thì y = y(

đại, cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. Đặc biệt là với những bài toán khi tìm GTLN,
GTNN của hàm số mà phải tiến hành đổi biến học sinh thờng bỏ qua bớc quan trọng là
tìm miền xác định của hàm số mới sau khi đổi biến. Học sinh còn mắc sai lầm do không
nắm vững kiến thức toán học cơ bản liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN.
Ngoài những sai lầm đợc phân tích ở trên t
hì khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm
GTLN, GTNN học sinh còn gặp một số khó khăn và rất lúng túng khi giải những bài toán
về tìm GTLN, GTNN đợc cho dới dạng hình học hay tình huống thực tiễn.
Ví dụ nh bài toán: " Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội t
iếp trong hình
tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất '', hay nh bài toán " Nhà máy cá
hộp sản xuất những hộp hình trụ tròn xoay kín hai đầu mà thể tích là V cm
3
. Muốn tốn ít
vật liệu nhất khi làm hộp thì các kích thớc của hộp phải nh thế nào?'' .
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm vào chứng
minh bất đẳng thức
* Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức học sinh thờng
gặp những khó khăn sau :
- Để giải đợc bài toán chứng minh BĐT bằng phơng pháp đạo hàm học sinh cần
phải nắm chắc các kiến thức về đạo hàm và những ứng dụng của nó (nh xét tính đơn điệu,
tìm cực trị của hàm số, xét chiều biến thiên của h
àm số, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm
số,). Trong khi đó những kiến thức này là hoàn toàn mới đối với học sinh nên khi vận
dụng chúng học sinh còn rất lúng túng.
- Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng GTLN, GTNN của hàm số hay
sử dụng đị
nh lý Lagrange để chứng minh BĐT thì việc xác định đợc hàm số trong mỗi bài
toán là công việc khó khăn đối với nhiều học sinh.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.

x
x
với x 3
Xét tính đơn điệu của hàm số này và suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2
Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì:
ln
ab a ab
abb


<<
(1)
Giải:
Với bài toán này ta sẽ sử dụng định lý Lagrange để chứng minh đẳng thức (1) thì điều
quan trọng cũng là phải nhận ra đợc hàm số f(x).
ở đây học sinh cũng sẽ gặp khó khăn vì trớc hết cần phải hiểu rõ định lý Lagrange và
biết đối chiếu BĐT cần phải chứng minh với điều kiện của định lý Lagrange để nhận ra
hàm số f(x).
Để dễ nhận ra đợc hàm số f(x) học sinh có thể biến đổi nh sau:
(1)
11
()lnln ()ab a b ab
ab
< <

Từ đó xác định đợc hàm số f(x) = ln(x) với x > 0
Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange để rút ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3
Cho a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2.

Từ x > 0 f(x) > f(0) x - sinx > 0 - sin0 = 0
Vậy sinx < x với x > 0.
+ Sai lầm: f(x) đồng biến trên miền ( 0; + ) không chứa 0, nên không thể so sánh f(x)
và f(0) khi x > 0.
+ Lời giải đúng là:
Xét f(t) = t - sint trên R
f'(t) = 1- cost 0 với t R f(t) đồng biến trên R.
Mà x > 0 f(x) > f(0) x - sinx > 0 - sin0 = 0 x > sinx
+Chú ý: Vậy qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh: Nếu f(x) đồng biến với x [a;b]
và a x
1
< x
2
b thì f(x
2
) > f(x
1
)
Ví dụ 5
Chứng minh rằng nếu x > -1 thì xe
x
>
1
e


+ Có học sinh giải nh sau:
Ta có: f
1
(x) = x và f

f'(x ) - 0 + f(x)
+ +
-
1
e

Từ bảng biến thiên ta có: x > -1 thì f(x) > f(-1) xe
x
>
1
e


+ Chú ý: Qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh rằng: nếu các hàm đồng biến chỉ
nhận các giá trị dơng thì mới có thể kết luận đợc rằng tích của hai hàm số đồng biến là
một hàm số đồng biến.
Ví dụ 6
Chứng minh rằng nếu x y > 1 thì x +
yy x+

+ Một số học sinh giải nh sau:
Với x y > 1 ta có x y và
x
y

Trừ từng vế ta có:
x
xy y
x +
yy x+


* Ngoài những sai lầm và khó khăn trên thì nguyên nhân dẫn đến việc học sinh không
giải đợc bài toán tìm GTLN, GTNN và chứng minh BĐT bằng phơng pháp đạo hàm chỉ vì
mắc sai lầm ở bớc tính đạo hàm, giải phơng trình, thực hiện các phép biến đổi đồng nhất www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

11
1.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai
Ví dụ1
:
Tìm m để phơng trình:
(m-1)m
2
+ (2m-1)x + m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt


>0


(2m-1)
2
-4(m-1) (m+5)>0

0'
0











>




+
>





>
m
m
m
m

Ví dụ 4:
Tìm m sao cho phơng trình:
chỉ có một nghiệm thoả mãn x > 3
0)12(
22
=++ mxmx
Lời giải
Cách 1: Phơng trình có nghiệm duy nhất
0
=


. Khi đó phơng trình có nghiệm
2
21
S
xx ==
. Do đó phơng trình chỉ có một nghiệm x > 3.





>
=

3
2
0
S

m








>
=

2
5
4
1
m
m

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Xét hai trờng hợp
www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

12
TH1: 3<x
1
= x
2





>
=+

2
5
014
m
m







>
=

2
5
4
1
m
m Suy ra không có giá trị nào của m thoả mãn trờng hợp này.

066
2
m
mm
33
2
5
+< m

Vậy với
33
2
5
+< m
thì phơng trình chỉ có một nghiệm thoả mãn x >3.
Cách nào đúng, cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Ví dụ 5
:
Tìm m sao cho phơng trình
mx
2
- 2(m+1) x + m + 1 = 0 không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1)
Lời giải
Phơng trình không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1)
11
21
<
<







<
+
<
>
>+
++

1
1
1
0)1(
0)34(
0)1()1(
2
m
m
m
mm
mmm








4
3
1 < m

Vậy - 1
4
3
< m
thì phơng trình không có nghiệm ở ngoài (-1;1)
Vậy bài toán giải đúng hai sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Ví dụ 6:

Chứng minh rằng phơng trình:
(x - 95) (x-96) + (x - 96) (x - 97) + (x - 97) (x- 95) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 95
Lời giải
Gọi vế trái của phơng trình là f(x) thì:
f(x) = 3x
2
2(95 + 96 + 97) x + 95.96 + 96.97 + 97.95
Do đó:af(95) = 3(95-96)(95-97)>0 và
2
s
-95 =
3
979695
+
+
- 95 =1> 0.
Suy ra 95< x
1

2

Lời giải
Điều kiện để căn thức có nghĩa là:



+
+
01
023
3
x
xx





+
1
0)2()1(
2
x
xx









+
+
01
0)1)(1(
x
xx



+


01
01
x
x
1 x

Khi đó phơng trình có dạng
)1)(1( + xx
- 1+x = x+1. Vì x nên 1 1+x >0,chia hai vế
của phơng trình cho
1+x ta có: 1x -1< 1+x .
Vì x nên
1
1x 1+ x .Suy ra 1x -1< 1+x .Vậy phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ4

5
a5
15

Nếu a=5 thì phơng trình vô nghiệm.
Vậy bài toán giải đúng hay sai?Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Ví dụ5
:
Giải phơng trình : 2x+
3x =16(*)
Lời giải
Điều kiện x . Ta có:
3
(*)
3x =16 - 2x x-3 = 256 - 64x + 4x
2

4x
2
- 65x + 259 =0




=
=

4
37
7

3
12 x (
3
1x +
3
12 x )=1
3x - 2 +3

)12)(1(3 xx
=1(vì
3
1x +
3
12 x =1)

3
)12)(1( xx
=-(x-1) 0)1()1()12)(1(
23
== xxxxx




=
=

1
0
x

:
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
1+x + x4 +
)4)(1( xx +
=m(*) Lời giải
Đặt t=
1+x + x4 (t 0), ta có
)4)(1( xx +
=
2
5
2
t

Khi đó phơng trình (*) viết thành t+
2
5
2
t
=m (**)
0252
2
=+ mtt

Đặt f(x)=t
2
+2t-5-2m.PT(*)có nghiệm





+
01
025
062
m
m
Vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình vô nghiệm.
Vậy bài toán giải đúng hay sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Vậy phơng trình có nghiệm x=2.
Ví dụ9
:
Giải phơng trình log
2
x
2
=2log
2
(3x+4) (*)
Lời giải
Điều kiện:






x
x
x
xxxx

www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

15
Giá trị này không thoả mãn điều kiện đã đặt nên phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ10:

Tìm m để phơng trình lg(x
2
+2mx)- lg(x-1) = 0(*) có nghiệm duy nhất.
Lời giải
Cách1:
PT (*) (**)
01)12()1lg()2lg(
22
=++=+ xmxxmxx
Phơng trình có nghiệm duy nhất

PT(**) có nghiệm duy nhất

2
3
m hoặc ==
=
==










<






=
=










>


1
2
0
m
m
m
m
m
m
s
Vô nghiệm
Vậy cách nào đúng?Cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Ví dụ11
:
Giải bất phơng trình x.e
x
>
2
1

(1)
Lời giải
Ta có f
1
(x)=x và f
2
(x) = e
x
là các hàm đồng biến trên Rf(x) = x.e
x

-x
= x.e
-x
= f(x) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ta có:



== dxedxexdxexdxxg
xxx
.)1()(
=
[
]
cex
x
++

)1( -


ce
x
+


= -(1+x)e
-x
+e
-x





+=
=+




=
=+
4
4
2
0)cos(
0)sin(







ở hệ trên, chỉ vì viết chung ký hiệu k với k

z cho hai phơng trình nên khi trừ từng vế hai
phơng trình đã làm triệt tiêu số hạng k

và dẫn tới mất nghiệm của hệ.

-x
+C
1
- C
2
= -xe
-x
+C (với C = C
1
- C
2
)
Ví dụ13
:
Tính tích phân I=


2
0
1x
dx

Bạn B làm nh sau:
Theo công thức Newton- Leibnitz:
Ta có I =
011
0
2
1
1

nên không sử dụng đợc công thứcNewton-
Leibnitz để tính tích phân nh trên đợc. Vì trên đoạn
[
]
2;0
hàm số f(x)=
1
1
x
không liên tục
không tồn tại tích phân I =


2
0
1x
dx

Ví dụ14
:
Tính tích phân I =


+
0
2
2
)1( dxx
Bạn C làm nh sau:
Đặt u = (x+1)

dxx
du=0
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Phân tích
: Nhận thấy rằng u =(x+1)
2
không phải là hàm số đơn điệu trên đoạn
[
]
0;2

nên
không thể đổi biến, đổi cận nh lời giải trên đợc .
www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

17
Hơn nữa lời giải trên còn sai lầm khi viết dx =
u
du
x
du
2
)1(2
=
+
.
Nh vậy đã từ u = (x+1)
2
suy ra x+1= u ,điều này chỉ viết đợc khi x 1




+++=+
0
2
1
2
0
1
222
)1()1()1( dxxdxxdxx
Xét I
1
= đặt u= (x+1)



+
1
2
2
,)1( dxx
2
.)1(2 dxxdu +=
Do x nên x+1
[
1;2
]
0

uu
du
u
u
udu
dxx

Xét I
2
= Tơng tự nh trên ta có I


+
1
1
2
.)1( dxx
2
=
3
1

Vậy I=I
1
+I
2
=
3
2


0
Mặt khác I=



0
2
2
2coscos

xx
dx=



0
2
22
)1cos2(cos

xx
dx
=



0
2
2
cos1




0
2
2
2coscos

xx
dx=



0
2
22
)1cos2(cos

xx
dx
www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

18
=



0
2


x
dx 3.

+

0
2cos1 x
dx

+

2
0
sin1 xdx
1.
Ví dụ16
:
Xét tích phân I =

gxdxcot
Khi tính tích phân I = . Một học sinh làm nh sau:

gxdxcot
Ta có : I =
dx
x
x
gxdx


sin
sin
cos
cos
sin
1
2
ta đợc:
I=
)(!101.
sin
cos
1
sin
cos.sin
sin
sin
1
2
=+=+=+

IHayIdx
x
x
dx
x
xx
x
x


2
t
dt
+

Do đó I =
C
x
tg
C
t
tdt
t
dt
x
dx
+
+

=+
+

=++=
+
=
+


2
1

+

=
+

=
+





Vì tg
2

không xác định nên tích phân cần tính không tồn tại.
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
www.VNMATH.com
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

19
Phân tích
: Đây là sai lầm của nhiều em học sinh hay dùng công thức lợng giác để biểu
diễn sinx, cosx, tgx qua tg
2
x

Việc tg
2


xx
dx
x
dx
= tg( 2
)4
(
4
0
)
42
==



tgtg
x

Ví dụ18
:
Xét hypebol xác định bởi phơng trình:y
2
- x
2
+ 1 = 0 (H)
TH1: Nếu cắt (H) bởi đờng thẳng x = 2 và gọi giao điểm của chúng là M,N
Thể tích V
1
của khối tròn xoay do tam giác cong MAN quay xung quanh trục ox tạo thành
là: V


quay xung quanh ox là :
V
2
=

3
4
2
2
)
3
()1(
2
2
2
2
3
22
=

==


x
x
dxxdxy

Vậy Voi cũng bằng Kiến ?
Phân tích


www.VNMATH.com