Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 1 – MATHVN.COM
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN

* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường
thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1,0 điểm)
- Số phức: Mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình
bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lơgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Hết
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
0
45
)
3
π

0
(60 )

2
π

0
(90 )

2
3
π

(
0
120
)
3
4
π

(
0
135

1
3
2

2
2

1
20

cos

1
3
2

2
2

1
20
1
2
−

3
−0

cot

||

31
3
30
3
3
−-1

3
−
 ℤ

a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
π
π
+ ∈
ℤ
k k

2. Cơng thức nhân đơi
2 2 2 2
2
sin2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan2
1 tan
a a a
a a a a a

=
 


4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +




6. Các hằng đẳng thức lượng giác


 ℤ
 ℤ
 ℤ

5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b

môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 3 – MATHVN.COM
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a


2
sin sin ;
2
α π
α
π α π

= +

α α π
= = ⇔ = ± + ∈
ℤ
co x a co x k k
2 ;
cosx a x arccosa k k
π
= ⇔ = ± + ∈
ℤ

Phương trình tanx = a
(
Đ
K:
,
2
x k k Z
π
π
≠ + ∈
)
Phương trình cotx = a
(
Đ
K:
,
x k k Z

cot cot ;
x a x arc a k k
π
= ⇔ = + ∈
ℤ

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong
đ
ó
2 2 2 2
;sin
a b
cos
a b a b
α α
= =
+ +

2. Phương trình
2 2
a x b x x c x d
+ + =

đượ
c:
2 2
tan (1 tan )
a x btanx c d x
+ + = +

IV. MỘT SỐ CƠNG THỨC HAY DÙNG
2 2 2 2
2
3 3
sin cos 2 sin 2
4 4
cos4x = 2cos 2 1 1 sin 2 sin 2 cos 2
(sinx cosx) 1 sin 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin2
2
x x x cos x
x x x x x
x
x x x x x
π π
   
+ = + = −
   
   
− = − = −
± = ±
 

 
+ = −
− = −
+ = −



BẢNG ĐẠO HÀM



'
( )
x
α
=
1
.
x
α
α
−



'
1



(cotx)’ =
2
1
sin
x
−



'
( )
u
α
=
1
. '.
u u
α
α
−



'
1
u
 
 



(cotu)’ =
2
'
sin
u
u
−

'
)(
x
e
= e
x



'
)(
x
a
= a
x
.lna


.lna

(ln| u |)’ =
u
u'


(log
a
| u |)’ =
a
u
u
ln
'

(u
±
v)’ = u’
±
v’


(uv)’ = u’v + v’u


(ku)’ = k.u’


Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 4 – MATHVN.COM
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khơng có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 3. Các ví dụ
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= + −

Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +

Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
= − −

Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −

Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −

= ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −


* Giới hạn:

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 5 – MATHVN.COM
x
−∞
-2 0 +
∞

y’ + 0 - 0 +
y 0
+∞

−∞
-4
* Nhận xét :
+ HS đồng biến trên
( ; 2)
−∞ −
và
(0; )
+∞
, nghịch
biến trên (-2 ; 0).


-4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0)
−
và
(1; )
+∞
,
nghịch
biến trên
( ; 1)
−∞ −
và
(0;1)
.
+ HS đạt cực đại tại x = 0 ; y
CĐ
= -3, đạt cực tiểu
tại x =
1
±
; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Cho
2 5
x y

R
c
 
 
 
−
.

* Tính đạo hàm
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
* Giới hạn, tiệm cận.

lim ?
d
x
c
y
+
→−
=
,

=

⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
c
.
* Lập bảng biến thiên.
y’ > 0 y’ < 0 Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−

Giải
* Tập xác định:
\{1}
D
=
ℝ

* Đạo hàm:
2

x
x
x
→±∞
+
=
−
nên tiệm cận ngang là y = 1.
* Bảng biến thiên:
x
−∞
1 +
∞

y’ - -
y 1
+∞
−∞
1

Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán

)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
.
+ HS khơng có cực trị.
* Đồ thị:
+ Cho
0 1
x y
= ⇒ = −
.
+ Cho
0 1
y x
= ⇒ = −
. BÀI TẬP
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1
y x x
= + −


7.
3 2
3
y x x
= − +

8.
3 2
2 3 1
y x x
= − + +

9.
3 2
3 1
y x x
= − + −

10.
3
3 2
y x x
= − + −

11.
3 2
3 2
= − − +
y x x

4
= − + +
y x x
4.
4 2
2 4 1
y x x
= − −

5.
4 2
2 2
y x x
= − −

6.
4 2
2 1
y x x
= − +7.
4
2
3
2 2
x
y x
= − −

2 1
1
x
y
x
−
=
+

4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+

5.
3
1
x
y
x
+
=
−

6.

9.
2 1
2
x
y
x
+
=
−

10.
2 1
2
x
y
x
− +
=
+

11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−

MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 7 – MATHVN.COM

BÀI TỐN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp Ví dụ
- Tìm tập xác đònh.
- Tính đạo hàm y’ = f’(x). Tìm các điểm
i
x
(i = 1,
2 , …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác đònh.

1
' 0
2
x
y
x
= −

= ⇔

=


* Bảng biến thiên:
x
−∞
-1 2 +
∞

y’ + 0 - 0 +
y

* Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)
−∞ −
,
(2; )
+∞
, nghòch biến trên khoảng (-1 ;
2).

thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
, trừ
2
b
x
a
= − .
- N
ế
u
0
∆ >
, gi
ả
s
ử
f(x) = 0 có 2 nghi
ệ
m
1 2
,

u a
2. Định giá trị của m
Đối với hàm bậc 3
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
0
a
≠
)
- T
ậ
p xác
đị
nh: D = R

-
Đạ
o hàm:
2
' 3 2
y ax bx c
= + +
.

Đối với hàm nhất biến
ax b
y
cx d

cx d
−
=
+

y đồng biến trên D

' 0
y
⇔ ≥
,
x D
∀ ∈y nghịch biến trên D
' 0
y
⇔ ≤
,
x D
∀ ∈

y đồng biến trên từng
khoảng của D
' 0
⇔ ≥
y
,
x D
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 8 – MATHVN.COM

0
0
>

⇔

∆ ≤

a

0
0
<

⇔

∆ ≤

a



2
6
m m
= − −

* Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
2
1
0
3
2 3
6 0
a
m
m m

= >

⇔ − ≤ ≤

− − ≤


.
Ví dụ: Định m để hàm số
(2 1) 3
m x
y
x m

≥

m
y m m
m
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2
= + + − − −
y x m x m x
(1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định
của nó.
2. Cho hàm số
3 2
3 2 1
2
+ − +
=
mx
y x x (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
3. Cho hàm số
2 3 2
1
( 1)
3
( 1) 2 1
−
= + − − +

đ
o
ạ
n [a ; b]
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm y’.
* Giải y’ = 0 tìm nghiệm
1 2
,
x x
…
( ; )
∈
a b

* Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), ( ), ( )
y a y b y x y x

* Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên, ta có:
max
[ ; ]
=
y M
a b

min m
[ ; ]


=
⇔ − = ⇔

=

0(nhan)
3 ( 2) 0
2(loai)
x ä
x x
x ï

* Ta có y(-1) = 4 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0
* V
ậ
y:
max 4
[ 1;1]
=
−
y
đạ
t
đượ
c t
ạ
i x = -1.

min 0

y x x x
trên đoạn [0 ; 2].
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln(1 2 )
y x x
= − −
trên đoạn [-2 ; 0] (TN THPT 2009).
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn


là: Các bài tốn thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C):
1. Tại điểm có hồnh độ là x
0
, (tung độ
0
y
) biết trước.
Cách giải: Thay x
0
, (
0
y
) vào phương trình của (C) ta tìm được y
0,
(
0
x
) tương ứng.
Lưu ý: + Tại giao của đồ thị (C) với trục tung: Ta có x
0
= 0.
+ Tại giao của đồ thị (C) với trục hồnh: Ta có y
0
= 0.
2. Có hệ số góc k cho trước.
Cách giải: Từ phương trình k = f’(
0

từ đó tìm
0
y
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) .
1. Tại điểm có hồnh độ bằng -1 ; 2. Tại điểm có tung độ bằng 2 ;
3. Tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh ; 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Giải.
2
3
'
( 2)
y
x
=
+
.
1. Theo đề bài ta có x
0
= -1
⇒

x
−
⇒ = ⇒ = −
+
. Mặt khác hệ số góc k = y’(-5)
2
3 1
( 5 2) 3
= =
− +
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 =
1
3
(x + 5) hay y =
3
x
+
11
3
.
3. Theo đề bài ta có y
0
= 0
0
0
0
1
0 1
2

3
4
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y +
1
2
=
3
4
(x - 0) hay y =
3
4
x -
1
2
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C)
0 0 0 0
( ) '( )( )
y y k x x f x x x
− = − = −


= −
.
3. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
9
1
2
y x
= +
.
Giải
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo đề bài ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1 2 0

y x
= −
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
1
'( )
2
y x
= −
.
Ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
3
2 1
'( ) ( 1) 4 2 3 0
1
( 1) 2
=

−
= ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒

= −
−


1
1 1
2
y x
− = − +
hay
1 1
2 2
y x
= − +
.
3. Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
9
2
y x
=
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
2
'( )
9
y x
= −
.
Đến đây làm tương tự câu 2.
Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là
2 32
9 9
y x= − +
và

x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008).
4. Cho HS
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN
THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
2 2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1
−
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 11 – MATHVN.COM
y = m (d) là đường thẳng song song với trục Ox.
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có:

Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Hàm bậc 4:
4 2
y ax bx c
= + +

Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận *
CD
CT
m y
m y
>

CT
m y
=
: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có
4 nghiệm.
*
CD
m y
=
: (1) có 3 nghiệm.
*
CD
m y
>
: (1) có 2 nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
3
3
y x x
= −
. Dựa vào đồ thị (C), biện luận
theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0

+ Nếu
1 2 1
1 2 3
m m
m m
− = − = −
 
⇔
 
− = =
 
thì phương trình (1)
có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 2 1 3
m m
− < < ⇔ − < <
thì phương trình (1)
có 3 nghiệm.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
4 2
2 1
= − −
y x x
. Dựa vào đồ thị (C), biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0

2 2 1 0 1
− < − < − ⇔ < <
m m
thì phương trình
(1) có 4 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− = − ⇔ =
m m
thì phương trình (1) có 3
nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− > − ⇔ >
m m
thì phương trình (1) có 2
nghiệm.

Chú ý: Phương pháp biện luận trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm bậc 3 hoặc bậc 4 có cả điểm cực
đại và điểm cực tiểu.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
3 2
= − + −
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
Ví dụ: Cho hàm số
4 2
1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
− + + + =
3 2
3 2 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.

2. Tìm các giá trị của m …
− + + + = ⇔ − + − = +
3 2 3 2
3 2 1 0 3 2 1
x x m x x m
(1)
Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1
m m
− < + < ⇔ − < <
.
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
4 2
1

có đồ thị (C). Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
3 2
2 3 1
x x m
+ − =
(TN THPT 2008 – Lần 1).
2. Cho hàm số
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + − =
có 3
nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số
4 2
2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
− + − =
4 2
2 2 0
x x m
có 4 nghiệm

∆ >
.

Ví dụ: Định m để hàm số
3 2
( 1) 2
y x m x x
= + − + −

có cực đại, cực tiểu.
Giải
Đạo hàm
2
' 3 2( 1) 1
= + − +
y x m x

Ta có
2 2
' ( 1) 3.1 2 2
∆ = − − = − −
m m m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT



∆ = − − >
> +



a
m
m m
m
. BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) (3 4 1)
3
= + − + − + +
y x m x m m x m
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. (Đáp án: 0 < m < 1).
b. Hàm số ln đồng biến trên R. (Đáp án:
0
m
≤
hoặc
1

0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x



=
⇔
<
.

Điểm
0
x
là điểm cực tiểu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x




3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=

− − =


⇔ ⇔ ⇔ = −
  
<
− <



<


.
BÀI TẬP

ố

3 2 2
3 ( 1) 2
= − + − +
y x mx m x
. Xác
đị
nh các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 2.

BÀI TỐN 8: Chứng minh hàm số y = f(x, m) ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m

Phương pháp


v
ớ
i m
ọ
i m.
- V
ớ
i hàm s
ố
b
ậ
c 4, c
ầ
n theo u c
ầ
u bài tốn
để

tìm m sao cho y’ = 0 có 1 nghi
ệ
m ho
ặ
c 3 nghi
ệ
m. Ví dụ:
Ch
ứ

m c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m.
Giải
* T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
*
Đạ
o hàm:
2
' 3 2 2
y x mx
= − −

* Ta có
2 2
' ( ) 3.( 2) 6 0,

i
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 14 – MATHVN.COM
qua 2 nghiệm đó.
* Vậy hàm số ln có một điểm cực đại và một
điểm cực tiểu với mọi m.


a
≠
,
,m n
∈
ℤ
)
0
1,( 0)
1

n
n
a a
a
a
−
= ≠
=



m
.
a

m n m n
m n
n
a a a



m
(a.b) .
m m
a b
=


2. Căn bậc n
Định nghĩa: Cho số thực b và số ngun dương n
≥
2.
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
n
a b
=
.
Kí hiệu:
n
a b
=
.
- n lẻ,
b R
∈
: tồn tại duy nhất
n
b
.




n
n
n
a a
b
b
=



(
)
m
n
m
n
a a
=



.
n
m n m
a a
=



.
a a a
α β α β
+
=



( )
. .
a b a b
α
α α
=

a
a
a
α
α β
β
−
=




a a
α β
α β
> ⇔ <4. Lôgarit
a. Định nghĩa:
Cho a, b > 0,
1
a
≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =

b. Cơng thức:
Cho a > 0,
1
a
≠
, M, N > 0.



log 1 0

M
a M
a
=



log log
M
b M b
a a
=

log
M
a
a M
=



1
log log
b b
a
a
α

a
c
=

d. So sánh lơgarit:
Cho a > 0,
1
a
≠
.

a > 1 : log log
a a
M N M N
> ⇔ >
.

0 < a < 1: log log
a a
M N M N
> ⇔ <
.
e. Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên:
S
ố

1
lim 1 2,71828
n
x MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 16 – MATHVN.COM

5. Giải PT, BPT mũ và lơgarit
Phương trình mũ Phương trình lơgarit
a. Phương trình mũ cơ bản
Dạng:
x
a b
=
,
( 0, 1)
a a
> ≠
.
Với b > 0, ta có:
log= ⇔ =
b. Phương pháp giải PT lơgarit thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (khơng cần đặt điều kiện cho ẩn phụ).
- Mũ hố.
Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ,
lơgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm.

6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lơgarit thường gặp
a. Các dạng cơ bản
a > 0,
1
a
≠

a > 1 0 < a < 1

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =

( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >

( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x
>

> ⇔

<


b. Vận dụng
Dạng tốn Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai
2
. . 0
x x
m a n a p
+ + =

2 1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
x x x x
+
− + = ⇔ − + =

Đặt t =
3
x
(t > 0), ta được phương trình
2
1
3 4 1 0
1
3
=

− + = ⇔

=


t
t t
t

Với t = 1
3
3 1 log 1 0
x

t a
=
, (t > 0). Khi đó
1 1
x
x
a
a t
−
= =
.
- Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x.
- K
ết luận, nghiệm của PT.
Ví dụ: Giải phương trình
1
6 6 5 0
x x
−
− − =
.
Giải
1
6
6 6 5 0 6 5 0
6
x x x
x
−
− − = ⇔ − − =

Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 17 – MATHVN.COM
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
,(0 1)
f x g x
a a a
≤ < ≠

3
1
2
4
x x−
≤
.
Giải
2 2
3 3 2 2
1
2 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −2
3 2 0 1 2
x x x
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2].
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=

3 9 3 3
3
log (9 ) log 5 log 9 log log 5
x x x x
+ = ⇔ + + =

3 3 3
2
3
1 3
2 log log 5 log 3
2 2
log 2 3 9.
x x x
x x
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lơgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =
.
Phương pháp
- ĐK: f(x) > 0.
- Đặt
log ( )

>
.
Đặt
2
log
t x
=
, ta được PT
2
4 3 10 0
t t
− − =
.
Giải PT này được t = 2 ; t =
5
4
−
.
Với t = 2, ta có
2
2
log 2 2 4
x x
= ⇔ = =
.
Với t =
5
4
−
, ta có

<
g(x).
Với BPT
log ( )
a
f x c
≤

- Nếu 0 < a < 1, ta có
( )
c
f x a
≥
(BPT đổi chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤

c
a
.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
;
b.
1 1

;
3 2
T


=




.
b. Điều kiện:
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >

+ >

. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3
x x x x x

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 18 – MATHVN.COM

BÀI TẬP
Bài tập 1. Khơng sử dụng máy tính cầm tay. Hãy tính:
a.
4
0,75
3
1 1
16 8
− −
   
+
   
   

b.
2 3 5 5
2 .8
−

c.
2
1,5

f.
3 3
1 2 2 2
3 :9
+

g.
9 2 6 4
7 7 5 5
8 :8 3 .3
−h.
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
+
+ +

i.
3 2 1 2 4 2
8 .4 .2
+ − − −

j.
10
2 2log 7
10

5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +

Bài tập 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a.
2
3 2
2 4
x x− +
=

b.
3 1 2
(0,5) .(0,5) 2
x x
− −
= c.
2 1 2

1
4 10.2 24
−
− =
x x

e.
2 1 1
5 5 250
− +
+ =
x x

f.
2 6 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
x x

i.
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =

j.
6 3
3. 2 0
x x

o.
1 3
3 5.3 12
x x+ −
− =

p.
1
7 2.7 9 0
x x
−
+ − =

q.
3 1
1 1
128 0
4 8
−
   
− − =
   
   
x x

r.
(
)
(
)

3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
x x
+ + − =

f.
2 2 2
log ( 2) log ( 3) log 12
x x
− + − =

g.
2 2
log ( 2) log ( 3) 1
− + − =
x x
h.
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =

i.
6 1
6
log ( 4) log ( 1) 1
− − + =
x x

j.


o.
2
2
1
log 1
log
= +x
x

p.
2
4 4
log 2log 1 0
− + =
x x

q.
2 3
2 2
log log 4 0
+ − =
x x

r.
2
2 2
log 3log 10 0
− − =
x x

25
x
x
+
 
<
 
 

d.
2 1 3 2
2 5
5 2
x x
− − +
   
>
   
   

e.
2
3
1
9
3
x x
−
 
≥

2 1
5 5 4
+
> +
x xBài tập 6.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán MATHVN.COM

d.
1
2
log (2 4) 1
x
+ ≥

e.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +

f.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −

g.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤

h.
1
2
2

l.
2
3 1
2
1
log log 1
16
x
 
 
+ >
 
 
 
 

m.
2 2
4 4
log ( 2 ) log ( 4)
x x x
− > +

n.
2
3 3
log 2 5log 2 4 0
x x
− + <


= +
∫
+

cos sin
xdx x C
= +
∫

sin cos
xdx x C
= − +
∫

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +


ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

( )
ax b dx
α
+
∫

1
1 1
. ( )
1
ax b C
a
α
α
+
= + +
+

a
= + +



sin( )
ax b du
+
∫
1
cos( )
ax b C
a
= − + +

sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +
∫ ∫



MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 20 – MATHVN.COM
Công thức:
( ) ( )| ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

4. Các bài tốn đổi biến số
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
[ ]
( ) . '( )
b
a
f u x u x dx


Ví dụ: Tính
2
sin
0
.cos
x
I e xdx
π
=
∫

Giải
Đặ
t t = sinx
⇒
dt = cosxdx
Đổ
i c
ậ
n:
1
2
0 0
x t
x t
π




t u x t u x
= ⇒ =

2 '( )
tdt u x dx
⇒ =

-
Đổ
i c
ậ
n.
- Th
ế
vào.
Ví dụ:
Tính
1
2
0
1
I x x dx
= +
∫

Giải
Đặ
t
2 2 2
1 1 2 2

⇒ = = = = −
∫ ∫

Bài tốn 3:
2
2 2
0
a
a x dx
−
∫

Phương pháp: Đặt
sin cos
x a t dx a t
= ⇒ =

Bài tốn 4:
2 2
0
1
a
dx
a x
∫
+

Phương pháp
Đặt
2

π
∫

4.
2
2
0
sin
xdx
π
∫

6.
2
0
cos
3 sin
x
dx
x
π
+
∫

7.
2
0
sin
1 s
π

π
π
+
∫

12.
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫

13.
2
5
1
(2 1)
x dx
−
∫

14.
1
2

4 .
x xdx
−
∫

18.
2
1
0
.
x
e xdx
−
∫

19.
ln3
0
1
x
x
e
dx
e +
∫

20.
ln5
ln 2
( 1)

MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 21 – MATHVN.COM
5.
4
0
tan
xdx
π
∫
10.
2
0
(2sin 3)cos
x xdx
π
+
∫


u P x
dv e dx



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
1
0
x
I xe dx
=
∫
.
Giải. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= ⇒ =


= ⇒ =


Vậy
1
1 1
0 0

= +
∫
I x xdx
.
Giải. Đặt
2 1 2
sin cos
= + ⇒ =


= ⇒ = −

u x du dx
dv xdx v x

Vậy
[ ]
2
2
0
0
(2 1)cos | 2 cos
π
π
= − + +
∫
I x x xdx2

0
(1 ) os
π
= −
∫
I x c xdx
.
Giải. Đặt
1
cos
= − ⇒ = −


= ⇒ =

u x du dx
dv xdx v sinx

Vậy
[ ]
2
2
0
0
(1 )sin | sin
π
π
= − +
∫
I x x xdx

=

Ví dụ:
Tính tích phân
2
1
2 ln
I x xdx
=
∫
.

Giải. Đặt
2
1
ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x

= ⇒ =



= ⇒ =


Vậy
2
MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 22 – MATHVN.COM
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
2
0
(2 1)
x cosxdx
π
−
∫

2.
4
0
(2 3)sin
x xdx
π

1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫

7.
1
0
2 .
x
x e dx
−
∫

8.
2
0
(5 2 )
x
x e dx
−
∫

9.
1
0
ln(1 )

ệ
m trên
đ
o
ạ
n [a ; b].
- N
ế
u khơng có nghi
ệ
m nào
∈
[a ; b] thì áp d
ụ
ng cơng th
ứ
c:
| ( ) | ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
= =
∫ ∫

- N
ế
u có 1 nghi
ệ
m c
∈

2
x x
−
. Ta có f(x) = 0
2
2 0
x x
⇔ − =
⇔
x = 0 hoặc x = 2 (loại).
Vậ
y di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm là:
1 0 1
2 2 2
1 1 0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
S x x dx x x dx x x dx
− −
= − = − + −
∫ ∫ ∫
3 3
0 1
2 2
1 0

2.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3
y x x
= +
, trục hồnh và các đường thẳng
x = - 2, x = 1 ;

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 đường y = f
1
(x), y = f
2
(x).

môn Toán MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 23 – MATHVN.COM
Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x
= −
và y = x.
Giải
Hoành độ giao điểm của 2 đường cong là nghiệm của phương trình
2 2
2 3 0
x x x x x
− = ⇔ − =
.

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
= +
y x
, y = 5x ;
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e
=
, y = 2 và đường thẳng x = 1 ;
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
y x x
= − +
, y = 0 (TN THPT 2007).
7. Cho hàm số
3 2
3
y x x
= − +
có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và
trục hồnh (TN THPT 2006).

7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) y = f(x), trục Ox,
hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là:
[ ]

= −
, trục
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )
2 (4 4 )
π π
= − = − +
∫ ∫
V x x dx x x x dx
3 5
2
4
0
4 16
3 5 5
π
π
 
 
 
= − + =
x x
x (
đ
vtt)

ng th
ẳ
ng
;
6 2
x x
π π
= =
quay quanh trục hồnh ;
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể
tích c
ủ
a kh
ố
i
tròn xoay
đượ
c t
ạ
o thành khi quay hình (H) quanh tr
ụ
c hồnh ;
3.
Cho hình ph
ẳ
ng (H) gi
ớ

MATHVN.COM
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 24 – MATHVN.COM
Chương IV SỐ PHỨC

1. Định nghĩa
Số phức là một biểu thức có dạng: với
,
a b R
∈
,
2
1
i
= −
.


5. Phép chia
Cho z = a + bi, z’ = c + di
≠
0
2 2
( )( )
'
z a bi a bi c di
z c di c d
+ + −
= =
+ +
6. Nghịch đảo của số phức
S
ố
ph
ứ
c ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a z = a + bi là:
2 2
1 1



z z a
z z a b

8. Căn bậc hai của số thực âm và phương trình
bậc hai hệ số thực
- Căn bậc hai của số thực a âm là:
| |
i a
±
.
- Cho PT bậc hai
2
0
ax bx c
+ + =
(a, b, c
∈
R,a
≠
0).
Có biệt thức
2
4
b ac
∆ = −
. Khi đó ta có bảng:

∆

∆
< 0
Có 2 nghiệm phức liên hợp
1,2
| |
2
b i
x
a
− ± ∆
=
BÀI TẬP
Bài tập 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
1.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
P i i
= + + −
(TN THPT 2008) 2.
2
(1 2 ) 2 3
P i i
= − + −

3.
3 2
2 1

2
2 2 0
x x
− + =
(TN THPT 2009)
3.
2
4 7 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 1) 4.
2
6 25 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 2)
5.
2
2 5 4 0
x x
− + =
(TN THPT 2006) 6.
2
4 3 1 0
x x
− + =

7.
2
3 3 0
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
MATH.COM.VN - Trang 25 – MATHVN.COM
Chương I + II DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI

1. Thể tích hình hộp chữ nhật Với a, b, c lần lượt là chiều dài, rộng cao của hình
hộp.
2. Thể tích hình chóp

- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình chóp

3. Thể tích hình lăng trụ
- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình lăng trụ
4. Hình trụ
∆
= =
ABC
V B h S SA
. Mà SA = a.
Trong tam giác ABC vng tại B ta có:

( )
2
2 2 2
2 3
= − = − =
AB AC BC a a a

Nên
2
1 1 1
. 3. 3
2 2 2
∆
= = =
ABC
S AB BC a a a
. Vậy
3
2
1 1 3
3 .
3 2 6
 

V S h
=

.
V S h
=

2
xq
S Rl
π
=

2
.
V R h
π
=

xq
S Rl
π
=

2
1
.
3
V R h
π