THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ
ỔH
H
Ợ
Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C
CS
S
U
U

P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
…
…

T
T
Ổ
ỔH
H
Ợ
Ợ
P
P&

§
1
1
.
.Q
Q
U
U
Y
YT
T
Ắ
Ắ
C
CĐ
Đ
Ế
Ế
M
M
.

1

n
n i
i
x x x x x

    

.
2) QUY TẮC NHÂN:
 Giả sử công việc A được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách
thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc A có m.n cách
thực hiện.

2
Vd
Từ các chữ số {1, 2, 3, 4} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) Hai chữ số ? b) Hai chữ số khác nhau ?
Giải:
a) Gọi số có hai chữ số là
ab
. Chọn a có 4 cách. Ứng mỗi cách chọn a có 4 cách chọn b.
Vậy có 4.4 = 16 số có 2 chữ số.
b) Gọi số có hai chữ số là
ab
. Chọn a có 4 cách. Ứng với mỗi cách chọn a có 3 cách chọn b.

a) Số có ba chữ số ? b) Số có ba chữ số khác nhau ? c) Số chẵn có ba chữ số ?
d) Số chẵn có ba chữ số khác nhau ?
Giải:
a) Gọi số có ba chữ số là
abc
. Chọn a có 4 cách. Ứng mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b. Ứng mỗi cách
chọn b có 5 cách chọn c. Vậy có 4.5.5 = 100 số có 3 chữ số.
b) Gọi số có ba chữ số là
abc
. Chọn a có 4 cách. Ứng mỗi cách chọn a có 4 cách chọn b. Ứng mỗi cách
chọn b có 3 cách chọn c. Vậy có 4.4.3 = 48 số có 3 chữ số khác nhau.
c) Gọi số có ba chữ số là
abc
. Chọn c chẵn khi c{0, 2, 4} có 3 cách. Ứng mỗi cách chọn c có 5 cách
chọn b. Ứng mỗi cách chọn b có 4 cách chọn a. Vậy có 3.5.4 = 60 số chẵn có 3 chữ số.
d) Gọi số có ba chữ số là
abc
. Chọn c chẵn khi c{0, 2, 4} có 3 cách. Ứng mỗi cách chọn c có 4 cách
chọn b. Ứng mỗi cách chọn b có 3 cách chọn a trong đó có số 0. Do đó có 3.4.3 = 36 số.
Số
0
bc
chẵn khi c{2, 4} có 2 cách. Ứng mỗi cách chọn c có 3 cách chọn b.
Vậy có 2.3 = 6 số chẵn có 2 chữ số.
Loại trừ trường hợp trên, ta có 36 – 6 = 30 số chẵn có ba chữ số khác nhau. 2
2
THPT Tân Bình – Bình Dương.

Ấ
Ấ
T
T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP

 Hướng dẫn:
Có 5 cách chọn đề tài tự nhiên. Có 7 cách chọn đề tài xã hội. Có 3 cách chọn đề tài môi trường. Vậy mỗi
học sinh có 5 + 7 + 3 = 15 khả năng lựa chọn đề tài.
2) Ban thường vụ đoàn trường có 10 người. Để bầu ra một Bí thư, một Phó bí thư và một ủy viên thì có
bao nhiêu cách chọn, biết rằng một người chỉ đảm nhiệm một chức vụ.
 Hướng dẫn:
Bầu bí thư có 10 cách chọn. Sau khi bầu Bí thư, có 9 cách chọn Phó bí thư và chọn Ủy viên có 8 cách
chọn. Vậy có 10.9.8 = 720 cách chọn.
3) An muốn mua áo sơ mi cở 39 hoặc cở 40. Cở 39 có 5 màu sọc khác nhau, cở 40 có 4 màu sọc khác
nhau. Hỏi để mua một áo sơ mi như trên, An có bao nhiêu lựa chọn ?
 Hướng dẫn:
Chọn cở 39 có 5 cách, chọn cở 40 có 4 cách chọn. Vậy cả thảy có 5 + 4 = 9 cách chọn.
4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
 Hướng dẫn:
Số bé hơn 100 gồm số có một hoặc hai chữ số. Số có một chữ số có 6 số.
Số có hai chữ số
ab
. Hàng chục a{1, 2, 3, 4, 5, 6} có 6 cách chọn. Hàng đơn vị b{1, 2, 3, 4, 5, 6} có
6 cách chọn. Do đó có 6.6 = 36 cách chọn.
Vậy có tất cả là 6 + 36 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.
5) Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có
bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ?
 Hướng dẫn:
Chọn mặt đồng hồ có 3 cách chọn. Ứng với mỗi mặt có 4 cách chọn dây đồng hồ.
Vậy có cả thảy là 3.4 = 12 cách chọn một chiếc đồng hồ.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
 Hướng dẫn:
Số có hai chữ số chẵn
ab
. Chọn b{0, 2, 4, 6, 8} có 5 cách chọn. Sau khi chọn b, chọn a{2, 4, 6, 8}

Ổ
ỔH
H
Ợ
Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C
CS
S
U
U
Ấ
Ấ

h
á
á
p
p
.
. Trang 3
c) Chữ số hàng đơn vị d{0, 2, 4, 6, 8} có 5 cách chọn. Sau đó, có 9 cách chọn c, 8 cách chọn b, 7 cách
chọn a trong đó có số 0 nên có 5.9.8.7 = 2520 số.
Cho a = 0. Số
bcd
chẵn khi d{2, 4, 6, 8} có 4 cách. Sau đó có 8 cách chọn c, 7 cách chọn b nên có
4.8.7 = 224 số.
Vậy có 2520 – 224 = 2296 số chẵn có 4 chữ số khác nhau.
d) Chữ số hàng đơn vị d{1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách chọn. Sau đó, có 9 cách chọn c, 8 cách chọn b, 7 cách
chọn a trong đó có số 0 nên có 5.9.8.7 = 2520 số.
Cho a = 0. Số
bcd
lẻ khi d{1, 3, 5, 7, 9} có 5 cách. Sau đó có 8 cách chọn c, 7 cách chọn b nên có
5.8.7 = 280 số. Vậy có 2520 – 280 = 2240 số lẻ có 4 chữ số khác nhau.
10) Từ các chữ số {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và
không chia hết cho 5.
 Hướng dẫn:
 Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau
abcd
: Chọn a{1, 3, 5, 7} có 4 cách chọn. Ứng mỗi cách chọn a
có 4 cách chọn b, 3 cách chọn c và 2 cách chọn d.
Vậy có cả thảy 4.4.3.2 = 96 số có 4 chữ số khác nhau.
 Số chia hết cho 5
abcd

c, 4 cách chọn b, 3 cách chọn a có cả số 0. Vậy có 3.5.4.3 = 180 số.
Số
0
bcd
. Chọn d{2, 4} có 2 cách. Ứng mỗi d có 4 cách chọn c, 3 cách chọn b. Vậy có 2.4.3 = 24 số.
Kết luận: Có cả thảy 180 – 24 = 156 số chẵn có bốn chữ số và đôi một khác nhau.
b) Chia hết cho 5 có ba chữ số và đôi một khác nhau
abc
. Chọn c = 0 có 1 cách. Ứng mỗi c có 5 cách
chọn b và 4 cách chọn a. Vậy có 1.5.4 = 20 số.
Chọn c = 5 có 1 cách. Ứng mỗi c có 4 cách chọn a và có 4 cách chọn b. Vậy có 1.4.4 = 16 số.
Kết luận: Có 20 + 16 = 36 số chia hết cho 5 có ba chữ số và đôi một khác nhau.
c) Số chia hết cho 9 có ba chữ số và đôi một khác nhau là
abc
với {a, b, c} chỉ có thể là các chữ số sau:
{0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}.
Với các chữ số {0, 4, 5} thì
abc
có 2. 2.1 = 4 số.
Với các chữ số {1, 3, 5} thì
abc
có 3. 2.1 = 6 số.
Với các chữ số {2, 3, 4} thì
abc
có 3. 2.1 = 6 số.
Vậy có cả thảy 4 + 6 + 6 = 16 số hết cho 9 có ba chữ số và đôi một khác nhau.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ

T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
C
C
H
H
Ỉ
Ỉ
N
N
H
HH
H
Ợ
Ợ
P
PV
V
À
ÀT
T

10
10! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3628800
P    . Vậy có 3628800 cách sắp xếp.
2) CHỈNH HỢP:
 Chỉnh hợp là gì ? Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Khi lấy ra k phần tử của A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (Gọi tắt là một
chỉnh hợp chập k của A).
 Số các chỉnh hợp: Cho các số nguyên n và k với 1  k  n. Khi đó số các chỉnh hợp chập k của một tập
hợp có n phần tử là
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
     

.
Chú ý:
!
n
n
A n

và
0! 1

.

k n k k
 

.
Quy ước:
0 0
1, 1
n n
C A
 
.

3
Vd
Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn gồm 5 người. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn gồm có 3 nam và 2 nữ ?
Giải:
a) Chọn ra 5 người từ 10 người, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 10.
Ta có
5
10
10!
252
5!5!
C   cách lập.
b) Chọn ra 3 nam từ 6 nam. Có

C C
  
.

1
1
k k k
n n n
C C C


  Chẳng hạn
3 4 4
7 7 8
8!
70
4!4!
C C C
   
.

THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ
ỔH
H

1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.

abcdef
 431652.
431
def
các chữ số d, e,  là hoán vị của các phần tử {6, 5, 2} nên có 3! = 6 số.
42
cdef
các chữ số c, d, e,  là hoán vị của các phần tử {1, 3, 6, 5} nên có 4! = 24 số.
41
cdef
các chữ số c, d, e,  là hoán vị của các phần tử {2, 3, 6, 5} nên có 4! = 24 số.
abcdef
chữ số a{1, 2, 3} có 3 cách và các chữ số còn lại có 5! = 120 cách nên có 3.120 = 360 số.
Vậy có cả thảy 6 + 24 + 24 + 360 = 414 số bé hơn 432000.
2) Giả sử có 7 bông hoa có màu sắc khác nhau và 3 lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông
hoa vào 3 lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?
 Hướng dẫn:
Lấy 3 bông hoa từ 7 bông và sắp xếp vào 3 lọ nên mỗi cách là chỉnh hợp chập 3 của 7.
Do đó có
3
7
7!
210
4!
A   cách cắm hoa.
3) Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?
 Hướng dẫn:
Lấy 4 từ 6 bóng đèn khác nhau và sắp xếp chúng nên mỗi cách sắp xếp là một chỉnh hợp chập 4 của 6.
Do đó có
4

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thì có bao
nhiêu cách chọn ?
 Hướng dẫn:
a) Chọn 3 từ 7 người. Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 7 nên có
3
7
35
C

cách chọn.
b) Chọn 3 từ 7 người và sắp xếp 3 người đó. Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 7 nên có
3
7
210
A 
cách chọn.
6) Một tổ có 8 nam và 2 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của
trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
 Hướng dẫn:
Số cách chọn 5 em trong 10 em là
5
10
252
C 
cách. Số cách chọn 5 em toàn nam là
5
8
56
C



S
S
U
U
Ấ
Ấ
T
T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n

a) 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam ?
b) 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ ?
 Hướng dẫn:
a) Số cách chọn 3 em trong 42 em là
3
42
11480
C  cách. Số cách chọn 3 em toàn nữ là
3
15
455
C  . Do đó
số cách chọn có ít nhất một nam là 11480 – 455 = 22505 cách.
b) Số cách chọn 3 em trong đó có 1 nam và 2 nữ là
1 2
27 15
. 2835
C C 
cách chọn.
9) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội
thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miềm núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
 Hướng dẫn:
Phân công về tỉnh thứ nhất có
4 1
12 3
. 1485
C C 
cách. Sau khi phân công về tỉnh thứ nhất có
4 1
8 2

x
A

; b)
1 2
2
1
x x
A A
 
; c)
2
2
1
2 1
1
x
C x
x

 

;
d)
4 5 6
4
3
x x x
C C C
 



 
           

 
 


b) Đk: Z x  1:
1 2
2
! (2 )! ( 1)! 2 (2 1)(2 2)!
1 1 1
( 1)! (2 2)! ( 1)! (2 2)!
x x
x x x x x x x
A A
x x x x
  
        
   

2
1
1 2 (2 1) 4 3 1 0 ( ), 1 1
4
loaïi
x x x x x x x x
            


4! 5.4! 4.6.5.4! 5 40
1
(4 )! ! (5 )(4 )! 3.(6 )(5 )(4 )! 5 (5 )(6 )
x x x x x x x x x x
    
        

2
(5 )(6 ) 5(6 ) 40 6 40 0 10( 4(
loaïi), loaïi)
x x x x x x x              PT vô nghiệm
e) Đk: Z x  1:
1 2
!
3 2 3 2 3 2 3 2 0 1, 2
( 1)!
x
x
A x x x x x x x x
x
              


f) Đk: Z x, 0  x  12:
2 1
14 14 14
14! 14! 14!
2 2
(14 )! ! (12 )!( 2)! (13 )!( 1)!

Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C
CS
S
U
U
Ấ
Ấ
T
T1
1
1

§
§
3
3
.
.N
N
H
H
Ị
ỊT
T
H
H
Ứ
Ứ
C
CN
N
E
E

 (n + 1) số hạng.
 Số hạng thứ k + 1 là
k n k k
n
C a b

.
 Các hệ số có tính đối xứng theo tính chất
k n k
n n
C C


.
 Tổng số mũ của a và b luôn bằng n.

0
2
n
n k
n
k
C





0
(1 )



        


6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 15 20 15 6
x x y x y x y x y xy y
      


2
Vd
Tìm hệ số của
2 4
x y
trong khai triển biểu thức
6
( )
x y


Giải: Ta có
6
6 6
6
0

6 6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4
6 6 6 6 6 6
0
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
k k k
k
x C x C x C x C x C x C x


            


5 5 6 6 6 5 4 3 2
6 6
( 2) ( 2) 12 60 160 240 192 64
C x C x x x x x x
         
.

4
Vd
Tìm hệ số của
9
x
trong khai triển biểu thức
19
(2 )

( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,
a b a b a b a b    có thể xếp thành
một tam giác gọi là tam giác Pascal.
 Các ô trong tam giác Pascal được tính theo công thức


5
Vd
1 + 2 + 3 + 4 = [(
0
2
C
+
1
2
C
) +
2
3
C
] +
3
4
C
= (
1
3

H
H
Ợ
Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C
CS
S
U
U
Ấ
Ấ
T
T
p
.
. Trang 8
B
B
À
À
I
IT
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.1) Khai triển biểu thức theo công thức nhị thức Newton:
a)
5
( 2 )
a b

; b)
6
( 2)

C x





2) Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển biểu thức:
a)
 
11
1
x
 ; b)
 
15
3 2
x

 Hướng dẫn: a)
7
11
330
C  b)
7 8 7
15
3 2
C

1
6
2 12
C


5) Tìm hệ số của
25 10
x y
trong khai triển biểu thức


15
3
x xy
 .
 Hướng dẫn:


 
5
10
25 10 3
x y x xy
 có hệ số là
10
15
3003
C 
6) Biết hệ số của

 

!
20
( 2)!
n
n
 


( 1) 20 4( ), 5
loaïi
n n n n
      
. Đáp số n = 5.
7) Biết hệ số của
2
n
x

trong khai triển của
1
4
n
x
 

 
 
là 31. Tìm n.


 

2
992 0 31( ), 32
loaïin n n n
      
. Đáp số n = 32
8) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
3
1
x
x
 

 
 
.
 Hướng dẫn:
 
8
8 8
8
3 3 24 4
8 8
0 0
1 1
k
k

 Hướng dẫn:
17 17
17 17 17 17
17 17
0 0
(3 4) (3 ) ( 4) 3 ( 4)
k k k k k k k
k k
x C x C x
  
 
    
 
.
Tổng các hệ số là
17
17 17
17
0
3 ( 4) (3 4) 1
k k k
k
C


    

.
10) Chứng minh rằng:
a)

H
H
Ợ
Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C
CS
S
U
U
Ấ
Ấ
T
T
p
.
. Trang 9
§
§
4
4
.
.P
P
H
H
É
É
P
PT
T
H
H
Ử
Ử&

1
Vd
Không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc” là tập hợp  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) BIẾN CỐ:
 Biến cố A là một tập con của không gian mẫu .
 Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

2
Vd
Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố C: “Số
chấm trên mặt xuất hiện là số 0 khi gieo 1 con súc sắc”. Hãy viết tập B và C mô tả hai biến cố trên.
Giải: B = {1, 3, 5}, C =  là biến cố không hề xảy ra.
3) PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ:
 Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, ký
hiệu là
A
.

3
Vd
Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố B: “Số
chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn khi gieo 1 con súc sắc”.
Ta có A và B là hai biến cố đối nhau và viết
A B

T
Ậ
Ậ
P
P
.
.1) Gieo một đồng tiền ba lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố:
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”;
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”;
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.
 Hướng dẫn:
a)  = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN};
b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN};
B = {SNN, NSN, NNS};
C = {NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS} =  \ {SSS}.
2) Gieo một con súc sắc hai lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Phát biểu biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
 Hướng dẫn:
a)  = {(i, j)| 1  i, j  6}
b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sáu”;
THPT Tân Bình – Bình Dương.

Ấ
Ấ
T
T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP

C: “Có đúng một người bắn trúng”;
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”.
b) Chứng tỏ rằng A =
D
; B và C xung khắc.
 Hướng dẫn:
a)
1 2
A A A
 
; B =
1 2
A A

; C =
1 2 1 2
( ) ( )
A A A A
  
; D =
1 2
A A

.
b)
D
là biến cố “Cả hai đều bắn trượt”, còn
1 2
A A A
 

 Hướng dẫn:
a)  = {12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 23, 32, 24, 42, 25, 52, 34, 43, 35, 53, 45, 54}.
b) A = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45}
B = (21, 42}
C = .

THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ
ỔH
H
Ợ
Ợ
P
P&
&X
X
Á
Á
C

n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
§
§
5
5
.
.X
X
Á
Á
C
C

C
C
Ố
Ố
.
.1) ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:
 Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả
năng xuất hiện. Ta gọi tỷ số
( )
( )
n A
n

là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A).
Ta có
( )
( )
( )
n A
P A
n


với n(A) là số phần tử của A hay số kết quả thận lợi cho biến cố A, còn n() là số
các kết quả có thể xảy ra của phép thử.



) = 1 – P(A).
CM: Vì A 
A
=  và A 
A
=  nên theo công thức cộng P(A 
A
) = P(A) + P(
A
) hay
P() = P(A) + P(
A
)  P(
A
) = 1 – P(A).

3
Vd
Từ một hộp chứa 5 quả cầu gồm 3 trắng 2 đen. Lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Tính xác suất kết quả
lấy ra được 2 quả: a) Khác màu; b) Cùng màu.
Giải: Lấy ra 2 trong 5 quả cầu cho ta mỗi cách lấy là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Do đó số phần
tử trong không gian mẫu là n() =
2
5
C
= 10.
a) Lấy ra hai quả khác màu, ta có n(A) =

Giải: Gọi A và B là biến cố động cơ I và II chạy tốt.
a) Gọi C là biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt, ta có P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56.
b) Gọi D là biến cố cả hai động cơ đều chạy không tốt, P(D) = P(
A
.
B
)= P(
A
).P(
B
) =
(1– P(
A
)).(1 – P(
B
)) = 0,2.0,3 = 0,06.
c) Gọi E là biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt, ta có E  D =  hay E và D là hai biến cố đối
nhau  P(E) = 1 – P(D) = 1 – 0.06 = 0,94.
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ
ỔH
H
Ợ
Ợ
P

.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
B
B

B: “Các số trên ba tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp”;
c) Tính P(A), P(B).
 Hướng dẫn:
a)  = {123, 124, 134, 234}.
b) A = {134}; B = {123, 234}
c) P(A) = ¼; P(B) = ½.
3) Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc giày
chọn được tạo thành một đôi.
 Hướng dẫn:
Lấy 2 từ 8 nên mỗi kết quả là tổ hợp chập 2 của 8. Số phần tử của không gian mẫu là n() =
2
8
C
= 28.
Gọi A là biến cố “Hai chiếc giày chọn được tạo thành một đôi”. Ta có n(A) = 4.
Xác suất để hai chiếc giày chọn được tạo thành một đôi là P(A) = 4/28 = 1/7.
4) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình
2
2 0
x bx
  
. Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm;
b) Phương trình vô nghiệm;
c) Phương trình có nghiệm nguyên.
 Hướng dẫn:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} có n() = 6. Phương trình
2
2 0
x bx
  

C  .
a) n(A) =
4
4
C
= 1  P(A) = 1/270725.
b) Gọi B là biến cố “Được ít nhất một con át” và
B
là biến cố “Không có con át nào”.
n(
B
) =
4
48
C
= 194580  P(
B
) = 194580/270725. Vậy P(B) = 1 – P(
B
) = 0,2813
c) n(C) =
2 2
4 4
C C
= 36  P(C) = 36/270725.
6) Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.
Tính xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b) Nữ ngồi đối diện nhau.
 Hướng dẫn: n() = 4! = 24.

U
Ấ
Ấ
T
T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
h
C

 P(A) = 6/10.
1
2 10
( ) 10
n C
  
, n(B) =
1
4
4
C

 P(B) = 4/10 và P(A).P(B) = 24/100
1 1
10 10
( ) . 100
n C C   , n(A  B) =
1 1
6 4
. 24
C C

 P(A  B) = 24/100.
 P(A.B) = P(A).P(B)  A và B độc lập nhau.
b) Gọi C là biến cố “Lấy được hai quả cùng màu”. Ta có C = A.B 
AB
. Do hai biến cố AB,
AB
&
&K
K
I
I
Ể
Ể
M
MT
T
R
R
A
A
.
.1) Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho;
a) Các chữ số có thể giống nhau ?
b) Các chữ số khác nhau ?
 Hướng dẫn: Ta gọi số cần tìm là

Vậy theo qui tắc cộng n(A) = 2.3!.3!
Vậy P(A) =
( ) 2.3!.3! 1
0.1
( ) 6! 10
n A
n
  


b) Kí hiệu B là biến cố: “ Nam ngồi cạnh nhau”
Trước tiên xếp chỗ cho 3 bạn nam ngồi cánh nhau nên chỉ có 4 khả năng ngồi ở các ghế (123), (234),
(345), (456). Vì 3 bạn nam có thể đổi chỗ cho nhau nên có tấtcả là 4.3! cách xếp cho 3 bạn nam ngồi
cạnh nhau vào 6 ghế xếp thành nhàng ngang.
Sau khi đã xếp chỗ cho 3 bạn nam, ta có 3! cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại.
Theo qui tắc nhân ta có n(B) = 4.3!.3!. Vậy P(B) =
( ) 4.3!.3! 1
0.2
( ) 6! 5
n B
n
  


THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ
Ổ



1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á



b) Kí hiệu biến cố B là: “Trong 4 quả lấy ra có ít nhất một quả trắng”. Ta có
B
là biến cố: “Cả 4 quả lấy
ra đều màu đen”. Khi đó
4
4
1
( )
210 210
C
P B   . Vậy P(B) = 1 – P(
B
) = 1–
1 209
210 210

4) Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.
 Hướng dẫn: Không gian mẫu


( , , ) /1 , , 6
a b c a b c
   

Theo qui tắc nhân n( )= 63 = 216 (phần tử đồng khả năng xảy ra)
Kí hiệu A:” Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm”  n(A) = 53 do đó P(A) =
3
3

C

. Kí hiệu A, B, C là ba biến cố cần tìm xác suất tương
ứng với câu a, b, c.
a) Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6 do đó P(A)=
( ) 6 2
( ) 15 5
n A
n
 


b) Số đường chéo là n(B) =
2
6
6 9
C
 
Vậy P(B) =
( ) 9 3
( ) 15 5
n B
n
 


c) n(C) = 3 do đó P(C) =
( ) 3 1
( ) 15 5
n C

7) Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển.
Tính xác suất sao cho:
a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau;
b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán;
c) Ít nhất lấy được một quyển sách Toán.
 Hướng dẫn:
3
9
( ) 84
n C
  

a)
1 1 1
4 3 2
( ) . . 24
n A C C C
 
, P(A) = 24/48 = 2/7;
b)
3
4
( ) 4
n B C
 
, P(B) = 4/84 = 1/21;
THPT Tân Bình – Bình Dương.
T
T
Ổ

T1
1
1
1
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h

3
C

, n(B) = 4
a) Ta có (A.B) là biến cố “Bi lấy từ hai túi phải và trái có cùng màu đỏ” và (
A
.
B
) là biến cố “Bi lấy từ
hai túi phải và trái có cùng màu xanh”. Từ đó C = (A.B)  (
A
.
B
).
Vậy P(C) = P((A.B)  (
A
.
B
)) = P(A.B) + P(
A
.
B
) = P(A).P(B) + P(
A
).P(
B
) = 12/45 +10/45 = 22/45
b) D =
C
 P(D) = 1 – P(C) = 1 – 22/45 = 23/45.

Theo câu a) ta có P(
I
) = 1/8. Vậy P(I) = 1 – P(
I
) = 7/8.
c) Gọi K là biến cố “Có đúng một đồng xu ngửa”. Ta có K = A.
B
.
C

A
.
B
.C 
A
.B.
C

 P(K) = P(A.
B
.
C
) + P(
A
.
B
.C) + P(
A
.B.
C