HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Trang
64

Chuyên đề7

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ℑ
ℑℑ
ℑ 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Tọa độ điểm
:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r

2. Cho A(x
A


+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxxII. Tọa độ của véctơ
:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r

2. Cho
1 2 3
( ; ; )

( ; ; )
a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r


1 2 3
. ( ; ; )
k a ka ka ka
=
r


1 1 2 2 3 3
. . os(a; )
a b a b c b a b a b a b
= = + +
r r r r r r


2 2 2
1 2 3
a a a a
= + +
r


1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
Tích có hướng của
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )
b b b b
=
r
là :

2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
 
= = − − −
 
 
 


r r

a
r
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng
, :
m n R c ma nb
⇔ ∃ ∈ = +
r r r

(
a
r
,
b
r
không cùng phương)

1.
Tính ch
ất
:


a b
 
=
 
r r r


a
r
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng ⇔
, . 0
a b c
 
=
 
r r r Diện tích:
( )
2
2 2
1
. .

 Diện tích tam giác :
1
[ , ]
2
ABC
S AB AC
=
uuur uuur

 Thểtích tứ diệnV
ABCD=
1
[ , ].
6
AB AC AD
uuur uuur uuur

 Thể tích khối hộp:
V
ABCD.A’B’C’D’
=
[ , ]. '
AB AD AA
uuur uuur uuur

V.Phương trình mặt cầu:
1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)
2
+ (y-b)
2

uuur uuur
) thì ta có :

; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
− − −
= = =
− − −
Với k ≠ 1
2. G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =

3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔
4
4
4
A B C D
G

Bài 1
: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính
, .( 3 )
AB AC O B
F
A C
 
= +
 
uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích khốichóp đó
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Trang
66Bài 2
: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đ ỉnh của tứ diện.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ABC.
d) Tính diện tích tam giác BCD.
e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).

2
, N
3
.
b) Chứng minh rằng N
1
N
2
⊥ AN
3
.
c) Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N
1
N
2
, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M
1
N
1.

Bài 5:
a/. Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6).Tìm x, y để A, B, C thẳng
hàng
b/.Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2).Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho
MA + MB nhỏ nhất.
c/. Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
d/. Tìm trên mp(Oxz) điểm cách đều ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).
e/. Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm
M.
Điểm M chia đọan AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.

a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 10
:Cho phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
– 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0.Tìm m để nó là
phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. ℑ
ℑℑ
ℑ2. MẶT PHẲNG

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Phương trình mặt phẳng:
§ Định nghĩa
:
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0
với A
2
+B

)=0.
 Nếu (P) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), b ( ; ; )
a a a a b b b
= =
r r
không cùng phương và có giá song
song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định
,
n a b
 
=
 
r r r§ Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng
:

Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
 D = 0 khi và chỉ khi (
)
α
đi qua gốc tọa độ.
 A=0 ,B
0

Khi đó
( ) : 1
x y z
a b c
α
+ + =(Các trường hợp khác nhận xét tương tự)

II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D=0 và (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’=0
 (
α
)cắt (
α
’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
 (
α
) // (
α
’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
 (
α
) ≡ (

Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z - 4=0 và
(Q): x - 2y - 2z + 4=0
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) là giao tuyến của hai mặt
phẳng đó.
c) Chứng minh rằng đường thẳng (∆) cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác
ABC.
e) Chứng tỏ rằng gốc tọa độ O không thuộc mặt phẳng (P), từ đó tính thể tích tứ
diện OABC.

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b) Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và
vuông góc với mặt mp(P).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)

Bài 4
: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
và đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
và song song với Oz.
d) Lập phương trình mặt phẳng (
γ
) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt
phẳng (P) và (Q).


Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ
chỉ phương
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r
:

0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈

ẩn

Chương tr
ình nân
g cao

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ' : '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +

ur
cùng phương
§ d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∉


r ur

§ d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∈




+ = +

(I)
§ dcắtd’⇔HệPtrình (I) có một nghiệm
§ d chéo d’⇔Hệ Ptrình (I) vô nghiệm

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong Kg Oxyz cho hai đ ường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ' : '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t


o
u u
d



∉


r ur r

 (d) ≡ (d’) ⇔
0
[ , ']=0
M '
u u
d



∈


r ur r
 (d) cắt (d’) ⇔
'
0
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Trang
70

2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng:
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0
và
1
2
0 3
:
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t
= +


= +


= +


pt:A(x
o
+a

2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng:

Trong không gian Oxyz cho đ ường thẳng
d qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có vtcp
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r

và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt
( ; ; )
n A B C
=
r

 d cắt (α) ⇔
. 0
a n
≠
r r

 d // (α) ⇔
. 0

(Bổ sungkiếnthức chươngtrình nâng cao)
3) Khoảng cách:
 Khoảng cách giữa hai điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
) là:

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −

 Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0
;z
0

0
;y
0
;z
0
);cóvtcp
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r

d’quaM’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )
a a a a
=
uur

Phương pháp
:
§ Lập ptmp(
α
)chứa d và songsong với d’

1 2 3
( ; ; )
a a a a
=
r

d’quaM’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )
a a a a
=
uur[ , ']. '
( , ')
[ , ']
hop
day
a a MM
V
d d d
S
a a

P Q
n .
A.A' . ' . '
os = cos(n , )
n . n
. ' ' '
Q
Q
n
B B C C
c n
A B C A B C
ϕ
+ +
= =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
(∆)

Trang
711 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. '
. ' . ' . '
os os( , ')
. '
. ' ' '
a a
a a a a a a
c c a a
a a
a a a a a a
ϕ
+ +
= = =
+ + + +
r uur
r uur
r uur
Góc gi
ữ
a

ở
i (∆) và mp(
α
) 1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin os( , )
A .
c a n
B C a a a
ϕ
= =
+ + + +
r r
B. BÀI TẬP:

Bài 1:

a)

Vi
ế
t ph

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) : 2x – z + 1=0 . Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P).
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
, chính t
ắ
c c
ủ
a

th
ẳ
ng (∆) có ph
ươ
ng trình :
9 2 ,
5 3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= +


a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (

ằ
ng m
ọ
i
đ
i
ể
m M c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (∆)
đề
u th
ỏ
a mãn AM ⊥ BC,
BM ⊥ AC, CM ⊥ AB.

Bài 3:
Trong không gian Oxyz cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t có các
đỉ
nh A(3;0;0), B(0;4;0),

b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua D và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (A,B,D).
c)

Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m C

= +



a)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai
đườ
ng th
ẳ
ng (∆) và (∆’) không c
ắ
t nhau nh
ư
ng vuông
góc nhau.
b)

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ

72

Bài 5:
Trong không gian Oxyz cho b
ố
n
đ
i
ể
m A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3).
a)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình tham s
ố

đườ
ng th
ẳ
ng AB.
b)

L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp (P)

ng
CD xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
d)

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.

Bài 6
: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a)

Tính các góc t
ạ
o b
ở
i các c
ặ

ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) qua D vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
d)

Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m D’
đố
i x
ứ
ng D qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).

1 2
x t
y t
z t
= − +


∆
=


= − +

và mp (P) : x + y + z - 7=0
a)

Tính góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng.
b)

Tìm t

ượ
t có ph
ươ
ng
trình:
7 3
1 2 5
: ; ' : 2 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− + −

∆ = = ∆ = +

−

= −

.
a)

Ch
ứ
ng minh r

)
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) vuông góc và c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng (∆) và
(∆’) . Bài 9
: Trong không gian Oxyz, cho ba
đ
i
ể
m A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và
đườ

đ
i
ể
m H c
ủ
a chúng.
b)

Chuy
ể
n ph
ươ
ng trình c
ủ
a (∆) v
ề
d
ạ
ng chính t
ắ
c. Tính kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
M(4;-1;1)

2
+ z
2
-2x - 4y - 6z = 0 và hai
đ
i
ể
m
M(1;1;1), N(2;-1;5).
a)

Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm I và bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S).
b)

Vi
ế
t ph
ươ

giao
đ
i
ể
m c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S) và
đườ
ng th
ẳ
ng MN .Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c

Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD.
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng qua ba
đ
i
ể
m A,B,C.
d)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

ng tròn qua ba
đ
i
ể
m A,B,C . Hãy tìm tâm và tính bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (T)

Bài 3:
Trong không gian Oxyz cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và m
ặ
t c
ầ
u
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3x + 4y - 5z + 6=0
a)

Xác

ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S) theo m
ộ
t
đườ
ng tròn mà ta ký hi
ệ
u là (C). Tính bán kính R và
t
ọ
a
độ
tâm H c
ủ
a
đườ
ng tròn (C).

Bài 4:
Trong không gian Oxyz cho m

a)

Tìm giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P). Tính góc gi
ữ
a (d) và (P).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) tâm I ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).


Ch
ứ
ng minh A,B,C,D là b
ố
n
đ
i
ể
m
đồ
ng ph
ẳ
ng.
b)

G
ọ
i A’ là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đ
i
ể
m A trên m
ặ
t ph
ẳ

) c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u (S) t
ạ
i
đ
i
ể
m A’.

Bài 6:
Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) vuông góc OC t
ạ
i C. Ch
ứ

t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng
th
ẳ
ng AB lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).

Bài 7
: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 1 = 0, mp(P) c
ắ
t các tr
ụ

t ph
ẳ
ng
t
ọ
a
độ
. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m D c
ủ
a (d):
2
,
3 3
x t
t R
y t
z t
= +


∈
= −

di
ệ
n ABCD. G
ọ
i (T) là
đườ
ng tròn
ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ACD. Xác
đị
nh tâm và tính bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn
đ
ó.

Bài 8:
Trong không gian Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A, B, C, D có t
ọ
a
độ

ố
c
ủ
a
đườ
ng (d) vuông góc chung c
ủ
a hai
đườ
ng

th
ẳ
ng AB và CD. Tính góc gi
ữ
a (d) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABD).
c)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ

m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và
mp(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Vi
ế
t pt m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua 3
đ
i
ể
m A, B, C và có tâm thu
ộ
c mp (P).
b) Tính
độ
dài
đườ
ng cao k
ẽ
t
ừ
A xu
ố
ng BC
c)



Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u qua 4
đ
i
ể
m O, A, B, C. Tìm t
ọ
a
độ
tâm I và bán
kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u.
b)

Vi
ế
t ph

a
độ
tâm và bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC.

Bài 11
: Cho m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z =0
a)

Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ

ầ
u (S) v
ớ
i
các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Ox,Oy,Oz.Tính t
ọ
a
độ
A,B,C và vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABC).
c)

Tính kho
ả
ng cách t
ừ


A. CÁCH GIẢI CHUNG
Để
gi
ả
i bài toán b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp t
ọ
a
độ
trong không gian ta có th
ể
ch
ọ
n cho nó
m
ộ
t h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
phù h
ợ

c t
ọ
a
độ
thích h
ợ
p.
HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Trang
75

B2: Chuy
ể
n các yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán v
ề
HH gi
ả
i tích.
B3: Gi
ả
i b
ằ
ng HH gi
ả
i tích.
B4: K

ng a
a)

Tính theo a kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng A’B và B’D.
b)

G
ọ
i M,N,P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m BB’, CD, A’D’.Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng
th


Bài 3
:Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC),
đ
áy ABC là tam
giác vuông t
ạ
i C. Cho SA = AC = CB = a
a)

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và SB.
b)

Tính góc gi
ữ
a

dài MN.
b)

Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, h
để
MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng AC và SB.

Bài 5
Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’.Tính s
ố

ể
m c
ạ
nh AA’ và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh CC’. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m B’,M,D,N cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ

).
a)

Tìm k
để

đ
o
ạ
n MN ng
ắ
n nh
ấ
t.
b)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MN//(A’D’BC) khi k bi
ế
n thiên.
c)

Khi
đ
o
ạ
n MN ng

m tìm nghi
ệ
m
đ
ó

2 2 2
1
2 2
x y z
x y z m

+ + =

− + =

.

Bài 9
Cho ba s
ố
th
ự
c x,y,z th
ỏ
a
2 2 2
1
x y z
+ + =
Bài 1
:Cho hai d
ườ
ng th
ẳ
ng
1
2
:
2 3 4
x y z
+
∆ = =
và
2
1
: 2 ,
1 2
x t
y t t R
z t
= +


∆ = + ∈


= +

a
độ

đ
i
ể
m H thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
2
∆
sao cho
đ
o
ạ
n MH
có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.

Bài 2
: Cho hai

Bài 3
: Trong không Oxyz cho mp
(
)
β
: x+3ky – z +2=0 và
(
)
γ
:kx – y +z +1=0 . Tìm k
để

giao tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
β
và
(
)
γ
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
đ
i qua
đ
i
ể
m A , c
ắ
t và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d.

Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thoi ABCD , AC c
ắ

a SA và song song v
ớ
i BM
b/. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SA và BM.
Bài 6:
Trong không gian Oxyz cho
đ
i
ể
m D(-3;1;2) và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α

đ
i qua ba
đ
i

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) tâm D,bán kính r = 5.Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng

(
)
α
c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S).

Bài 7:
Trong không gian Oxyz ,cho m
ặ
t ph

ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O và vuông góc
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
.
c/. Tính kho
ả

đỉ
nh D
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i O qua tâm c
ủ
a hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t .
a/. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ

đỉ
nh D. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ổ

ph
ẳ
ng (ABD) .
Bài 9 :
Trong không gian Oxyz, cho A( 6 ;- 2 ;3) ,B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0)
a/. G
ọ
i (S) là m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D . Hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u
(S)
b/. Vi

i qua b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D .
b/. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm và bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn là giao tuy
ế
n c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
(S) v
ớ
i m
ặ

ng vuông góc chung
∆
c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
ABvà CD
c/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S)
đ
i qua b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D
d/.Vi
ế
t ph

ẳ
ng hàng .Tìm t
ọ
a
độ
tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác
ABC
b/.Ch
ứ
ng minh A,B,C,D không
đồ
ng ph
ẳ
ng.Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tr
ọ
ng tâm c
ủ
a t
ứ
di

di
ệ
n.
e/. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m I cách
đề
u các
đỉ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n .
f/. Tìm t
ọ
a
độ
hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ

ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P) và (Q) .
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (T) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d và song song v
ớ
i m
ặ

nh tâm và bán kính
đườ
ng tròn là giao tuy
ế
n c
ủ
a c
ủ
a (P) và (S).
Bài 15
: Cho m
ặ
t c
ầ
u (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 2y – 2z – 6 = 0
a/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) song song v

ặ
t ph
ẳ
ng (R) :x+2y+z – 1 =0
và c
ắ
t (S) theo thi
ế
t di
ệ
n là m
ộ
t
đườ
ng tròn có di
ệ
n tích b
ằ
ng 3
π
.

Bài 16
: Cho d
ườ
ng th
ẳ
ng d và m
ặ
t ph

ặ
t ph
ẳ
ng (P) .
c/. L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (d) và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) m
ộ
t góc 60
o
.

HĐBM Toán An Giang-Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Trang

= =
−

a/. Ch
ứ
ng t
ỏ
(d
1
) và (d
2
) song song v
ớ
i nhau.
b/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a (d
1
) và (d
2
) .
c/. Tính kho

ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và song song cách
đề
u
(d
1
) và (d
2
).
Bài 18
:Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1

a/. Ch
ứ
ng minh hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
) và (d
2
)
đồ
ng ph
ẳ
ng. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a (d
1
) và (d
2
).

ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n nói trên .
Bài 19
:Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
) và (d
2
)có ph
ươ
ng trình :
(d
1
) :
1 2
2 , ( )
3 3

ứ
ng minh r
ằ
ng hai
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b/. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a (d
1
) và (d
2
).
c/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a (d

ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình :
(d) :
3
2 2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= −

, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5
a/. Ch

đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và c
ắ
t (S) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A,B sao cho
độ
dài AB = 2 .
c/. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ

x t
y t t R
z t
= +


= − ∈


=

, (P): 2x – y – 2z + 1= 0
a/. Tìm các
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (d) sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
m
ỗ
i
đ

ng (d) . Xác
đị
nh t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m K.