MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải
phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ
học, vật lý và các ngành kĩ thuật khác.
Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các
tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở khai
thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình
dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm,
tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thức dạng
phức của các phép biến hình. Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ
nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các
phép biến hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép biến
hình trong mặt phẳng”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức.
- Tổng hợp, phân tích các kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng bằng
công cụ số phức và phân tích qua các bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến số phức, các phép biến hình trong mặt
phẳng, từ đó hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, diễn đạt theo ngôn ngữ
số phức các phép biến hình trong mặt phẳng.
- Nghiên cứu một số dạng bài tập liên quan đến phép biến hình sử dụng công cụ
số phức.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu giáo trình liên quan đến
số phức và các phép biến hình trong mặt phẳng.
1
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức
có liên quan đến vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học và chính xác.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3
Chương 1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức
Tập hợp
2
¡
các cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với các phép toán cộng và
nhân xác định bởi:
(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v)
(x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu)
gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu là
£
,
£
cùng hai phép toán trên làm thành
một trường.
Vậy mỗi số phức z
∈
£
là cặp số thực (x, y), viết z = (x, y). Để ý các số
phức dạng (x, 0), (x
∈

¡
) ta thấy:
(x, 0) + (x', 0) = (x + x', 0)
( x, 0 ).(x', 0) = (x.x', 0)
Tức là phép cộng và phép nhân các số phức dạng (x, 0) cũng giống như
phép cộng và phép nhân các số thực x; từ đó có thể đồng nhất tập hợp

1.2. Các phép toán và tính chất
1.2.1. Các phép toán
4
Cho z = x + iy, w = u + iv (x, y, u, v
∈

¡
) thì:
z = w
x u
y v
=

⇔

=

z + w = (x + u) + i(y + v)
z.w = (xu - yv) + i(xv + yu)
2 2 2 2
w
z xu yv uy xv
i
u v u v
+ −
= +
+ +
1.2.2. Tính chất của phép toán
1.2.2.1. Tính chất của phép toán cộng số phức
Phép toán cộng các số phức có các tính chất tương tự phép toán cộng các

1
+ 0 = 0 + z
1
= z
1
(0 là phần tử không của phép cộng)
*) Cho z = x + iy (x, y
∈
¡
) thì có duy nhất một số phức (số đối của z)
- z = - x - iy để z + (-z) = (-z) + z = 0, từ đó ta có định nghĩa phép trừ hai
số phức : z
2
- z
1
= z
2
+ (-z
1
), nó là phép toán ngược của phép cộng với các tính
chất quen thuộc (chuyển vế, mở dấu ngoặc …).
1.2.2.2. Tính chất của phép nhân và chia số phức
Phép toán nhân các số phức cũng có các tính chất tương tự phép toán nhân các
số thực, với mọi số phức z, z
1
, z
2
, z
3
ta có:


+ = +


+ = +


tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân
*) Với z
∈
£
và n là số nguyên dương, người ta cũng viết: z
n
=
{
.
n lÇn
z z z

5
Khi đó i
2
= (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) tức i
2
= -1
*) Với z
≠
0 và n là số nguyên, n
≥
0, ta cũng có: z

Các điểm thuộc Ox là các điểm có tọa vị thực nên gọi Ox là trục thực. Các điểm
thuộc Oy là các điểm có tọa vị thuần ảo nên gọi Oy là trục ảo. Điểm K có tọa vị
1 thuộc Ox gọi là điểm đơn vị, điểm I có tọa vị i thuộc Oy gọi là điểm đơn vị ảo.
Mỗi điểm M
∈
E xác định véc tơ
OM
uuuur
gọi là bán kính
véc tơ của M (đối với gốc O của E).
Khi đó M có toạ độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy
thì véc tơ
OM
uuuur
cũng có tọa độ (x, y) nên M có toạ vị z
thì véc tơ
OM
uuuur
cũng có toạ vị z, viết
OM
uuuur
(z). Nếu
OM
uuuur
có Hình 1.1
toạ vị z,
OP
uuur
có tọa vị w thì z + w là tọa vị của
OM

= 2iImz
Vậy số phức z là số thực khi và chỉ khi z =
z
, nó là số
thuần ảo khi và chỉ khi z =
−
z
.
Với mọi số phức z, w ta có:
6
P(w)
O
x
z + w
M(z)
I(i)
K(1)
y
M(z)
y
M
’
()
x
O
Hình 1.2
i)
z
= z
ii)

⇒
z zz=
Ta có các tính chất sau:
z

≥
0,
z
= 0
⇔
z = 0,
z z=
,
zw z w=
.
1.5. Dạng lượng giác của số phức
1.5.1. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z
≠
0.
Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị z,
khi đó M được xác định bởi độ dài đoạn thẳng OM tức
z

và góc định hướng (Ox, OM) tạo bởi tia Ox (tia đầu),
tia OM (tia cuối). Số đo
β
của góc định hướng (đo bằng rađian) xác định sai
khác một bội nguyên của 2
π


¡arg arg 2 ( )
z w
z w k k
Vậy với z = x + yi (z
≠
0),
β
là argumen của z ta xác định được:

= +
2 2
z x y
,
β β
= =
+ +
2 2 2 2
cos , sin
x y
x y x y

7
β
M
y
x
O
Hình 1.3
z =

: z =
z
(cos
α
+ isin
α
)
w =
w
(cos
β
+ isin
β
)
Ta có:

=zw z
w
(cos
α
+ isin
α
)(cos
β
+ isin
β
)
=
z
w

=zw z
w
, arg(zw) = arg z + arg w + 2k
π
, k
∈
Z
1.6. Căn bậc n của số phức
1.6.1. Căn bậc hai của số phức
Ta sẽ chứng minh trong
£
có căn bậc hai của mọi số.
Cho số phức
α
= a + bi (a, b
∈

¡
), tìm số phức z = x + yi (x, y
∈

¡
) để
z
2
=
α
tức (x + yi)
2
= a + bi

⇒


=


b
x y a
b
x y

Vì x
2
- y
2
= a và tích xy cùng dấu với b khi b
≠
0 suy ra :
* Nếu
 
+ + + −
 ÷
≥ = ± +
 ÷
 
2 2 2 2
0,
2 2
a b a a b a
b z i

-
α
= 0
+) Nếu
α
= 0 thì z = 0 là nghiệm duy nhất
+) Nếu
α

≠
0
α
=
ϕ
α
i
e
,
ϕ
là
arg
α
. Khi đó: z =
ψ
n
i
z e
thì: z
n
-

= + ∈



n
n
z
z
k
n k k Z
k Z
n n
Vậy: z =
ϕ ϕ
α π π
 
   
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
2 2
cos sin
n
k k
i
n n n n
, k
∈


π
ε π π
= = +
2
2 2
cos sin
i k n
k
k k
e i
n n
(k = 0, 1, …, n - 1).
Rõ ràng
k qn k
ε ε
+
=
(k, q
∈
Z) nhưng tập
{ }
k
k Z
ε
∈
chỉ có n phần tử phân
biệt. Tập hợp đó đóng kín đối với phép nhân số phức:
9
0 1 1

n
ε ε ε
−
).
10
1.7. Tích vô hướng và tích lệch
1.7.1. Tích vô hướng
Cho hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) khác
0
r
, với z, w
∈
£
,
uuuur
OM
=
z
,
uuur
OP
=
w
và

w
( ) ( )
cos sini
β α β α
 
− − −
 

Tương tự ta có: w
z
=
w
z
( ) ( )
cos sini
α β α β
 
− − −
 

Định nghĩa 1.1. Tích vô hướng của hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w), được kí hiệu
là:
uuuur
OM

uuuur
OM
uuur
OP
= <z, w> =
1
2
(z
w
+
z
w)
Nếu z = 0 hoặc w = 0 thì quy ước:
uuuur
OM
uuur
OP
= <z, w> = 0
Tính chất của tích vô hướng
<z, z> = z
z
=
z
2
> 0,
∀
z
≠
0 (tính chất xác định dương)
<z, w> = <w, z> ( tính chất đối xứng)

uuur
OP
(w) khác
0
r
:
uuuur
OM

⊥

uuur
OP

⇔

uuuur
OM
uuur
OP
= 0
⇔
<z, w> = 0
⇔
z
w
+
z
w = 0


w
∈
¡
)
1.7.2. Tích lệch
Định nghĩa 1.2. Cho hai véc tơ
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) với
α
,
β
lần lượt là argz,
argw. Tích lệch của
uuuur
OM
(z) và
uuur
OP
(w) kí hiệu là
,OM OP
 
 
uuuur uuur
=
[ ]
,z w

1
2i
−
(z
w
-
z
w) =
2
i
(z
w
-
z
w)
Nếu z = 0 hoặc w = 0 thì qui ước :
,OM OP
 
 
uuuur uuur
=
[ ]
,z w
= 0
Tích chất của tích lệch
Với z, w, v
∈
£
, có:


 
= =
 
2
, , ,cz cw z ccw c z w
1.8. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức
1.8.1. Đường thẳng
Giả sử
∆
là đường thẳng qua điểm
0
M
(
0
z
), có véc tơ chỉ phương
u
r
(u)
0≠
r
.
- Phương trình z =
0
z
+ t u (t
∈
¡
) được gọi là phương trình tham số của
đường thẳng

− = −
0 0
u
z z z z
u
Tương tự ta cũng có phương trình đường thẳng đi qua điểm M
0
(z
0
) và có
véc tơ pháp tuyến
v
r
(v) là:
( )
( )
δ δ
+ + = = − + ∈¡
0 0
0vz vz vz vz
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
:
α β γ
+ + = 0z z
, với
α β
= ≠ 0
và

u M M
có
toạ vị z
2
−
z
1
nên có phương trình:

[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 1 2 1 2
, 0
0
2
0
0
z z z z
i
z z z z z z z z

2
−
z
1
nên có phương
trình tham số: z = z
1
+ (z
2
−
z
1
) t, t
∈
¡
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chọn điểm A
∈
Ox, A có toạ vị z
1
= a
(a
∈
¡
) và B
∈
Oy, B có tọa vị z
2
= ib (b
∈
¡

1
z
2

⇔

1 2 1 2
1 1 1 1
2z z
z z z z
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Phương trình dạng trên gọi là phương trình theo đoạn chắn.
1.8.2. Phương trình đường tròn
1.8.2.1. Phương trình dạng tự liên hợp của đường tròn
Trong mặt phẳng phức, xét đường tròn (C) có tâm tại điểm M
0
có toạ vị z
0
và có bán kính R > 0. Điểm M(z) thuộc đường tròn (C) khi:

0
z z−
= R. Do R > 0 nên:

⇔
(z
−

Điểm M (z) thuộc đường tròn (C) và gọi t là argumen của z
−
z
0
, ta có:

0
z z−
= R
⇔
z
−
z
0
= R( cost + isint ),
0 2t
π
≤ ≤

⇔
z = z
0
+ Re
it
,
0 2t
π
≤ ≤
14
Vậy: z = z

( )
−z z
i
Khi đó, phương trình trên trở thành:
az
z
+ b(z +
z
) + c(
z
−
z)i + d = 0
⇔
az
z
+ (b
−
ic) + (b + ic)
z
+ d = 0
Đặt
β
= b + ic, phương ttrình có dạng:
az
z
+
( )
z z
β β
+

−
ad > 0: đó là phương trình đường tròn tâm có toạ vị
a
β
−
và
bán kính R =
2
1
ad
a
β
−
.
- Nếu
2
β
−
ad = 0: phương trình đó xác định một điểm (còn gọi là
“đường tròn điểm”).
- Nếu
2
β
−
ad < 0: không có z
∈

£
thoả mãn phương trình đó (hay còn
gọi là phương trình của “đường tròn ảo” tâm tại điểm có tọa vị

− >
hoặc:
2 , 0zz z d
β
+ < > + =
, d
∈

¡
,
β

∈

£
và
2
0d
β
− >
.
15
là đường tròn tâm M
0
(z
0
), toạ vị z
0
=
β

Véc tơ
v
r
gọi là véc tơ tịnh tiến.
Ta có
v
T
r
(M) = M’ hay
v
T
r
: M
→
M’.
* Cho véc tơ
v
r
có tọa vị là
β
Giả sử
v
T
r
: M (z)
→
M’ (z’)
⇒

'MM

là tọa vị của
véc tơ tịnh tiến
v
r
).
2.1.2. Tính chất
a. Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
c. Phép tịnh tiến:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
+ Biến một tia thành một tia.
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
16
Hình 2.1
x
y
M'
M
O
v
r
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
2.1.3. Chứng minh một số tính chất
Cho
v
T
r

r
có biểu thức tọa vị z’ = z +
β

⇒
z = z’ -
β
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆
qua
v
T
r
là đường
'∆
có phương trình là
z’ -
β
=
α
(
'z
β
−
) +
δ
⇔
z’ -
β
=

' 'z
α
+
δ
’
Vì
' 1, ' '
α α α δ
= =
+
δ
’=
α
(
δ
+
β
-
α
β
) +
δ
+
β
-
αβ
=
α
δ
+

'∆
có
phương trình là z’ =
' 'z
α
+
δ
’ (với
α
’=
α
,
δ
’=
δ
+
β
-
αβ
).
- Trường hợp đường thẳng
∆
có phương trình là z =
z
α
+
δ
(trong đó
β
α

,
δ
’=
δ
+
β
-
αβ
=
δ
+
β
-
β
β δ
β
=
Khi đó
'∆
có phương trình là z’ =
' 'z
α
+
δ
. Suy ra
∆
≡
'∆
.
Vậy

)
(C
1
) có tâm có tọa vị là z
0
= -
1
β
, bán kính
1
1 1 1
R p
β β
= −

Ảnh của đường tròn (C
1
)

qua
v
T
r
là đường (C
2
)

có phương trình là
(z’ -
β

+
1
β
z’ -
1
β
β
+
1
β
z
’ -
1
β
β
+ p
1
= 0
⇔
z’
z
’ + z’ (
1
β
-
β
) +
z
’(
1

β
β
-
1
β
β
+ p
1
= p
2
Khi đó ta có phương trình
z’
z
’ + z’
2
β
+
z
’
2
β
+ p
2
= 0
p
2
=
β
β
-

β
- p
2
= (
1
β
-
β
) (
1
β
-
β
) -
β
β
+
1
β
β
+
1
β
β
- p
1
=
1
β
1

β
+
z
’
2
β
+ p
2
= 0 (
2
β
=
1
β
-
β
, p
2
=
β
β
-
1
β
β
-
1
β
18
1

= R
1
).
2.2. Phép đối xứng trục
2.2.1. Định nghĩa 2.2
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến
điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d làm
đường trung trực được gọi là phép biến đối xứng trục d.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đ
d
.
Ta có Đ
d
(M) = M’ hay Đ
d
: M
→
M’
Cho đường thẳng d có phương trình là:
u
z z
u
δ
= +
(
0, 0
u
u
u

2 2
z z u
z z u z z
u
δ
< − >=


 
+ +

= +
 ÷

 

⇔
( ' ) ( ' ) 0
( ') ' 2 0
z z u z z u
z z u uz uz u
δ

− + − =


+ − − − =


r

'z z
α δ
= +
( )
1, 0
α αδ δ
= + =
.
2.2.2. Tính chất
a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự của chúng.
c) Phép đối xứng trục biến:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp.
2.2.3. Chứng minh một số tính chất
Cho phép đối xứng trục Đ
d
có biểu thức tọa vị là
z’ =
( )
1, 0z
α δ α αδ δ
+ = + =
(d là đường thẳng có phương tình là z =

qua phép Đ
d
là đường
∆
’ có phương trình
là
1 1
' 'z z
δ δ
α δ
α α
 
− −
= +
 ÷
 ÷
 
20
x
y
O
d
'∆
∆
Hình 2.4
1 1
1
' 'z z
δ α α δ
δ

= − =
Khi đó ta có:
' ' ' 'z z
α δ
= +
1
1
1
' 1,
1.1
α
α
α
α α
α α
= = = =
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1
' ' 0
α αδ δ αδ δ δ α δ δ
α δ δ δ αδ
α α α α α α α α α α α α α α
 
 
+
= − − + − − = − − = − =
 ÷

 ÷
 
.
* Đ
d
biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó
Cho đường tròn
ε
có phương trình là
0 (p ).zz z z p
β β
+ + + = ∈¡
ε
là đường tròn có tâm có tọa vị z
o
= -
β
, có bán kính R=
p
β β
−

21
x
y
O
d
ε
'
ε

α α
δ δ δδ βα βαδ αβ αδβ
αα
αα αα
αβ δ αβ δ δδ α βδ αδβ
   
 
− − − −
+ + + =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
− − − −
⇔ + + + =
− − + − + −
⇔ + + = =
⇔ + − + − + − − + =
ur
Đặt
', 'p p
αβ δ β δδ αβδ αδβ
− = − − + =
Khi đó ta có phương trình:
' ' ' ' ' ' ' 0z z z z p
β β
+ + + =
' (vì p, , )
' ' ' ( )( )

= − = − − +
)
'
ε
là đường tròn có tâm có tọa vị là z’
0
= -
'
β δ α β
= −
, có bán kính
' ' ' 'R p p R
β β β β
= − = − = ⇒
đường tròn C bằng đường tròn C ’
* Đ
d
có tính chất đối hợp
Giả sử Đ
d
: M(z)
→
M’(z’)
M’(z’)
→
M’’(z’’)
'
'' ' ( )
= z+ (vì 1, 0)
z z

Ta ký hiệu
( , ')AM AM
uuuur uuuur
là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối là
AM’.
Ký hiệu phép quay tâm A góc quay
α
là
A
Q
α

Ta có
A
Q
α
: M
→
M’ hay
A
Q
α
(M)=M’
Cho A là điểm có tọa vị là a, giả sử
A
Q
α
: M(z)
→
M’(z’)


=

uuuur uuuur
ta phải có:
'
' k2 '= + k2
z a z a
ϕ ϕ α π ϕ ϕ α π
− = −


− = + ⇔ +

Ta có:
' (cos( k2 ) isin( + +k2 ))
= (cos( + )+ isin( ))
= (cos + isin ) (cos +isin )
z a z a
z a
z a
ϕ α π ϕ α ϕ
ϕ α ϕ α
ϕ ϕ α α
− = − + + +
− +
−
' ( )(cos + isin )z a z a
α α
⇒ − = −

A
Q
(A có tọa vị là a) có biểu thức tọa vị là
0 0
' (cos 180 isin180 )(z-a)+a = - (z - a)+a = - z + 2az = +
2.3.2. Tính chất
a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
b) Phép quay biến ba điểm thẳng hành thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của chúng
c) Phép quay
A
Q
ϕ
+ Biến đường thẳng
∆
thành đường thẳng
∆
’ và (
∆
,
∆
’)=
ϕ
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó
+ Biến một tam giác thàn tam giác bằng nó
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
d) Phép quay
A

có biểu thức tọa vị là
'
' ( )
z a
z p z a a z a
p
−
= − + ⇒ = +
24
Khi đó ảnh của đường thẳng
∆
qua
A
Q
ϕ
là đường
∆
’ có phương trình là
' '
' '
' '
'
'
'
'
z a z a
a a
p p
z a z a
a a

p p
a p a a ap
p p
α α
α α δ δ
= + − + − =
Khi đó ta có:
' ' ' 'z z
α δ
= +
' 1 (vì 1, ).
.
' ' ' . .
( ) 0 (vì 0)
p
p
p p
p
p
p pa p
pa p a a p pa p a a ap
p
p p
p
α
α
α α
α α α
α δ δ α δ α δ
αδ δ αδ δ

= + − + −
.
*
A
Q
ϕ
biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
Cho đường tròn C
1
có phương trình là
1 1 1 1
0 (p )zz z z p
β β
+ + + = ∈¡
Khi đó ảnh của C
1
qua
A
Q
ϕ
là đường C
1
’ có phương trình là
25
x
y
O
∆
'∆
A