Mục lục
Lời cảm ơn ................................................................................................2
Mở đầu .......................................................................................................3
Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình ...............................4
§1. Mặt phẳng phức ...........................................................................4
1. E ≡ C...............................................................................................4
2. Đường thẳng trong mặt phẳng phức...............................................4
3. Đường tròn trong mặt phẳng phức..................................................5
4. Phép biến đổi afin trong mặt phẳng phức.......................................5
§2. Phép dời hình loại 1......................................................................6
1. Phép tịnh tiến..................................................................................6
2. Phép quay........................................................................................9
3. Phép dời hình loại 1........................................................................15
§3. Phép dời hình loại 2......................................................................17
1. Đối xứng trục..................................................................................17
2. Đối xứng trượt.................................................................................22
3. Phép dời hình loại 2........................................................................23
§4. Phép dời hình................................................................................24
1. Dời hình loại 1, loại 2 là các phép biến đổi afin ............................24
2. Các biến đổi afin bảo toàn khoảng cách.........................................25
§5. Một số bài toán hình học phẳng ...................................................26
Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình .......................35
1. Bài toán chứng minh.......................................................................35
2. Bài toán quỹ tích.............................................................................39
3. Bài toán dựng hình..........................................................................42
4. Một số bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế ....................45
Kết luận .....................................................................................................51
Tài liệu tham khảo ....................................................................................52

1


điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng ... và các biểu thức
dạng phức của các phép biến hình, dời hình. Xuất phát từ quan điểm xem số
phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là
nghiên cứu các phép dời hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với
các phép dời hình trong mặt phẳng”.
Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số
phức. Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa
quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học
phẳng nói riêng. Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số
phức vào giải toán hình học.
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình
Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình.
Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên
chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận
văn này.

3


Chương I. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình
§1. Mặt phẳng phức
1. Trong mặt phẳng E đã cho một hệ tọa độ Đề - các vuông góc xoy thì
mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (x, y) của nó. Khi đó
số phức z = x + yi được gọi là tọa vị của M, viết M (z) và E được gọi là mặt
phẳng phức (ta đã đồng nhất mỗi điểm của E với một số phức).
uuuu
r
Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa


[ z, w ] =

z w sin(ψ − ϕ )

Từ đó nêu M, P khác gốc O thì:
OM ⊥ OP ⇔ ( z , w) = 0
O, M , P thẳng hàng ⇔ [ z , w ] = 0
2. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi phương
trình z = λ z + δ , λ = 1, λδ + δ = 0 . Đường thẳng này có vecto chỉ phương
r
u
δ
u (u ) mà − = λ và đi qua điểm M0 (z0) z0 = và M0 là hình chiếu vuông góc
2
u
của gốc O lên đường thẳng.
Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:

4


α z + β z + γ = 0, α = β ≠ 0,αγ = β γ
Cho đường thẳng d có phương trình: z = λ z + δ hoặc

αz + β z +γ = 0
Và điểm M (z0). Khi đó M' (z'0) là điểm đối xứng với M qua d thì
z0' = λ z0 + δ nếu d có phương trình: z = λ z + δ còn αγ 0' − β z0 + γ = 0 .
Điểm P(co) là hình chiếu vuông góc của M lên d lần lượt là:
w=

r
Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến một điểm M
r
r
uuuuur
thành điểm M’ sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v và
y

ký hiệu là Tvr .

r
v

r
Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến.
Ta có Tvr (M) = M’ hay Tvr : M → M’.
r
* Cho véc tơ v có tọa vị là β

M'

M

O
Giả sử Tvr : M (z) → M’ (z’)
uuuur uuuu
r uuuuur uuuu
r r
uuuuur r
⇒ MM ' = v ta có OM ' = OM + MM ' = OM + v

z = α z + δ ( α = 1, αδ + δ = 0)
Tvr có biểu thức tọa vị z’ = z + β ⇒ z = z’ - β
Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua Tvr
z’ - β = α ( z '− β ) + δ
⇔ z’ - β = α z ' - α β ' + δ
⇔ z’ = α z ' + δ + β - α β
Đặt α = α ’, δ + β - α β = δ ’. Khi đó ta có: z’ = α ' z ' + δ ’
Vì α ' = α = 1, α 'δ ' + δ ’= α ( δ + β - α β ) + δ + β - α β
=αδ +αβ - β +α + β -αβ =αδ +δ
=0
Nên z’ = α ' z ' + δ ’ là phương trình của một đường thẳng
Vậy phép tịnh tiến Tvr biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ' có
phương trình là z’ = α ' z ' + δ ’ (với α ’= α , δ ’= δ + β - α β ).
- Khi đường thẳng ∆ có phương trình là z = α z + δ (trong đó α =
(tức ∆ là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v ) thì
Với α ’= α =

β
β
, δ ’= δ + β - α β = δ + β - β = δ
β
β

Khi đó ∆ ' có phương trình là z’ = α ' z ' + δ . Suy ra ∆ ≡ ∆ ' .

7

β
)
β

p2 = β β - β 1 β - β1 β + p1 ∈ ¡ ( vì β β , β 1 β , β1 β , p1 ∈ ¡ ).

β 2 β 2 - p2 = ( β1 - β ) ( β 1 - β ) - β β + β 1 β + β1 β - p1= β1 β 1 - p1 >
0
Nên z’ z ’ + z’ β 2 + z ’ β 2 + p2 = 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy phép tịnh tiến Tvr biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) có
phương trình là z’ z ’ + z’ β 2 + z ’ β 2 + p2 = 0 ( β 2 = β1 - β , p2= β β - β 1 β -

8


β1 β + p1) và đường tròn (C1) bằng đường tròn (C2) (vì R2 =

β 2 β 2 − p2 =

β1 β 1 − p1 = R1).
2.1.4. Định lý: Tích của hai phép tịnh tiến là phép tịnh tiến
→

→

→

T →v .T →w =T →v +→w
Chứng minh:
Giả sử T→v : z → z + β1 , Tw : z → z + β 2
Khi đó: Tv .Tw→ : z → ( z + β 2 ) + β1
→
→
Vậy T→v .w→ là phép tịnh tiến theo véc tơ có tọa vị β 2 + β1 tức là véc tơ v + w

uuuu
r
AM có tọa vị là z – a, AM ' có tọa vị là z’ – a.
Giả sử z − a = z − a (cosϕ + i sinϕ ), z' - a= z '− a (cosϕ '+ i sinϕ ')

9


 AM = AM '
r uuuu
r
+) Để thỏa mãn  uuuu
ta phải có:
(
AM
,
AM
')
=
α

 z − a = z '− a

ϕ '− ϕ = α + k2π ⇔ ϕ '=ϕ +α + k2π
Ta có:
z '− a = z − a (cos(ϕ + α + k2π ) + isin(ϕ +α +k2ϕ ))
= z − a (cos(ϕ +α )+ isin(ϕ + α ))
= z − a (cosϕ + isinϕ ) (cosα +isinα )
⇒ z '− a = ( z − a)(cosα + isinα )
Đặt cosα + isin α = p ⇒ p là số phức có p = 1 và argp=α

* QϕA biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Cho đường thẳng ∆ có phương trình là
z = az + δ ( α = 1, αδ + δ = 0)
Do QϕA có biểu thức tọa vị là z ' = p( z − a) + a ⇒ z =

z '− a
+a
p

Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua QϕA là đường ∆ ’ có phương trình là
 z '− a

z '− a
+ a =α
+ a ÷+ δ
p
 p

⇔

 z '− a

z '− a
+ a =α
+ a ÷+ δ
p
 p


⇔ z ' p − a p + ap p = α pz '− α pa + α p pa + δ p p

ϕ M∆

A

Khi đó ta có: z ' = α ' z '+ δ '
O
Hình 1.6

11

x


α' =

αp α p
=
= 1 (vì α = 1, p = p ).
p
p

α 'δ '+ δ ' =


αp
α . pa
αp
+ a − a. p ÷+ α pa + δ p −
a + a − ap
 α . pa + δ p −


ϕ
C

Hình 2.7

x


 z'-a
 z'-a   z'-a   z'-a 
+a
+a
+
+aβ
+
÷ 
 p
÷ p
÷ 1  p +a
p






 z'-a   z'-a 
 z'-a   z'-a 
⇔

1 =01
p



1

az' aa az' a a
z'β aβ
- +
- + aa + 1 - 1 + aβ1
p p
p
p
p p

z'β1 aβ1
+ aβ1 + p1 = 0 (vì pp=1)
p
p

 aβ

⇔ z ' z ' + z'  + 1 -a ÷ +
p p 
Đặt


a β
aa aa aβ 1aβ 1

p
p
p
p

aa aa a β1 aβ1
+
,
+
, p1 ∈ ¡ )
p
p
p
p


 aβ
a β
aa aa aβ aβ
β1'β1 -p1'=  + 1 -a ÷ + 1 -a ÷-2aa-aβ1 -aβ1 + + + 1 + 1 -p
p p
p
p
 p p  p p 
= β1β1 -p1 >0
Từ đó suy ra z'z'+z'β1 '+z'β1'+p1' = 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy QαA biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là:
z ' z '+ β 1 z '+ β1 ' z '+ p1 ' = 0
(với β1 ' =


Cho Tvr : z → z ' = z + β , v( β ) ≠ 0
Và Q( J ,ϕ ) : z → z ' = α Z + (1 − α ) z0 , α = 1,α ≠ 1 , α = eiϕ .
• Q( J ,ϕ ) .Tvr : z → z ' = α ( z + β ) + (1 − α ) z0 = α z + αβ + (1 − α ) z0
Vậy Q( J ,ϕ ) .Tvr là một phép quay với tâm quay J1 ( z1 )
Trong đó: z1 = z0 +

α
β và vuông góc quay ϕ
1−α

• Tvr .Q( J ,ϕ ) : z → z ' = α z + (1 − α ) z0 + β là phép quay với cùng góc quay

ϕ và tâm quay J2 (z2) trong đó: z2 = z0 + 1 β , ta có: Q( J ,ϕ ) .Tvr ≠ Tvr .Q( J ,ϕ )
1−α
* Định lý 2: Tích của 2 phép quay khác tâm là phép quay hoặc tịnh tiến
Cho Q( J ,ϕ ) xác định bởi z '− z1 = α1 ( z − z1 ), J1 ( z1 );ϕ1 = arg α1 .
1

Q( J

2 ,ϕ 2 )

1

xác định bởi z '− z2 = α 2 ( z − z2 ), J 2 ( z2 ),ϕ2 = arg α 2

Khi đó Q( J

2 ,ϕ 2


+ Khi α = 1, f là 1 phép tịnh tiến
+ Khi α ≠ 1, f có 1 điểm bất động J (tức điểm J mà f(J) = J) duy nhất có
toạ vị z0 xác định bởi z0 = α z0 + β tức z0 =

β
và khi đó công thức
1−α

z ' = α z + β có thể viết thành z '− z0 = α ( z − z0 ) tức là f là phép quay tâm J,
góc quay có số đo ϕ = arg α .
Do đó công thức z a z ' = α z + β , α = 1 xác định mọi phép tịnh tiến
và

mọi

phép

quay

trong

mặt

phẳng.

Những

biến

đổi

§3. Phép dời hình loại 2.
3.1. Phép đối xứng trục
3.1.1. Định nghĩa 1.3
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình
biến điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d
làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d.

d

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đd.

M

Ta có Đd(M) = M’ hay Đd: M → M’
Cho đường thẳng d có phương trình là:
z=

M'

I

Hình 1.3

u
u
z + δ ( δ + δ = 0, u ≠ 0 ).
u
u


u
u
z + δ ( δ + δ = 0, u ≠ 0)
u
u

Nếu đặt

u
= α ( α = 1) ⇒ z ' = α z + δ
u

Khi đó Đd là phép đối xứng trục có biểu thức tọa vị là

(

)

z ' = α z + δ α = 1, αδ + δ = 0 .
3.1.2. Tính chất
a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng.
c) Phép đối xứng trục:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.

 z '− δ
z '− δ
= α1 
 α
α

⇔


÷ + δ1
÷


y
d

z '− δ α1 z '− α1δ
=
+ δ1
α
α

∆

⇔ α z '− αδ = α1α z '− α1αδ + δ1αα
⇔ α1α z ' = α z '+ α1αδ − αδ − δ1 (vì αα = 1)

α
αδ
δ

=
= 1,
α1α α1 α 1.1

ur



α
αδ
δ
αδ
δ
δ
α
δ
+δ 
1
α 'δ '+ δ ' =
−
− 1 = −αδ 1 − 1 = −  1 1 1 ÷ = 0
δ −
÷+ δ −
α1α 
α 1α α 1α 
α 1α α1α
α1α
 α1α 
( vì α1 = α = 1,α1δ1 + δ1 = 0) .
Nên z ' = α ' z '+ δ ' là phương trình của một đường thẳng.

Hình 1.5

Ảnh cuả đường tròn ε qua Đd là đường ε ' có phương trình là

 z '− δ

 α

  z '− δ
÷
 α


 z '− δ
( z '− δ )
÷+ β ur + β 
÷
 α
α




÷+ p = 0
÷


z '− δ z '− δ
( z '− δ )
( z '− δ )


ε ' là đường tròn có tâm có tọa vị là z’ 0= - β ' = δ − α β , có bán kính
R ' = β ' β '− p ' = β β − p = R ⇒ đường tròn C bằng đường tròn C ’
* Đd có tính chất đối hợp
Giả sử Đd: M(z) → M’(z’)
M’(z’) → M’’(z’’)

⇒ z' =α z +δ
z '' = α z '+ δ = α (α z + δ ) + δ = αα z + αδ + δ
= z+αδ + δ = z (vì αα = 1,αδ + δ = 0)
Từ z’’ = z ⇒ M '' ≡ M . Vậy Đd có tính chất đối hợp
3.1.4. Tích của 2 đối xứng trục.
Đ∆1: z → z ' = α1 z + δ1 , α1 = 1,α1δ 1 + δ 2 = 0
Đ∆2: z → z ' = α 2 z + δ 2 , α 2 = 1,α 2 δ 2 + δ 2 = 0
Tích Đ∆2 . Đ∆1 được xác định bởi:
z → z ' = α 2 (α1 z + δ 1 ) + δ 2 = α 1α 2 z + α 2 δ 1 + δ 2

y

a) Khi α1α 2 = 1 tức là α1 = α
δ2 1(như vậy ∆1 và∆∆12 song song hoặc trung
r
2
nhau) thì Đ∆2 . Đ∆1 = Tvr , v H
có tọa vị α 2 δ 1 + δ 2 = α1δ 1 + δ 2 = −δ1 + δ 2 . Ta đã biết
1

∆2

O

3. 2. Đối xứng trượt

r
Ta có Đ∆ . Tvr = Tvr . Đ∆ khi và chỉ khi v có phương ∆
Thật vậy: Giả sử Đ∆ xác định bởi z a z ' =
Tvr

xác

định

bởi

z → z' = z + v

u
z + δ , < u, δ >= 0 ;
u

thì

Tvr .Đ∆

u
z → z ' = .z + δ + v
u
u
u
ur
r


ur
.v = v
u
r r
r
hay uv − uv = 0 hay [ u, v ] = 0 . Do đó u , v cùng phương tức là v có
Vậy Tvr . Đ∆ = Đ∆ . Tvr khi và chỉ khi

phương ∆.
• Định nghĩa: Tích của phép đối xứng trục Đ∆ với một phép tịnh tiến
r
r
T v theo vectơ v có phương ∆ gọi là một phép đối xứng trượt (
r
f = Tvr .D∆ = D∆ .Tvr ) trục ∆ với vectơ trượt v .
• Công thức của đối xứng trượt: z → z ' =

u
z +δ + v
u

< u, δ >= 0, [ u, v ] = 0
• Công thức của phép đối xứng trượt có dạng:
u
z → z ' = α z + β trong đó α = , β = δ + v
u
ur
u
r

u
r
u
= α và gọi u (u ), β ( β ) và gọi δ (δ ) là thành
u
r
ur
r
r
phần vuông góc với u của β và gọi v(v) là thành phần cùng phương với u
Thật vậy, lấy u ≠ 0 mà

ur
u
của β thì công thức trên có thể viết dưới dạng z → z ' = z + δ + v ,
u
(u, δ ) = 0, [ u, v ] = 0 như vậy biến đổi đó là tích Tvr .D∆ = D∆ .Tvr , ∆ là đường
thẳng có phương trình Z =

u
z + δ , (u, δ ) = 0 .
u

3.3. Phép dời hình loại 2
- Định nghĩa: Phép đối xứng z ' =α z + β , α = 1 được gọi là phép dời
hình loại 2.
- Đối xứng trượt có điểm bất động khi và chỉ khi nó là 1 đối xứng trục
(và khi đó có vô số điểm bất động làm thành 1 đường thẳng).
- Đường thẳng được bất biến qua đối xứng trượt f = Tvr . Đ∆ = Đ∆. Tvr
r r

α = 1 chính là tập hợp

các phép dời hình.
Ta sẽ chứng minh điều nói trên ở trường phổ thông bằng cách dùng số
phức.
a. Phép dời hình bảo toàn tính thẳng hàng của bộ ba trên.
Thật vậy: Nếu A, B, C thẳng hàng thì các ảnh của nó qua phép dời hình
A', B', C' thoả mãn A' B' + B' C' = A'C' nên thẳng hàng.
Phép biến đổi của mặt phẳng bảo toàn sự thẳng hàng của các bộ ba
điểm là phép biến đổi afin do đó được xác định bởi công thức:
(α ≠ β )

z → z' =αz + β z +γ

b. Biến đổi afin bảo toàn khoảng cách giữa các cặp điểm phải có dạng:
z → z' =αz +γ,
hoặc z → z ' = β z + γ ,

α =1
β =1

Tức là dời hình loại I hoặc dời hình loại II.
Chứng minh : Cho M (z), M0 (z0) cách nhau một khoảng R
Khi đó z = z0 + R eiϕ. Ta có f (M) cách f (M0) một khoảng R có nghĩa:

25