Sắp chữ bằng L
A
T
E
X bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
1.1 Phép biến hình
Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M. Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một
và chỉ một điểm M

được gọi là phép biến hình. Điểm M

được gọi là ảnh của M qua phép biến
hình.
Nếu F là phép biến hình và M

là ảnh của M qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f(M) = M

.
Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M

.
Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ
#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M

sao cho
# »
MM

#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
MM

=
#»
v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ
#»
v và được ký hiệu
là T
#»
v
.
T
#»
v
(M) = M

⇔
# »
MM

=
#»
v
Nhận xét.

MN.
c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó.
Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M

và N

, thì
M

N

= MN. Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
1
Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
của chúng.
Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với
nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một
tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành
một góc.
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (a; b). Giả sử M(x; y) biến thành
M

(x

; y

). Khi đó, ta có

biến M

thành M

. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M

là một phép tịnh tiến.
 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u biến điểm A(3; 2) thành điểm A

(2; 3). Tìm ảnh của điểm
B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u .
 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(−2; −5), đường thẳng ∆ : 2x +3y −4 = 0, đường
tròn (C ) : x
2
+ y
2
− 2x + 6y + 1 = 0. Tìm ảnh của M, ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2; −3).
Đáp số. M

(0; −8); ∆

: 2x + 3y + 1 = 1 và (C

) : x

 1.9 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một
đường tròn cố định.
 1.10 Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn
180
◦
. Gọi (O

; R) là ảnh của (O; R) và B

là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2
# »
OA. Chứng minh
rằng

BAB

= 90
◦
.
 1.11 Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M , ta dựng điểm N sao cho
# »
MN =
# »
MA +
# »
2MB −
# »
MC.
Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d.

a) Prove that KM 
1
2
(BC + AD).
b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths
of the segments KM and LN.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi K, L, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA.
a) Chứng minh rằng KM 
1
2
(BC + AD).
b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM
và LN .
 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the
bisectors of angles

A and

B, and N the intersection point of the bisectors of angles

C and

D.
Prove that
2MN = |AB + CD −BC − AD|.
Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau. Gọi M là giao điểm của các
đường phân giác trong của góc

A và

with circles S
1
and S
2
is a given value a;
b) S
1
and S
2
intercept on 
1
equal chords;
c) S
1
and S
2
intercept on 
1
the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value.
Cho hai đường tròn S
1
, S
2
và đường thẳng . Dựng đường thẳng 
1
sao cho
a) khoảng cách giữa các giao điểm của 
1
với các đường tròn S
1

intercept on

1
equal chords.
Cho điểm A và các đường tròn S
1
, S
2
. Qua A hãy dựng đường thẳng  sao cho S
1
và S
2
chắn
trên 
1
các dây cung bằng nhau.
2 Phép đối xứng tâm
Định nghĩa 2.1 Cho điểm O. Phép đối xứng tâm, kí hiệu Đ
O
là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M

sao cho
# »
OM

= −
# »
OM.
Đ


B

.
Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng
với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành
một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc
thành một góc.
5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M (x; y) thành điểm
M

(x

; y

) thì



x

= 2a −x,
y

= 2b −y.
2.2 Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
hình H thành chính nó.

. Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai
đường tròn S
1
và S
2
thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles
one.
Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì
tam giác đó là tam giác cân.
6
 2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối
với đường thẳng AB. Xét các hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax,
đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60
◦
. Tìm tập hợp đỉnh N.
 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x −5y +4 = 0,
đường tròn (C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 8x − 10y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm M(4; 1), đường
thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I.
Đáp số. M

(−6; 5), ∆

: 7x −5y − 40 = 0; (C

) : (x + 4)

, B
1
and C
1
also intersect at one point
Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A
1
và
A
2
, B
1
và B
2
, C
1
và C
2
. Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
1
, B
1
và C
1
đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
2
, B
2
và C
2


BCE = 30
◦
, then
triangle ABC in an equilateral one.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE. Chứng minh rằng nếu

BAF =

BCE = 30
◦
, thì tam giác ABC là tam giác đều.
 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation.
7
Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
 2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either
order) is a central symmetry.
Chứng minh rằng hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm (hoặc một
phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến) là một phép đối xứng tâm.
 2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry.
b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry
c) Let M be a finite set of points on a plane. Point O will be called an “almost center of
symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry
of the remaining set. How many “almost center of symmetry” can a set have?
a) Chứng minh rằng một hình bị chặn (hình kín) không thể có nhiều hơn một tâm đối xứng.
b) Chứng minh rằng không tồn tại một hình mà nó có đúng hai tâm đối xứng.
c) Cho M là một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Điểm O được gọi là hầu tâm đối
xứng của tập hợp M nếu như ta xoá một điểm nào đó của M thì O trở thành tâm đối xứng
các điểm còn lại của M. Hỏi có bao nhiêu điểm là hầu tâm đối xứng của M?
 2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n

Định lí 3.2 Phép đối xứng trục biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của
chúng.
Hệ quả 3.1 Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến
một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,
• phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M

(x; −y).
• phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M

(−x; y).
Định nghĩa 3.2 Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua
trục d biến H thành chính nó.
 3.1 On the bisector of the exterior angle

C of triangle ABC point M distinct from C is taken.
Prove that MA + MB > CA + CB.
Trên đường phân giác ngoài góc C của tam giác ABC lấy điểm M (M không trùng với C).
Chứng minh rằng MA + MB > CA + CB.
 3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B
1
and A
1
,
respectively. Prove that if AC > BC, then AA
1
> BB
1

. Prove that the sum CM
2
+ DM
2
does not depend on the choice of point
M.
Cho đường tròn (C ), điểm M nằm trên đường kính AB của (C ). Dây CD qua M và hợp với
AB một góc 45
◦
. Chứng minh rằng tổng CM
2
+ DM
2
không phụ thuộc vào việc chọn điểm M.
 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn. It intersects
sides CA and CB (or their extensions) at points A
1
and B
1
. Prove that
A
1
A
A
1
M
=
B
1
B

 3.11 Cho hai điểm A và B cố định. Với mỗi đường thẳng d qua B, ta dựng điểm A

đối xứng
với A qua d. Tìm tập hợp điểm A

khi d quay quanh B.
4 Phép quay
Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho một điểm O và một góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến
hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M

sao cho OM = OM

và (OM, OM

) = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hiệu Q
(O,ϕ)
.
Ví dụ 4.1 Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tìm ảnh của A qua phép quay tâm G, góc
quay −120
◦
. Tìm ảnh của B qua phép quay tâm G, góc quay 240
◦
Định lí 4.1 Phép quay là một phép dời hình.
Định lí 4.2 Phép quay biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng.
Hệ quả 4.1 Phép quay trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến
một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
10
 4.1 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm giữa A và C). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AC vẽ các tam giác đều ABE và BCF . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AF

 4.6 Cho hai đường thẳng song song a và b và điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó. Hãy
tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều.
4.1 Rotation by 90
◦
 4.7 On sides BC and CD of square ABCD points M and K, respectively, are taken so that

BAM =

MAK. Prove that BM + KD = AK.
Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho

BAM =

MAK. Chứng minh rằng BM + KD = AK.
 4.8 In triangle ABC median CM and height CH are drawn. Through an arbitrary point P
of the plane in which ABC lies the lines are drawn perpendicularly to CA, CM and CB. They
intersect CH at points A
1
, M
1
and B
1
, respectively. Prove that A
1
M
1
= B
1
M
1

A
3
A
4
point P is taken. From vertex A
1
, we drop the pependicular on
A
2
P ; from vertex A
2
, we drop the pependicular on A
3
P ; from A
3
on A
4
P and from A
4
on A
1
P .
Prove that all four perpendiculars (or their extentions) intersect at one point.
 4.11 On sides CB and CD of square ABCD points M and K are taken, respectively, so that
the perimeter of triangle ABC is equal to the doubled length of the square’s side. Find the value
of angle

MAK.
Trên các cạnh CB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho chu
vi của tam giác ABC bằng hai lần chiều dài cạnh của hình vuông. Tìm giá trị của góc

và AC là các đỉnh của một hình vuông.
 4.14 A parallelogram is circumscribed about a square. Prove that the pependiculars dropped
from the vertices of the parallelogram to the sides of the square form a square.
4.2 Phép quay góc 60
◦
(Rotation by 60
◦
)
 4.15 On segment AE, on one side of it, equilateral triangles ABC and CDE are constructed;
M and P are the midpoints of segments AD and BE, respectively. Prove that triangle CP M is
an equilateral one.
Trên đoạn thẳng AE ta dựng các tam giác đều ABC và CDE về cùng một phía của đoạn
thẳng. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BE. Chứng minh rằng tam
giác CP M là một tam giác đều.
 4.16 Given three parallel lines. Construct an equilateral triangle so that its vertices belong to
the given lines.
Dựng một tam giác đều có ba đỉnh nằm trên ba đường thẳng song song cho trước.
12
 4.17 Given a square, consider all possible equilateral triangles P KM with fixed vertex P and
vetex K belong to the square. Find the locus of vetices M.
 4.18 Find the locus of points M that lie inside equilateral triangle ABC and such that MA
2
=
MB
2
+ MC
2
.
Tìm tập hợp các điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA
2

and AB

C

are contructed
outwards. Point M divides side BC in the ratio of MB : M C = 3 : 1; points K, M are the midpoints
of sides AC

and B

C, respectively. Prove that the angles of triangle KLM are equal 30
◦
, 60
◦
and
90
◦
.
Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng các tam giác
đều ABC

và AB

C

. M là điểm trên cạnh BC chia cạnh BC theo tỉ số MB : M C = 3 : 1; các
điểm K, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AC

và B


◦
that subtend the sides. Prove that the sum of distances from O
to the vertices is equal to
1
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2
√
3S. Where, a, b, c are lengths of sides and S is area
of triangle ABC.
Cho tam giác ABC có các góc đều nhỏ hơn 120
◦
. Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác
sao cho điểm O trương một góc 120
◦
với các cạnh của tam giác (

AOB =

BOC =

AOC = 120
◦
).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh A, B, C bằng

, . . . ,
#»
e
n
lần lượt vuông góc với các
cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3
, . . . , A
n
A
1
có độ dài bằng các cạnh tương ứng và các gốc (điểm đầu) thuộc cạnh
tương ứng đó. Chứng minh rằng
#»
e
1
+
#»
e
2
+ ···+
#»
e
n

30 km theo một đường gấp khúc. Chứng minh rằng tổng tất cả các góc quay của nó không nhỏ
hơn 2998 radian.
3
Trích từ cuốn “Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 11”, Trần Văn Tấn, NXBGD, tr.21.
14
5 Phép vị tự
Định nghĩa 5.1 Trong mặt phẳng cho điểm O. Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
OM

= k ·
# »
OM, với k là một số khác không cho trước, được gọi là phép vị tự tâm O,
tỉ số k và được ký hiệu là V
k
O
.
Vậy
V
k
O
(M) = M

⇔
# »
OM


= |k|MN.
Từ Định lí trên ta suy ra hệ quả sau. Phép vị tự
a) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng,
b) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với nó,
c) biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng,
d) biến một góc thành một góc bằng nó,
e) biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó,
f) biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R.
Định nghĩa 5.2 Hai hình H và H

được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng
biến hình này thành hình kia.
 5.1 Cho tam giác ABC. Gọi A

, B

, C

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng
minh rằng tồn tại một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A

B

C

.
 5.2 Cho tứ giác ABCD. Gọi A

, B


+ (y + 7)
2
= 81.
 5.5 Cho đường tròn (O) và tam giác ABC có đỉnh A cố định và cạnh BC là dây cung của (O).
Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC.
 5.6 Cho đường tròn (O) và điểm M cố định không nằm trên (O) . Với mỗi điểm A thuộc (O)
ta gọi I là trung điểm của đoạn M A. Tìm tập hợp điểm I khi A thay đổi.
 5.7 Cho tam giác ABC và đường tròn (O). Với mỗi điểm M thuộc (O) ta xác định điểm N sao
cho
# »
MN =
# »
MA + 2
# »
MB + 3
# »
MC. Tìm tập hợp điểm M , khi M thay đổi trên (O).
 5.8 Cho hai đường thẳng cắt nhau d
1
và d
2
và điểm M không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy
dựng đường thẳng d
3
đi qua M cắt d
1
tại A, d
2
tại B sao cho M chia trong đoạn AB theo tỉ số
MA

 6.2 Cho đường thẳng d, đường tròn (O) và điểm A không nằm trên d và (O). Hãy dựng một
tam giác vuông cân ABC có đỉnh góc vuông C nằm trên d, đỉnh B nằm trên (O).
 6.3 Tìm ảnh của đường thẳng ∆ : 2x + 3y −4 = 0, đường tròn (C ) : x
2
+ y
2
−2x −4y + 1 = 0
khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (1; −3) và phép đối xứng tâm I(−4; 2).
17
Mục lục
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 1
1.1 Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Phép đối xứng tâm 5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Tâm đối xứng của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Phép đối xứng trục 8
3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Phép quay 10
4.1 Rotation by 90
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Phép quay góc 60
◦
(Rotation by 60
◦