Sắp chữ bằng L
A
T
E
X bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
1.1 Phép biến hình
Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M. Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một
và chỉ một điểm M

được gọi là phép biến hình. Điểm M

được gọi là ảnh của M qua phép biến
hình.
Nếu F là phép biến hình và M

là ảnh của M qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f(M) = M

.
Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M

.
Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ
#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M

sao cho
# »
MM

#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
MM

=
#»
v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ
#»
v và được ký hiệu
là T
#»
v
.
T
#»
v
(M) = M

⇔
# »
MM

=
#»
v
Nhận xét.

MN.
c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó.
Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M

và N

, thì
M

N

= M N. Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
1
Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
của chúng.
Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với
nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một
tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành
một góc.
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (a; b). Giả sử M(x; y) biến thành
M

(x

; y

). Khi đó, ta có

biến M

thành M

. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M

là một phép tịnh tiến.
 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u biến điểm A(3; 2) thành điểm A

(2; 3). Tìm ảnh của điểm
B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u.
 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(−2;−5), đường thẳng ∆ : 2x + 3y− 4 = 0, đường
tròn (C ) : x
2
+ y
2
− 2x + 6y + 1 = 0. Tìm ảnh của M, ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2;−3).
Đáp số. M

(0;−8); ∆

: 2x + 3y + 1 = 1 và (C

) : x

 1.9 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một
đường tròn cố định.
 1.10 Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn
180
◦
. Gọi (O

; R) là ảnh của (O; R) và B

là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2
# »
OA. Chứng minh
rằng

BAB

= 90
◦
.
 1.11 Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M, ta dựng điểm N sao cho
# »
MN =
# »
MA +
# »
2MB−
# »
MC.
Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d.

a) Prove that KM 
1
2
(BC + AD).
b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths
of the segments KM and LN.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi K, L, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA.
a) Chứng minh rằng KM 
1
2
(BC + AD).
b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM
và LN.
 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the
bisectors of angles

A and

B, and N the intersection point of the bisectors of angles

C and

D.
Prove that
2MN = |AB + CD − BC − AD|.
Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau. Gọi M là giao điểm của các
đường phân giác trong của góc

A và

with circles S
1
and S
2
is a given value a;
b) S
1
and S
2
intercept on 
1
equal chords;
c) S
1
and S
2
intercept on 
1
the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value.
Cho hai đường tròn S
1
, S
2
và đường thẳng . Dựng đường thẳng 
1
sao cho
a) khoảng cách giữa các giao điểm của 
1
với các đường tròn S
1

intercept on

1
equal chords.
Cho điểm A và các đường tròn S
1
, S
2
. Qua A hãy dựng đường thẳng  sao cho S
1
và S
2
chắn
trên 
1
các dây cung bằng nhau.
2 Phép đối xứng tâm
Định nghĩa 2.1 Cho điểm O. Phép đối xứng tâm, kí hiệu Đ
O
là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M

sao cho
# »
OM

= −
# »
OM.
Đ


B

.
Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng
với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành
một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc
thành một góc.
5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x; y) thành điểm
M

(x

; y

) thì



x

= 2a − x,
y

= 2b − y.
2.2 Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
hình H thành chính nó.

. Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai
đường tròn S
1
và S
2
thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles
one.
Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì
tam giác đó là tam giác cân.
6
 2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối
với đường thẳng AB. Xét các hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax,
đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60
◦
. Tìm tập hợp đỉnh N.
 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x− 5y + 4 = 0,
đường tròn (C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 8x − 10y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm M(4; 1), đường
thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I.
Đáp số. M

(−6; 5), ∆

: 7x − 5y − 40 = 0; (C

) : (x + 4)

, B
1
and C
1
also intersect at one point
Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A
1
và
A
2
, B
1
và B
2
, C
1
và C
2
. Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
1
, B
1
và C
1
đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
2
, B
2
và C
2


BCE = 30
◦
, then
triangle ABC in an equilateral one.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE. Chứng minh rằng nếu

BAF =

BCE = 30
◦
, thì tam giác ABC là tam giác đều.
 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation.
7