trang1
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy
I) SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Sách giáo khoa lớp 11 môn Hình học đã giảm tải bỏ phần phép đối xứng qua một trục,
phép đối xứng qua một tâm, như vậy khi học phần này học sinh cảm thấy như bị thiếu
hụt và khó nắm bắt ,phép biến hình trong mặt phẳng chỉ còn lại các phép tịnh tiến,
phép quay, phép vị tự và phép đồng dạng.Các bài tập trong sách giáo khoa lại ít và số
lượng thời gian lại nhiều bởi do giảm tải.Phép biến hình cho bởi quy tắc lại trừu
tượng học sinh trung bình và yếu khó nắm bắt được thông tin của bài học .Trong khi
giảng dạy phần phép biến hình là vấn đề mới đối với học sinh
Vì lẽ đó nhằm đạt hiệu quả trong giảng dạy giảm bớt khó khăn cho học sinh nên tôi đã
cố gắng tìm tòi đúc rút ra được các vấn đề cốt lõi để cho học sinh dễ hiểu hơn các mối
quan hệ của phép biến hình với nhau, bản chất của phép biến hình và phương pháp
giải bài toán tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình qua các phép Tịnh tiến, phép
quay, phép Vị tự , phép Đồng dạng và các vấn đề liên quan
Cho học sinh thấy được phép biến hình có nhiều ứng dụng giải các bài toán mà hình
học thuần túy nan giải, phương pháp giải mà sách giáo khoa chưa đề cập đến hoặc là
các kiến thức chưa có trong sách giáo khoa.Nó bổ sung đầy đủ các kiến thức của phép
biến hình cho học sinh tiện lợi trong việc giải các bài tập phần này,mở rộng các kiến
thức cần thiết cho học sinh học tập dễ dàng hơn
II) PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN
Chuyên đề được thực hiện giảng dạy trên các lớp 11c4,11c5,11c6 được chuyển tải đến
người học một cách thiết thực và hiệu quả trong cả học kì một, ngoài ra cũng có thể
áp dụng chuyên đề này giải một số bài thi vào Đại học.Áp dụng giải quyết các bài tập
của sách giáo khoa một cách nhanh chóng, phần chuyên đề phần phép quay được khai
thác với các kiến thức mới mẻ
III) MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy
1) ĐỊNH NGHĨA
Phép biến hình trong mặt phẳng Oxy là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm
b) d’
' '; ' | ' , ;
M x y M F M M x y d
' '
M d M F M d
Ta có
1 '
' 2 1
2
' 2 1 ' 1
2
x
x
x x
y y y
Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm M’ sao cho
' , 3; 2
OM OM v v
.
a)Tìm tọa độ M’
b) Cho d: 3x – 4y +6 = 0.Tìm
'
d F d
GIẢI
a)Gọi tọa độ M’(x’;y’)
' '; ' , 3; 2
OM x y OM v x y
' 3; 2
M x y
M’(x;
1
3
y)
a)Tìm tọa độ A’ là ảnh của A(2;-3)
b)Tìm phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d : x – y+ 3 =0
c)Tìm phương trình ảnh của đường tròn (x-1)
2
+(y-2)
2
= 4
II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
1)Trong mặt phẳng Oxy, cho
;
v a b
và M(x;y)
M’=
'; '
v
T M x y
b)Tìm d
1
sao cho d=
1
v
T d
Định hướng cho câu a)
Qua phép tịnh tiến đường thẳng biến thành đường thẳng
Cách 1. Ta sử dụng d’
' '; ' | ' , ;
v
M x y M T M M x y d
Từ biểu thức tọa độ
nên d’ phương trình có dạng x- 2y +c = 0 (*)
Tìm c ta tìm ảnh của M thuộc d là M’ thay vào phương trình (*)
Cách 3. Đường thẳng d’ đi qua M’, N’ sao cho
' , '
v v
M T M N T N
trong đó M,
N là hai điểm phân biệt của d
GIẢI
a) d’=
v
T d
'/ /
'
d d
d d
v
T d
1
1
/ /
d d
d d
nên d
1
có dạng x- 2y +c = 0 (**)
lấy lấy
' ' 3;0
M d M
''
M
(-5;1)
1
d
(1; 2)
III) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY
1) ĐỊNH NGHĨA
Cho một điểm O cố định và góc lượng giác
. Phép biến hình F biến điểm O thành
chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho :
'
; '
OM OM
OM OM
Gọi là phép quay tâm O góc
. Kí hiệu
,
'
O
; , ' ; 'Ox OM OM OM a Ox OM
Tọa độ M:
' cos
cos
':
asin
' asin
x a
x a
M
y
y
0
90 ' ;
M y x
Nếu
0
90 ' ;
M y x
Kết quả :Cho tam giác ABC,
0 0
; 0
AB x y
tam giác ABC vuông cân tại A là
0 0
;
AC y x
CHỨNG MINH
Sử dụng công thức chuyển hệ trục từ Oxy đến O
1
XY
Phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ-Đậu Trọng Nhạc Trang 4
X
Y
x
y
y
0
x
0
M
O
1
O
Y
X
y
x
0
Theo công thức chuyển hệ trục ta có
0 0 0
0 0 0
' os sin
' sin os
x x x x c y y
y y x x y y c
Hay
0 0 0
0 0 0
' ( )cos (y-y )sin
' ( )sin ( )cos
x x x x
y x x y y y
'
90
'
x y y x
y x x y
c) BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài1) Bài tập sách giáo khoa hình học 11 trang 19
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;0) và đường thẳng d có phương trình
x+y-2=0. Tìm ảnh của A và d qua phép
0
,90
O
Q
GIẢI
Vì
0
90
, Nếu M(x;y) thì M’(-y;x)
Tìm hai điểm M,N của d , tìm ảnh của nó qua phép
0
,90
O
Q là M’ và N’
Đường thẳng cần tìm đi qua M’ và N’
Bài2
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
x
2
+y
2
-2x-4y+1=0.Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O góc -90
0
*Phân tích:
Muốn tìm ảnh của đường tròn ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. Theo
tính chất của phép quay đường tròn biến thành đường tròn có cùng bán kính
Từ phương trình của (C) tìm tọa tâm I và bán kính R=2
Tìm I’=
0
, 90O
Q I
bằng công thức
0
, 90
O
Q
trang5
Mà
'
'
y x
x y
thay vào phương trình của (C) ta được
2 2
' ' 2 ' 4 ' 1 0
y x y x
Hay x
2
+y
2
'
x y y x
y x x y
' 3 3 '
' 1 ' 1
x y y x
y x x y
Vì
' 1 3 ' 2 0 ' ' 0
M d y x x y
hay d’: x –y =0.
5
'
5 3 3
2
' ;2
3 3
2 2
' 2
2
x
A
y
1
(x
0
;y
0
)
Áp dụng kết quả ta được
I’=
0
1
,90O
Q I
ta có
0
0 0
0 0
'
90
'
x y y x
y x x y
1
1 1
;
2 2
O
0
0 0
2
0 0
0
3
3 5
2 2
2
;
0 1 5
2 2
2
x
y x
O
x y
y
' '; '
M d M x y d
Phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ-Đậu Trọng Nhạc Trang 6
x
y
B
A
O
d'
d
O
B
A
' '
' '
x y y x
y x x y
2 ' ' 4 0
M d y x
hay x+2y+4 =0
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình
0
, 90
O
Q
(A)
6
6 8
5
;
8
5 5
5
B
B A
B A
B
x
x y
B
y x
y
0 0 0
;
M x y C
2 2
0 0 0 0
2 4 5 0 1
x y x y
0 0 0 0 0 0
1; , ; 1 , 1 ; 1
AM x y AN y x N y x
2 2
Δ : 3 0
M N y
BÀI TẬP
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3;3), B(0;5), C(1;1) và đường thẳng d:
5x -3y +15 = 0.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và d’ theo thứ tự là
ảnh của tam giác ABC và d theo phép quay
0
,90
O
Q
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho d: x +y– 2=0.Hãy viêt phươngtrình
0
,45
'
O
d Q d
3) Trong mặt phẳng Oxy ,tìm ảnh đường tròn qua
0
,90
O
0
1
,60
: 2 3 2 3 1 8 0
O
Q d d x y
1
2 0
'
2 3 2 3 1 8 0
x y
B d d
x y
0
0, 60
A Q B
5)Bài 2 trang 34 SGK 11
Trong mặt phẳng Oxy,cho A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình
3x+ y +1 =0.Tìm ảnh của A, d qua phép quay tâm O góc 90
0
Hướng dẫn
Gọi A’ là ảnh của A
' '
' '
2
' 2; 1
1
A A A
A A A
x y x
A
y x y
B d D d
7) khối B-2007
Cho A(2;2) và hai đường thẳng
1 2
Δ : 2 0,Δ : 8 0
x y x y
.Tìm tọa độ hai điểm B,C lần lượt thuộc
1 2
Δ ,Δ
sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A
Bài này nếu
1 2
Δ ,Δ
cắt nhau vẫn thỏa mãn
IV)PHÉP DỜI HÌNH
1) ĐỊNH NGHĨA
Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Trong mặt phẳng Oxy cho phép dời hình F, M’=F(M) và N’=F(N)
' '
M N MN
2 2 2 2
' ' ' 'N M N M N M N M
x x y y x x y y
' ;
N x y
lần lượt là ảnh của M(x;y), N(x
1
;y
1
)
Phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ-Đậu Trọng Nhạc Trang 8
2 2
2 2
2 ' '
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
3 4 3 4 4 3 4 3
' ' ' '
5 5 5 5 5 5 5 5
3 4 4 3
5 5 5 5
M N x x y y x y x y x y x y
x x y y x x y y
x x y
y x y
3 4
' '
5 5
4 3
' '
5 5
x x y
y x y
3 4 4 3
2 ' ' ' ' 1 0
5 5 5 5
M d x y x y
b) x= y = 0 ta có B’(1;-1)
' ' 9 16 5, 4 1 5
A B AO
không phải là phép dời
VÍ DỤ3. Phép quay là phép dời hình
Chứng minh
Để đơn giản chọn tâm quay là gốc tọa độ O, góc quay
Gọi M’(x’;y’) và
' '
1 1
' ;
N x y
lần lượt là ảnh của M(x;y), N(x
1
;y
1
) qua phép quay
,
O
Q
M’:
' cos sin
' sin cos
2 2
2 ' '
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
' ' ' '
os sin os sin sin os sin os
os sin sin os
M N x x y y
xc y x c y x yc x y c
x x c y y x x y y c x x y y
Đpcm
Chứng minh bốn phép biến hình còn lại cũng là phép dời là đơn giản
2) BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1(bài tập 1 trang 23 sách giáo khoa hình học 11)
Trong mặt phẳng Oxy cho A(-3;2), B( -4;5) và C(-1;3)
a) Chứng minh rằng A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) thứ tự là ảnh của A, B, C qua
trang9
vậy A’ là ảnh của A qua
0
, 90
O
Q
Tương tự Kiểm tra với hai điểm còn lại
BÀI 2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x- 2y +3 = 0. Tìm ảnh của d khi thực hiện
liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ
1; 2
v
và phép quay tâm O góc -90
0
.
Phân tích
Đây là phép dời thực hiện liên tiếp
v
T
,
0
*Chú ý tìm d’ có đến 3 cách giải
Bước 3
Tìm ảnh của d’ =
0
, 90
O
Q
(d)
GIẢI
'/ /
': 2 0
'
d d
d x y c
d d
Lấy
3;0
M d M
O
M Q M x y
' '
' '
x y y x
y x x y
Thay vào phương trình d’: -y’-2x’ -2=0
Vậy d’’: 2x +y +2= 0
BÀI TẬP
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho
3;1
v
và đường thẳng d có phương trình
2x-y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời thực hiện liên tiếp
0
,90
O
Q và
Cho điểm O và số
0
k
.Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
'
OM kOM
được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k
Kí hiệu
,
'
O k
M V M
'
OM kOM
2) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP VỊ TỰ
Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y) và
0
k
khi đó
IM kIM
y a k y b
'
'
x k x a a
y k y b b
BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;-2) và đường thẳng d có phương trình
3x -4y +6 =0. Tìm:
a) Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm O và tỉ số k =3
b) Tọa độ của B sao cho
V M
là
'
' 3
3
' 3 '
3
x
x
x x
y y y
y
Vì
4
' ' 6 0 3 ' 4 ' 18 0
3
M d x y x y
O
V d d
có phương
trình 2x- 3y – 12 = 0
b)
,3O
V B A
1
3
3
3 2
3
B
A B
A B
B
x
x x
y y
y
V
GIẢI
a)
'
'
x k x a a
y k y b b
' 3 1 1 1
' 5
' 8
' 3 2 1 1
x
x
y
y
' 3 2 ' 2
3
x
x
x x
y y y
y
4
' 2 ' 2 6 0
3
M d x y
d’: 3x – 4y +4= 0
b)Đường tròn (C) có tâm I(-1;3) và R =3
trang11
1
1 1 1
,
1
;
O k
x kx
V M M x y
y ky
1
1
1
'
'
'
v
x x a
T M M
y y b
Phép vị tự tâm ' ;
1 1
a b
O
k k
tỉ số k
BÀI4
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2;-1) và hai đường thẳng d có phương trình 2x-3y-5
= 0 và d’: 2x-3y -3 =0.Phép vị tự tâm I tỉ số k biến d thành d’. tìm k ?
GIẢI
Lấy M thuộc d
1; 1
Thay vào phương trình d’
2(-k+2) +3 – 3 =0
2
k
BÀI TẬP
1)Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường thẳng d có phương trình
3x -2y +6 =0. Tìm:
Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm O và tỉ số k = -
1
2
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;-2) và đường thẳng d có phương trình
3x -2y - 6 =0.Tìm
a)Ảnh của A, d qua phép vị tự tâm B(1;1) và tỉ số k =2
b)Ảnh của (C) có phương trình (x+1)
2
+(y-2)
2
=4 qua
1
,
2
B
V
' ' ' '
[ ]
N M N M N M N M
x x y y k x x y y
VÍ DỤ
Trong mặt phẳng Oxy, phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành
M’(-2x+3;2y-1).Chứng minh F là phép đồng dạng
Phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ-Đậu Trọng Nhạc Trang 12
GIẢI
Gọi M’(x’;y’) và
' '
1 1
' ;
N x y
lần lượt là ảnh của M(x;y), N(x
1
;y
1
)
2 2
2 2
2 ' '
k
2
và
phép quay tâm O góc 45
0
.
GIẢI
1
O,
2
V M M'
1
x' x
x 2x'
2
1 y 2y '
y' y
2
1
x' x'' y''
2
1
y' y'' x''
2
d’’ có phương trình x+y – 2 = 0.
BÀI 2(Bài 3 trang 33-SGK Hình học11)
Trong mặt phẳng Oxy, cho I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính R=2. Viết phương
trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 45
0
O, 2
x'' 0
V I' I''
y'' 2
I'' 0;2
R’’=
2R 2 2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x
2
+(y- 2)
x
y
'' 3;9
I
và R’’=6
trang13
Phương trình đường tròn cần tìm là (x-3)
2
+(y-9)
2
=36.
IV)KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ MANG LẠI
Qua bài giảng trích ra từ chuyên đề này học sinh áp dụng để giải các bài tập một cách
nhanh chóng và hiệu quả nhất là các câu trắc nghiệm, mà không cần phải vẽ hình nhất
là phép quay, học sinh học tập hứng thú hơn, làm bài tập và kiểm tra tốt hơn trước,
học sinh yếu kém tiến bộ rõ rệt
V) ĐÁNH GIÁ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến được học sinh đón nhận nhiệt tình và áp dụng làm các bài tập trong sách
giáo khoa một cách có hiệu quả nhanh chóng và thiết thực, được đồng nghiệp ghi
nhận, các bài toán chọn lọc và có thể lấy các bài Toán làm đề thi cho giáo viên dạy
giỏi cấp trường
VI) Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
Các bài toán biến hình trong mặt phẳng tọa độ chủ yếu là vận dụng đề tài này, phép
chứng minh tổng quát cho phép quay dùng phép biến đổi tọa độ nên có phần khác với
việc dùng ma trận chuyển vị trong không gian véc tơ, phép chứng minh này có thể
chưa hoàn chỉnh .Ban đánh giá sáng kiến cho biết thêm cách chứng minh khác của
Phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ-Đậu Trọng Nhạc Trang 14
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
Phú Hưng,ngày 5 tháng 03 năm 2013
BÁO CÁO
TĨM TẮT NỘI DUNG, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến : Phép biến hình trong mặt phẳng Oxy
Họ và tên: Đậu Trọng Nhạc
Thời gian triển khai thực hiện: Từ ngày 20/11/2012 đến ngày 5/03/2013
1.Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến
Khi sách giáo khoa mới giảm tải phần phép Đối xứng trục, phép Đối xứng tâm thì thời gian
lấp đầy bổ sung cho phần bài tập, bài tập phải tăng thêm về số lượng theo đó phải có kỹ thuật
và phương pháp giải kèm theo.Vấn đề đặt ra là giải các bài tập cho nhanh chóng và hiệu quả
trong việc xác định ảnh của điểm, của hình qua phép biến hình.Để giúp đỡ học sinh tiếp thu
kiến thức phép biến hình vì lẽ đó chun đề được thực hiện
2.Phạm vi triển khai thực hiện
Chuyên đề này áp dụng cho giáo viên Toán 11 đang trực tiếp đứng lớp dạy phần phép biến
hình trong mặt phảng tọa độ , học sinh lớp 11 sử dụng một cách hiệu quả và tiện lợi.
3.Mơ tả sáng kiến
Sáng kiến gồm các mục sau
Giới thiệu phép biến hình trong mặt phẳng tọa độ một cách tổng quan
trang15
CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
Phú Hưng, ngày 5 tháng 03 năm 2013
ĐỀ NGHỊ
CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi :Hội đồng Khoa học Tỉnh Cà Mau
Họ và tên : Đậu Trọng Nhạc
Đơn vị cơng tác Trường THPT Phú Hưng
Cá nhân viết sáng kiến
Đề nghị hội đồng sáng kiến cơng nhận sáng kiến năm 2013 như sau
1.Tên sáng kiến:
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG OXY
2.Sự cần thiết
Đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, việc chuyển tải kiến thức
đến cho người học một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.Người đứng lớp phải biết
bổ sung cái mà sách chưa đầy đủ làm cho dễ hiểu và làm cho nó thêm phong phú hơn,
hơn nữa sách giáo khoa lại giảm tải cần số lượng bài tập của phép biến hình khơng đủ
cho học sinh lĩnh hội , để lấp đầy thời gian trống đó, sách giáo khoa có những kiến
thức còn thiếu nên việc khai thác kiến thức của bài học là lẽ đương nhiên
3.Nội dung cơ bản của sáng kiến
Chia thành
Phép biến hình chung cho phép dời, phép vị tự và phép đồng dạng
Cụ thể là: Phép tịnh tiến, phép quay và phép dời hình
Mỗi phần kiến thức có các ví dụ minh họa cụ thể và các bài tập kèm theo và có hướng
dẫn cụ thể
Phép vị tự
Copyright: Tài liệu đại học ©