CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
***
CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :
+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
+Quy tắc dấu ngoặc;
+Quy tắc chuyển vế;
+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với
phép cộng …
2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
a) a
2
+ 2a.b + b
2
= (a + b)
2
;
b) a
2
- 2a.b + b
2
= (a - b)
2
;
c) (a - b).(a + b) = a
2
- b
2
.
Thật vậy :

- Ta có :
1 1 1 1
1 1 1 1
P
x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy
= + + +
+ + + + + + + + + + + +

1
1 1 1 1
x xy xyz
x xy xyz x xy xyz xy xyz x xyz x xy
= + + +
+ + + + + + + + + + + +
( nhân vào cả tử và
mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.

1
1
x xy xyz
x xy xyz
+ + +
=
+ + +
= 1.
* Có thể làm theo cách khác như sau :
- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt
; ; ;
a b c d

* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi
bằng cách làm như trên (đặt
; ; ;
a b c d
x y z t
b c d a
= = = =
).
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ (
.
.
A B B
AC C
=
) . Kĩ
năng tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó.
Thật vây :
Câu 2. Tính :
1 1 1
1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 1986
A
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+ + + + + + +
    
(BD HSG toán 8- T.77)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : ( nhớ rằng

    
    
 ÷ ÷  ÷
= − − −
 ÷ ÷  ÷
+ + +
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
    
    
= − − −
 ÷ ÷  ÷
    
−
=
1986
4 10 27 1987.1986 2
. . ;(1)
6 12 20 1987.1986
−
=
Mặt khác :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988
= 1988.(1986 – 1)
= 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có :
( )
4.1 5.2 6.3 1988.1985
. .

= a.a.a…a (m thừa số );a
0
= 1 ; a
1
= a.
1) a
m
.a
n
= a
m + n
2) a
m
: a
n
= a
m – n
( hay :
m
m n
n
a
a
a
−
=
)
3) (a
m
)

2 .27 15.4 .9
6 .2 12
+
+
( HSG quốc gia –
1971)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :
( )
( )
( )
18 3 6
19 9 4 19 3 18 9 6
9 10 10 19 9 10 20 6
18 9 2
2 .3 2.1 5.1.3
2 .27 15.4 .9 2 .3 5.2 .3 2 5.3 734 367
6 .2 12 2 .3 3 .2 3 2 3.4 10206 5103
2 .3 2.1 3.2
+
+ + +
= = = = =
+ + +
+
Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ … + 5
50

Chứng minh rằng :
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
( HSG toán 9 – 1999 –
A )
+ Hướng dẫn giải :
- Từ giả thiết suy ra :
( ) ( )
2 2
a b c ab b ac c
b c a c a b a c a b
− − − +
= − =
− − − − −
, nhân hai vế với
1
b c−
ta được :
( ) ( ) ( )
2 2
2
( )
a ab b ac c
b c a c a b b c
− − +

a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
(Các bài toán chọn lọc
…)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
a c b a
b c
a b a c a b a c a b a c
− + −
−
= = −
− − − − − −
;
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Tương tự :
( ) ( )
1 1a b
c a c b c a c b
−
= −
− − − −
;

x x x x
x x x x
x x x x
x
+ + + +
+ = +
+ + + +
+ + + = + + +
+ + + +
+ − − =
 
+ + − − =
 ÷
 
Vì
1 1 1 1
0
2000 2001 2002 2003
+ − − ≠
( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004.
* Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 +
2001 = 2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu
hiệu để giải quyết bài toán.
Câu 8. Tìm x , biết :
x-ab
a+b
x ac x bc
a b c
a c b c
− −

a b b c c a
+ + ≠
+ + +
thì x = ab + bc + ca ;
Nếu
1 1 1
0
a b b c c a
+ + =
+ + +
thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
* Các bài :
1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;4
7 - NC&PT toán 7.
1) Tính :
8 207207
5 201201
−
+
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
2) Rút gọn phân số :
1999
9995
( TQ :
199 99
99 995
) (BD HSG toán 8- trang
73)
3) Tính :

6.4
1
4.2
1
++++=N
7) Biết xyz = 1 . Hãy tính tổng :
A =
5 5 5
1 1 1x xy y yz z zx
+ +
+ + + + + +
;( KQ = 5) (HSG toán 8 – 2001 –
A)
8
*
) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992. Chứng minh rằng :
1992
1
1992 1992 1992 1
x y z
xy x yz y xz z
+ + =
+ + + + + +
( BD HSG toán 8 – trang
77)
9) Tính : a)
3
1 1 1
6 3 1 : 1
3 3 3

) 10 12
6 8
1 1 1
)
8 8 8
)
a x x
b x
a b c
c x
b c c a a b
− − =
    
− − = −
 ÷ ÷  ÷
    
= = =
+ + +
( HSG Quận 9 - T.p HCM –
2003)
12) TÍnh :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
) 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 2001 2002 2003
1 1 1 1 1
) 1 1 1 1 1
4 9 16 25 121
a A
b B
= + − − + + − − + − − + + −
      

c) Cho
3 2 2
2
3 0,25 4x x xy
A
x y
− + −
=
+
. TÌm giá trị của A , biết x =
1
2
và y là số nguyên âm
lớn nhất.
( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 )
14) Tìm x , biết : 3
x
+ 3
x +1
+ 3
x + 2
= 117. ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM –
2004 )
15) Thực hiện phép tính :
111 3 1 2
1 .4 1,5 6 .
14
31 7 3 19
1:
5 1 1

     
− − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷
+
     
( HSG quốc gia –
1978)
18) Cho a,b,c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng :
a)
1 1 1
1;
1 1 1a ab b bc c ca
+ + =
+ + + + + +
b)
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1a b c a b c
b c a b c a
       
− + − + − + = + − + − + −
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷ ÷
       
( Toán tuổi thơ 2- số
51)
19) TÌm tất cả các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức :
3
2
b c a
a b b c c a
+ + =

1)
8 207207 8 207 8 69

5 201201 5 201 5 67
− − −
+ = + = + =

2)
3
3
4
3
1
2. 10
1999 2.10 1 2 1
2
1
9995 10 5 10 5
10. 10
2
 
−
 ÷
−
 
= = = =
−
 
−
 ÷

1 1 1
2002
2 3 2002
B = + + + + + + +
= + + + +
 
= + + +
 ÷
 
Vậy
1
2002
A
M
B
= =
* Tương tự ta có bài toán sau :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
Bài toán : Tính giá trị của biểu thức:
a)
1 1 1 1
1
3 5 97 99
1 1 1 1 1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
A
+ + + + +
=
+ + + + +
L

+ + + + =
   
= + + + + − + + + + =
 ÷  ÷
   
   
= + + + + − = + + + + +
 ÷  ÷
   
L
L L
L L
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy
1
100
B =
.
4) Áp dụng đẳng thức :
1 1 1
1 ( 1)a a a a
− =
+ +
( a
≠
0), ta có :

1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2009.2010
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2009

 ÷
 
6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng :
1 1 1
( 2)a a
= −
+ W W
, sau đó áp dụng kết quả
nhận được vào giải bài toán.
* Chú ý : Từ kết quả các bài 4,5,6 ở trên ta rút ra một số quy luật ( Công thức ) sau
đây :
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.
1)
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ +
.
2)
1 1
( 1) 1
k
k
n n n n
 
= × −
 ÷
+ +
 
.

1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n
 
= × −
 ÷
+ + + +
 
.
7)
2
1 1 1
.( 1) ( 1).n n n n n
< <
+ −
.
8)
1 1 1 1
2 ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)a a a a a a a
 
− =
 ÷
+ + + + +
 
(Trong đó:
, Nn k
∗
∈
,
1n
>

1
1 1 1
1
1
1
x y z
VT
xy x yz y xz z
x y z
yz y xyz xz z
x
z
xz y z
xz z y z xz xz z
xz z
xz z z xz xz z
xz z
xz z
VP
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + +
+ +
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
=

− − − − − − − − −
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
 
 
= − + + + + + + + +
 ÷
 
 
 
9 1 1 1 1 1 1 1 2
10 90 72 56 42 30 20 12 3
9 1 1 1 1 1 1 3
10 90 72 56 42 30 20 4
9 1 1 1 1 1 4
10 90 72 56 42 30 5

9 9
10 10
0
 
 
= − + + + + + + +
 ÷
 
 
 
 
 
= − + + + + + +

101 103 105 107
416 416 416 416
0
101 103 105 107
1 1 1 1
416 0
101 103 105 107
x x x x
x x x x
x x x x
x
− − − −
+ + + + =
− − − −
⇔ + + + + + + =
− − − −
⇔ + + + =
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
Vì
1 1 1 1
101 103 105 107
 
+ + +
 ÷
 
> 0 nên dẫn đến 416 – x = 0 hay x = 416.
11) Tìm x , biết :

64 8
9
64
9 9
;
64 64
x
x
x x
⇔ = +
⇔ =
−
⇔ = =
)
a b c
c x
b c c a a b
= = =
+ + +
+ Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
( )
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
= = = =
+ + + + +
Vậy x =
1


2 9 20 35 54 3 25 54 5 54 6
( . ).( . ). ( . ). .
3 10 21 36 55 5 27 55 9 55 11
= = = =
13) a) Ta có :
1 1 1 2 2 2
1 2 7
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
5 3 15
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ − + −
−
− = − =
+ − + −
b) Biết : 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + 10
3
= 3025. TÍnh : S = 2
3
+ 4
3
+ 6
3

1
2
thay vào biểu thức A ,
được :
( )
3 2
2
2
1 1 1 1
1 3 1
3 . . 1 4
4
9 3 9 4
2 2 4 2
8 4 8
: . 6.
1
2 4 2 3
1
1
1
4
2
A
   
− + − −
− + −
 ÷  ÷
− − − −
   

 3
x
= 117 : 13
 3
x
= 3
2
 x = 2.
15) Thực hiện phép tính :
111 3 1 2
1 .4 1,5 6 .
14
31 7 3 19
1:
5 1 1
93
4 12 5
6 6 3
 
− −
 ÷
 
 
− = =
 ÷
 
 
+ −
 ÷
 

 ÷ ÷ ÷  ÷
+ + +
     
18) Vì abc = 1 nên ta có thể đặt :
; ;
x y z
a b c
y z x
= = =
với x,y,z là các số khác 0. Khi đó ta
có :
a) Vế trái của đẳng thức a) được biến đổi thành :
1 1 1
1;
1 1 1
yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx xy yz zx xy yz zx xy yz zx
y z z x x y
+ +
+ + = + + = =
+ + + + + + + +
+ + + + + +
Vậy ta có ĐPCM.
b) Vế trái của đẳng thức b) được biến đổi thành :
( ) ( ) ( )
. .
1 1 1 . . ;(*)
x y z y z x z x y
x z y x z y x y z y z x z x y

( ) ( )
1 1 1 3
*
1 1 1 2
0
x y z
xy yz zx x y z
⇔ + + =
+ + +
⇔ + + − + + =
( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1 )
 xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0
 (x -1)(y - 1)(z - 1) = 0
 x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1
a b
b c
c a
=


⇔ =


=

20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với :
( )
1 1 1 4
0a b c x
a b c a b c

zx
− −
− = − =
Nhân theo từng vế ba đẳng thức trên được :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y x z y z
x y x z y z
x y z
− − −
− − − =
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi x
2
y
2
z
2
= 1 hoặc x = y = z.
Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi các lớp 6- 7 – 8 – 9 THCS.