BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ HOÀI LINH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH
HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG TRÕN TRONG HÌNH HỌC 9
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành sâu sắc đến cô giáo
ThS. Hoàng Thị Thanh, người trực tiếp hướng dẫn em nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc,
Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, Ban chủ nhiệm khoa và các thầy cô giáo
trong khoa Toán – Lí – Tin cùng các phòng ban chức năng đã giúp em trong
quá trình nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Trường THCS Yên Thạch – Sông Lô – Vĩnh
Phúc đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong việc thu thập tài liệu, thông tin, số liệu
cho đề tài này.
Qua đây, em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, cô giáo
chủ nhiệm, các bạn sinh viên lớp K51 – ĐHSP Toán - Lí, cùng toàn thể các bạn
sinh viên khoa Toán - Lí - Tin cũng rất quan tâm tạo cho em những điều kiện
thuận lợi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến Hội đồng khoa học đã dành thời gian
nghiệm thu và ghi nhận kết quả khóa luận này của em.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện:

Nguyễn Thị Hoài Linh
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT


≡
Trùng
//
Song song
~
Đồng dạng


Giao


Suy ra MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……………………………………………….……………………… 1
1. Lý do chọn khóa luận…………………………………………………………1
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………….…………………1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………… …………… 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… …….… 2
5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… ……2
6. Cấu trúc khóa luận…………………………………………………………….2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………… 3
1.1. Dạy học giải bài tập Toán………………………………………………… 3
1.1.1. Dạy học môn Toán ở trường phổ thông…………………………… ……3
1.1.1.1. Cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ
thông cơ bản, thiết thực 3
1.1.1.2. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả
năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống 5

2.2.3. Một số bài tập đề nghị 34
2.3. Dạng toán về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 35
2.3.1. Chú ý khi giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn 35
2.3.2. Một số bài toán minh họa 35
2.3.3. Một số bài tập đề nghị 39
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 41
3.1. Mục đích thực nghiệm 41
3.2. Phương pháp thực nghiệm 41
3.3. Nội dung thực nghiệm 41
3.4. Tổ chức thực nghiệm 42
3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 42
3.5.1. Biện pháp 42
3.5.2 Đánh giá thực nghiệm 42
KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
PHỤ LỤC 1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Môn Toán là một trong những môn học khó đòi hỏi người dạy và người
học đều phải có những phương pháp dạy và học phù hợp thì mới đem lại kết quả
tốt. Đặc biệt, nội dung Toán 9 trong chương trình Toán cuối cấp THCS chiếm
một vị trí quan trọng, nó vừa nghiên cứu kiến thức mới vừa mang ý nghĩa tổng
hợp, phát triển các kiến thức của các lớp 6, 7, 8.
Hình học là một phần của bộ môn Toán mà đa số học sinh rất ngại học
phần này do tính trìu tượng từ kiến thức đến bài tập, khó học và khó tìm ra lời

4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải các bài toán về
đường tròn trong chương trình hình học 9 THCS.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích các tài liệu, các công trình nghiên cứu
khoa học liên quan đến rèn luyện kĩ năng và một số lý luận có liên quan.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kĩ năng cho HS lớp 9 ở một số trường
THCS qua các bài toán đường tròn.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của phương pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, phụ lục, danh mục các tài liệu tham khảo,
khóa luận gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán hình học thông
qua một số dạng bài tập về đường tròn.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
3
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Dạy học giải bài tập Toán
1.1.1. Dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông
Mục tiêu giáo dục của nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu, trọng
yếu của con người mới phát triển toàn diện, phù hợp với yêu cầu, điều kiện,
hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.

- Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản
chất: những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc
hai) và những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng
quát của Pôlia để giải bài tập toán học).
- Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng
hạn quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần
đúng…
- Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn “Toán
học có vai trò trong khoa học và trong công nghệ cũng như trong đời sống”,
“Khái quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”
Trong giờ học toán, người thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri
thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt, tri
thức phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá
trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan.
Thứ hai, do sự trìu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ vì
vậy cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên nhiều phương diện khác nhau: Kĩ
năng vận dụng tri thức vào môn Toán, vào môn học khác và vào đời sống.
Kĩ năng trên phương diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri
thức Toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học
mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên phương diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ Toán học đối với
những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn
học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên Toán cần có quan điểm tích hợp
trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên phương diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán.
Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Thứ ba, dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và
các cộng sự (theo Trần Bá Hoành, 1995), cần có ý thức để HS phối hợp giữa
chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên
cao:

trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình
thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn
luyện ngôn ngữ chính xác. Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở
HS qua môn Toán có thể thực hiện theo ba hướng quan hệ chặt chẽ với nhau:
- Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết lôgic
và, hoặc, nếu thì, phủ định,…
- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với các đĩnh nghĩa.

6
- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập
tiến hành chứng minh.
Thứ hai, là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát
triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở việc rèn luyện tư duy lôgic
mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả
năng này cần lưu ý:
- Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét
tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen… Những suy đoán có thể rất táo bạo
nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc kinh nghiệm nhất định chứ không
phải là đoán mò, mà càng không phải là nghĩ liều.
- Luyện tập cho HS khả năng hình dung được những đối tượng quan hệ
không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những
hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,
sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời
sống.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng
hợp, trìu tượng hóa…
- Phân tích là tách một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những
bộ phận riêng lẻ.
- Tổng hợp là liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật
thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược

nào. Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ,
có cân nhắc cẩn thận chứ không phải là nghĩ liều, làm liều.
1.1.1.3. Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao
động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý thức và thói quen tự học thƣờng
xuyên
Bên cạch việc cung cấp những tri thức Toán học cơ bản rèn luyện những kĩ
năng phát triển tư duy cho HS, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi
dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm
chất của con người mới trong học tập và sản xuất như: làm việc có mục đích, có
kế hoạch, có phương pháp, có tính cẩn thận, chính xác, kĩ thuật, tiết kiệm, sáng
tạo, dám nghĩ, dám làm, có óc thẩm mĩ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ chân lý,
xây dựng, bảo vệ Tổ quốc.
Cũng như các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là quá trình
thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Để làm được việc này một mặt phải thực
hiện được nhiệm vụ chung giống như các bộ môn khác: phát huy tác dụng
gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể HS, phối hợp với giáo viên chủ
nhiệm…; nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của nội dung môn Toán
để đóng góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục đích này.
Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng là phải khai thác đặc thù của nội
dung môn Toán với tư cách một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần
giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ.

8
Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội. Trong phạm
vi môn Toán có thể thực hiện mục đích này theo các cách sau:
- Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc vào những
đề toán trong những trường hợp có thể được.
- Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán liên quan đến truyền thống dân
tộc.
- Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng Toán học của dân tộc ta. Tiềm năng

thông thường trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, những
hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi đã được người ta sử dụng trong kiến trúc và
trong nghệ thuật tạo hình… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho HS biết
thưởng thức cái đẹp. Việc yêu cầu HS giữ vở sạch, viết chữ đẹp, vẽ hình rõ ràng,
sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép tính ngắn gọn,
chặt chẽ, chính xác… sẽ góp phần giáo dục HS biết thưởng thức cái đẹp.
Như vậy, cùng với tri thức Toán học quy định trong chương trình, môn
Toán còn tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ. Giáo viên
có thể dạy cho HS thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic chặt chẽ,
trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn, chính
xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú đa
dạng…của Toán học vào đời sống.
1.1.1.4. Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động
Mục đích dạy học môn Toán ở trường phổ thông nhằm hình thành ở HS thế
giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhận thức và hành động, động
cơ đúng đắn và lòng say mê học tập, lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Điều đó thể hiện sự thống nhất giữa dạy chữ và dạy người, giữa dạy học và phát
triển.
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán
Bài tập toán có vị trí và vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là
bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập toán,
HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện
định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy
học. Vì vậy, vai trò của dạy học bài tập toán được thể hiện trên ba phương diện
sau:
- Thứ nhất, hình thành trên phương diện mục đích dạy học. Bài tập toán
học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt
động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện

cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có thể cụ thể hóa các
yêu cầu như sau:
+) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,… thõa mãn các yêu cầu của đề bài. Kết quả của các bước trung
gian cũng phải đúng và lôgic. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm
tính toán, vẽ hình, lập luận, biến đổi công thức,…
+) Lập luận chặt chẽ.
Khi lập luận một bài tập toán phải tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Luận đề phải nhất quán;

11
- Luận cứ phải đúng;
- Luận chứng phải hợp lôgic.
+) Lời giải đầy đủ.
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một
khả năng, một chi tiết cần thiết nào. Lời giải phải đầy đủ các trường hợp của bài
toán, ví dụ như giải phương trình không được thiếu nghiệm, không được bỏ sót
các trường hợp của bài toán …
+) Ngôn ngữ chính xác.
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Trong dạy học môn Toán cũng phải đảm bảo nguyên tắc này.
+) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết , hình vẽ và cách sắp xếp các
yếu tố (chữ, hình, kí hiệu, …) trong lời giải.
+) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
Trong quá trình tìm tòi những cách giải khác HS sẽ phát triển được tư duy,
giải quyết bài toán theo nhiều hướng khác nhau để đi tìm lời giải hay nhất, hợp
lý nhất.
+) Nghiên cứu, giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

+) Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho và cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán
như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, suy diễn, toán dựng hình, toán
quỹ tích…
+) Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kiến thức tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan. Tìm
tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất của hai công việc khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn
bản để đánh giá kết quả hoạt động giải toán. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp
xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự
thích hợp và thực hiện các bước đó.
Lời giải phải được trình bày lôgic, gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Đây chính là hoạt động giúp học sinh có thể tư duy, liên hệ giữa các kiến
thức với nhau. Nghiên cứu sâu lời giải bài toán tức là nghiên cứu khả năng ứng

13
dụng kết quả của bài toán, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng
hay lật ngược vấn đề.
1.2. Tìm lời giải bài toán bằng phƣơng pháp phân tích
Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riệng biệt
của cái toàn thể ra thành từng phần. Từ đó, ta có thể “mổ sẻ, chia nhỏ” bài toán
giúp cho việc tìm ra cách giải của bài toán. Phân tích gồm có phân tích đi lên và
phân tích đi xuống. Ta có thể sử dụng sơ đồ để biểu thị cách tìm lời giải bằng
hai phương pháp này.
1.2.1. Phân tích đi lên (suy ngƣợc lùi)

đúng, mệnh đề A
1
đúng thì mệnh đề A
2
đúng…, nghĩa là ta có sơ đồ
sau đây:
A ⟹ A
1
⟹ A
2
⟹ … ⟹ A
n

Theo sơ đồ trên ta thấy rằng nếu A
n
là mệnh đề đúng thì chưa thể kết luận
được gì về A, A có thể đúng và A cũng có thể sai. Tuy nhiên sơ đồ đó nhiều khi
cho ta một dự đoán rằng có thể chứng minh được sơ đồ sau:
A
n
⟹ A
n – 1
⟹ … ⟹ A
1
⟹ A
1
.
Khi đó nếu mệnh đề A
n
là đúng thì mệnh đề A được chứng minh.

0
AMB = 90
. Khi đó tâm
O
sẽ là trung điểm của
AB
còn bán
kính thì bằng
AB
R =
2
.
- Qua 3 điểm
A, B, C
không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ
một mà thôi. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua
trung điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
- Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn hơn khi và
chỉ khi dây đó gần tâm hơn.
1.3.1.2. Tiếp tuyến của đƣờng tròn
- Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó
có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm.
- Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp
điểm. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán
kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến.

tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung
chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau.
1.3.1.4. Các loại góc
a) Góc ở tâm
- Định nghĩa: Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn.
- Tính chất: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
b) Góc nội tiếp
- Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc
chứa hai dây của đường tròn đó.
- Tính chất: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
c) Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm
Tính chất: Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một
nửa số đo của cung bị chắn.
d) Góc có đỉnh nằm bên trong đƣờng tròn
Tính chất: Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng
số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
e) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đƣờng tròn
Tính chất: Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu
số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc. Vị trí tƣơng đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R - r < d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc

πR n
S =
180

1.3.1.7. Tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp
a) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh
0
a
R = .AB
180
2sin
n

0
a
r =
180
2tan
n

b) Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh
0
a
r =
180
2tan
n

c) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
(r)

Δ
S
R =
p
với
(2p = a + b + c)

Với tam giác vuông tại
A
:
c + b - a
R =
2

Với tam giác đều cạnh
a
:
a3
R =
6

1.3.2. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đƣờng tròn
Ví dụ: Cho tam giác
ABC
cân đỉnh
A
. Điểm
M
thay đổi trên cạnh

B
A
MAPOQ
nội tiếp
⇑

APO + AQO
=
0
180

⇑

APO = CQO

⇑

18

APO = CQO

⇑

QC = AP
;
OA = OC
(gt) ;

ABC
cân ⟹
OA
là đường phân giác
A
⟹
PAO = OACOA = OC
⟹
OAC
cân tại
O
⟹
OAC = ACO

Suy ra
PAO = ACO
(1)
+) Theo giả thiết :

AB
//
QM
⟹
ABM = QMC
(đồng vị).
Và
ABC = ACB

CQO + AQO
=
0
180
.
Vậy
APOQ
nội tiếp đường tròn.