MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa với
mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nước công nghiệp, hội nhập
với cộng đồng quốc tế. Trước bối cảnh đó, việc chuẩn bị tiềm lực con người cả
về số lượng và chất lượng là hết sức quan trọng và cần phải được tiến hành ở tất
cả các cấp học, bậc học, trong đó có bậc Đại học: “Đào tạo trình độ Cao đẳng,
trình độ Đại học phải coi trọng việc bồi dưỡng ý thức tự giác trong học tập,
năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng
thực hành, tạo điều kiện cho người học tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng
dụng.” (Điều 40, mục 4, chương II, Luật Giáo dục 2005).
Phản ánh thực tiễn là một đặc điểm của toán học. Về vai trò công cụ của
toán học đối với sự phát triển của nhiều ngành khoa học, Mac đã khẳng định:
“Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học” [20]. Về vai
trò của toán học đối với thực tiễn, theo Anghen: “Toán học là một khoa học trừu
tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng ấy
suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan” [20, tr.13]. Rõ ràng, ứng dụng
là một khía cạnh của toán học.
Môn “Xác suất thống kê” là môn học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh
vực của thực tiễn: khoa học kĩ thuật, kinh tế, quản trị, sinh học, y học, tin học,…
Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu
nhiên – các hiện tượng mà ta không thể nói trước là nó có xảy ra hay không khi
thực hiện một lần quan sát. “Lý thuyết Xác suất nhằm tìm ra những quy luật
trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật” [20, tr.3]. Trong
Xác suất, các nghiên cứu về biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng. Khi đã xác định được quy luật phân phối xác
suất của một biến ngẫu nhiên thì nói chung ta đã nắm được phần lớn thông tin về
biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, trong thực tế ta còn cần phải quan tâm đến những
thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biến
ngẫu nhiên được nghiên cứu, đó chính là các tham số đặc trưng. Như vậy, các

2.1. Mục tiêu khoa học công nghệ
Sưu tầm, lựa chọn, hướng dẫn sử dụng các bài tập có nội dung thực tiễn
thuộc các lĩnh vực (kinh tế, y học, nông nghiệp, ) về một số tham số đặc trưng

2

của biến ngẫu nhiên rời rạc (theo chương trình môn XSTK dành cho sinh viên sư
phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương) góp phần giúp các bạn sinh viên thấy rõ
hơn sự phản ánh thực tiễn của kiến thức biến ngẫu nhiên rời rạc trong môn học,
rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn.
2.2. Mục tiêu kinh tế, xã hội
Hệ thống bài tập được xây dựng sẽ là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinh
viên sư phạm Toán của trường ĐH Hùng Vương, Phú Thọ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
3.1. Nghiên cứu về vấn đề bài tập trong dạy và học.
3.2. Nghiên cứu các vấn đề về biến ngẫu nhiên trong môn XSTK, một số
tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đó.
3.3. Sưu tầm, chọn lọc các bài tập có nội dung thực tiễn về một số tham số
đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc phù hợp với chương trình môn XSTK cho
sinh viên sư phạm ngành Toán ở trường ĐH Hùng Vương, đưa ra lời giải chi tiết
hoặc lời giải gợi ý cho các bài tập.
3.4. Trình bày một số định hướng sử dụng hệ thống bài tập xây dựng được
nhằm hỗ trợ sinh viên sư phạm trong việc vận dụng kiến thức môn XSTK vào
thực tiễn cuộc sống.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.
4.1. Khách thể nghiên cứu.
Quá trình học tập môn XSTK của sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH
Hùng Vương.
4.2. Đối tượng nghiên cứu.
Bài tập môn XSTK cho sinh viên sư phạm Toán ở trường ĐH Hùng Vương.

7. Dự kiến cấu trúc, bố cục của khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tài dự
kiến gồm ba chương:
Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập về một số tham số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên rời rạc
Chương 3: Định hướng sử dụng hệ thống bài tập

4

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và lấy
giá trị trong không gian R (R là trục số thực) được gọi là biến ngẫu nhiên với bất
kỳ
x RÎ
tập {
ω
: X(
ω
) < x} là biến cố ngẫu nhiên.
Ta thường kí hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y,… Giá trị
của biến ngẫu nhiên thường kí hiệu bằng các chữ cái in thường x, y,…
Một số ví dụ về biến ngẫu nhiên:
• X là số con trai trong một lần sinh. X là biến ngẫu nhiên. Giá trị mà nó có thể
nhận là 0,1.
• X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào một mục tiêu. X là
biến ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị mà nó có thể nhận là 0, 1, , n.

x
thay đổi. Do đó
xác suất P[
ω
:X(
ω
) <
x
] cũng thay đổi, tức là xác suất này phụ thuộc vào
x
. Nó
là hàm của biến số
x
.
Định nghĩa 1.4. Gọi hàm số F(x) = P[
ω
:X(
ω
) <
x
],
x RÎ
là hàm phân
phối của biến ngẫu nhiễn X
1.1.2.1. Các tính chất của hàm phân phối
a)
( )F x
là hàm đơn điệu tăng, tức là nếu
1 2
x x<

X
chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì:
Với
, ( ) 0x a F x£ =
Với
, ( ) 1x b F x³ =
Đặc biệt ở trường trung học phổ thông hệ quả này được thể hiện:
( ) 0 à ( ) 1P v PÆ = W =
Thật vậy:
Với
ì ( ) ( ),( ) , ( ) 0 ê ( ) 0x a th P X x F x X x P n n F x£ < = < =Æ Æ = =
Với
ì ( ) ( ), ( ) , ( ) 1 ê ( ) 1x b th P X x F x X x P n nF x³ < = < =W W = =
Đồ thị của hàm phân phối thường ở một trong hai dạng: đường cong liên
tục và đường gián đoạn.
Đối với hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc thì đồ thị của nó có dạng
bậc thang hình (2.2)

6

1.1.2.2. Phân phối rời rạc
a) Định nghĩa 1.5. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu
miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được.
Hàm số
[X=x ]
( ) ( ) [ ]
0
i i
x
i

( ) 1
i
i N
f x
Î
=
å
ii) F(x) =
,
( )
i
i
i N x x
f x
Î <
å

x R" Î
iii)
,
[ ] ( ) , ;
i
i
i N a x b
P a X b f x a b R a b
Î £ <
£ £ = " Î <
å
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X với
Im X = {x

Đặc biệt X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị {x
1
, x
2
, … ,x
n
} ta
có bảng phân phối xác suất (thể hiện trong sách giáo khoa THPT lớp 11- chương
trình nâng cao):
X
x
1
x
2
…
x
n
P
p
1
p
2
…
p
n
Nhận xét: Tính chất i,
( ) 1
i
i N
f x

= = -
Kí hiệu:
~ ( ; )X n pB
Hàm phân phối:
0
( )
m
k k n k
X n
k
F x C p q
−
=
=
∑
;
1m x m≤ < +
;
m n≤
1.1.3.2. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.7. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị
0,1, 2, k =
với xác
suất
( )
!
k
P X k e
k
- l

1.2. Một số tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
1.2.1. Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 1.8. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị
{x
i
,i
∈
I} nếu
[ ]
i
x P
i
i I
X x
∈
=
∑
hội tụ thì đại lượng E(X)=
[ ]
i i
i I
x P X x
∈
=
∑
được gọi
là kỳ vọng toán của X.
- Trong phân phối nhị thức
EX np=
1.2.1.1. Các tính chất của kỳ vọng toán (được phát biểu với các biến ngẫu

bằng tích n kỳ vọng toán thành phần:
E
(
∏
=
n
i
i
X
1
) =
∏
=
n
i
i
XE
1
(
)
1.2.1.2. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
Bản chất: Kì vọng toán là trung bình theo nghĩa xác suất của biến ngẫu nhiên.

9

Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng EX là trung bình có trọng lượng. Nếu lặp
lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X ta nhận được kết quả X
1
, X
2

thì ta nói đó là phương sai của X, kí hiệu là
( )V X
:
2
( ) ( ( ))V X E X E X= -
- Nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X là {
i
x ,i ∈N
},
( )
i i
P X x p= =
thì:
( )V X
=
2
( )
i
i I
x EX
Î
-
å
p
i
- Trong phân phối nhị thức
(1 )DX np p= −
1.2.2.1. Các tính chất của phương sai
Tính chất 1: Phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng hiệu của kỳ vọng
biến ngẫu nhiên bình phương và bình phương kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:

) =
1
( )
n
i
i
V X
=
∑
Hệ quả 2: Phương sai của tổng một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng
phương sai của chính biến ngẫu nhiên đó: V(C+X) = V(X)
Hệ quả 3: Phương sai của hiệu hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các
phương sai thành phần: V(X-Y) = V(X) + V(Y)
1.2.2.2. Bản chất của phương sai
Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên thì
chưa đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó. Ta còn phải xác định mức độ phân tán
của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Ta có
thể nghĩ rằng để đặc trưng cho mức độ phân tán thì đơn giản nhất là tìm tất cả
sai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó và lấy giá
trị trung bình số học của các sai lệch đó, song cách làm này không mang lại hiệu
quả vì E(X-EX) = 0. Để khắc phục điều đó người ta không tính trực tiếp trung
bình của các sai lệch mà tính trung bình của bình phương các sai lệch. Đó chính
là phương sai.
Vậy, phương sai của biến ngẫu nhiên X là độ lệch bình phương trung bình
quanh giá trị trung bình
E X
.
1.2.2.3. Ý nghĩa của phương sai
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, nói lên mức độ tập
trung (hoặc mức độ tản mát, phân tán) của các giá trị của biến ngẫu nhiên X so

x
X
2

P p
x
(x
1
) p
x
(x
2
)
được xác định như sau:
{ }
0 0
1 2
Mod ( ) max ( ), ( ),
i X i X X
x X p x p x p x
= ⇔ =
Như vậy, Mod của biến ngẫu nhiên rời rạc X là giá trị của biến ngẫu nhiên
mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất.
- Trong phân phối nhị thức Mod [X] = m
0
= [np+p-1]+1 (khả năng xảy ra
nhiều nhất của một giá trị của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)
1.2.3.2. Median (Trung vị)

12

1.3.1. Thực tế, thực tiễn
Theo từ điển Tiếng Việt, thực tế là “tổng thể nói chung những gì đang tồn
tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống
con người”; thực tiễn là “những hoạt động của con người, trước hết là lao động
sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói
tổng quát)” [11, tr.957]. Như vậy, ta thấy thực tiễn là một dạng tồn tại của thực
tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó có hàm chứa hoạt động của
con người cải tạo, biến đổi thực tế với một mục đích nào đó.
1.3.2. Bài toán, bài toán có nội dung thực tiễn
Theo quan niệm của L.N. Lanđa, A. N. Lêonchiep thì: Bài toán là mục
đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể cần phải hành động,
tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết. Theo cách quan niệm
của Pôlya: “Bài toán đặt ra là sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương
tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được
ngay. Giải bài toán là tìm ra phương tiện đó” [12, tr.61].
Theo Bùi Huy Ngọc: “Bài toán thực tế là một bài toán mà trong giả thiết
hay kết luận có các nội dung liên quan đến thực tế” [9, tr.22]. Dựa trên quan

13

điểm này và các quan điểm về bài toán, các quan niệm về thực tế, thực tiễn đã
trình bày, chúng tôi quan niệm rằng: Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán
mà trong giả thiết hay kết luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt
động thực tiễn.
1.3.3. Bài tập, bài tập có nội dung thực tiễn
Theo Thái Duy Tuyên: Bài tập là một hệ thông tin xác định bao gồm hai
tập hợp gắn bó chặt chẽ và tác động qua lại với nhau.
Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng thái
ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngôn ngữ thông dụng thì đó là
“cái cho”; trong toán học thì người ta gọi là giả thiết.

Trần Vui [21], bài toán thực tiễn được chia thành ba loại:
- Bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với quan niệm thực tiễn. Quan
niệm thực tiễn trong các bài toán này gần gũi với người học, có thể cảm nhận,
kiểm nghiệm được.
- Bài toán có nội dung thực tiễn để chuyển tải các ý tưởng toán học. Quan
niệm thực tiễn trong các bài toán loại này có thể không gần gũi với đối tượng
tiếp cận. Các bài toán này được đưa ra với mục đích chuyển tải một ý tưởng,
một nội dung toán học nào đó.
- Bài toán thực tiễn thuần tuý toán học. Quan niệm thực tiễn trong các bài
toán này có thể không gần gũi với đối tượng nào, các bài toán loại này được đưa
vào chủ yếu là để tăng tính sinh động, hấp dẫn.
Theo Bùi Huy Ngọc [9], căn cứ vào mức độ phức tạp về mặt toán học của
bài toán, các bài toán thực tiễn được chia thành hai dạng sau:
- Bài toán có nội dung thực tiễn đơn giản. Các bài toán loại này có mô hình
toán học dễ phát hiện và khi giải chỉ sử dụng trực tiếp một vài kiến thức toán
học (ví dụ được tác giả đưa ra: “Một hình chữ nhật có một cạnh là 2a, một cạnh
là b. Hỏi chu vi và diện tích là bao nhiêu?” [9, tr.95]). Nói chung, các bài toán
loại này được coi là các bài toán ứng dụng “thô” của toán học
- Bài toán thực tiễn phức tạp: Các bài toán loại này có bước xây dựng mô
hình toán học thường phức tạp, khi giải thường phải phối hợp nhiều loại kiến
thức. Thuật ngữ “phức tạp” ở đây không chỉ hiểu theo nghĩa là mô hình toán học
của bài toán khó xây dựng hơn mô hình toán học của các toán có nội dung thực
tiễn đơn giản mà còn được hiểu theo nghĩa việc chuyển tải các ý tưởng, các
phương pháp toán học vận dụng vào thực tiễn cũng đòi hỏi phức tạp hơn.

15

Cả hai sự phân chia trên chỉ có tính chất tương đối. Cần lưu ý rằng, khi nói
về độ phức tạp về mặt toán học của bài toán, không đòi hỏi sinh viên sư phạm xét
tới những bài toán thực tiễn ở mức độ chuyên sâu (mức độ hoạt động nghề nghiệp

môn học vào thực tiễn qua lập luận, phân tích, xây dựng mô hình toán học cho
bài toán và giải bài toán; củng cố cho người học một số phản ánh thực tiễn của
tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; rèn luyện khả năng khái quát hoá một lớp
bài toán theo một mô toán học; góp phần hình thành thói quen trực giác toán học
đối với các tình huống thực tiễn.
Tuy nhiên, gianh giới giữa hai loại bài tập chỉ có tính chất tương đối bởi
mức độ giãn yếu về độ phức tạp toán học trong nội dung hay trong việc lập mô
hình toán học của bài toán cũng chỉ có tính chất tương đối.

17

KÕt luËn ch¬ng I

Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ về biến ngẫu nhiên rời rạc
(khái niệm, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên, các tính chất của hàm phân
phối, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc: kỳ vọng, phương sai, độ
lệch chuẩn, mod, median, các tính chất của các tham số đó). Trong đó, chúng tôi
chú ý phân tích bản chất, ý nghĩa thực tiễn của các tham số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên rời rạc nhằm giúp người học thấy được một số phản ánh thực tiễn
của kiến thức các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Ngoài ra,
chương 1 trình bày lý luận cơ bản về bài tập có nội dung thực tiễn, phân tích các
quan niệm về thực tế, thực tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn để làm căn cứ
phân loại bài tập có nội dung thực tiễn về tham số đặc trưng của biến ngẫu
nhiên. Đây là cơ sở quan trọng để trình bày tiếp chương 2 của khóa luận.

18

Chương 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ THAM SỐ ĐẶC
TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

người lao động chân chính. Vì vậy, với kiến thức môn XSTK nói chung, kiến
thức tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nói riêng thì người học cần có thói
quen và ý thức ứng dụng các tham số đặc trưng trong suy nghĩ cũng như trong
việc làm. Từ đó, người học sẽ có ý thức luôn tự tìm cách thức để liên tới tưởng
tới các số đặc trưng trong học tập, trong lao động sản xuất và đời sống. Chẳng
hạn như tìm ra sai số của các thiết bị, chi tiết gia công so với kích thước tiêu
chuẩn, tìm ra mức độ rủi ro của các quyết định trong lĩnh vực kinh tế… từ đó ta
đưa ra các phương án điều chỉnh. Rõ ràng, không thể đạt được điều đó, nếu
người học xem nhẹ tuyến các bài tập có nội dung thực tiễn về các tham số đặc
trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Định hướng 3: Tạo điều kiện để người học thấy được sự thể hiện của bài
tập toán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông
Nhà giáo dục học Xô Viết Firxôv V.V khẳng định: việc dạy học toán ở
phổ thông cần chú ý đến việc phản ánh khía cạnh ứng dụng của toán học, điều
đó được thực hiện qua việc dạy cho học sinh biết ứng dụng toán học để giải
quyết các bài toán thực tiễn [23, tr.62]. Rõ ràng, vai trò của các bài toán thực
tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông trong việc khai thác khía
cạnh vận dụng toán học vào thực tiễn là không thể phủ nhận. Các bài toán thực
tiễn trong chương trình, SGK Toán phổ thông nước ta hiện nay là các bài toán
thuộc loại 1 theo cách phân loại bài toán thực tiễn ở trên. Việc tiếp cận các bài
toán thực tiễn của môn học trong chương trình phổ thông đòi hỏi xem xét các bài
toán đó một cách toàn diện về nội dung, lĩnh vực thực tiễn được phản ánh, yêu
cầu sử dụng kiến thức môn học để giải quyết, sắp xếp, tổng hợp các bài tập
thành các tuyến cụ thể. Hiện nay, trong Chương trình môn Toán THPT, các bài
toán về biến ngẫu nhiên rời rạc được cho dưới dạng tính toán xác suất xảy ra các
giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đã cho trước quy luật phân phối xác suất. Khi
xây dựng hệ thống bài tập, chúng tôi có chú ý bao quát các bài toán ở phổ thông
nhằm tạo điều kiện cho người học tầm kiến thức phổ rộng và chiều sâu để dạy
học tốt chủ đề này trong chương trình phổ thông.


thực hiện yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn. Sự đa dạng về nội
dung của các bài tập về các tham số đặc trưng thể hiện ở sự đa dạng của các tình
huống thực tế, ở phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất, đời sống được phản

21

ánh trong các bài tập về các tham số đặc trưng. Sự đa dạng làm cho người học
thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các tham số đặc trưng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của các số đặc trưng. Tuy vậy,
cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ liên môn, liên hệ với thực tế một cách
miễn cưỡng.
Nguyên tắc 3: Lưu ý những thuật ngữ chuyên môn của một số lĩnh vực
thực tiễn
Một trong những ưu điểm của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong các
lĩnh vực thực tiễn khác nhau là người học được tiếp cận với một số yếu tố đặc thù
về mặt chuyên môn trong các lĩnh vực đó. Mỗi lĩnh vực thực tiễn có một số thuật
ngữ chuyên môn riêng mà bình thường nếu không có cơ hội tiếp cận thì người
học không thể biết, chẳng hạn, trong y học có thuật ngữ “độ nhạy”, “độ đặc
hiệu” của phản ứng; trong kinh tế có thuật ngữ “lợi nhuận kỳ vọng” hay thuật
ngữ “đánh giá thị trường tiềm năng” của một sản phẩm,…Vì vậy, trong quá trình
xây dựng các bài toán thực tiễn, chúng tôi có chú ý tới những bài toán mang
những đặc trưng riêng của một số lĩnh vực khác nhằm cung cấp những hiểu biết
mới, tạo cho bạn học tiềm năng rèn luyện ngôn ngữ chính xác, linh hoạt (cả về
mặt cú pháp và ngữ nghĩa) cho học sinh phổ thông trong dạy học sau này.
Nguyên tắc 4: Chú ý một số bài tập có thể dẫn tới sai lầm trong vận
dụng lý thuyết các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên để giải bài toán
Việc cài đặt sai lầm vào các bài toán nhằm tạo cho người học “phát triển
óc phê phán, khả năng không những chỉ là tái tạo các lược đồ lôgic xác định,
mà còn phê phán mỗi giai đoạn của lý luận tương ứng với các nguyên tắc đã
tiếp thu được về tư duy toán học và về thực hành tính toán” [22, tr.12]. Trong

sản phẩm.
Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm xấu trong mẫu.
Bài 1.5. Một nhóm có 7 người trong đó có 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu
nhiên ra 3 người. Gọi
X
là số nữ có trong nhóm được chọn. Lập bảng phân bố
xác suất của
X
. Tính
EX
và VX.
Bài 1.6. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi đen, 4 bi trắng. Xét hai
bài toán sau:
a) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la. Gọi
Y
là số tiền
nhận được. Tính kỳ vọng của
Y
.

23

b) Nếu chọn được 1 bi trắng sẽ được thưởng 200 đô la và chọn được 1 bi
đen sẽ được thưởng 300 đô la. Gọi
Z
là số tiền nhận được. Tính kỳ vọng của
Z
.
Bài 1.7. Gieo 1000 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là p = 0,8.
Gọi X là số hạt nảy mầm trong 100 hạt. Tìm kỳ vọng, phương sai của X .

. Tính kỳ vọng
EY
và phương sai
VY
.
Bài 1.11. Tỷ lệ suy dinh dưỡng ở các tỉnh miền Tây Nguyên là 35,8%.
Khảo sát ngẫu nhiên 50 trẻ ở vùng này. Gọi X là số trẻ suy dinh dưỡng (SDD)
trong 50 trẻ nói trên. Hỏi:
a) X có phân phối gì?
b) Tính E(X), V(X).
c) Số trẻ SDD có khả năng xảy ra cao nhất là bao nhiêu?
d) Có khả năng xảy ra tình huống cả 50 trẻ bị suy dinh dưỡng hay không?
Bài 1.12. Hai xạ thủ A và B tập bắn. Mỗi người bắn hai phát. Xác suất
bắn trúng đích của A trong mỗi lần bắn là 0,4; còn của B là 0,5.
a) Gọi
X
là số phát bắn trúng của A trừ đi số phát bắn trúng của B. Tìm
phân bố xác suất của
X
, kỳ vọng
EX
và phương sai
VX
.
b) Tìm phân bố xác suất của
Y X=
và kỳ vọng
EY
.