Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Thái Nguyên, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

HOÀNG TRUNG HIẾU

DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH

Hoàng Trung Hiếu Xác nhận
của trƣởng khoa chuyên môn
Xác nhận
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. Trần Việt Cường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ

Lời cam đoan
i

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

TT
Viết tắt
Cụm từ viết tắt
1.
BPT
Bất phƣơng trình
2.
GTLN
Giá trị lớn nhất
3.
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
4.
GV

5.
HS
Học sinh
6.
NXB
Nhà xuất bản
7.
PPDH

mê tìm tòi sáng tạo.
Trong nội dung chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, phƣơng trình
(PT) và Bất phƣơng trình (BPT) là một trong những nội dung quan trọng và
chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức, cũng nhƣ thời gian học ở trƣờng phổ
thông. Chủ đề PT, BPT có mối liên hệ mật thiết với chủ đề hàm số. Hơn nữa,
việc sử dụng các tính chất của hàm số trong giải một số dạng toán tỏ ra khá
hiệu quả. Bởi vậy, việc sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số để giải các
bài toán về PT và BPT là điều cần thiết và bổ ích đối với HS. Phƣơng pháp giải
các bài toán về PT và BPT bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm
số ta có thể gọi là "phƣơng pháp hàm số".
Phƣơng pháp hàm số không phải là phƣơng pháp có tính chất thuật giải
nhƣ phƣơng pháp giải PT bậc hai bằng cách tính biệt số , nhƣng cũng không
hoàn toàn là một phƣơng pháp có tính chất tìm kiếm nhƣ quy lạ về quen, tƣơng
tự hóa Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu phƣơng pháp này để có
cách truyền thụ thích hợp cho HS.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Phƣơng pháp hàm số cũng nhƣ mọi phƣơng pháp khác không phải thích
hợp cho mọi bài toán về PT và BPT. Tuy vậy, số bài tập có thể áp dụng đƣợc
phƣơng pháp hàm số để giải cũng không phải là ít. Thực tế cho thấy, phƣơng
pháp hàm số ít đƣợc áp dụng trong nhà trƣờng phổ thông nên có thể xem là
phƣơng pháp mới. Thông qua cách giải bằng phƣơng pháp hàm số, HS thấy
đƣợc sự liên hệ mật thiết giữa hàm số và PT, BPT, thấy đƣợc sự tác động qua
lại giữa chúng, bổ sung và hỗ trợ cho nhau và cho ta thấy đƣợc mối quan hệ
chặt chẽ giữa đại số và giải tích. Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số giúp HS
phát triển khả năng tổng hợp, rèn luyện tƣ duy linh hoạt, sáng tạo
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dạy học giải
toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu

trƣờng THPT.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông
1.1.1. Vị trí và tầm quan trọng của nội dung hàm số
Khi đánh giá về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong
chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, nhà toán học Khinsin viết: “Không
có khái niệm nào khác có thể phản ánh hiện thực khách quan một cách trực tiếp
và cụ thể nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm, không có một khái niệm nào có thể
thể hiện đƣợc ở trong nó những nét biện chứng của tƣ duy toán học hiện đại
nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm” [19]. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận
động và sự vận động diễn ra trong những mối tƣơng quan nhất định.

x
. Trên tập số hữu tỷ thể hiện sự tƣơng quan đại lƣợng tỉ lệ
thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch.
Lớp 9: HS đƣợc xét các hàm số trên tập số thực

hoàn chỉnh hơn và bắt
đầu đƣợc làm quen với khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Sau
đó, HS đƣợc nghiên cứu các hàm số bậc nhất y = ax (a ≠ 0) và hàm số y =
ax
2
(a ≠ 0) trên

.
Lớp 10: HS đƣợc nghiên cứu một cách chính hơn hơn, đầy đủ hơn các
vấn đề về hàm số nhƣ: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số đồng thời đƣa ra
các khái niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn,
hàm số lẻ. Tiếp đó, HS đƣợc nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng quát.
Lớp 11: HS đƣợc học về hàm số lƣợng giác, hàm số với đối số là số tự
nhiên: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
Việc khảo sát hàm số trƣớc lớp 12 đƣợc tiến hành bằng phƣơng pháp sơ
cấp (chủ yếu dựa vào các tính chất đã biết của hàm số).
Lớp 12: HS đƣợc làm quen với việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các
tính chất của hàm số nhƣ: Tính đồng biến, nghịch biến, cực trị… của hàm số.
HS sử dụng những kiến thức này để khảo sát một số hàm số nhƣ:

32
ax ( 0)y bx cx d a42

Từ đó, mục đích yêu cầu trong dạy học hàm số ở trƣờng THPT là [19]:
- HS nắm vững đƣợc khái niệm hàm số và các khái niệm có liên quan,
thấy đƣợc những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong
các phân môn toán học và qua các chƣơng mục khác nhau, từ đó thấy đƣợc vị
trí trung tâm của khái niệm này trong toàn bộ chƣơng trình môn toán ở nhà
trƣờng phổ thông (1).
- HS nắm vững đƣợc phƣơng pháp khảo sát hàm số bằng phƣơng pháp
sơ cấp và bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phƣơng pháp đó để khảo
sát một số hàm số cụ thể (Các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số mũ, hàm số
lôgarit, hàm số lƣợng giác…) và tiến tới rèn luyện kỹ năng thành thạo về mặt
này. Thấy đƣợc mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị cũng nhƣ ứng dụng
của việc khảo sát hàm số trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải PT, BPT và
giải các bài toán cực trị (2).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

- Phát triển ở HS năng lực tƣ duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu
cầu (1) và (2) trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán. Rèn luyện cho HS những
thao tác tƣ duy, đặc biệt là trừu tƣợng hóa và khái quát hóa trong việc hình
thành khái niệm hàm số.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng trƣớc hết là tập dƣợt cho
HS xem xét những sự vật, hiện tƣợng trong trạng thái động và trong những mối
liên hệ tác động lẫn nhau.
1.1.4. Một số kiến thức về hàm số thƣờng đƣợc vận dụng vào việc giải PT
và BPT ở trƣờng phổ thông
a) Định nghĩa hàm số
Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực

. Một hàm số
f xác định trên D là một quy tắc cho tƣơng ứng mỗi phần tử x D một và chỉ

+) Nếu
'( ) 0, ( ; )f x x a b
thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng
(a; b).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

+) Nếu
'( ) 0, ( ; )f x x a b
thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
(a; b).
+) Nếu
'( ) 0 ( '( ) 0), ( ; )f x f x x a b
và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b).
c) Cực đại, cực tiểu của hàm số
- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
;0hh
.
+) Điểm
0
( ; )x a b
gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại
một lân cận
00
( ; )x h x h
của x
0
sao cho với mọi
0 0 0 0

, tại đó f’(x) = 0. Khi đó:
+) Nếu
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x h x
và
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x x h
thì x
0
là
điểm cực đại của hàm số.
+) Nếu
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x h x
và
'( ) 0fx
trên
00
( ; )x x h
thì x
0
là
điểm cực tiểu của hàm số.
d) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

.
+) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu tăng trên [a; b] thì:
;
;
ax ( ) ( ); min ( ) ( )
ab
ab
m f x f b f x f a

+) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu giảm trên [a; b] thì:
;
;
ax ( ) ( ); min ( ) ( )
ab
ab
m f a f b f x f b

+) Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn
trên [a; b] thì:
12
;;
12
;;
ax ( ) ax ( ), ( ), ( ), ( ), ( )
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), ( )
n
a b a b
n
a b a b
m f x m f x f x f x f a f b

có thể thấy:
Trƣớc khi học tƣờng minh về PT và BPT, HS ở bậc tiểu học cũng đã
đƣợc làm quen một cách ẩn tàng với những bài toán về PT và BPT. Ở lớp 1,
HS đƣợc làm quen với các bài toán về PT, BPT dƣới dạng “điền vào ô trống”.
Ở lớp 2, lớp 3, lớp 4, HS đƣợc làm quen với các bài toán về PT, BPT dƣới dạng
“Tìm x trong các biểu thức” dạng a - x = b; ax = b hay
a
b
x
trên tập hợp số tự
nhiên.
Khái niệm PT và BPT đƣợc định nghĩa ở lớp 7, sau đó đƣợc định nghĩa
lại ở lớp 10. Các kiến thức về PT và BPT nhƣ quan hệ tƣơng đƣơng, quan hệ hệ
quả giữa hai PT và hai BPT, giải PT và BPT đƣợc đƣa dần ở mức độ thích hợp
với từng lớp và có phần lặp đi lặp lại, nâng cao dần từ lớp 8 đến lớp 10. HS
đƣợc dần dần làm quen với từng loại PT, BPT thích ứng với những yếu tố lý
thuyết đã học.
- Lớp 8: HS đƣợc học khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT và giải PT,
quan hệ tƣơng đƣơng giữa hai PT và BPT. Dạng PT tƣơng ứng: PT, BPT bậc
nhất, PT có hệ số bằng chữ, PT có ẩn ở mẫu.
- Lớp 9: HS đƣợc học về hệ PT, các phép biến đổi tƣơng đƣơng về hệ
PT. Dạng PT tƣơng ứng: PT bậc 2 một ẩn số, PT quy về PT bậc 2, hệ PT bậc
nhất 2 ẩn số, các phƣơng pháp giải hệ PT.
- Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về PT mà HS đã đƣợc
học ở THCS. Các dạng PT tƣơng ứng: PT bậc nhất, bậc 2 một ẩn số, hệ PT bậc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

nhất 2 ẩn, nhiều ẩn số, hệ PT đƣa về một PT bậc 2, đi sâu vào các PT có chứa
tham số, BPT bậc 2.

kiểm tra trong việc giải PT và BPT nói chung.
- HS thấy rõ đƣợc ý nghĩa thực tế của PT và BPT thông qua việc giải
những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật và thực tế.
1.2.4. Dạy học giải các bài toán về PT và BPT ở trƣờng phổ thông
a) Dạy học biến đổi PT và BPT
Khi dạy học giải các bài toán về PT (BPT), GV thƣờng hƣớng dẫn HS
biến đổi PT (BPT) đã cho về những PT (BPT) đơn giản hơn và cuối cùng dẫn
đến những PT (BPT) đã biết cách giải. Việc dạy học BPT nhìn chung tƣơng tự
nhƣ dạy học PT nên trong phần này, chúng tôi chỉ tập trung trình bày về dạy
học PT.
Biến đổi PT hiểu theo nghĩa rộng bao gồm những phép biến đổi đồng
nhất và những phép biến đổi biến số (đặt ẩn phụ). Khi thực hiện phép biến đổi
đồng nhất cần phải quan tâm đến miền xác định. Khi ta sử dụng những phép
biến đổi đồng nhất không làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì
ta đƣợc một PT tƣơng đƣơng. Khi ta sử dụng những phép biến đổi đồng nhất
làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì nói chung ta đƣợc một
PT không tƣơng đƣơng với PT đã cho. Nếu phép biến đổi đó làm cho miền xác
định mở rộng thì nói chung dẫn đến PT hệ quả (có thể có thêm nghiệm). Khi
đó, ta phải thử nghiệm vào PT đầu để loại những nghiệm ngoại lai. Nếu phép
biến đổi làm thu hẹp miền xác định thì nói chung sẽ làm mất nghiệm của
phƣơng trình ban đầu. Ta cần phải căn cứ vào phép biến đổi để tìm nghiệm đã
mất. Việc thử nghiệm để loại những nghiệm ngoại lai hoặc tìm những nghiệm
đã mất sẽ gây ra những khó khăn trong khâu tính toán. Do vậy khi thực hiện
các phép biến đổi đồng nhất phải chú ý đến những phép biến đổi làm thay đổi
miền xác định.
Ví dụ 1.1: Tìm m để PT
21x x m
(1) có hai nghiệm phân biệt.
Một HS giải như sau:


PT. Trong khi đó, HS lại không tiến hành thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Do
đó, lời giải bài toán không chính xác.
Đáp số đúng của bài toán này:
11
3
4
m
.
Vậy khi biến đổi PT mà không thay đổi biến ta cần lƣu ý HS những phép
biến đổi đồng nhất làm cho biểu thức mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định.
Khi biến đổi PT có thay đổi biến ta cần lƣu ý HS về quan hệ tập xác định
của hai PT đối với hai biến. Chẳng hạn: PT
( ) 0 (1)fx
với
xX
biến đổi
thành PT
( ) 0 (2)gt
với
tT
phải bảo đảm mỗi
tT
phải tồn tại
xX

tƣơng ứng và ngƣợc lại. Có vậy thì hai bài toán mới tƣơng đƣơng.
Ví dụ 1.2: Bài toán 1: Tìm m để PT
( 1).( 2).( 3).( 4) (1)x x x x m

có 4 nghiệm phân biệt.

4
T
;
Căn cứ vào phép biến đổi ta thấy:
Nếu
9
4
t
thì PT (2) có đúng một nghiệm
xX
.
Nếu
9
4
t
thì PT (2) có hai nghiệm phân biệt
xX
.
Vậy để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt
xX
thì (3) phải có hai nghiệm
phân biệt
9
;
4
t
.
Vậy ta có bài toán 2 nhƣ sau: Tìm m để PT
2
20t t m

sát hàm số, ta có thể hƣớng dẫn HS vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải bài
toán "so sánh số với hai nghiệm của PT bậc hai" theo một phƣơng pháp khác
chú trong hơn về mặt ngữ nghĩa. Nhờ đó, HS đƣợc làm quen với những phƣơng
pháp tƣơng ứng mà nhận ra sự cần thiết của phƣơng pháp này.
Ví dụ 1.3: Với giá trị nào của m thì PT:
2
( 1)x ( 5) 1 0m m x m

a) Có hai nghiệm lớn hơn -1
b) Có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3
Ta có thể hƣớng dẫn HS lớp 12 ứng dụng đạo hàm để giải bài toán này.

2
( 1)x ( 5) 1 0 (1)m m x m

22
(x 1) x 5 1 (2)x m x

Vì
2
x 1 0,xx
nên PT (2) tƣơng đƣơng với PT:
2
2
x 5 1
(3)
x1
x
m
x


x
-2 -1 1 3
f’(x)
+ 0 - 0 + f(x)

7
3
1

15
7

5
7

1 -3
Từ kiến thức về hàm số và đồ thị ta có thể hƣớng dẫn HS nhận thấy:
a) PT có hai nghiệm lớn hơn -1 khi
31m

b) PT có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 khi
15 7
73
m
hoặc
5

12
( ; ) ( ; )x x x
, trong đó
x
1
và x
2
là nghiệm của f(x) = 0 và x
1
< x
2
). BPT (1) nghiệm đúng
0;2x
khi
và chỉ khi:
2
2
. (2) 0
7 0 ( )
2
12
2
2
2
1 0 1 2
. (0) 0
10
0
2
m

x D f x
để xác định giá trị cần tìm của m.
Ta có lời giải nhƣ sau:
Ta có
2
1 2 1 –x x m
(2)
Xét hàm số
2
( ) 2f x x x
trên
0;2
; Ta có
'( ) 2 2.f x x

Bảng biến thiên:
x
0 2
f’(x)

+ f(x)

8

0
nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán, từ đó giúp cho HS thấy đƣợc
thuật toán chung để giải một số dạng PT, BPT. Các phƣơng pháp giải toán ở
đây chủ yếu có tính định hƣớng chung cho những bài toán cơ bản thƣờng gặp
trong sách giáo khoa và trong các kì thi.
Các phƣơng pháp thƣờng áp dụng để giải PT, BPT.
1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, biến đổi hệ quả.
2. Phƣơng pháp đổi biến số
3. Phƣơng pháp sử dụng tam thức bậc hai.
4. Phƣơng pháp đánh giá.
5. Phƣơng pháp đồ thị.
6. Phƣơng pháp miền giá trị.
7. Phƣơng pháp đạo hàm.
Trong các phƣơng pháp trên, phƣơng pháp 5, 6, 7 ta có thể gọi chung là
phƣơng pháp hàm số.
Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả.
Khi giải một PT, BPT, hệ PT ta có thể biến đổi chúng về PT, BPT, hệ PT
tƣơng đƣơng hay hệ quả đã biết cách giải nhờ vào các phép biến đổi đã biết.
Tuy nhiên, cần hạn chế biến đổi BPT đã cho về BPT hệ quả.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Ví dụ 1.5: Giải hệ PT:
3
3
38
38
x x y
y y x

Hệ PT tƣơng đƣơng với:


Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ)
Do một bộ phận khá lớn các PT, BPT giải đƣợc bằng cách dùng ẩn phụ
nên ta có thể xem việc dùng ẩn phụ để giải PT, BPT là một trong các đƣờng lối
chủ yếu.
Để giải PT, BPT ta có thể thực hiện theo các bƣớc sau:
- Đặt ẩn số ban đầu:
()xt
hay
()tx
trong đó t đƣợc coi là ẩn số,
là hàm số liên tục theo biến t sao cho khi t biến thiên trên tập D
1
thì x biến thiên
trên tập xác định D của PT hay BPT đã cho.
- Giải PT hay BPT theo ẩn số mới t.
- Kết hợp với tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác, đƣa ra kết
luận về nghiệm theo ẩn ban đầu.
Ví dụ 1.6: Tìm các giá trị của tham số a để PT sau có nghiệm
22
3( 3 )x a x a
.
Đặt
2
3t a x
. PT đã cho trở thành:

2
2
2

1
1 12 0
12
aa
.
Hệ (II) có nghiệm
2
1
9 36(1 3 ) 0
4
aa
.
Vậy, PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1
12
a
.
Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai.
Phƣơng pháp sử dụng tam thức bậc hai thƣờng đƣợc áp dụng để giải các
bài toán về PT và BPT. Vì khá nhiều PT bậc cao, PT vô tỷ, PT siêu việt thông
qua một vài phép biến đổi sẽ dẫn tới một PT bậc hai.
Phép giải các bài toán về PT bậc hai dựa trên việc xét dấu biểu thức
hoặc dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai. Các bài toán về PT bậc hai
thƣờng gặp ở hai dạng:
Dạng 1: Các bài toán về điều kiện tồn tại nghiệm.
Dạng 2: Các bài toán về tính chất nghiệm.
Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng PT
2 2 2 2 2 2 2
( ) 4 0a b c x abx a b c