Rèn luyện tƣ duy thông qua dạy học giải toán
“Phƣơng trình hàm” cho học sinh khá, giỏi
Toán Trung học Phổ thông

Phùng Văn Đoàn

Trƣờng Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Hệ thống hóa cơ sở lí luận về tƣ duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học môn Toán. Phân tích các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về
hàm số và phƣơng trình hàm. Tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa
phƣơng, cấp Quốc gia, vô địch Toán các nƣớc trên thế giới, vô địch Toán các khu vực
và vùng lãnh thổ, vô địch Toán quốc tế. Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” trên
các diễn đàn toán học hiện nay.

Keywords: Toán học; Giáo dục; Phƣơng pháp giảng dạy

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với mong muốn xây dựng đƣợc một số dạng bài tập và phƣơng pháp giải “ Phƣơng
trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo chuyên đề bồi
dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chúng tôi chọn đề tài “Rèn luyện tư duy thông qua dạy
học giải toán “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông”
làm đề tài để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Hệ thống các bài tập phƣơng trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo môn Toán,
trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng, Quốc gia và

duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn đƣợc
trình bày trong 3 chƣơng
Chƣơng 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2 : Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” và việc rèn luyện
tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông.
Chƣơng 3 : Thực nghiệm sƣ phạm.
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu

3
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” trong việc rèn luyện
tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT
1.2.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan
hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.
(Theo định nghĩa trong Phạm Minh Hạc (chủ biên). Tâm lý học. Nxb Giáo dục Hà
Nội, 1992).
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tư duy
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tƣ duy có tính khái quát, tƣ duy có
tính gián tiếp;
Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tƣ duy và ngôn ngữ có quan
hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng cũng không đồng nhất với nhau. Sự thống
nhất giữ tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tƣ duy;
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức
cảm tính, dù tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung của tƣ duy vẫn chứa đựng
những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực quan,…). X. L. Rubinstein
khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành

nhận thức đƣợc cái toàn thể.
So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác nhau của
một số đối tƣợng. So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa.
Tương tự : Là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của
những đối tƣợng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tƣơng tự nhau nếu đƣờng lối và phƣơng
pháp chứng minh giống nhau )
Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối
tƣợng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn chúa tập hợp ban đầu làm tập
con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát, hay
mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp đã xét.
Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu hiệu bản
chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tƣơng đối).
(Dựa theo Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm
Hà Nội, 2002).
1.2.4. Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”
1.2.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá
trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

5
Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình thành những phẩm
chất trí tuệ;
Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của
con ngƣời lao động mới.
(Dựa theo Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm
Hà Nội, 2002)
1.2.4.2. Phương pháp chung để giải Toán
1.2.4.3. Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học
sinh THPT
Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm mĩ và
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƢƠNG TRÌNH HÀM”
VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1. Các định nghĩa và tính chất
2.1.2. Đặc trưng của một số hàm số sơ cấp trong chương trình toán THPT
2.1.3. Khái niệm về “Phương trình hàm”
Phƣơng trình hàm là phƣơng trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số.
Giải phƣơng trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phƣơng trình hàm đã
cho và một số điều kiện cho trƣớc.
2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”
2.2.1. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình là một phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng cho việc giải
các phƣơng trình hàm có dạng
( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )a x f u x b x f v x c x+=
, trong đó
( ), ( ), ( ), ( ), ( )a x b x c x u x v x
là các hàm số cho
trƣớc, còn
f
là hàm số cần tìm thỏa mãn phƣơng trình hàm trên.
Thông thƣờng khi giải phƣơng trình hàm dạng trên thì chúng ta thƣờng dùng các phép
thế thích hợp để tạo ra các phƣơng trình hàm khác có dạng tƣơng tự. Kết hợp phƣơng trình
hàm đã cho với các phƣơng trình hàm vừa tạo ra sẽ đƣợc một hệ gồm nhiều phƣơng trình hàm

x f x f x x x
í
ï
+ - = -
ï
ï
ì
ï
- + = - - -
ï
ï
î

2 2 2
( 1) ( ) ( 1)(1 )x x f x x x xÞ - - = - - -
,
x"Ρ
.
Nếu
2
15
10
2
x x x
±
- - ¹ Û ¹
thì
2
( ) 1f x x=-
.

mãn bài toán.Vậy hàm số cần tìm là
2
42
1
1 ( ; )
( ) ( )
1
2 ( )
x x a
a
f x b x a
a a a b x
a
í
ï
ï
- " ¹ -
ï
ï
ï
ï
==
ì
ï
ï
ï
ï
- - = -
ï
ï

thỏa mãn

( ( )) ( ) 0af f x bf x cx+ + =
,
xD"Î
.
Với
,,a b c
là các hằng số thuộc
*
¡
cho trƣớc.
Thay
x
bởi
()
n
fx
vào phƣơng tình trên ta đƣợc
21
( ) ( ) ( ) 0
n n n
af x bf x cf x
++
+ + =
,
,x D n" Î " Î ¥
.
Xét dãy số
0

Khi đó ta có phƣơng trình sai phân
21
0
n n n
au bu cu
++
+ + =
,
n"Î¥
.
Ta có phƣơng trình đặc trƣng
2
0a b cll+ + =
.
Giả sử
12
;ll
là các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng.
Theo lý thuyết về phƣơng trình Sai phân nếu
12
;ll
là các nghiệm thực ta có
12
ll¹
thì
12
nn
n
u A Bll=+
,

0
1
()
xu
f x u
í
ï
=
ï
ì
ï
=
ï
î
. Giải hệ phƣơng trình này ta sẽ tìm ra đƣợc hàm số
()fx
.
Bài toán 7. Tìm tất cả các hàm số
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ( )) 3 ( ) 2f f x f x x=-
,
x"Ρ
. (17)
Lời giải. Thay
x
bởi
()
n

ï
==
ï
ï
ì
ï
= " Î
ï
ï
î
¥

Khi đó ta có phƣơng trình sai phân
21
3 2 0
n n n
u u u
++
- + =
,
n"Î¥
.
Ta có phƣơng trình đặc trƣng
2
3 2 0ll- + =
.
Phƣơng trình này có hai nghiệm
12
1; 2ll==
.

x"Ρ
.
Lần lƣợt thay vào (17) ta đƣợc
0; 0AB==
.
Vậy các hàm số cần tìm là
()f x x=
,
x"Ρ
và
( ) 2f x x=
,
x"Ρ
.
2.2.3. Phương pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số

9
Bài toán tổng quát 1. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( )f x bf ax=
,
, 1,(1 )(1 ) 0x a a b" Î ¹ ± - - ³¡
.
Bài toán tổng quát 2. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

22
x
f x f x x- = - + +
(22’)
Nhận thấy vế phải của (22’) là tam thức bậc hai nên nghiệm riêng cũng là một tam thức bậc
hai
Suy ra
*2
()f x ax bx c= + +
, thay vào (22’) ta đƣợc
2 2 2
1
( ( ) ) 1
2 2 2
xx
ax bx c a b c x x+ + - + + = - + +
,
x"Ρ

22
73
1
8 4 2
a b c
x x x xÛ + + = - + +
,
x"Ρ
.
Suy ra
84

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
nn
x x x
g x g g g= = = =
,
,xn" Î " Ρ¥
.
Vì
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục. Suy ra
1
( ) lim ( ) 0
22
nn
n
x
g x g
® + ¥
==
,
x"Ρ
.
Suy ra
2
84

. Thay vào (27) ta có
2
( ) ( )g x g x=-
,
x"Ρ
. Suy ra
( ) ( )g x g x=-
,
x"Ρ
.
Với mọi
0x >
ta có
2
11
1 1 1
2 4 8 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
g x g x g x g x g x g x= - = = - = = =
,
,xn
+
" Î " Ρ¥
.
Mà hàm số
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục.

,
x"Ρ
.
2.2.4. Phương pháp Quy nạp Toán học
Phƣơng pháp Quy nạp Toán học là phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng trên tập hợp
các số tự nhiên. Khi sử dụng phƣơng pháp này vào việc giải “Phƣơng trình hàm” ta thƣờng
thực hiện theo các bƣớc:
- Tính giá trị của hàm số
f
cần tìm tại một số giá trị đầu tiên của tập hợp các số tự nhiên dựa
vào giả thiết của bài toán.
- Dựa vào các giá trị của
f
vừa tính ta dự đoán công thức của hàm số
f
.
- Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng quy nạp.
Trong trƣờng hợp hàm số
f
cần tìm có tập xác định là
,,¢ ¤ ¡
thì ta phải tìm công
thức của hàm số
f
trên tập
¥
trƣớc rồi mở rộng công thức vừa tìm đƣợc
lần lƣợt trên các tập hợp
,,¢ ¤ ¡
.

()fn
với
1;2;3;4n =
vừa tính ở trên ta dự đoán
( 1)
( ) 1 2 3
2
nn
f n n
+
= + + + + =
,
*
n"Î¥
.
Thật vậy với
1n =
, ta có
(1) 1f =
hiển nhiên đúng.
Giả sử
( 1)
()
2
kk
fk
+
=
. Ta chứng minh
( 1)( 2)

2.2.5. Phương pháp thế biến
Phƣơng pháp thế biến là phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng nhất khi giải “Phƣơng
trình hàm”. Nội dung cơ bản của phƣơng pháp này là thay các biến có mặt trong phƣơng trình
nhƣ
, , xy
bởi các giá trị đặc biệt thƣờng là số
0, 1, 2, ±±
mà các giá trị này thuộc tập xác
định của hàm số và các điều kiện ràng buộc giữa các biến nếu có. Nhiều khi ta phải thế các
biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết, hoặc có thể
rút gọn đƣợc hai vế của “Phƣơng trình hàm” ban đầu thành “Phƣơng trình hàm” mới đơn giản
hơn.
Bài toán 34 (Anh 2010). Tìm tất cả các hàm
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) ( )f x f y f x y xy= + +
,
,xy"Ρ
. (50)
Lời giải. Cho
0y =
vào (50) ta đƣợc
( )( (0) 1) 0f x f -=
,
x"Ρ
.
Nếu
(0) 1 ( ) 0f f x¹ Þ =
,

,
x"Ρ
.
Với
( 1) 0f -=
. Cho
1y =-
ta đƣợc

12
( ) ( 1) ( 1)f x f f x x- = - -
hay
0 ( 1) ( ) 1f x x f x x= - - Þ = +
,
x"Ρ
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy các hàm số cần tìm là
( ) 1f x x=-
,
x"Ρ
và
( ) 1f x x=+
,
x"Ρ
.
2.2.6. Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy
Nhiều bài toán “Phƣơng trình hàm” khi ta giải cần phải sử dụng các kết quả của
“Phƣơng trình hàm Cauchy”. Trong các bài toán “Phƣơng trình hàm” đó thì giả thiết của bài
toán đƣa ra là hàm số cần tìm có tính liên tục trên một tập hợp nào đó và thỏa mãn một đẳng

( ) 2 2 2a x y ax ay xy axy xy+ = + + Û =
,
,xy"Ρ
. Suy ra
1a =
.
Vậy
*2
()f x x=
,
x"Ρ
. Đặt
*2
( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x f x x= - = -
.
Khi đó (105) trở thành
( ) ( ) ( )g x y g x g y+ = +
,
,xy"Ρ
.
Mà
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục. Theo phƣơng trình Cauchy ta đƣợc
()g x bx=
,
,xb" ΠΡ¡
. Suy ra
22

Nu hm s
f
n iu thc s thỡ
f
n ỏnh.
Nu hm s
f
n iu v cú cụng thc
f
trờn tp s hu t
Ô
thỡ ta thng chn
hai dóy s hu t n iu ngc nhau v chuyn qua gii hn suy ra cụng thc
f
trờn
Ă

hoc
+
Ă
.
Trong trng hp no ú nu ta d oỏn c cụng thc ca hm s
f
m hm s
f

li cú tớnh n iu thỡ ta cú th chng minh tớnh duy nht ca cụng thc ú.
Nu ta chng minh c hm s
f
cn tỡm va cú tớnh cht cng tớnh li va cú tớnh

cú cụng thc ỳng
trờn tp hp ny thỡ cụng thc ú cng ỳng trờn tp hp cha trong nú. Da vo iu ny khi
gii mt Phng trỡnh hm chỳng ta cú th thc hin c mt s vic sau
Mt l, ngoi vic d oỏn cụng thc ca hm s da vo tớnh cht c trng ca hm s cn
tỡm thỡ ta cú th d oỏn cụng thc ú trờn tp hp nh hn cha trong tp hp ngun ó cho
ca bi toỏn. lm c iu ny chỳng ta cú th c bit húa ri i theo con ng quy
np.
Hai l, chỳng ta cú th xõy dng c chui cỏc bi toỏn trờn cỏc tp hp cha trong tp hp
ó cho.
Trong trng hp chỳng ta mun cú cụng thc ca hm s
f
ó ỳng trờn tp hp
ny m cng ỳng trờn tp hp cha nú tc l chỳng ta i t tp hp nh hn n tp ln hn
cha tp hp ó cho thỡ cú th ta phi thờm iu kin no ú hm s
f
tha món. Nu thc
hin c iu ny thỡ ta ó khỏi quỏt c mt bi toỏn ú.
Nhiu trng hp chỳng ta khụng ch khỏi quỏt húa mt bi toỏn bng cỏch m rng
mt tp hp m cũn cú th m rng bi toỏn bng cỏc con ng khỏc nh thờm vo Phng
trỡnh hm mt hay vi hm s cn tỡm khỏc, hoc thờm bin vo Phng trỡnh hm ó cho
c mt Phng trỡnh hm mi tng quỏt hn,

14
2.3.1.1. Bài toán “Phương trình hàm” trong đề thi Na Uy 1998
Trong đề thi vô địch Toán của Na Uy năm 1998 có bài toán sau
Tìm tất cả cả các hàm số
:f ®¤¤
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +

:f ®¥¥
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f m n f m n f m f n+ + - = +
,
,mn"Î¥
. (185)
Lời giải. Cho
0mn==
vào (185) ta đƣợc
(0) 0f =
. Đặt
(1)fa=Î¥
.
Cho
1mn==
vào (185) ta đƣợc
2
(2) 4 2f a a==
.
Cho
2, 1mn==
vào (185) ta đƣợc
2
(3) 9 3f a a==
.
Ta có
2
()f n an=
,

,na" ΠΥ¥
.
Bài toán 87. Tìm tất cả cả các hàm số
:f ®¢¢
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f m n f m n f m f n+ + - = +
,
,mn"΢
. (186)
Lời giải. Cho
0mn==
vào (186) ta đƣợc
(0) 0f =
. Đặt
(1)fa=΢
.
Theo bài toán 86 ta có
2
()f n an=
,
,na" ΠΥ¢
.
Cho
0m =
vào (186) ta có
( ) ( )f n f n=-
,
n"΢
.

Li gii. Cho
0xy==
vo (187) ta c
(0) 0f =
.
Cho
0x =
vo (187) ta c
( ) ( )f y f y-=
,
y"ẻÔ
suy ra
()fx
l hm s chn.
t
(1)fa=
. Theo bi toỏn ta cú
2
()f n an=
,
,na" ẻ ẻÂÔ
.
Cho
yx=
vo (187) ta c
2
(2 ) 4 ( ) 2 ( )f x f x f x==
,
x"ẻÔ
.

l hm s cn tỡm.
Nhn xột 14: bi toỏn trờn cú th m rng t tp
Ô
ra tp
Ă
thỡ ta cn phi thờm tớnh
liờn tc ca hm s
f
. Khi ú ta cú bi toỏn sau
Bi toỏn 89. Tỡm tt c c cỏc hm s liờn tc
:f đĂĂ
tha món

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +
,
,xy"ẻĂ
. (188)
Li gii. Theo bi toỏn 88 ta cú
2
()f r ar=
,
r"ẻÔ
.
Ly
x ẻ Ă
bt k. Xột dóy s hu t
{ }
1
n
n

Vy
2
()f x ax=
,
,xa" ẻ ẻĂĂ
l hm s cn tỡm.
Nhn xột 15: n õy chỳng ta cú th m rng bi toỏn 89 bng cỏch tng s lng hm s
trong phng trỡnh hm 188 bng vic thay hm s
f
bi mt hay vi hm s khỏc nh
,,g h k
. Ta c cỏc bi toỏn sau

16
Bài toán 90. Tìm tất cả các hàm số liên tục
,:fh ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y h x h y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (189)
Lời giải. Cho
0y =
vào (189) ta có
( ) ( ) 2 ( ) 2 (0)f x f x h x h+ = +
.
Suy ra
( ) ( ) (0) ( )f x h x h h x c= + = +
(với

()h x ax c=+
,
2
( ) ( ) 2f x h x c ax c= + = +
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy
2
( ) 2f x ax c=+
,
2
()h x ax c=+
là cặp hàm số cần tìm.
Bài toán 91. Tìm tất cả các hàm số liên tục
, , :f g h ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y g x y h x h y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (191)
Lời giải. Cho
xy=
vào (191) ta đƣợc
(2 ) 4 ( ) ( ) 4 ( )
2
x
f x h x f x haa= - Þ = -

(với

22
x y x y
H H H x y H x H y
éù
+-
êú
- + - = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (192)
Vì mỗi hàm số có thể viết thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ nên
( ) ( ) ( )
eo
H x H x H x=+
với
( ), ( )
eo
H x H x
lần lƣợt là các hàm số chẵn, lẻ nào đó.
Thay
x
bởi
x-
vào (192) ta đƣợc

17

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y x y x y x y
H H H H
éù
- + - + - - - -
êú
+ - -
êú
ëû

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e o e o e o
H x y H x y H x H x H y H y+ - - + - - = - + - + +
. (193)
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
e o e o
x y x y x y x y
H H H H
éù
- - + +
êú
+ - -
êú
ëû

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e o e o e o
H x y H x y H x H x H y H y+ + + + = + + - + -
. (194)
Cộng các phƣơng trình (193) và (194) ta đƣợc

,
,xy"Ρ
. (196)
Cộng các phƣơng trình (195) và (196) ta đƣợc
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )
e e e e
H x y H x y H x H y+ + - = +
,
,xy"Ρ
.
Vì hàm
()hx
liên tục trên
¡
nên hàm
()
e
Hx
liên tục trên
¡
.
Theo bài toán 89 ta có
2
()
e
H x ax=
,
,xy"Ρ
.
Trừ phƣơng trình (193) cho (194) ta đƣợc

,
,xy"Ρ
. (198)
Cộng hai phƣơng trình (197) và (198) ta đƣợc

18
( ) ( ) 2 ( )
o o o
H x y H x y H x+ + - =
,
,xy"Ρ
. (199)
Đặt
u x y
v x y
í
ï
=+
ï
ì
ï
=-
ï
î
. Khi đó phƣơng trình (199) trở thành
( ) ( )
()
22
oo
o

eo
H x H x H x ax bx= + = +
,
;,x a b" ΠΡ¡
. Suy ra

2
( ) ( )h x H x ax bxbb= + = + +
,
2
( ) 4 ( ) 2 4
2
x
f x h ax bxa b a= - = + + -
;
và
2
( ) 2 ( ) 2 ( )g x h x f x axba= + - = +
,
; , , ,x a b ab" ΠΡ¡
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán. Vậy các hàm số cần tìm là
2
( ) 2 4f x ax bx ba= + + -
,
2
()g x ax a=+
,
2
()h x ax bx b= + +

Cho
xy=
, và đặt
(0)g a=
ta đƣợc
2 (2 ) 2 4 ( ) ( ) 2 ( )
2
x
f x l x f x laa+ = Þ = -
.
Suy ra
( ) 2 ( )
2
xy
f x y l a
+
+ = -
,
,xy"Ρ
. (204)
Cho
0y =
, và đặt
(0)l b=
ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2f x g x g x l x b+ + - = +
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2g x g x l x f x bÞ + - = - +19

22
x y x y
l l l x y l x l yb
éù
+-
êú
Þ - + - + = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (206)
Đặt
( ) ( )L x l x b=-
. Phƣơng trình (206) trở thành
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
x y x y
L L L x y L x L y
éù
+-
êú
Þ - + - = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
.
Làm tƣơng tự bài toán 91 ta có đƣợc
2

2
22
( ) ( )
( ) 2( ( )) 2 ( 2 )
2
h x ax bx k x
a
g x ax bx k x x bx
b
b g b a
í
ï
= + + -
ï
ï
ï
Û
ì
ï
= + + - + - + + -
ï
ï
ï
î

2
2
( ) ( )
3
( ) 2 ( ) 2

2( ( )) 2 ( )ax bx k x k yb= + + - +20
2
( ) ( ) ( )k x y k x k y ay axy gÛ - = - + - +
,
,xy"Ρ
. (207)
Đặt
2
( ) ( )u x k x mx n= - -
thay vào (207) ta đƣợc
2
( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )u x y u x u y a m y a m xy n g- = - + - - - + -
.
Chọn
,
2
a
mng==
ta đƣợc phƣơng trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x y u x u y u x y u x u y- = - Û + = +
,
,xy"Ρ
.
Vì
()kx
liên tục trên
¡

.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán. Vậy các hàm số cần tìm là
2
( ) 2
2
a
f x x bx ba= + + -
,
2
( ) ( 2 )
2
a
g x x b c x a= + - +
;
2
( ) ( )
2
a
h x x b c x bg= + - + -
,
2
()
2
a
k x x cx g= + +
.
; , , , , ,x a b c a b g" ΠΡ¡
.
2.3.1.2. Bài toán “Phương trình hàm” trong đề thi Italia 1999 và IMO 1992
2.3.3. Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phương trình hàm”

22
2
2011
( ) ( ) 2011f x x f x x
x
- = -
,
x
+
"Ρ
.
3.2.2. Đề kiểm tra lần 2
Bài 1. Tìm tất cả các hàm liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

(2011 2012 ) 2011 ( ) 2012 ( )f x y f x f y- = -
,
,xy"Ρ
.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

11
( ) ( ) ( ) 2011f x f y f xy
xy
= + + +

,
,xy
+
"Ρ
.
Điều kiện hàm số
f
nghịch biến có thể bỏ đi đƣợc hay không?
3.3. Kết quả của các bài kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm
3.3.1. Kết quả của các bài kiểm tra
Điểm
0 - 2
3 - 4
5 - 6
7 - 8
9 - 10
Tổng số bài
Số bài lần 1
4
6
11
5
4
30
Số bài lần 2
2
4
15
6
3

1. Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2005.
2. Trần Nam Dũng (Chủ biên). Chuyên đề Toán học số 9. Nxb Thành phố Hồ Chí Minh,
2010.
3. Đavƣđov V.V. Các dạng khái quát trong dạy học(Sách dịch). Nxb Đại học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
4. Phạm Minh Hạc (Chủ biên). Tâm lý học. Nxb Giáo dục Hà Nội, 1992.
5. Nguyễn Thái Hòe. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán. Nxb Giáo dục Việt Nam,
2004.
6. Phan Huy Khải. Các bài toán về hàm số. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2007.
7. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2002.
8. Hƣng Thịnh Lạc. Phương pháp tư duy lôgic (Sách dịch). Nxb Văn hóa Thông tin, 2008.
9. Nguyễn Phú Lộc. Dạy học hiệu quả môn Giải Tích trong trường phổ thông. Nxb Giáo dục
Việt Nam, 2010.
10. Nguyễn Văn Lộc(Chủ biên). Tuyển chọn các bài thi vô địch Toán ở các địa phương,
Quốc gia, Quốc tế. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010.

23
11. Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên). Một số chuyên đề Giải Tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung
học phổ thông. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010.
12. Nguyễn Văn Mậu. Phương trình hàm. Nxb Giáo dục, 2001.
13. Bùi Văn Nghị. Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb
Đại học Sƣ phạm, 2008.
14. Bùi Văn Nghị(Chủ biên). Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ
thông. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005.
15. Bùi Văn Nghị. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Nxb Đại học Sƣ phạm, 2009.
16. Polya. Giải một bài toán như thế nào(Sách dịch). Nxb Giáo dục Việt Nam, 1997.
17. Sácđacốp. Tư duy của học sinh(Sách dịch). Nxb Giáo dục Hà Nội, 1970.
18. Chu Trọng Thanh. Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức môn Toán phổ thông. Nxb
Giáo dục Việt Nam, 2011.