Ví dụ 2: E= 2,0.10
8
kN/m
2
; A=0,12 m
2
; I=1,6.10
-3
m
4

Cho số liệu như hình vẽ, tính toán nội lực trong kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

====================================================================

Bước 1: Chia nhỏ kết cấu thành các phần tử, đánh số nút và số phần tử như hình vẽ

1. Kết cấu làm việc theo trạng thái khung phẳng chịu lực. Khi mô hình hóa để tính toán bằng PP
PTHH, sử dụng các phần tử thanh phẳng. Chia kết cấu thành 3 phần tử liên kết v
ới nhau và với
đất tại 4 nút (xem hình vẽ)

2. Sau khi đánh số nút, vì mỗi nút có 3 bậc tự do, đánh số bậc tự do tại các nút theo thứ tự
như sau:

Nút btd_nut
1 1 2 3
2 4 5 6

0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 7.50E+3 -3.00E+4
0 3.00E+4 8.00E+4 0 -3.00E+4 1.60E+5

- Ma trận chuyển hệ tọa độ T1 với góc alpha=0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Nhận xét: Phần tử 1 có hướng của hệ tọa độ cục bộ trùng với hướng của hệ tọa độ kết cấu nên ma
trận T1 là ma trận đơn vị

- Ma trận K1 trong hệ tọa độ chung:
3.00E+6 0 0 -3.00E+6 0 0
0 7.50E+3 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4
0 3.00E+4 1.60E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4
-3.00E+6 0 0 3.00E+6 0 0
0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 7.50E+3 -3.00E+4
0 3.00E+4 8.00E+4 0 -3.00E+4 1.60E+5 Phần tử 2:
- Ma trận K2 trong hệ tọa độ cục bộ:
6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0 0
0 6.00E+4 1.20E+5 0 -6.00E+4 1.20E+5
0 1.20E+5 3.20E+5 0 -1.20E+5 1.60E+5
-6.00E+6 0 0 6.00E+6 0 0
0 -6.00E+4 -1.20E+5 0 6.00E+4 -1.20E+5
0 1.20E+5 1.60E+5 0 -1.20E+5 3.20E+5

0 0 0 0 -1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1

- Ma trận K3 trong hệ tọa độ chung:
6.00E+4 0 1.20E+5 -6.00E+4 0 1.20E+5
0 6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0
1.20E+5 0 3.20E+5 -1.20E+5 0 1.60E+5
-6.00E+4 0 -1.20E+5 6.00E+4 0 -1.20E+5
0 -6.00E+6 0 0 6.00E+6 0
1.20E+5 0 1.60E+5 -1.20E+5 0 3.20E+5

Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể và véc tơ lực của toàn kết cấu.
1. Ma trận độ cứng của toàn kết cấu bằng tổng các ma trận độ cứng của phần tử tại các bậc tự
do trùng nhau.
3.06E+6 0 1.20E+5 -3.00E+6 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5 0 0 0
0 6.01E+6 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 0 -6.00E+6 0 0 0 0
1.20E+5 3.00E+4 4.80E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 -1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0
-3.00E+6 0 0 3.06E+6 0 1.20E+5 0 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5
0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 6.01E+6 -3.00E+4 0 0 0 0 -6.00E+6 0
0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 1.60E+5
-6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0
0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0 0 0 0
1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 0 0 0
0 0 0 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5
0 0 0 0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0
0 0 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5

2. Véc tơ tải trọng có kích thước bằng số bậc tự do của kết cấu. Tại nút 1 có tải trọng P tác
dụng theo phương ngang tương ứng với bậc tự do được đánh số 1. Véc tơ lực có dạng:

0
0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 1.60E+5 x u
6
= 0
-6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 u
7
0
0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0 0 0 0 u
8
0
1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 0 0 0 u
9
0
0 0 0 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 u
10
0
0 0 0 0 -6.00E+6 0000 06.00E+6 0 u
11
0
0 0 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 u
12
0 2. Điều kiện biên của bài toán phần tử hữu hạn là các ẩn số đã biết giá trị. Trong bài toán
này, điều kiên biên xác định từ các liên kết nối đất. Tại nút 3 và 4, kết cấu được ngàm với
đất, vì vậy tại các nút này các thành phần chuyển vị thẳng và xoay phải bằng không. Chúng ta
có điều kiện biên là chuyển vị tương ứng với các bậc tự do tai hai nút 3 và 4 phải bằng không.

{}


3.06E+6 0 1.20E+5 -3.00E+6 0 0 u
1
10
0 6.01E+6 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 u
2
0
1.20E+5 3.00E+4 4.80E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 x u
3
=0
-3.00E+6 0 0 3.06E+6 0 1.20E+5 u
4
0
0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 6.01E+6 -3.00E+4 u
5
0
0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 u
6
0

4 Giải hệ phương trình cân bằng, nhận được Vec to chuyen vi nut
u
1
1.47E-02
u
2
3.12E-05
u
3
= -3.16E-03

u
7
0
u
8
0
u
9
0
u
10
0
u
11
0
u
12
0

Bước 5: Xác định nội lực trong phần tử:

Nội lực phần tử xác định theo công thức:
[
]
[
]
{
}
eee
SKu=×. Trong đó, các ma trận độ cứng

-3.11E-03
+ Véc tơ nội lực phần tử:
4.98E+02
-1.87E+02
{S1}= -7.52E+02
-4.98E+02
1.87E+02
-7.48E+02
- Phần tử 2:
+ Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ chung:
u
7
0
u
8
0
{U’2}= u
9
= 0
u
1
1.47E-02
u
2
3.12E-05
u
3
-3.16E-03
+ Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử:
0

3
0
+ Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử:
3.12E-05
1.45E-02
{U3}= -3.11E-03
0
0
0
+ Véc tơ nội lực phần tử:
1.87E+02
4.98E+02
{S3}= 7.48E+02
-1.87E+02
-4.98E+02
1.24E+03