Chương 10
TÍNH VỎ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết tính toán vỏ mỏng dựa trên 02 giả thiết của Kirchhoff- Love. Trên hình
10-1 biểu diễn các thành phần nội lực của phân tố vỏ, trong đó ký hiệu:
- Nhóm lực màng:
x
N
,
y
N
,
xy
N
,
yx
N
- Nhóm lực uốn, xoắn:
x
Q
,
y
Q
,
x
M
,
y
M
,
xy
M

luôn thỏa mãn do định luật đối ngẫu của ứng suất
tiếp. Đối với phần tử vỏ phẳng không tồn tại các chuyển vị xoay
iz
θ
quay quanh trục
z
tại các nút
i
. Song, ta vẫn đưa các thành phần chuyển vị này vào phương trình cân
bằng để tránh khó khăn khi giải bài toán phải nghịch đảo ma trận độ cứng, mà ma trận
độ cứng trong bài toán vỏ có thể là ma trận suy biến.
Các lực nút theo phương trục
x
là
ix
R
và theo phương trục
y
là
iy
R
tại nút
i
chỉ
ảnh hưởng đến biến dạng trong mặt phẳng trung bình chứ không ảnh hưởng đến biến
dạng uốn; còn các lực nút theo phương trục
z
là
iz
R

phần tử.
3. Khó thỏa mãn các điều kiện tương thích hơn so với sử dụng phần tử vỏ phẳng.
10.1.3. Phần tử vỏ khối
Khi phân tích vỏ bằng PP PTHH, ngoài sử dụng các loại phần tử nêu trên còn sử
dụng phần tử vỏ khối (3 chiều) như phần tử vỏ khối 8 nút hoặc phần tử bậc cao đồng
tham số 20 nút. Song, việc sử dụng phần tử vỏ khối để tính toán vỏ phức tạp nên dẫn
đến việc giảm bậc tổng quát của phần tử bằng cách sử dụng giả thiết của Mindlin:
247
“phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫn
thẳng và không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung bình”. Với giả thiết này,
chuyển vị và góc xoay tại nút trên mặt trung bình được xem là các bậc tự do độc lập.
Phần tử vỏ với việc sử dụng giả thiết của Mindlin có thể tính cho cả vỏ dày.
Trong chương này giới thiệu 02 kiểu phần tử vỏ: phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng
tham số 4 nút và phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 04 nút của Kanok-Nukulchai.
10.2. PHẦN TỬ VỎ PHẲNG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 04 NÚT
Phần tử vỏ phẳng là phần tử kết hợp giữa phần tử màng và phần tử tấm chịu uốn
và cắt. Xét phần tử vỏ phẳng tứ giác đồng tham số 4 nút, hình 10-2.

Hình 10-2. Phần tử vỏ phẳng tứ giác 4 nút đồng tham số.
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử
{ }
e
q
có kích thước 24x1 với các véc tơ chuyển
vị
{ }
i
q
tại nút
i

m
D
Véc tơ toạ độ (hình học)
{ } { }
T
X x y=
và hàm chuyển vị
{ }
m
U
xác định vị trí
248
và chuyển vị của điểm bất kỳ trong phần tử xét trong hệ tọa độ chung OXYZ được nội
suy qua hàm nội suy
i
N
, dưới dạng:
{ }
4
1
i
i
i
i
x
x
X N
y
y
=

 
∑
(10.4)
trong đó:
{ }
m
X
- véc tơ toạ độ nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung.
{ } { }
1 1 2 2 3 3 4 4
T
m
X x y x y x y x y=
(10.5)
{ }
m
q
- véc tơ chuyển vị nút của phần tử màng trong hệ tọa độ chung.
{ } { }
1 1 2 2 3 3 4 4
T
m
q u v u v u v u v=
(10.6)
Khi biểu diễn véc tơ chuyển vị theo các nút
i
,
( )
1 4i = ÷
:

1 4i = ÷
, có dạng:
[ ]
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
m
N N N N
B
N N N N
 
=
 
 
(10.9)
Trong đó hàm nội suy
i
N
,
( )
1 4i = ÷
:
( ) ( )
1
1 . 1 .
4
i i i
N r r s s= + +
(10.10)


( ) ( )
2
1 1
4
r s
N
+ −
=

( ) ( )
3
1 1
4
r s
N
+ +
=

( ) ( )
4
1 1
4
r s
N
− +
=
(10.11)
Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị của phần tử màng theo PP PTHH:
{ }

∂
 
 
∂
∂ =
 
∂
 
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
(10.12)
Từ ma trận hàm dạng
[ ]
m
B
theo (10.9) và ma trận toán tử vi phân (10.12), rút ra
ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
m
D
:
[ ]
3
1 2 4
3
1 2 4
3 3

 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.13)
Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên cần thiết lập quan hệ đạo hàm của một đại
lượng nào đó đối với các biến
( )
,r s
trong hệ tọa độ tự nhiên và đạo hàm của đại lượng
đó đối với biến
( )
,x y
trong hệ tọa độ Descartes. Theo qui tắc tính đạo hàm hàm hợp:

x y
r x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dưới dạng ma trận:
[ ]
x y
x x
r r r
J

là ma trận Jacobian. Chú ý đến (10.3) và (10.11):
[ ]
1 1
3
1 2 4
2 2
3 3
3
1 2 4
4 4
x y
NN N N
x y
x y
r r r r r r
J
x y
x y N
N N N
s s
s s s s
x y
 
∂∂ ∂ ∂
∂ ∂
 
 
 
 
 

x y
s s s s
x y
J
r r r r
x y
x y
 
 
− − − + − + 
 
=
 
 
− − − + + −
 
 
 
(10.15)
250
Từ (10.14) đạo hàm đối với biến
( )
,x y
trong hệ tọa độ Descartes được xác định
qua đạo hàm riêng theo biến
( )
,r s
trong hệ tọa độ tự nhiên:
[ ]
1

theo biến
,x y
trong (10.13)
qua các đạo hàm riêng của hàm nội suy
i
N
theo biến
,r s
theo (10.16):
[ ]
3
1 2 4
3
1 2 4
1
3
1 2 4
3
1 2 4
N
N N N
NN N N
x x x x
r r r r
J
N
N N N
N
N N N
y y y y

1
*
11 12
* *
21 22
J J
J J
J J
−
 
 
= =
 
 
 
(10.18)
Khai triển (10.17.a), nhận được:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 4
* *
11 12
* *
3
1 2 4
21 22
1 1 1 1
1
.

 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.17b)
2. Ma trận độ cứng của phần tử màng
[ ]
m
K

Giới hạn xét phần tử có chiều dày
δ
không đổi trên toàn bộ phần tử, ma trận độ
cứng của phần tử màng được xác định bằng công thức:
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
T
m m m m
S
K D E D dS= δ
∫
(10.19)
Với
[ ]
0
m
E
là ma trận đàn hồi của vật liệu trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng
theo lý thuyết đàn hồi:
( )
( )

[ ]
det J
là định thức của ma trận Jacobian.
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ] [ ]
0
,
T
r s
m m m
F D E D
 
=
 
(10.22)
Sử dụng phép tích phân cầu phương Gauss 2x2, ma trận độ cứng của phần tử
màng
[ ]
m
K
được xác định:
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
,

,
j
α
- trọng số tích phân.
Ma trận độ cứng của phần tử màng kiểu tứ giác tương ứng với chuyển vị
{ }
i
m
q
tại các nút
i
,
1 4i
= ÷
, trong đó ma trận con có kích thước 2x2, có dạng:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
m m m m
m m m m
m
m m m m
m m m m
K K K K

[ ]
m
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (10.10).
Tích phân (10.25) có thể sử dụng phép cầu phương Gauss 2x2 tương tự như
đối với ma trận độ cứng.
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ]
,
T
r s
m m
F B B
 
= ρ
 
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
,
,
1 1
1 1
det det
i i

[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
m m m m
m m m m
m
m m m m
m m m m
M M M M
M M M M
M
M M M M
M M M M
 
 
 
=
 
 
 
 
(10.27)
4. Véc tơ lực nút qui đổi của phần tử màng
{ }
m
R

T
m m m m m m m m
x y x y x y x y
m
R R R R R R R R R=
(10.29)
được xác định bằng công thức:
{ }
[ ]
{ }
T
S
m
m
S
R B p dS=
∫
(10.30)
Tích phân (10.30) có thể sử dụng tích phân số theo phép cầu phương Gauss.
Ký hiệu:
( )
[ ]
{ }
,
T
s
r s
m
F B p
 

(10.31)
5. Véc tơ ứng suất và nội lực của phần tử màng
Ứng suất và nội lực phân bố của phần tử màng được xác định theo công thức
trạng thái ứng suất phẳng của lý thuyết đàn hồi.
{ }
{ }
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
0 0
T
x y xy
m m m
m m m
E E D qσ = σ σ τ = ε =
(10.32)
Nội lực của vỏ trong trạng thái màng:
{ }
{ }
{ } { }
/2
/2
T
x y xy
m m m
N N N N dz
δ
−δ
= = σ = δ σ

e
q
theo (10.1), ma
trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử vỏ có dạng (10.34) và (10.35).
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
11 12 13 14
21 22 23 24
21 22 23 24
31 32 33 34
31 32 33 34
41 42 43
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m m m m

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10.34)
Trong (10.34) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các chuyển vị nút
zi
θ
.
Các ma trận
[ ]
m
ij
K
của phần tử màng có kích thước 2x2 được xác định theo (10.24),
với
( )
1 4i = ÷

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
11 12 13 14
11 12 13 14
21 22 23 24
21 22 23 24
31 32 33 34
31 32 33 34
41 42 43
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m m m m
t t t t
m m m m
t t t t
e
m m m m
t t t t
m m m

 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10.35)
Trong (10.35) phần tử có giá trị bằng 0 tương ứng với các gia tốc
zi
θ
&&
với
254
( )
1 4i = ÷
. Các ma trận
[ ]
m
ij
M
của phần tử màng được xác định theo (10.27) tương ứng
với gia tốc
{ }
i
m
q
&&

1 4i = ÷
:
{ } { } { } { } { }
{ }
1 2 3 4
T
e
R R R R R=
(10.36)
trong đó véc tơ lực nút qui đổi
{ }
i
R
tại nút
i
,
( )
1 4i = ÷
có kích thước 6x1 được tổ hợp
từ trạng thái màng, trạng thái uốn tấm và trạng thái xoắn:
{ }
{ }
0
T
m m t t t
i xi yi zi xi yi
R R R F M M=
(10.37)
10.3. PHẦN TỬ VỎ CONG TỨ GIÁC ĐỒNG THAM SỐ 4 NÚT
Trong mục này sẽ đưa ra các công thức cơ bản của PP PTHH cho phần tử vỏ

i
,
( )
1 4i = ÷
có 06 thành phần chuyển vị
gồm: 03 chuyển vị thẳng
i
u
,
i
v
,
i
w
và 03 chuyển vị xoay
xi
θ
,
yi
θ
,
zi
θ
:
{ }
{ }
T
i i i i xi yi zi
q u v w= θ θ θ
(10.38)

T
i xi yi zi xi yi zi
R R R R M M M=
(10.41)
10.3.1. Hàm dạng cho hình học và chuyển vị
Phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút là phần tử mà hình học hay chuyển
vị tại điểm bất kỳ trong phần tử được nội suy qua hàm nội suy
i
N
,
( )
1 4i = ÷
và tọa độ
hay chuyển vị tại các nút.
1. Hàm nội suy
i
N
Hàm nội suy
i
N
của phần tử vỏ cong tứ giác đồng tham số 4 nút trong hệ tọa độ
tự nhiên có dạng tương tự như của phần tử vỏ phẳng 04 nút, theo (10.10).
2. Tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử
Trong hệ tọa độ chung, tọa độ
( )
, ,x y z
tại điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xỉ
qua hàm nội suy
i
N

     
     
= + δ
     
     
     
 
∑
(10.42)
Với
3i
l
,
3i
m
,
3i
n
là cô sin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến đơn vị
'
3
e
r
tại nút
i
với
các trục trong hệ tọa độ chung.
3. Ma trận chuyển tọa độ và cô sin chỉ phương của điểm bất kỳ trong phần tử
Ma trận chuyển tọa độ (ma trận cô sin chỉ phương) giữa hệ tọa độ địa phương và
hệ tọa độ chung có dạng:

r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
(10.43)
Trong đó,
( )
1 1 1
, ,l m n
là cô sin chỉ phương của véc tơ
'
1
e
r
với các trục tọa độ trong hệ tọa
độ chung. Tương tự cho
( )
2 2 2
, ,l m n
với véc tơ
'
2
e
r
và cho
( )
3 3 3
, ,l m n
với véc tơ

j
r
,
k
r
trong hệ tọa độ chung , [3]:
'
3
i j k
x y z y z z y z x x z x y y x
e i j k
r r r r s r s r s r s r s r s
x y z
s s s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
= = − + − + −
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
r
r r
r
r r
r3 3 3

z z
r s
∂ ∂
   
   
∂ ∂
   
∂ ∂
   
×
   
∂ ∂
   
∂ ∂
   
 
   
∂ ∂
   
 
= =
 
∂ ∂
   
 
 
   
∂ ∂
   
∂ ∂

3
2 2 2
3 3 3
b
m
a b c
=
+ +
;
3
3
2 2 2
3 3 3
c
n
a b c
=
+ +
(10.46)
* Cô sin chỉ phương của véc tơ
'
2
e
r
được xác định bằng tích có hướng của véc tơ
'
3
e
r
và véc tơ đạo hàm theo biến

x
r
l
y
m
r
n
z
l
r
e m
x
n
r
l
y
m
r
n
z
r
∂
 
 
∂
 
 
∂
   
×

 
∂
 
r
(10.47)
dưới dạng định thức ma trận với các véc tơ đơn vị
i
r
,
j
r
,
k
r
trong hệ tọa độ chung:

'
2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
i j k
z y x z y x
e l m n m n i n l j l m k
r r r r r r
x y z
r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
= = − + − + −
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

2
2
2 2 2
2 2 2
b
m
a b c
=
+ +
;
2
2
2 2 2
2 2 2
c
n
a b c
=
+ +
(10.49)
* Cô sin chỉ phương của véc tơ tiếp tuyến
'
1
e
r
được xác định bằng tích có hướng
của véc tơ
'
3
e

,
k
r
trong hệ tọa độ chung:
( ) ( ) ( )
'
1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 3
i j k
e l m n m n n m i n l l n j l m m l k
l m n
= = − + − + −
r
r r
r
r r
r

1 1 1
a i b j c k= + +
r
r r
(10.51)
258
Các thành phần của véc tơ
'
1
e
r
hay các cô sin chỉ phương của nó trong hệ tọa độ

(10.52)
Các cô sin chỉ phương của véc tơ
1
e
r
, véc tơ
2
e
r
và véc tơ
3
e
r
giữa các trục tọa độ
( )
', ', 'x y z
trong hệ tọa độ địa phương và các trục
( )
, ,x y z
trong hệ tọa độ chung là các
hàm của biến
r
và
s
trong hệ tọa độ tự nhiên.
Khi tính cô sin chỉ phương tại nút
i
lấy giá trị
r
và

i
x N x
=
=
∑

4
1
i i
i
y N y
=
=
∑

4
1
i i
i
z N z
=
=
∑
(10.53)
Các đạo hàm riêng trong (10.44), (10.47) với
0t =
được xác định bằng công thức sau:
4
1
i

1
i
i
i
N
z
z
r r
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑
(10.54)
4
1
i
i
i
N
x
x
s s
=
∂
∂
=
∂ ∂
∑

∂ ∂
∑
(10.55)
Các đạo hàm
i
N
r
∂
∂
xác định từ
i
N
theo (10.10):
( )
1
1 .
4
i
i i
N
s s r
r
∂
= +
∂
(10.56)
Khai triển (10.56) với giá trị
i
r
,

1
4
s
N
r
+
∂
=
∂

( )
4
1
4
s
N
r
+
∂
= −
∂
(10.57)
Các đạo hàm
i
N
s
∂
∂
xác định từ
i

−
∂
= −
∂
;
( )
2
1
4
r
N
s
+
∂
= −
∂
;
( )
3
1
4
r
N
s
+
∂
=
∂
;
( )

U v N v v B q
w w w
=
 
 
   
 
 
   
= = + =
     
     
   
 
 
∑
(10.60)
trong đó:
i
u
,
i
v
,
i
w
- chuyển vị thẳng theo trục
( )
, ,x y z
tại nút

i
w
là chuyển vị dọc theo
trục
'x
,
'y
,
'z
và
'
1i
α
,
'
2i
α
là góc xoay của pháp tuyến quanh trục
'
x
,
'
y
(trong hệ tọa
độ địa phương tại nút
i
), hình 10-4.
Hình 10-4. Góc xoay pháp tuyến và chuyển vị do xoay pháp tuyến.
Các thành phần chuyển vị thẳng được xác định bằng công thức:


v
,
*
i
w
dọc theo các trục tọa độ
( )
, ,x y z
được xác
định qua các chuyển vị
'
i
u
,
'
i
v
,
'
i
w
và côsin chỉ phương của ma trận chuyển tọa độ
[ ]
L
:
* ' '
1 2
. .
i i i i i
u l u l v= +

i i i
u l l
v t m m
w n n
 
−
 
 
α
 
 
= δ −
   
 
α
 
 
 
−
 
 
(10.63)
Góc xoay
'
1i
α
,
'
2i
α

2
'
1 1 1
1
xi
i i i
i
yi
i i i
i
zi
l m n
l m n
θ
 
 
α
 
 
= θ
   
 
α
 
 
 
θ
 
(10.65)
Thay (10.65) vào (10.63) nhận được:

1 2 3 3
0
0
0
i i i i
i i i
i i i i i
i i i
i i i i
l l n m
l m n
L m m n l
l m n
n n m l
− −
   
 
   
 
= − = −
 
 
   
 
   
− −
   
(10.67)
Với
3i

=
 θ 
     
     
 
= = + δ θ
     
 
     
θ
     
 
∑
(10.68)
Thay
i
L
 
 
từ (10.67) vào (10.68) nhận được:
{ }
3 3
4
3 3
1
3 3
1
.
2
i i yi i zi

, ,
i i i
u v w
và chuyển vị xoay
( )
, ,
xi yi zi
θ θ θ
tại nút
i
,
1 4i
= ÷
, trong hệ tọa độ chung.
5. Ma trận hàm dạng
Ma trận hàm dạng trong hệ tọa độ chung được xác định từ công thức tổng quát
261
{ }
[ ]
{ }
e e
e
U B q=
. Chú ý đến (10.69), ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
xét trong hệ tọa độ chung
tương ứng với véc tơ chuyển vị nút của phần tử:
{ } { } { } { } { }

i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i
x
N t n N t m N
B N t n N t l N
N t m N t l N
 
δ − δ
 
 
 
= − δ δ
 
 
 
δ − δ
 
 
(10.71)
10.3.2. Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
trong trạng thái màng, uốn và cắt
Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
xác định từ công thức

' '
' '
' '
' '
' '
' '
x
y
x y
e
x z
y z
u
x
v
y
u v
y x
u w
z x
v w
z y
∂
 
 
∂
 
∂
 
ε

(10.72)
a. Chuyển các đạo hàm chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ chung.
Để xác định các thành phần biến dạng, trước hết cần biểu diễn các đạo hàm riêng
chuyển vị
' ' '
, ,u v w
theo các biến
' ' '
, ,x y z
trong hệ tọa độ địa phương qua các đạo hàm
riêng chuyển vị
, ,u v w
theo các biến
, ,x y z
trong hệ tọa độ chung qua ma trận chuyển
tọa độ
[ ]
L
bằng công thức:
262

[ ] [ ]
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
T
u v w u v w

x
∂
= + +
∂

2 11 2 12 2 13
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂
3 11 3 12 3 13
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂

1 21 1 22 1 23
'
. . .
'

'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

2 31 2 32 2 33
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

3 31 3 32 3 33
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG
z
∂
= + +

∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
22 2 2 2
v v v
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
23 2 2 2
w w w
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
31 3 3 3
u u u
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
32 3 3 3
v v v
TG l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +

2. Do xét trong hệ tọa độ tự nhiên nên các đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,x y z
)
cần phải chuyển về đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,r s t
).
b. Xác định các đạo hàm chuyển vị theo biến (
, ,r s t
).
Quan hệ đạo hàm riêng theo biến tọa độ tự nhiên
( )
, ,r s t
và theo biến
( )
, ,x y z
và
263
ngược lại, dưới dạng ma trận:
[ ]
x y z
r r r r x x
x y z
J
s s s s y y
x y z
t t t t
z z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   

y s
t
z
−
 
∂ ∂
 
 
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
   
=
   
∂ ∂
   
∂
   
∂
   
∂
 
∂
 
(
[ ]
J
là ma trận Jacobian) (10.77)

( )
, ,x y z
trong hệ
tọa độ chung được tính qua các đạo hàm tương ứng trong hệ tọa độ tự nhiên có
dạng:

* * *
11 12 13
* * *
21 22 23
* * *
31 32 33
u v w u v w
x x x r r r
J J J
u v w u v w
J J J
y y y s s s
J J J
u v w
u v w
t t t
z z z
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

u u u u
J J J
x r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂

* * *
21 22 23
. . .
u u u u
J J J
y r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
31 32 33
. . .
u u u u
J J J
z r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
* * *
11 12 13
. . .
v v v v
J J J

∂ ∂ ∂ ∂
* * *
21 22 23
. . .
w w w w
J J J
y r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
264
* * *
31 32 33
. . .
w w w w
J J J
z r s t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
(10.80)
Chú ý đến (10.69), các đạo hàm chuyển vị
u
,
v
,
w
theo biến tọa độ tự nhiên
, ,r s t
có

r r r
N N N
u v w
u v w
s s s s s s
u v w
t t t
=
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
= +
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂
 

r r r
N N N
t n m t l n t m l
s s s
N n m N l n N m l
=
∂ ∂ ∂
 
θ − θ θ − θ θ − θ
 
∂ ∂ ∂
 
δ ∂ ∂ ∂
 
+ θ − θ θ − θ θ − θ
 
∂ ∂ ∂
 
θ − θ θ − θ θ − θ
 
 
 
∑
(10.81)
c. Xác định các thành phần biến dạng
{ }
'
e
ε


∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
1 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

'
y
v
l TG m TG n TG
y
∂
ε = = + +
∂

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
2 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

' '
' '
' '
x y
u v
y x
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
1 21 1 22 1 23
'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
y
∂
= + +
∂
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *

 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.84)
2 11 2 12 2 13
'
. . .
'
v
l TG m TG n TG
x
∂
= + +
∂
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
u u u v v v w w w
l l m n m l m n n l m n
x y z x y z x y z
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
266

r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.85)
* Biểu thức biến dạng cắt
' '
' '
' '
x z
u w
z x
∂ ∂
γ = +
∂ ∂
1 31 1 32 1 33
'
. . .
'
u
l TG m TG n TG
z
∂
= + +
∂

r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
1 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.86)
3 11 3 12 3 13
'
. . .
'
w
l TG m TG n TG

3 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
3 1 11 12 13 1 21 22 23 1 31 32 33
.
w w w w w w w w w
n l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.87)
* Biểu thức biến dạng cắt
' '

* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
2 3 11 12 13 3 21 22 23 3 31 32 33
.

 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
* * * * * * * * *
3 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
.
u u u u u u u u u
l l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
* * * * * * * * *
3 2 11 12 13 2 21 22 23 2 31 32 33
.
v v v v v v v v v
m l J J J m J J J n J J J
r s t r s t r s t
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

[ ] [ ] [ ] [ ]
{ }
{ }
{ }
{ }
1
4
2
1 2 3 4
1
3
4
i i
e e
e
i
q
q
D q D q D D D D
q
q
=
 
 
 
 
ε = = =
 
 
 

được thiết
lập tương ứng với véc tơ biến dạng
{ }
'
e
ε
:
268
{ }
{ }
{ }
'
'
'
m
e
s
 
ε
 
ε =
 
ε
 
 
(10.91)
trong đó:

{ }
'

' ' ' '
T
T
s x z y z
u w v w
z x z y
 
∂ ∂ ∂ ∂
ε = γ γ = + +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(10.93)
Khi đó, ma trận
[ ]
i
D
được phân thành 02 ma trận:
[ ]
mi
D
tương ứng với biến dạng
{ }
'
m
ε
và
[ ]
si
D

mi
D
và
[ ]
si
D
được khai triển thành 02 ma trận:
[ ] [ ] [ ]
1 2
3 6 3 3 3 3
|
mi mi mi
x x x
D D D
 
=
 
(10.95)
[ ] [ ] [ ]
1 2
2 6 2 3 2 3
|
si si si
x x x
D D D
 
=
 
(10.96)
trong đó:

yi
θ
,
zi
θ
tại nút
i
.
a. Xác định ma trận
[ ]
1mi
D
. Ma trận
[ ]
1mi
D
được xác định theo công thức:
[ ]
'
' 1
' '
'
'
'
'
' '
' '
x i
y mi i
x y i

 
∂ ∂
+
 
∂ ∂
 
(10.97)
269
* Xác định
( )
'
'
'
x
i
i
u
x
∂
 
ε =
 ÷
∂
 
. Xét trường hợp khi chuyển vị
u
,
v
,
w

1
i i
i
w N w
=
=
∑
(10.98)
từ (10.82), nhận được:
( )
* * * * * *
' 1 1 11 12 1 21 22 1 31 32
'
'
i i i i i i
x i
i
i
N N N N N N
u
l l J J m J J n J J u
x r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂
     
 
ε = = + + + + + +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 

 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.99)
Ký hiệu:
( )
1 1 1
' 1,
i i i
N N N
D i l m n
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
* * * * * *
1 11 12 1 21 22 1 31 32
i i i i i i
N N N N N N
l J J m J J n J J
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     

l D i u m D i v n D i w
x
∂
 
ε = = + +
 ÷
∂
 
(10.101)
* Xác định
( )
'
'
'
y
i
i
v
y
 
∂
ε =
 ÷
∂
 
. Tiến hành tương tự như trên, từ (10.83):
( )
* * * * * *
' 2 2 11 12 2 21 22 2 31 32
'

+ + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 

* * * * * *
2 2 11 12 2 21 22 2 31 32
i i i i i i
i
N N N N N N
n l J J m J J n J J w
r s r s r s
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
     
+ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
(10.102)
Ký hiệu:
( )
2 2 2
' 2,
i i i
N N N
D i l m n