Mục lục
Mở đầu 3
1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes 6
1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . 8
1.2.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Không gian H, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Toán tử Stokes A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm 16
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa 27
2.5.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm
giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier -
Stokes 30
1
Hệ phương trình Navier - Stokes
3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . . . . . 30
3.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của tập hút toàn cục . . . . . . 34

rất nhiều bài báo và sách tham khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes,
tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này
còn khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn
cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách
thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lí. Tuy nhiên, vì nhu cầu của
Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes
nói riêng và các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng
trở nên thời sự và cần thiết. Như đã được đề cập đến trong các cuốn chuyên
khảo và các bài báo tổng quan gần đây, những vấn đề đặt ra khi nghiên cứu
các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là:
• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây
có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính quy ở đây có thể
là tính chính quy theo biến thời gian ( tính giải tích, tính Gevrey ) hoặc
tính chính quy theo biến không gian ( tính chính quy Hillbert, tính
chính quy Holder, mô tả tập điểm kì dị ).
3
Hệ phương trình Navier - Stokes
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi
thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngọai lực f "lớn", chúng ta
nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,
bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu
tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f "nhỏ" và không phụ thuộc thời
gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,
tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của
hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán
xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn.
• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một
vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần

Hệ phương trình Navier - Stokes
nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes; tính đặt đúng của hệ phương
trình Navier - Stokes với trễ vô hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phi
tuyến như phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ để compact, các bổ đề xử lí
số hạng phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
hệ phương trình Navier-Stokes.
Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết
hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, phương pháp xử lí số hạng chứa trễ trong
phương trình vi phân để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và hệ mở
rộng trong trường hợp có thêm trễ vô hạn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Ý nghĩa khoa học: Nội dung của đề tài là tổng hợp các kiến thức cơ
bản về hệ phương trình Navier - Stokes. Đề tài cũng giới thiệu một số hướng
nghiên cứu thời sự đang được các nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu hệ
phương trình Navier - Stokes.
- Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài là một tài liệu tham khảo tiếng Việt tốt cho
các giảng viên và sinh viên ngành toán, vật lí muốn nghiên cứu sâu về hệ
phương trình Navier - Stokes.
5
Chương 1
Đại cương về hệ phương trình Navier
- Stokes
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức sơ lược nhất liên quan
đến hệ phương trình Navier - Stokes như cách thiết lập hệ, các không gian
hàm và các toán tử đặc trưng cho hệ ( xem [1], [13])
1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes
Khi mô tả chuyển động của chất lưu, người ta thường dùng biểu diễn La-
grange để biểu diễn quỹ đạo X = X(x, t), x ∈ R

định luật bảo toàn động lượng ta có:

O
∂
∂t
(ρu)dx = −

O
ρu(u.n)ds +

O
ρfdx +

O
F.nds. (1.3)
trong đó : F = −σ, σ là tenxơ ứng suất, σ = p.1 với p là hàm áp suất, 1 là
ma trận đơn vị, τ là tenxơ ứng suất lớn nhất.
Áp dụng công thức Stokes và kết hợp (1.3) ta được:
∂
∂t
(ρu) + div(u ⊗ u) − divτ + p = ρf. (1.4)
Gia tốc của chất lưu tại thời điểm (x, t) là:
d
dτ

U

X(τ), τ

t=τ

T
], λ = λ(ρ, T ), µ = µ(ρ, T ).
Trong thực tế, thường gặp τ không phụ thuộc vào ρ và T, tức là λ = const,
µ = const.
Trường hợp λ = µ = 0 thì τ = 0, do đó chất lưu không có nhớt.
Trường hợp µ > 0, λ + µ > 0 thì chất lưu có nhớt.
Nếu chất lỏng không nén được thì divu = 0.
Nếu chất lỏng là thuần nhất thì ρ = ρ = const. Khi đó:
σ = 2µd − p.1
d =
1
2
(Du + (Du)
T
) → divd =
N

i,j=1
1
2
∂
j
(∂
i
u
j
+ ∂
j
u
i

Đây chính là hệ Navier-Stokes trong trường hợp chất lưu không nén được và
không thuần nhất.
Nếu chất lưu thuần nhất thì ta được hệ Navier-Stokes không nén được và
thuần nhất như sau:



∂u
i
∂t
− u
i
+ (u.)u
i
+ p
i
= f , 1 ≤ i ≤ N
divu = 0.
Trong vật lí chỉ xét trường hợp N = 2 hoặc N = 3.
1.2 Các không gian hàm
1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
a) Không gian các hàm liên tục
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 < k < +∞. Tập hợp
tất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là C
k
(Ω).
Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω.
Không gian C

dx < +∞.
8
Hệ phương trình Navier - Stokes
Không gian L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn
||u(x)||
p
= ||u(x)||
L
p
(Ω)
=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p
(Ω) là không gian
Banach.
Đặc biệt, với p = 2, không gian L
2

n
và cho 1 ≤ p < +∞. Khi đó
L
p
loc
(Ω) = {u : Ω → R | u ∈ L
p
(U) với mọi U ⊂⊂ Ω}
c) Không gian Sobolev
Giả sử Ω là một miền trong R
n
. W
k,p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất
cả các đạo hàm đó thuộc không gian L
p
(Ω). Không gian W
k,p
(Ω) được gọi
là không gian Sobolev với chuẩn sau:
||u||
W
k,p
(Ω
=

k

α=0

α
v).
9
Hệ phương trình Navier - Stokes
Không gian H
k
0
(Ω) là bổ sung đủ của không gian C
∞
c
(Ω) trong không
gian H
k
(Ω). Đặc biệt, H
1
0
(Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H
1
(Ω)
và bằng 0 trên biên ∂Ω.
Không gian H
1
0
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng xác định
bởi:
((u, v))
H
1
0
=

1
q
= 1.
Không gian đối ngẫu của không gian H
s
0
(Ω) kí hiệu là không gian H
−s
(Ω).
Bổ đề 1.2.1. Nếu u ∈ H
k
(Ω), với k ∈ Z thì D
α
u ∈ H
k−|α|
(Ω).
1.2.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω)
Đặt L
2
(Ω) = L
2
(Ω)
d
, d = 2 hoặc d = 3.
Do L

1
, v
2
, . . . , v
d
) ∈ L
2
(Ω).
Chuẩn trong L
2
(Ω): Cho u ∈ L
2
(Ω) thì
|u| := u
L
2
(Ω)
=


Ω
d

i=1
u
2
i
dx

1

dx
Chuẩn trong H
1
0
(Ω): Cho u ∈ H
1
0
(Ω) thì
u := u
H
1
0
(Ω)
=

Ω
|  u|
2
dx.
1.2.3 Không gian H, V
Kí hiệu:
V = {u ∈ (C
∞
0
(Ω))
d
: .u = 0}.
Để nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes, ta xây dựng các không gian
hàm sau:
V = V

H
=

Ω
u.vdx =

Ω
d

i=1
u
i
v
i
dx,
((u, v)) = (u, v)
V
=

Ω
d

i=1
u
i
 v
i
dx =

Ω



u
1
.
.
.
u
d


= vectơ vận tốc .
11
Hệ phương trình Navier - Stokes
p : Ω × [0, T ) −→ R là hàm áp suất.
(u.)u =
d

i=1
u
i
∂u
∂u
i
.
p =





là phần bù trực giao của H trong L
2
(Ω). Khi đó
H
⊥
=

u ∈ L
2
(Ω) : ∃p ∈ H
1
(Ω), u = p

, p ∈ H
1
(Ω).
và L
2
(Ω)
d
= H ⊕H
⊥
Nếu F ∈ H
⊥
thì phương trình :p = F có nghiệm.
1.3 Các toán tử
1.3.1 Toán tử Stokes A
Gọi H

, L

Khi đó A là một toán tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp, xác định
dương và có nghịch đảo A
−1
: H → D(A) compact.
Vì phép nhúng H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) là compact nên A có các giá trị riêng
0 ≤ λ
1
≤ λ
2
≤ ··· ≤ λ
k
−→ +∞ và các vectơ riêng lập thành một cơ sở
trực chuẩn của H.
1.3.2 Toán tử B
Đặt b(u, v, w) =
d

i,j=1

Ω
u
i
.D
i
v



Ω
2

i,j=1
u
i
.D
i
v
j
.w
j
dx





≤
2

i,j=1


Ω
|u
i
|

L
4
||v||
H
1
0
||w||
L
4
≤ C||u||
H
1
0
||v||
H
1
0
||w||
H
1
0
Hơn nữa,
b(u, v, w) = −b(u, w, v); ∀u, v, w ∈ V .
⇒ b(u, v, v) = 0; ∀u, v ∈ V .
(u.)u.v = b(u, u, v).
Để thiết lập đánh giá với b(u, v, w), ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2)
Với bất kì tập mở Ω ⊂ R
2
, ta có:

||v||
L
3
(Ω)
≤ C||v||
1
2
L
2
(Ω)
||  v||
1
2
L
2
(Ω)
,
||v||
L
4
(Ω)
≤ C||v||
1
4
L
2
(Ω)
||  v||
3
4



|u|
1
2
.u
1
2
.v.|w|
1
2
.w
1
2
, nếu d=2
|u|
1
4
.u
3
4
.v.|w|
1
4
.w
3
4
, nếu d=3
3. Nếu u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H thì:
|b(u, v, w)| ≤ k.

Sử dụng bất đẳng thức Holder:
Nếu u ∈ L
p
, v ∈ L
d
, w ∈ L
r
và

1
p
+
1
q
+
1
r
= 1

thì:
uvw
L
1
≤ u
L
p
.v
L
q
.w

1
4
L
2
.  u
3
4
L
2
nếu d = 3.
3. Nếu d = 2 thì chọn (p, q, r) = (4, 4, 2) và cũng sử dụng bất đẳng thức
Ladyzhenskaya trong trường hợp hai chiều.
Nếu d = 3 thì chọn (p, q, r) = (6, 3, 2) và sử dụng bất đẳng thức :
u
L
3
≤ C.u
1
2
.|u|
1
2
kết hợp với phép nhúng : H
1
(Ω) → L
6
(Ω) và
đánh giá; u
D(A)
∼ u

0
.
(2.1)
Để viết lại bài toán 1 dưới dạng toán tử, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. [1]
Giả sử u ∈ L
2
(0, T ; V ) khi đó hàm Bu xác định bởi:
< Bu(t), v >= b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V sẽ thuộc không gian L
1
(0, T ; V

).
Chứng minh:
16
Hệ phương trình Navier - Stokes
Ta có: | < Bu(t), v > | = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C.u(t)
2
.v, ∀v ∈ V .
( do b(u, v, w) là dạng 3-tuyến tính liên tục).
⇒ Bu(t)
V

≤ C.u(t)
2
V
⇒
T

0


Thật vậy: ∀ϕ ∈ L
2
(0, T, V ), áp dụng bất đẳng thức Holder , ta có:
| < Au, ϕ > | =


T

0

Ω
u.  ϕdxdt


= ϕ
L
2
(0,T,V )
.u
L
2
(0,T,V )
⇒
T

0
Au
2
V


+ νAu + Bu = f trong V

với hầu khắp t ∈ (0, T )
u(0) = u
0
.
Để thỏa mãn điều kiện u(0) = u
0
ta cần bổ sung điều kiện:
- Nếu d = 2 ⇒ u ∈ C([0, T ], H) là hàm liên tục theo t ∈ [0, T ] nhận giá
trị trong H,
- Nếu d = 3 ⇒ u ∈ C
ω
([0, T ], H) là hàm liên tục yếu theo t ∈ [0, T ] nhận
giá trị trong H.
2.2 Sự tồn tại nghiệm
Định lí 2.2.1. [1]
Cho u
0
∈ H và f ∈ L
2
(0, T, V

). Khi đó tồn tại một nghiệm u của bài
toán (2.1) thỏa mãn :
u ∈ L
2
(0, T, V ) ∩ L
∞

m
}.
Giả sử {w
k
} là cơ sở của H và V gồm các vectơ riêng của toán tử A.
Xét phép chiếu
P
n
:V −→ span{w
1
, ··· , w
n
}
u =
∞

k=1
c
k
.w
k
→ P
n
(u) =
n

k=1
c
k
.w

m
, u
m
) = P
m
f (∗)
u
m
(0) = P
m
u
0
.
⇔



d
dt
(u
m
(t), w
k
) + ν((u
m
(t), w
k
)) + b(u
m
(t), u

m
).
Ta cần chỉ ra T
m
= T .
Bước 2 : Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
Nhân cả 2 vế của (*) với u
m
, ta được
1
2
d
dt
|u
m
|
2
+ ν.u
m

2
=< f, u
m
>
( do < P
m
f, u
m
>=< f, P

m

2
≤
1
ν
f
2
V

Lấy tích phân từ 0 → t với 0 ≤ t ≤ T , ta có:
18
Hệ phương trình Navier - Stokes
|u
m
(t)|
2
+ν
t

0
u
m
(s)|
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+

(0, T ; H)
{u
m
}bị chặn trong L
2
(0, T ; V )
Do đó: {Au
m
} bị chặn trong L
2
(0, T ; V

).
Đánh giá Bu
m
+) Nếu d = 2; ta có Bu
m
 ≤ C.u
m
|u
m
| ( lấy w = u theo bổ đề)
⇒
T

0
Bu
m
(t)
2

⇒ {Bu
m
} bị chặn trong L
2
(0, T, V

)
+) Nếu d = 3 ta có : Bu
m

V

≤ C.|u
m
(t)|
1
2
.u
m
(t)
3
2
⇒
T

0
Bu
m
(t)
4

2
dt. (do u
m
∈ L
∞
(0, T ; H) )
⇒ {Bu
m
} bị chặn trong L
4
3
(0, T ; V

).
Ta có:
du
m
dt
= −ν.Au
m
+ Bu
m
+ P
m
f
+) Nếu d = 2 ⇒ {
du
m
(t)
dt

(0, T ; V

) nên :
• Au
m
 Au trong L
2
(0, T ; V

) .
•
du
m
dt

du
dt
trong L
p
(0, T ; V

)
với p = 2 nếu d = 2, và p =
4
3
nếu d = 3.
Phần phi tuyến : Ta có Bu
m
 χ trong L
p

< +∞.
Khi đó: E →→ L
p
0
(0, T ; X)
Ta cũng có thể hiểu như sau: từ một dãy bị chặn trong E trích ra được một
dãy con hội tụ mạnh trongL
p
0
(0, T ; X).
Chọn X
0
= V →→ X = H → X
1
= V

, (Ω bị chặn)
Khi đó u
m
→ u trong L
p
(0, T ; H).
Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. [2]
Giả sử u
m
 u trong L
2
(0, T ; V ) và u
m

d

i,j=1

Ω
(u
m
)
i
∂w
j
∂x
i
(u
m
)
j
dx .
Do đó:
T

0
b(u
m
, u
m
, w) −
T

0

i
∂w
j
∂x
i

(u
m
)
j
− u
j


dxdt.
Do đó, ta chỉ cần xét số hạng dạng: I
m
=
T

0

Ω
(v
m
− v)w.v
m
dxdt
trong đó v
m

.v
m

L
∞
(0,T ;H)
.w
L
2
(0,T ;H)
nên I
m
→ 0 hay Bu
m
→ Bu trong L
2
(0, T ; V

).
Bổ đề được chứng minh.
Vậy, tồn tại hàm u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H) thỏa mãn:
du
dt
+ νAu + Bu = ftrongL
2
(0, T ; V

∂t
+

Ω
u(T )ϕ(T )−

Ω
u(0).ϕ(0) = −
T

0

Ω
u
∂ϕ
∂t
−

Ω
u(0).ϕ(0).
suy ra
−
T

0

Ω
u.
∂ϕ
∂t

0
((u
m
, ϕ))+
T

0
b(u
m
, u
m
, ϕ) =
T

0
< f(t), ϕ(t) > +(u
m
(0), ϕ(0)).
Cho m → ∞, ta được :
−
T

0

Ω
u.
∂ϕ
∂t
+ v
T

.
Nếu u ∈ L
2
(0, T ; V ) ⇒ u

∈ L
2
(0, T, V

) ⇒ u ∈ C([0, T ]; H).
Nếu u ∈ L
∞
(0, T ; V ) ⇒ u

∈ L
4
3
(0, T, V

) ⇒ u ∈ C
W
([0, T ]; H).
2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu
Định lí 2.3.1. [13]
Nếu d = 2 thì nghiệm yếu của bài toán (2.1) là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử u
1
, u
2

, u) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
, u
1
, −u
2
) − b(u
2
, u
2
, u
1
) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2

2
.|u|.u.u
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
| − 2b(u, u
2
, u)| ≤ 2
3
2
.|u|.u.u
2
 ≤ 2.v.u
2
+
1
v
|u|
2
.u
2

2
Suy ra
d
dt
u ≤
1
v
.|u|.u

thỏa mãn :
u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H).
u ∈ L
8
(0, T ; L
4
(Ω)).
Khi đó: u ∈ C([0, T ]; H).
Chứng minh:
Giả sử u
1
, u
2
là 2 nghiệm của bài toán.
Đặt u = u
1
− u
2
⇒
∂u
∂t
+ vAu + Bu
1
− Bu
2
= 0.

1
, −u
2
) − b(u
2
, u
2
, u
1
) = 0.
⇒
1
2
d
dt
|u|
2
+ v.u
2
+ b(u
1
− u
2
, u
2
, u
1
− u
2
) = 0.

1
4
.u
7
4
.u
2

L
4
.
Áp dụng bất đẳng thức Young, ta được:
d
dt
|u|
2
+ 2vu
2
≤ 2v.u
2
+ C
1
.|u|
2
.u
2

8
L
4

C
1
.u
2

8
L
4
ds

  
<+∞
Do đó |u(t)| = 0 hay u = 0.
Định lí được chứng minh.
Chú ý :
Lions đã chứng minh được trong trường hợp d = 3, nghiệm yếu là duy nhất
nếu u ∈ L
s
(0, T ; L
r
(Ω)) nếu
2
s
+
3
r
≤ 1 hoặc nếu
2
s
+

du
dt
+ νAu + Bu = f trong H với hầu khắp t.
u(0) = u
0
.
Ta chú ý rằng: nếu Ω trơn thì D(A) = H
2
(Ω)
d
).
* So sánh nghiệm mạnh và nghiệm yếu:
- Về điều kiện ban đầu và các dữ kiện:
+) Nghiệm yếu: u
0
∈ H ⊃ V , f ∈ L
2
(0, T ; V

) ⊃ L
2
(0, T ; H),
+) Nghiệm mạnh: u
0
∈ V , f ∈ L
2
(0, T ; H),
- Về không gian nghiệm:
23
Hệ phương trình Navier - Stokes

có duy nhất một nghiệm mạnh u thỏa mãn
u ∈ L
∞
(0, T ; V ) ∩ L
2
(0, T ; D(A))
Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u
0
.
Để chứng minh định lí, ta chú ý đến đẳng thức năng lượng sau:
|u(t)|
2
+ 2ν
t

0
u(s)
2
ds = |u(0)|
2
+ 2
t

0
< f(s), u(s) > ds.
Chứng minh định lí:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin
Giả sử {w
k
} là cơ sở của V gồm các vectơ riêng của toán tử A.

(u)| ≤ |u|.
Tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng :
u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t).w
k
thỏa mãn:



du
m
dt
+ νAu
m
+ B(u
m
, u
m
) = P
m

m
), Au
m
) =< f, Au
m
>
( do < P
m
f, u
m
>=< f, P
m
u
m
>=< f, u
m
>)
Lại có
(P
m
B(u
m
, u
m
), Au
m
) = (B(u
m
, u
m

2
≤ |f||Au
m
|.
Áp dụng bất đẳng thức Young, ta có:
|f||Au
m
| ≤
|f|
2
2ν
+
ν
2
|Au|
Suy ra
d
dt
||u
m
||
2
+ ν.Au
m

2
≤
|f|
2
ν

(t)||
2
+ ν
t

0
Au
m
(s)
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+
1
ν
f
2
L
2
(0,t;H)
.
Do ||u
m
(0)|| ≤ ||u
0
|| nên:
sup
t∈[0,T ]

{u
m
} bị chặn đều trong L
∞
(0, T ; V )
{u
m
} bị chặn đều trong L
2
(0, T ; D(A))
Do đó u
m
có dãy con, ta vẫn kí hiệu là u
m
thỏa mãn:

u
m

∗
u trong L
∞
(0, T ; V )
u
m
 u trong L
2
(0, T ; D(A))
25