0
ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

ðẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN LÝ)


23

3.1. ða thức……………………………………………………………………………….
23

3.2. Phân thức hữu tỉ……………………………………………………………………
31

Chương 4: Hàm số và ñồ thị…………………………………………………………………

35

4.1. Khái niệm hàm số và ñồ thị hàm số………………………………………………….
35

4.2. Một vài phép biến ñổi ñồ thị…………………………………………………………
36

4.3. Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp……………………………………
37

Chương 5: Phương trình – Hệ phương trình………………………………………………
42

5.1. Phương trình………………………………………………………………………….

42

5.2. Hệ phương trình……………………………………………………………………
45

ñặc biệt hoá; tổng quát hoá. Qua ñó, người học biết vận dụng chúng trong quá trình tư duy và
quá trình lập luận khi giải toán.

B) NỘI DUNG

1.1. Cách giải một bài toán
Thông thường ñể giải một bài toán, người ta thường trải qua các công ñoạn: tìm hiểu ñầu
bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận. Mặc
dù trong thực tế, không phải quá trình giải bài toán nào cũng phải tuần tự trải qua ñầy ñủ các
bước kể trên, nhưng việc tìm hiểu và vận dụng bốn bước này sẽ giúp ích khá nhiều cho việc
nghiên cứu các bài toán, ñặc biệt là ñối với những bài toán chọn lọc ñiển hình thì nhất thiết phải
ñược trình bày và phân tích kĩ lưỡng theo thứ tự các bước ñể rèn luyện các thao tác tư duy và
nắm bắt rõ bản chất.
1.1.1. Tìm hiểu ñầu bài
ðây là công việc bắt buộc ñầu tiên khi muốn giải một bài toán. Khi ñọc ñầu bài, chúng ta
cần hiểu rõ ñâu là giả thiết của bài toán và ñâu là yêu cầu của bài toán. Trên cơ sở ñó, cố gắng
khoanh vùng phạm vi của ñề toán: bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Cần có những kiến
thức và kĩ năng gì? Nếu giải ñược thì sẽ giải quyết ñược vấn ñề gì?
*) Lưu ý:
- Cần tìm ra mối quan hệ giữa cái cần tìm và những cái ñã biết ñối với bài toán về tìm tòi,
tính toán.
- Cần nêu rõ giả thiết, kết luận ñối với bài toán chứng minh.
- Nên sử dụng và khai thác hình vẽ trực quan ñể hỗ trợ.
- Nên chọn lựa kí hiệu phù hợp.
1.1.2. Xây dựng chương trình giải
a) Nhận dạng và tập hợp kiến thức
Trên cơ sở ñã khoanh vùng bài toán, trước hết chúng ta cố gắng nhận dạng và phân loại nó.
Tiếp ñó, chúng ta cố gắng huy ñộng và tổ chức các kiến thức ñã biết ñể tìm ra lời giải. Quá trình
3


c) Liên hệ và sử dụng các bài toán ñã giải
Khi gặp một bài toán mà chưa tìm ra lời giải, chúng ta hãy cố gắng nhớ lại xem ñã gặp một
bài toán tương tự hoặc có liên quan ñến bài toán ñã cho mà ta ñã biết cách giải. ðiều này rất hữu
ích vì nó giúp ta tiếp cận gần hơn bài toán ñang xét trên cơ sở kế thừa những ñiểm tương ñồng về
phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,…
d) Mò mẫm, dự ñoán
Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể tiến hành thử nghiệm với một số trường hợp
ñặc biệt riêng lẻ. Trên cơ sở quan sát kết quả xảy ra ñối với các trường hợp này, chúng ta sẽ có
thêm những thông tin ñể giải quyết cho trường hợp tổng quát.
e) Sử dụng bản gợi ý của Pôlya
ðứng trước một bài toán khó, nhiều khi chúng ta hoang mang thậm chí mất phương hướng
và rất khó tiếp cận trong thời gian ngắn. Các gợi ý sau của Pôlya giúp cho chúng ta bình tĩnh ñể
từng bước tháo gỡ tiến tới giải quyết bài toán ñã cho.
- Bạn ñã gặp bài toán này hay bài toán tương tự lần nào chưa?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một ñịnh lí nào có thể sử dụng ở ñây ñược
không?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn
tương tự.
- ðây là một bài toán liên quan mà bạn ñã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể
sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần phải
ñưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng ñược không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?
- Nếu bạn vẫn chưa giải ñược bài toán ñã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ
hơn ñược không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp ñặc biệt? Một bài toán
tương tự? Một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số ñiều kiện, bỏ qua các ñiều kiện
khác. Khi ñó ẩn sẽ ñược xác ñịnh ñến một chừng mực nào ñó, nó biến ñổi như thế nào?
Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác ñịnh ñược ẩn không? Có thể thay ñổi ẩn
hoặc các dữ kiện (hoặc cả hai) sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới gần nhau hơn không?
- Bạn ñã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? ðã sử dụng hết các quan hệ chưa? ðã ñể ý ñến
mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

- Hướng 5: Từ ý nghĩa bài toán ñã giải dẫn ñến phương pháp giải một bài toán khác.
Ví dụ 1.1.1: Cho bài toán: “ Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2”.
Ta có thể phát biểu một vài bài toán tương tự:
(i) “Chứng minh rằng tích ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3”.
(ii) “Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4”.
Từ bài toán này ta có thể xây dựng các bài toán tổng quát và bài toán ñặc biệt:
(i) Bài toán tổng quát: “Chứng minh rằng tích
n
số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho
n
”.
(ii) Bài toán ñặc biệt: “Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho
8”.
Ví dụ 1.1.2. Xuất phát từ bài toán: “ Tính biểu thức
2 2
( ) ( )
A x y x y
= + − −
” với ñáp số
4 ,
A xy
=

chúng ta có thể khai thác ñể có các bài toán:
(i) “Chứng minh nếu tổng
x y
+
không ñổi thì tích
xy
lớn nhất khi

bài toán nhỏ. Trên cơ sở tìm ra lời giải của các bài toán bộ phận, thông qua sự tổng hợp chúng ta
sẽ ñược lời giải của bài toán ban ñầu. Cần chú ý rằng thao tác phân tích thường ñược sử dụng khi
tìm lời giải cho bài toán, còn khi trình bày lời giải ñể ñảm bảo tính ngắn gọn, người ta hay dùng
thao tác tổng hợp mặc dù biết có vẻ áp ñặt, thiếu tính tự nhiên.
Ví dụ 1.2.1. Tìm công thức giải phương trình bậc hai tổng quát
2
0 ( 0).
ax bx c a
+ + = ≠
Sau khi
chia vế trái cho
a
ta ñược:
2
0.
b c
x x
a a
+ + =
Muốn tìm nghiệm ta cần phải phân tích vế trái thành
tích hai nhân tử bậc nhất. ðã có
2
, 2
2
b b
x x x
a a
=
ta cần thêm bớt hạng tử
2

b ac
∆ = −
…
rồi cứ thế ñối
với mỗi trường hợp lại phân tích tiếp. Tuy nhiên khi trình bày lời giải, ta lại theo phương pháp
tổng hợp như sau:
Phương trình tương ñương với
2
2
2
0, -4 .
2 4
b
x b ac
a a
∆
 
− − = ∆ =
 
 
Ta có:
+)
0 :
∆ >
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1,2
;
2
b
x

ệ
m.

1.2.2. Quy nạp
Quy nạp là phương pháp suy luận mà kết luận chung cho mọi trường hợp dựa vào các khẳng
ñịnh trên một số trường hợp riêng.
Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn.
(i) Quy nạp không hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp chỉ
dựa vào các khẳng ñịnh trên một số trường hợp riêng, cụ thể mà không phải dựa vào tất
6

cả các trường hợp. Do ñó chúng ta chưa thể biết chính xác giá trị chân lí của kết luận
(chưa biết ñược tính ñúng, sai).
(ii) Quy nạp hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp ñược chứng
minh là ñúng hoặc dựa vào việc thử nghiệm tất cả các trường hợp (chỉ có thể áp dụng cho
tập hữu hạn). Do ñó chúng ta hoàn toàn biết kết luận luôn ñúng.
Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học ñể chứng minh cho kết
luận của quy nạp hoàn toàn. Giả sử cần chứng minh khẳng ñịnh
( )
A n
là ñúng ñối với mọi số
tự nhiên
,
n p p
≥
là số tự nhiên cho trước. Ta tiến hành theo hai bước sau:
(i) Bước cơ sở: kiểm tra
( )
A p
ñúng.

2 1 5,2 1 17,2 1 257
+ = + = + =
là các số nguyên tố, ta rút ra
kết luận
2
2 1
n
+
(số Fermat) là các số nguyên tố với mọi số nguyên dương
.
n
Số nguyên tố dạng
này ñược gọi là số nguyên tố Fermat. ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này sai vì
Ơle ñã chỉ ra
5
2
2 1
+
có
ướ
c nguyên t
ố
là 641 (nh
ờ
máy tính
ñ
i
ệ
n t
ử

lu
ậ
n m
ỗ
i s
ố
l
ẻ
l
ớ
n h
ơ
n 9 là t
ổ
ng c
ủ
a ba s
ố
nguyên t
ố
.
ð
ây là phép quy n
ạ
p không hoàn toàn, k
ế
t
lu
ậ
n này

ộ
t s
ố
d
ấ
u hi
ệ
u, ta d
ự

ñ
oán
chúng c
ũ
ng gi
ố
ng nhau
ở
d
ấ
u hi
ệ
u khác. Ch
ẳ
ng h
ạ
n xét hai
ñố
i t
ượ

ñồ
ng
gi
ữ
a X và Y, ta d
ự

ñ
oán r
ằ
ng Y c
ũ
ng có d
ấ
u hi
ệ
u d. M
ặ
c dù ta ch
ư
a th
ể
kh
ẳ
ng
ñị
nh rõ tính
ñ
úng
sai c

ạ
t
ñộ
ng gi
ả
i toán, s
ử
d
ụ
ng suy lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự

ñể
liên h
ệ
bài toán c
ầ
n gi
ả
i v
ớ
i bài
toán
ñ
ã gi
ả

ầ
n thi
ế
t, khi g
ặ
p trình t
ự
lôgic t
ươ
ng t
ự
và không có gì
m
ớ
i l
ạ
thì ta vi
ế
t g
ọ
n là “ t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên ta có…”, ho
ặ
c “ch
ứ

n
chú ý các
ñ
i
ể
m d
ướ
i
ñ
ây:
(i)

C
ố
g
ắ
ng xác l
ậ
p càng nhi
ề
u càng t
ố
t các d
ấ
u hi
ệ
u chung cho các
ñố
i t
ượ

sánh, ngh
ĩ
a là có liên h
ệ
m
ậ
t thi
ế
t v
ớ
i các thu
ộ
c tính khác c
ủ
a các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so
sánh.
7

(iii) C
ầ
n ch
ọ
n sao cho các d
ấ

ấ
u hi
ệ
u chung là d
ấ
u hi
ệ
u
ñặ
c tr
ư
ng, riêng bi
ệ
t c
ủ
a các
ñố
i t
ượ
ng
ñượ
c so sánh.

1.2.4. ðặc biệt hoá
Là suy lu
ậ
n chuy
ể
n t
ừ

ki
ể
m nghi
ệ
m l
ạ
i k
ế
t qu
ả
trong nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p riêng ho
ặ
c
ñể
tìm
ra nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả
c
ụ
th

ang xét.
Ví dụ 1.2.5.
Ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
+ + = ≠
v
ớ
i các h
ệ
s
ố
th
ỏ
a mãn
0
a b c
+ + =
v
ớ
i
0
a b c
− + =


ð
ây là suy lu
ậ
n chuy
ể
n t
ừ
vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p
ñố
i t
ượ
ng sang vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p


ñ
oán. T
ổ
ng quát hóa m
ộ
t bài toán cho ta m
ộ
t bài toán r
ộ
ng h
ơ
n, trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p giúp ta
tìm tòi l
ờ
i gi
ả
i thu
ậ
n ti
ệ
n h

ng
quát hóa b
ằ
ng cách xét các ph
ươ
ng trình tam th
ứ
c d
ạ
ng
2
0 ( 0, *).
n n
ax bx c a n
+ + = ≠ ∈
ℕ*) Chú ý:
Ngoài các ph
ươ
ng pháp suy lu
ậ
n ch
ủ
y
ế
u
ở
trên, trong gi

ng,
ph
ươ
ng pháp tr
ừ
u t
ượ
ng hóa, ph
ươ
ng pháp c
ụ
th
ể
hóa (xem [1]),… và m
ộ
t lo
ạ
t các quy t
ắ
c suy
lu
ậ
n
ñượ
c trình bày trong lôgic toán.

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:

[1] Hoàng K
ỳ

( ) .
x y x y
+ = +

Bài toán 3: Cho
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2).
N n n n
= + + + + + +
⋯
Chứng minh rằng
4 1
N
+
là một số chính phương.
Bài toán 4: Cho
,
p q
là các số nguyên tố khác nhau,
2, 5
q q
> ≠
. Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên
k
sao cho
.
k
pp p q
… ⋮


 
 


 

= +

 
 


 

= +
 

 

.
2)

ð
i
ề
n các
ñơ
n th
ứ
c thích h

ñồ
,
ñặ
t
ñầ
u bài thích h
ợ
p
5)
Tìm các c
ặ
p s
ố
nguyên d
ươ
ng có t
ổ
ng b
ằ
ng tích.
6)
Tính t
ổ
ng
1.2 2.3 3.4 ( 1) 2.
S n n
= + + + + + =
⋯

7)

ế
t cho 3.
9)
Tìm các s
ố
nguyên
,
x y
th
ỏ
a mãn
2 3 12.
x y
+ = 9

CHƯƠNG 2
Các tập hợp số
Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)

A) MỤC TIÊU
Chương này trang bị cho người học quá trình xây dựng, mở rộng các tập số, bao gồm: tập số
tự nhiên
,
ℕ
tập số nguyên
,
ℤ

=

Bản số của một tập hữu hạn ñược gọi là một số tự nhiên. Kí hiệu tập tất cả các số tự nhiên là
.
ℕ
Qua ñây chúng ta thấy bản số là khái niệm mở rộng của “số lượng”.
2.1.2. Quan hệ thứ tự
Cho hai số tự nhiên
, .
a b
Giả sử
,
A B
là hai tập hợp thỏa mãn
, .
a A b B
= =
Nếu có một
ñơn ánh từ
A
ñến
B
thì ta nói
a
nhỏ hơn hay bằng
b
và viết:
.
a b
≤

, ,
a A b B
= =

.
A B
= Φ
∩
Ta gọi
A B
∪
là tổng của hai số tự nhiên
, .
a b
Kí hiệu
.
a b
+

b) Phép nhân: ho hai số tự nhiên
, .
a b
Giả sử
,
A B
là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn
, .
a A b B
= =
Ta gọi

ðịnh lí 2.1.1. (i) Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là
,
a b b a ab ba
+ = + =

với mọi
, .
a b
∈
ℕ

10(ii) Phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, nghĩa là
( ) ( ), ( ) ( )
a b c a b c ab c a bc
+ + = + + =

với mọi
, , .
a b c
∈
ℕ

(iii) Phép nhân có tính chất phân phối ñối với phép cộng, nghĩa là:
( )
a b c ab ac
+ = +
với mọi

, , .
a b ac bc a b c
≤ ⇒ ≤ ∀ ∈
ℕ
Hơn nữa, ta còn có
, ,
a b a c b c a b c
< ⇒ + < + ∀ ∈
ℕ
và
, , *.
a b ac bc a b c
< ⇒ < ∀ ∈
ℕ

(vi) Phép nhân có tính chất phân phối ñối với phép trừ, nghĩa là:
( )
a b c ab ac
− = −
với mọi
, , , .
a b c b c
∈ ≥
ℕ

d) Phép chia
Cho hai số tự nhiên
, , 0.
a b b
≠

.
b
Kí hiệu
: .
a b c
=

ðịnh lí 2.1.2. Cho hai số tự nhiên
, , 0.
a b b
≠
Khi ñó luôn tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên
( , )
q r
sao cho
, 0 .
a bq r r b
= + ≤ <

Người ta lần lượt gọi
q
và
r
là thương và số dư của phép chia
a
cho
.
b

e) Lũy thừa

ℕ
ta có các khẳng ñịnh sau:
(i)
;
n m m n
a a a
+
=

(ii)
: ( );
n m n m
a a a n m
−
= ≥
(iii)
( ) ;
n m nm
a a
=

(iv)
( : ) :
n n n
a b a b
=
với
.
a b
⋮

(
)
,
P g
với
P
là một vành và
:
g P
→
ℕ
là một ñơn ánh, sao cho g vừa là một ñơn cấu nửa
nhóm cộng, vừa là ñơn cấu nửa nhóm nhân, và mọi phần tử của P ñều có dạng
(
)
(
)
– ,
g a g b

thì tồn tại một ñẳng cẩu
:
P
ϕ
→
Z
sao cho
.
f g
ϕ

∈
ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 kéo theo xy ≥ 0.
Vành A sắp thứ tự ñược gọi là một vành sắp thứ tự Archimede nếu với mọi
, A
x y
∈
và x > 0
ñều tồn tại một số tự nhiên n ñể nx > y. Một bộ phận M của vành sắp thứ tự A ñược gọi là bị
chặn trên (chặn dưới) nếu tồn tại một phần tử
A
a
∈
sao cho a ≥ x (x ≥ a) với mọi
.
x M
∈
Một
bộ phận của vành sắp thứ tự ñược gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Với A là một vành sắp thứ tự, thì do x + (–x) = 0 nên với mỗi x ta có hoặc x ≥ 0 hoặc –x ≥ 0.
Lại do 1 = 1.1 = (–1).( –1) và x
2
= x.x = (–x)( –x) nên 1 > 0 và x
2
≥ 0. Bởi 1 > 0 nên n.1 ≥ 1 > 0
với mọi số tự nhiên n > 0. Vậy vành sắp thứ tự là một vành có ñặc số 0. Với mỗi x ≠ 0, ta luôn có
hoặc x > 0 hoặc x < 0. Các phần tử x > 0 ñược gọi là các phân tử dương, các phần tử y < 0 ñược
gọi là các phần tử âm. Kí hiệu
A
+
và

≥

=

− <

.
Dễ dàng chứng minh các tính chất sau ñây của trị tuyệt ñối.
Mệnh ñề 2.2.6. Cho
, , ,
a b c d
là các phẩn tử của một trường sắp thứ tự với c ≠ 0, d ≥ 0. Khi
ñó ta có:
12

(i)
,
ab a b
=
a
a
c c
=
.
(ii)
, | | | | .
a b a b a b a b a b a b
+ ≤ + − ≤ − ≤ + ≤ +

(iii)

tự Archimede.
Mệnh ñề 2.2.9. Nếu x > y thì x ≥ y + 1.
ðịnh lý 2.2.10. Mọi bộ phận của vành các số nguyên
Z
bị chặn trên, ñều có phần tử lớn nhất.
Mọi bộ phận của vành các số nguyên
Z
bị chặn dưới, ñều có phần tử nhỏ nhất.

2.2.2. Lý thuyết chia hết trên vành số nguyên
a) Quan hệ chia hết
ðịnh nghĩa 2.2.11. Số nguyên a ñược gọi là chia hết cho một số nguyên b, hay b chia hết cho a
nếu tồn tại một số nguyên c sao cho
.
a bc
=
Khi a chia hết cho b ta viết

a b
⋮
hoặc
|
b a
và b
ñược gọi là ước của a, còn a ñược gọi là bội của b.
Nhận xét 2.2.12. Số nguyên a chia hết cho 0 khi và chỉ khi
0.
a
=
Do ñó bội của số 0 chỉ là 0.

x
i

.
∈
Z

(v) Nếu
a | b
và
b | a
thì
a b
=
hoặc
a b
= −
.
(vi) Quan hệ chia hết trong
Z
có tính phản xạ, bắc cầu, nhưng không có tính ñối xứng.
(vii) Quan hệ chia hết trong
Z
có tính phản ñối xứng.
b) Phép chia với dư
ðịnh lí 2.2.13. Với mỗi cặp số nguyên a và b
≠
0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên
q, r với 0
r

=
…

(ii) d ñược gọi là ước chung lớn nhất của
1
, ,
n
a a
…
nếu d chia hết cho mọi ước chung của chúng.
Chú ý 2.2.15. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
.
(i) Nếu
1
, ,
n
a a
…
không ñồng thời bằng 0 thì tập các ước chung của
1
, ,
n
a a
…
là hữu hạn và

, , 1
n
a a
=
…
thì
1
, ,
n
a a
…
ñược gọi là nguyên tố cùng nhau.
(iii) Các số
1
, ,
n
a a
…
ñược gọi là nguyên tố sánh ñôi, hay ñôi một nguyên tố cùng nhau nếu
(
)
, 1
i j
a a
=
với mọi
, 1, , , j.
i j n i
= ≠
…

(vi)
(
)
(
)
1 1
1, , , 1, , , 1.
n n
a a a a
= − =
… …

(vii)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
, , , , , .
n n n
a a a a a
−
=
… …
Tính chất này chỉ ra cách tìm ước chung lớn nhất của
nhiều số ñược quy về việc tìm ước chung lớn nhất của 2 số.
(viii)
(

∈
ℤ

Thuật toán Euclid: Giả sử a và b là hai số nguyên dương với

a b
≥
và ñặt
0 1
, .
r a r b
= =

Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta ñược:
0 1 1 2
1 2 2 3
2 1 1
1

n n n n
n n n
r r q r
r r q r
r r q r
r r q
− − −
−

− − −
= = = = = = =
⋯

Do ñó ước chung lớn nhất của a và b là số dư khác 0 cuối cùng trong dãy phép chia.
ðịnh lí 2.2.17. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
và
(
)
1
, , .
n
d a a= …
Khi ñó:
(i) Tồn tại
1
, ,
n
x x
… ∈
ℤ
ñể
1
n
j j

ế
u t
ồ
n t
ạ
i
1
, ,
n
x x
… ∈
ℤ
sao cho
1
1.
n
j j
j
a x
=
=
∑

Hệ quả 2.2.18.
N
ế
u các s
ố
nguyên
1

u
(
)
, 1
a b
=
và a chia h
ế
t
cho bc thì a chia h
ế
t cho c.
b) Bội chung nhỏ nhất
.
ðịnh nghĩa 2.2.20.
Cho các s
ố nguyên
1
, ,
n
a a
…
. Số nguyên m ñược gọi là một bội chung của
1
, ,
n
a a
…
nếu m chia hết cho tất cả các số a
i

…
là tập các bội chung nhỏ nhất,
[
]
1
, ,
n
a a
…
là bội chung nhỏ nhất không âm của
1
, ,
n
a a
…
.
Nhận xét 2.2.21. Cho các số nguyên
1
, ,
n
a a
…
.
(i) Vì bội của 0 chỉ là 0, nên nếu
1
, ,
n
a a
…
không khác 0 tất cả thì BC

, nên BC
(
)
1
, , .
n
a a
≠ Φ
…

(iii) BCNN
(
)
[
]
[
]
{
}
1 1 1
, , , , , – , , .
n n n
a a a a a a=… … …

Các kết quả sau ñây chỉ ra cách tìm bội chung nhỏ nhất, và mối liên hệ giữa bội chung nhỏ
nhất và ước chung lớn nhất.
ðịnh lí 2.2.22. Cho a và b là hai số nguyên khác 0. Khi ñó
[ ]
( )
,

(ii) Nếu
1
, ,
n
a a
…
là các số nguyên tố sánh ñôi thì:
[
]
1 1
, , .
n n
a a a a
… =
⋯

Hệ quả 2.2.25. Cho a là bội chung của n số nguyên từng ñôi mội nguyên tố cùng nhau
1
, , .
n
a a
…

Khi ñó a là bội của tích
1
.
n
a a
⋯


>
như sau:
1 2
1 2
k
k
n p p p
α
α α
=
⋯

trong ñó
1 2
, , ,
k
p p p
…
là các số nguyên tố phân biệt và
1 2
, , , *.
k
α α α
∈
… ℕ

ðịnh lí 2.2.30. Giả sử
1 2
, , ,
k

a b p p p
α βα β α β
=
⋯

(ii)
[
]
1 1 2 2
max( , )
max( , ) max( , )
1 2
, .
k k
k
a b p p p
α βα β α β
=
⋯2.2.5. Phương trình ðiôphăng
ðịnh nghĩa 2.2.31. Cho các số nguyên
, , .
a b c
Khi ñó phương trình

ax by c
+ =
với các biến số

(
)
2
’, ’x y
∈
Z
ñể
’ ’
ax by d
+ =
. Kiểm tra nếu c không chia
hết cho d thì phương trình vô nghiệm, và chuyển sang Bước 2.
Bước 2: Giả sử
.
c ds
=
Khi ñó
0 0
( , ) ( ’, ’)
x y sx sy
=
là một nghiệm riêng của
.
ax by c
+ =

Bước 3: Giả sử
’
a da
=


hay
0
– ’
x x b
=
với t
∈
Z
. Do ñó
0
– – ’ .
y y a t
=
Ta ñược
0
0
'
'
x x b t
y y a t
= +


= −

với t
.
∈
Z

d a b
=
Khi ñó nếu phương trình

ax by c
+ =
có một nghiệm
riêng (x
o
, y
0
) thì nó có nghiệm tổng quát là
0
0
( ).
b
x x t
d
t
a
y y t
d

= +


∈


= −

n n n
n
r r q r
r r q r
r r q r
r r q
d r
− − −
−
= +
= +
= +
=
=
⋯ ⋯ ⋯

và ta cần tìm cả cặp (x’, y’)
∈
Z
2
ñể ax’ + by’ = r
n
. Nhận xét rằng, nếu ta thiết kế ñược một dãy
các bộ ba (x
k
, y
k,
r
k
), sao cho luôn có ax

)
(
)
2 1 1 2 1 1 2 1 1
, , – , – , – .
k k k k k n k k k k k k
x y r x x q y y q r r q
− − − − − − − − −
=
ðể dễ kiểm tra
ñược bằng quy nạp rằng

k k k
ax by r
+ =
với mọi
0,1, , .
k n
=
…
Do ñó
(
)
(
)
’, ’, , , .
n n n
x y d x y r
=


(
)
,
g
P
với
P
là một trường và
:g
→
Z
P
là một ñơn cấu sao cho mỗi
x
∈
P
, tồn tại cặp số nguyên a, b ≠ 0
ñể
1
( ) ( )
x g a g b
−
= , thì có một ñẳng cấu trường
:
ϕ
→
ℚ
P
sao cho
f g

như
là một vành con. ðảo lại mọi trường cực tiểu chứa các số nguyên
Z
như là vành con ñều trùng
với trường các số hữu tỉ
ℚ
(sai khác một ñẳng cấu).
ðịnh lí sau cho ta thêm một biểu diễn của các số hữu tỉ.
ðịnh lí 2.3.3. (i) Mỗi số hữu tỉ luôn ñược viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn
tuần hoàn.
(ii) Mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn ñều xác ñịnh một số hữu tỉ.
2.3.2. Các phép toán
a) Phép cộng:
.
a c ad bc
b d bd
+
+ =

b) Phép trừ:
.
a c ad bc
b d bd
−
− =

c) Phép nhân:
.
a c ac
b d bd

  18

2.3.3. Quan hệ thứ tự
ðịnh lí 2.3.4. Mọi trường sắp thứ tự
K
ñều chứa một trường con ñẳng cấu với trường
ℚ
. Vì
vậy người ta coi
ℚ
là một trường con của
K
.
ðịnh nghĩa 2.3.5. Giả sử
, , , , , , , , 0
a c
xy x y a b c d b d
b d
∈ = = ∈ ≠
ℚ Z
. Khi ñó ta ñặt
(i) x ≥ 0 nếu
0.
ab
≥

(ii) x ≥ y nếu và chỉ nếu

trù mật, nghĩa là với mọi cặp số hữu tỷ x > y, luôn tồn tại
số hữu tỷ z sao cho x > z > y.

2.3.4. So sánh hai phân số
Cho hai phân số
, .
a c
b d
Không giảm tổng quát, ta có thể coi
, 0.
b d
>
Nếu hai phân số ñã cho
có mẫu số như nhau thì dễ thấy rằng phân số nào có tử số lớn hơn thì nó lớn hơn. Nếu hai phân
số ñã cho có mẫu số khác nhau, bằng cách quy ñồng mẫu số, chúng ta ñưa hai phân số này về các
phân số cùng mẫu số. Khi ñó, phân số nào trong hai phân số mới cùng mẫu có tử số lớn hơn thì
phân số ñã cho bằng nó lớn hơn.

2.4. Số thực
2.4.1. Nhắc lại cách xây dựng trường số thực
a) Dãy cơ bản
ðịnh nghĩa 2.4.1. Cho A là một vành con của một trường sắp thứ tự. Dãy
( )
n n
x
∈
ℕ
các phần tử
của A ñược gọi là một dãy hội tụ trong
A

n n
x
∈
ℕ
các phần tử
của a ñược gọi là một dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi
, 0
ε ε
∈ >
ℚ
, ñều tồn tại n
ε
∈
ℕ

sao cho
| |
n m
x x
ε
− <
với mọi ,
m n n
ε
>
.
ðịnh lí 2.4.3. Các dãy cơ bản trong
ℚ
có các tính chất sau:
(i) Mỗi dãy hội tụ trong

ℕ ℕ
và
( )
n n n
x y
∈
ℕ
cũng là những dãy cơ bản trong
ℚ
.
ðịnh lí 2.4.4. Cho dãy cơ bản
( )
n n
x
∈
ℕ
trong
ℚ
không có giới hạn 0, nghĩa là hoặc
( )
n n
x
∈
ℕ

không hội tụ hoặc
( )
n n
x
∈

.
ðịnh lí 2.4.6. Trường sắp thứ tự
ℚ
là một trường sắp thứ tự không ñầy ñủ.
b) Xây dựng trường các số thực
ℝ

Xét tập X gồm tất cả các dãy cơ bản trong
ℚ
. Bây giờ, ta xác ñịnh trong X hai phép toán
cộng và nhân như sau: với mọi
( ) ,( )
n n n n
x y X
∈ ∈
∈
ℕ ℕ
viết tắt
( )
n
x
và
( )
n
y
, ta ñặt
( ) ( ) ( )
n n n n
x y x y
+ = +

và
0 1 2
,
n
a a a a
−
… …

trong ñó
{
}
0 1 2
0; , , , , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
n
a a a a> ∈
… …
Mỗi số thập phân
0 1 2
,
n
a a a a
… …
thực
chất ứng với dãy cơ bản
1 2
0
2
10 10 10
n
n

∈
 
− − − − −
 
 
ℕ
⋯
trong
.
ℚ

Chú ý 2.4.9.
(i) M
ỗ
i s
ố
th
ậ
p phân h
ữ
u h
ạ
n là m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ

n nh
ư
m
ộ
t s
ố
th
ậ
p phân h
ữ
u h
ạ
n hay s
ố
th
ậ
p phân vô
h
ạ
n tu
ầ
n hoàn chu kì (0), m
ặ
t khác c
ũ
ng
ñượ
c bi
ể
u di

0 1 2
,
n
b b b b
β
=
… …
.
ðặ
t

1 2 1 2
0 0
2 2
, .
10 10 10 10 10 10
n n
n n
n n
a b
a a b b
a b
α β
= + + + + = + + + +⋯ ⋯

Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a gi

+ = + ∈ = ∈
ℕ ℕ

+) N
ế
u
, 0,
α β
<
thì
(
)
, .
α β α β αβ α β
+ = − + =
+) N
ế
u
0, 0, ,
α β α β
< ≥ ≤
thì ta có
, .
α β β α αβ α β
+ = − = −

+) N
ế
u
0, 0, ,

x y
→+∞
− =
hoặc tồn tại
, 0
a a
∈ >
ℚ
và
k
∈
ℕ
, sao cho
n n
x y a
− >
với mọi n > k.
ðịnh lí 2.4.11. Quan hệ ≥ vừa xác ñịnh trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong
ℝ
và
ℝ

cùng với quan hệ xác ñịnh ở trên là một trường sắp thứ tự.
ðịnh lí 2.4.12. Tồn tại một ñơn cấu trường
:f
→
ℚ ℝ
sao cho với mọi
,a b
∈

ðịnh lí 2.4.17. Trường các số thực
ℝ
là trường sắp thức tự ñầy ñủ, tức là mọi dãy cơ bản trong
ℝ
ñều hội tụ trong
.
ℝ

ðịnh lí 2.4.18. Trong trường các số thực
,
ℝ
mọi tập khác rỗng bị chặn trên ñều có cận trên
ñúng và mọi tập khác rỗng bị chặn dưới ñều có cận dưới ñúng.

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
[1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản
ðại học Sư phạm.
21D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Thực hành giải toán Chương 2
Giải và khai thác các bài toán trong các chủ ñiểm sau:
Chủ ñiểm 1: Số nguyên tố
Bài toán 1: Tìm số nguyên tố
a
biết
2 1
a


Bài toán 4: Cho
3
p
>
là số nguyên tố sao cho
4 1
p
+
cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng
4 1
p
−
là hợp số.
Bài toán 5: Tìm số nguyên tố
p
sao cho
2, 4
p p
+ +
cũng là số nguyên tố.

Chủ ñiểm 2: Tính chia hết
Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên không chia hết cho 3 thì
2
1 3.
n −
⋮

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên


Bài toán 5: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k
sao cho
3 1 1000.
k
−
⋮Chủ ñiểm 3: Bội và ước của các số
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho số ñó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài toán 2: Một căn phòng hình chữ nhật dài 6,25m, rộng 4,75m. Hãy tìm kích thước viên gạch
lát nền hình vuông (ñược tính theo cm) sao cho số viên gạch ít nhất và lát vừa kín nền mà không
phải xẻ viên nào.
Bài toán 3: Tại bến sông có 3 chiếc thuyền. Chiếc thứ nhất cứ 5 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ
hai cứ 7 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ ba cứ 12 ngày lại cập bến 1 lần. Hôm nay, cả 3 chiếc
cùng khởi hành từ bến sông. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu ngày nữa chúng lại cùng cập bến sông
này.
Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
3 2 2 8 0.
x xy y
− + − =Bài tập
Giải và khai thác các bài toán sau:
1) Tồn tại hay không số tự nhiên có tích các chữ số của nó bằng 165.
2) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng thêm 1 vào tất cả các chữ số ñó, ta cũng
ñược một số chính phương.

 
=
 
 

b) Tìm
(2005).
f

5)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong 7 s
ố
nguyên b
ấ
t kì luôn t
ồ
n t
ạ
i 4 s
ố
có t
ổ
ng chia h
ế
t cho 4.
6)

ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
,
n
ta luôn có
2 1 2 1
46 296.13 1947.
n n+ +
+
⋮

8)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
t
ự
nhiên
,

ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
1 1 1 1
1991
x y z
+ + =
ch
ỉ
có h
ữ
u h
ạ
n nghi
ệ
m nguyên d
ươ
ng.
11)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
,
ℤ ℚ
là nh
ữ

ng minh r
ằ
ng t
ậ
p các dãy

( ) , 0,1
n n n
u u
∈
=
ℕ

là m
ộ
t t
ậ
p vô h
ạ
n không
ñế
m
ñượ
c và có cùng b
ả
n s
ố
v
ớ
i t

n
a a a
trong ñó các
i
a A
∈
với mọi
i
∈
ℕ
và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn. Như vậy P là một bộ
phận của lũy thừa ðề các
A
ℕ
. Khi ñó P là một vành giao hoán có ñơn vị với phép cộng và phép
nhân như sau:

0 1
( , , , , )
n
a a a +
0 1
( , , , , )
n
b b b =
0 0 1 1
( , , , , )
n n
a b a b a b
+ + +

, ta có:
0
(1,0, ,0, )
x =

2
(0,0,1,0, ,0., )
x =3
(0,0,0,1,0, ,0., )
x =
(0,0, ,0,1,0, )
n
n
x =


M
ặ
t khác, xét
ñơ
n c
ấ
u vành
, ( ,0, ,0, ).

ủ
a vành P. D
ễ
th
ấ
y m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
vành P luôn
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
0 1
( , , , ,0, )
n
a a a trong
ñ
ó
0 1

c
ñư
a vào kí hi
ệ
u
x
, cho phép ta bi
ể
u di
ễ
n
0 1
( , , , ,0, )
n
a a a d
ướ
i d
ạ
ng:
2
0 1 0 1 2
( , , , ,0, ) .
n
n n
a a a a a x a x a x
= + + + +
⋯

Bi
ể

2
0 1 2
( ) .
n
n
f x a a x a x a x
= + + + +
Khi ñó với mỗi
0,1, ,
i n
=
, ta lần
lượt gọi
i
a
và
i
i
a x
ñược gọi là hệ tử và hạng tử bậc i của ña thức
( )
f x
, ñặc biệt
0
0 0
a x a
=
ñược
gọi là hạng tử tự do.
(ii) ðôi khi, người ta cũng ñịnh nghĩa ña thức biến x trên A là một tổng hình thức dạng

Hệ tử
n
a
ñược gọi là hệ tử cao nhất của f(x).
Ta quy ước ña thức 0 không có bậc.
ðịnh lý 3.1.4. Giả sử f(x), g(x) là hai ña thức khác 0. Khi ñó:
(i) Nếu
deg ( ) deg ( )
f x g x
≠
, thì ta có
( ) ( ) 0
f x g x
+ ≠
và
deg[ ( ) ( )] max(deg ( ),deg ( )).
f x g x f x g x
+ =

(ii) Nếu
deg ( ) deg ( )
f x g x
=
và
( ) ( ) 0
f x g x
+ ≠
, thì ta có
deg[ ( ) ( )] max(deg ( ),deg ( )).
f x g x f x g x

, , ,
n
x x x A
∈
…
là
1
n
+

phần tử phân biệt. ðặt
{ }
0
( ) ( ), \ 0 .
n
i
i
g x a x x a A
=
= − ∈
∏
Khi
ñ
ó ta có:
(i)
0
, 0
( ) ( ) .
n
n

=
=
−
∑ðịnh lí 3.1.7 (Taylor).
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c
n
trên tr
ườ
ng A và
.
a A
∈
Khi
ñ
ó ta có:
( )
2
'( ) ''( ) ( )