A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một môn khoa học cơ sở, là tiền đề của các môn khoa học khác. Do khả
năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, toán học được mệnh danh là ngôn ngữ
của vũ trụ. Hiện nay lý thuyết toán học đã được tích hợp vào nhiều môn học nhằm góp phần
nâng cao tính chính xác, khoa học, giúp học sinh dễ tiếp thu, tăng khả năng tư duy lôgic. Việc
sử dụng toán học trong dạy học hiện nay đang trở thành xu thế phổ biến.
Trong kỳ thi đại học với hình thức trắc nghiệm khách quan, số lượng câu hỏi bài tập
trong đề thi môn Sinh học chiếm 20 – 30%, do đó việc học sinh giải nhanh và chính xác các
câu hỏi bài tập là rất cần thiết. Vậy làm thế nào để giúp học sinh làm bài thi đại học một cách
hiệu quả?
Xuất phát từ những vấn đề nêu trên và từ thực tiễn công tác giảng dạy tôi xin đưa ra
một số ý kiến để các đồng nghiệp tham khảo: “Kinh nghiệm vận dụng kiến thức toán học để
dạy một số dạng bài tập trong ôn thi đại học”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ:
1. Thực trạng của vấn đề:
Phần lớn học sinh coi việc học môn Sinh học là nhiệm vụ bắt buộc, các em
thích học những môn toán, lý, hóa và chỉ một số ít yêu thích môn Sinh học. Đa số
các em học sinh cho rằng môn sinh là khó và trừu tượng. Thực tế cho thấy phần
lớn các em đều “học trước quên sau”, do tiếp thu bài một cách thụ động, không
hiểu được bản chất vấn đề nên các em làm bài tập, làm câu hỏi trắc nghiệm
không phương hướng, làm chậm hoặc chọn đáp án sai. Đưa toán học vào các bài
giảng sinh học sẽ giúp học sinh dễ hiểu bài và vận dụng linh hoạt để giải bài tập
từ đó các em sẽ yêu thích môn học hơn, tự tin hơn và đạt kết quả cao trong kì thi
tốt nghiệp và kì thi đại học.
Nội dung kiến thức sinh học 12 trung học phổ thông, đặc biệt là phần tính
quy luật của hiện tượng di truyền mang tính lôgic cao, nếu sử dụng được các
kiến thức toán học vào phần này thì sẽ giúp học sinh hệ thống hoá kiến thức một
cách dễ dàng hơn, hiểu bài nhanh hơn và vận dụng linh hoạt để giải các bài tập.
Trong quá trình giảng dạy và ôn thi đại học, tôi thấy có rất nhiều dạng bài tập
nhưng trong phạm vi đề tài này tôi xin đưa ra kinh nghiệm vận dụng kiến thức
toán xác suất, thống kê để giải các bài toán về xác định số loại kiểu gen của

≤≤
1
. Mỗi tập con của
có phần tử gọi là một Tổ hợp chập của n phần tử của (gọi tắt là Tổ hợp
chập của ). Như vậy, lập một Tổ hợp chập của chính là lấy ra phần tử
của mà không quan tâm đến thứ tự.
Số các Tổ hợp: Số các Tổ hợp chập của một tập hợp có phần tử )
là: =
Trang 2
Đối với dạng toán xác định kiểu gen, tôi chia thành hai dạng bài, mỗi
dạng đều có nhiều trường hợp. Mỗi trường hợp đều có cách xây dựng công thức
tổng quát và ví dụ câu hỏi trắc nghiệm vận dụng, đáp án chi tiết.
Dạng 1: Xác định kiểu gen tối đa trong quần thể trong các trường hợp:
TH 1: Một gen có n alen nằm trên NST thường.
TH 2: Một gen có n alen nằm trên NST giới tính X (vùng không tương đồng với
NST Y).
TH 3: Một gen có n alen nằm trên NST giới tính X (vùng tương đồng với NST
Y).
TH 4: Nhiều gen phân li độc lập.
TH 5: Nhiều gen liên kết trên một cặp NST.
TH 6: dạng phối hợp: nhiều gen liên kết giới tính và phân li độc lập.
Dạng 2: Xác định số loại kiểu gen tối đa tạo ra trong một phép lai
TH 1: Các gen phân li độc lập
TH 2: Hai cặp gen cùng nằm trên một cặp NST
b. Biện pháp tổ chức thực hiên:
Sau đây là các dạng bài và các trường hợp cụ thể :
Dạng 1: Xác định kiểu gen tối đa trong quần thể:
Để xác định được kiểu gen tối đa trong quần thể thì phải lưu ý là bài
toán xét một hay nhiều gen, gen nằm trên NST thường hay giới tính, nếu là
nhiều gen thì mối quan hệ giữa các gen là phân li độc lập hay liên kết.

từ 2 alen không
giống nhau
A
1
A
2
; A
1
A
3
;
… A
1
A
n
,…
Là số cách sắp xếp 2 alen
khác nhau trong n alen
(không tính vị trí alen) →
Ta áp dụng công thức tổ
hợp chập 2 của n: C
2
n
=
!2)!2(
!
×−
n
n
.

Đáp án: một gen có 5 alen nằm trên NST thường → số kiểu gen tối đa trong
quần thể là:

15
2
)15(5
2
)1(
=
+
=
+nn
.
Đáp án đúng là C.
Trường hợp 2: một gen có n alen nằm trên NST giới tính X đoạn không
tương đồng với NST Y (giả sử gen có các alen A
1
; A
2
; A
3
, A
n
)
Giới Đặc điểm Loại kiểu
gen
Ví dụ Số loại kiểu gen
XX Gen tồn tại thành Đồng hợp X
A1
X

C
2
n
=
!2)!2(
!
×−
n
n

XY Gen chỉ tồn tại trên
X, không có alen
tương ứng trên Y.
X
A1
Y; X
A2
Y;
… X
An
Y
n
Số kiểu gen ở giới XX: n + C
2
n
=
2
)1(
+
nn

trạng trên là bao nhiêu ?
A. 6 loại kiểu gen.
B. 3 loại kiểu gen.
C. 5 loại kiểu gen.
D. 9 loại kiểu gen.
Trang 5
Đáp án:
- Ở chim giới cái có cặp NST giới tính là XY: có 3 loại kiểu gen khác nhau →
gen quy định màu sắc lông có 3 alen.
- giới đực XX có
2
3)13(
2
)1(
+
=
+
nn

= 6 kiểu gen.
→ Số kiểu gen tối đa trong quần thể chim về tính trạng màu lông là 3 + 6 = 9
loại kiểu gen. Đáp án đúng là D.
Trường hợp 3: Một gen có n alen nằm trên NST giới tính X đoạn tương đồng
với NST Y (giả sử gen có các alen A
1
; A
2
; A
3
, A

X
A3
;
… X
A1
X
An
;
C
2
n
=
!2)!2(
!
×−
n
n
.
XY Gen tồn

tại trên cả
Đồng hợp X
A1
Y
A1
; X
A2
Y
A2
;

hợp chỉnh hợp chập 2 của
n:
2
n
A
=
)!2(
!
−
n
n
Vậy số kiểu gen ở giới XX =
2
)1(
+
nn
; XY =
)!2(
!
−
n
n
2
nn
=+
.
→ Số loại kiểu gen trong quần thể là:
2
)13(
2

=
n
.
Vậy số loại kiểu gen tối đa trong quần thể là: KG = 15. Đáp án đúng là A.
Trường hợp 4: Nhiều gen phân li độc lập (giả sử gen A có n alen A
1
; A
2
;
A
3
, A
n
; gen B có m alen A
1
; A
2
; A
3
, A
m
; hai gen trên nằm trên hai cặp
NST khác nhau).
- Xét riêng rẽ từng gen :
đối với gen A có n alen → có số loại kiểu gen =
2
)1(
+
nn
.

Đáp án: Các gen đều nằm trên NST thường nên số loại kiểu gen =
2
)1(
+
nn

- Gen A có 4 alen nên số kiểu gen = 10.
- Gen B có 2 alen nên số kiểu gen = 3.
- Gen A có 5 alen nên số kiểu gen = 15.
Vậy số loại kiểu gen tối đa trong quần thể là: KG = 10x3x15=450.
Trang 7
Đáp án đúng là B.
Trường hợp 5: Hai gen cùng nằm trên một cặp NST
Đối với trường hợp này xét một ví dụ cụ thể sau đó lập công thức tổng quát vì đây là
dạng toán cơ sở để làm các bài tập xác định kiểu gen trường hợp các gen liên kết.
Ví dụ : Trong một quần thể động vật ngẫu phối, xét hai locut gen. Gen A có 3 alen A
1
; A
2
; A
3
và gen B có 2 alen B
1
; B
2
. Hai gen này cùng nằm trên một cặp NST thường. Xác định số loại
kiểu gen tối đa trong quần thể.
- Các bước xác định số loại kiểu gen:
Bước 1: Tính số loại giao tử tối đa trong quần thể:
Gen A có 3 alen, gen B có 2 alen → số loại giao tử = 2x3 = 6 (giả sử đặt

- Kiểu gen dị hợp là do sự tổ hợp của các giao tử đực và cái không giống nhau
nên kiểu gen dị hợp được tạo thành là số cách sắp xếp 2 giao tử khác nhau trong
6 loại giao tử: Ta áp dụng công thức tổ hợp chập 2 của 6: C
2
6
=
15
!2)!26(
!6
=
×−
.
→ Số kiểu gen khác nhau trong quần thể là 6+15 = 21.
Tổng quát:
1. Gen A có n alen và gen B có m alen cùng nằm trên một cặp NST thường thì
tạo ra số loại giao tử khác nhau là g =(m.n) và số loại kiểu gen trong quần thể
là: g + C
2
g
=
2
)1(
2
)1( +
=
+ mnmngg
.
Trang 8
2. Gen A có n alen và gen B có m alen cùng nằm trên NST giới tính X vùng
không tương đồng với NST Y thì tạo ra số loại kiểu gen là: kiểu gen của giới

)1 3(.
+
nmnm
.
Ví dụ: (Câu 16 mã đề 162 - đề thi đại học 2011):
Trong quần thể của một loài thú, xét hai lôcut: lôcut một có 3 alen là A
1
,
A
2
và A
3
; lôcut hai có 2 alen là B và b. Cả hai lôcut đều nằm trên đoạn không
tương đồng của nhiễm sắc thể giới tính X và các alen của hai lôcut này liên kết
không hoàn toàn. Biết rằng không xảy ra đột biến, tính theo lí thuyết, số kiểu
gen tối đa về hai lôcut trên trong quần thể này là
A. 18. B. 27. C. 30. D. 36.
Đáp án: Hai gen cùng nằm trên NST giới tính X (không có alen tương ứng trên
NST Y)→ số loại giao tử tạo ra là 3x2=6 (g).
Số kiểu gen ở giới XX =
21
2
)16(6
2
)1(
=
+
=
+
gg

2
)1.(
=
+
=
+
=
nn
Hai gen này phân li độc lập nên số loại kiểu gen trong quần thể là 9x15 = 135.
Đáp án đúng là D.
Ví dụ 2: (Câu 46 – mã đề 297 – đề thi đại học 2009)
Ở người, gen A quy định mắt nhìn màu bình thường, alen a quy định
bệnh mù màu đỏ và lục; gen B quy định máu đông bình thường, alen b quy định
bệnh máu khó đông. Các gen này nằm trên nhiễm sắc thể giới tính X, không có
alen tương ứng trên Y. Gen D quy định thuận tay phải, alen d quy định thuận tay
trái nằm trên nhiễm sắc thể thường. Số kiểu gen tối đa về 3 locut trên trong quần
thể người là
A. 42.
B. 36.
C. 39.
D. 27.
Đáp án: Gen A và gen B cùng nằm trên NST giới tính X, không có alen tương
ứng trên Y → số kiểu gen
.14
2
)32.2.(2.2
2
)3 (.
=
+

Ví dụ 1: Cho phép lai P: ♀
ab
AB
x ♂
ab
AB
. Xác định số loại kiểu gen tối đa ở F
1
.
Cách 1: Tính số loại kiểu gen dựa vào số loại giao tử của P.
(cách này chỉ áp dụng cho trường hợp P có số loại giao tử đực và cái giống
nhau).
- P có kiểu gen dị hợp kép
ab
AB
nên nếu có hoán vị gen tạo ra tối đa 4 loại giao
tử: AB, Ab, aB, ab (dạng bài toán này chỉ cần số loại giao tử, không cần đến tỷ
lệ).
→ F
1
: có số kiểu gen đồng hợp là 4, và số kiểu gen dị hợp là
2
4
C
=6 (tương tự
dạng 1, trường hợp 5). Vậy số kiểu gen ở F
1
là 10 =
2
)1(

→ số kiểu gen sẽ ít hơn số kiểu
tổ hợp là 1. Như vậy có một cặp giao tử đực và cái trùng nhau thì số kiểu gen
bằng số kiểu tổ hợp trừ đi một.
→ số kiểu gen = số tổ hợp giao tử - số cặp giao tử đực và cái trùng nhau
- ♀
ab
AB
có tối đa 4 loại giao tử AB, Ab, aB, ab và ♂
ab
AB
có tối đa 4 loại giao tử
AB, Ab, aB, ab → có 6 cặp giao tử đực và cái trùng nhau (C
2
4
=6).
(AB và Ab, AB và aB, AB và ab, Ab và aB, Ab và ab, aB và ab).
→ có 6 cặp tổ hợp có trùng kiểu gen nên số kiểu gen là 16 – 6 = 10.
- Chứng minh bằng sơ đồ lai:
♂
♀
AB Ab aB ab
AB
AB
AB
Ab
AB
aB
AB
ab
AB

- Kết quả số loại kiểu gen F
1
có 10 kiểu gen:
AB
AB
;
Ab
AB
;
aB
AB
;
ab
AB
;
Ab
Ab
;
ab
Ab
;
aB
aB
;
ab
aB
;
aB
Ab
;

→ số loại kiểu gen F
1
là 8 – 1 = 7.
- Chứng minh bằng sơ đồ lai:
♂
♀
AB Ab aB ab
AB
AB
AB
Ab
AB
aB
AB
ab
AB
Ab
Ab
AB
Ab
Ab
aB
Ab
ab
Ab
- Kết quả số loại kiểu gen F
1
: có 7 kiểu gen:
AB
AB

abc
ABC
và ♂
abc
ABC
đều cho tối đa 8 loại giao tử ABC, abc, Abc, aBC,
ABc, abC, aBc, AbC (xét trường hợp xảy ra trao đổi chéo tại 2 điểm không đồng
thời và trao đổi chéo kép) → g = 8.
→ áp dụng công thức số loại kiểu gen =
2
)1(
+
gg
=
2
)18(8
+
= 36.
Trang 13
Cách 2: P ♀
abc
ABC
và ♂
abc
ABC
đều cho tối đa 8 loại giao tử ABC, abc, Abc, aBC,
ABc, abC, aBc, AbC (xét trường hợp xảy ra trao đổi chéo tại 2 điểm không đồng
thời và trao đổi chéo kép).
→ F
1

AB
×
ab
AB
.
Đáp án:
A. AaBb × AaBb → đời con có 3x3 = 9 loại kiểu gen.
B. X
A
X
A
Bb × X
a
YBb → đời con có 2x3 = 6 loại kiểu gen.
C.
ab
AB
DD ×
ab
Ab
dd → đời con có 7x1 = 7 loại kiểu gen.(
ab
AB
có 4 loại giao tử;
ab
Ab
có 2 loại giao tử → có 8 kiểu tổ hợp giao tử và có một cặp giao tử đực và
cái trùng nhau nên số loại kiểu gen là 8-1=7).
D.
ab

Ab
AB
xXX
aB
Ab
DdD
Trong trường hợp không xảy ra ĐB, theo lí thuyết, các phép lai cho đời con có
số loại kiểu gen từ cao đến thấp là:
A. (2) → (4) → (1) → (3). B. (4) → (2) → (1) → (3).
C. (3) → (4) → (1) → (2). D. (2) → (1) → (4) → (3).
Đáp án:
- Phép lai (1): AaBbDd×AaBbDd → các gen phân li độc lập nên số loại kiểu gen
= 3x3x3=27.
- Phép lai (2):
dE
DE
ab
AB
x
dE
DE
ab
AB
.
Xét riêng rẽ: (
ab
AB
x
ab
AB

Ab
DdD
Xét riêng rẽ: (
Ab
AB
x
aB
Ab
) → cho đời con 7 loại kiểu gen; (có 8 kiểu tổ hợp giao tử
và có một cặp giao tử trùng nhau).
YxXXX
DdD
→ cho đời con 4 loại kiểu gen.
→ phép lai 4 có số loại kiểu gen là 7x4=28.
Số loại kiểu gen sắp xếp từ cao đến thấp là 30 (2) → 28 (4) → 27 (1) → 20 (3).
Đáp án đúng là A.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Tôi nhận thấy việc áp dụng các kiến thức toán học vào dạy một số kiến thức
Sinh học thực sự mang lại hiệu quả rất lớn, giúp cho học sinh giải quyết các bài toán
Trang 15
di truyn khụng nhng nhanh chúng m tớnh chớnh xỏc cao hn rt nhiu. Do ú cỏc
em hc sinh xỏc nh c nhanh, chớnh xỏc ỏp ỏn v t c kt qu cao
trong kỡ thi i hc.
Trong phm vi ti ny, tụi mi ch nghiờn cu c mt s cụng thc
ca dng toỏn xỏc nh kiu gen. Tôi sẽ cố gắng phát triển hớng nghiên cứu trên
về các dạng bài toán khác trong những đề tài tiếp theo.
Tụi xin trõn thnh cm n !
XC NHN CA TH
TRNG N V
Thanh húa, ngy 25 thỏng 05 nm 2013