BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I
nttrieu.wordpress.com
1 Sử dụng các kiến thức cơ bản
1.1 Hãy tính số các vec tơ (khác
−→
0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân
biệt đã cho trong các trường hợp sau:
a) Hai điểm.
b) Ba điểm.
c) Bốn điểm.
1.2 Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác
−→
0 ) nhận đỉnh
và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.
1.3 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA. Chứng minh:
−−→
NP =
−−→
MQ và
−→
P Q =
−−→
NM.
1.4 Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. So
sánh độ dài của hai vec tơ
−−→
NM và
−−→
BC. Vì sao hai vec tơ đó cùng phương.
1.5 Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Chứng minh rằng nếu

AM =
−→
BA,
−−→
MN =
−−→
DA,
−−→
NP =
−−→
DC,
−→
P Q =
−−→
BC. Chứng
minh
−→
AQ =
−→
0
1.8 Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
−→
EF =
−−→
CD
1.9 Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN . Chứng minh:
−−→
AM =
−−→

NC.
b) Chứng minh:
−−→
AM +
−−→
AN =
−→
AB +
−−→
AD.
2.2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC +
−−→
OD +
−−→
OE +
−→
OF =
−→
0
2.3 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.
a) Tìm hiệu
−−→
AM −
−−→

−→
BA −
−−→
BC|; |
−−→
OB −
−−→
DC|.
ĐS: |
−→
AB +
−−→
AD = a
√
3|; |
−→
BA −
−−→
BC| = a
√
3; |
−−→
OB −
−−→
DC| =
a
√
3
2
2.5 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy tính |

BF +
−−→
CD.
2.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng
−→
AC +
−−→
DE −
−−→
DC −
−−→
CE +
−−→
CB =
−−→
CB.
2.8 Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng
minh rằng với điểm O bất kỳ ta có
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC =
−−→
OM +
−−→
ON +
−→
OP

CB| = |
−→
CA −
−−→
CB| thì tam giác ABC
vuông tại C.
2.12 Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh
−→
AB +
−−→
BC +
−−→
CD =
−→
AE −
−−→
DE.
2.13 Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ
−→
OA +
−−→
OB nằm trên
đường phân giác của

AOB ?
2.14 Cho 2 lực
−→
F
1
và

−−→
BD =
−−→
ME +
−−→
F N
2
3 Sử dụng tích vec tơ với số thực
3.1 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD = 2
−→
AC
3.2 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ
−→
AB,
−−→
BC,
−→
CA theo hai vec tơ
−→
u =
−−→
AK,
−→
v =

−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC = 4
−−→
OD với O tùy ý.
3.5 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng
minh rằng
2
−−→
MN =
−→
AC +
−−→
BD =
−−→
BC +
−−→
AD.
3.6 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho
3
−−→
KA + 2
−−→
KB =
−→
0 .
3.7 Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho

−→
AF . Hãy phân tích các vec
tơ
−→
AI,
−→
AG,
−→
AE,
−−→
DC theo hai vec tơ
−→
u ,
−→
v .
ĐS:
−→
AI =
1
2
−→
u +
1
2
−→
v ;
−→
AG =
2
3

1
3
−→
u +
2
3
−→
v .
3.12 Cho ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh
AC sao cho AK =
1
3
AC. Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
ĐS:
−−→
BK =
4
3
−→
BI.
3.13 Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi
−−→
BC +
−−→
MA =
−→
0 ;
−→
AB −
−−→


lần lượt là trọng tâm của hai ABC và A

B

C

thì
3
−−→
GG

=
−−→
AA

+
−−→
BB

+
−−→
CC

3.17 Cho ABC có D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G biết
−→
AG = 2
−−→
GD.
3.18 Cho 2 điểm A và B. Tìm điểm I sao cho


+
−−→
CC

=
−→
0 thì hai tam giác đó
có cùng trọng tâm.
3.21 Cho hai vec tơ không cùng phương
−→
a và
−→
b . Dựng các vec tơ a) 2
−→
a +
−→
b ; b)
−→
a − 2
−→
b
c) −
−→
a +
1
2
−→
b .
3.22 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O và cạnh a.

AM theo
−→
AB và
−→
AC.
ĐS:
−−→
AM =
1
2
−→
AB +
1
2
−→
AC.
3.24 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của M N . Phân tích
−−→
AK theo
−→
AB và
−→
AC.
ĐS:
−−→
AK =
1
4
−→


, BB

, CC

đồng quy.
3.26 Cho ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI =
1
4
CA, J là điểm thỏa
−→
BJ =
1
2
−→
AC −
2
3
−→
AB.
a) Chứng minh
−→
BI =
3
4
−→
AC −
−→
AB.
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

−−→
CB.
b) Tìm điểm M sao cho
−−→
MA +
−−→
MB + 2
−−→
MC =
−→
0 .
ĐS: a) K là trọng tâm của ABC; b) M là trung điểm IC với I là trung điểm AB.
3.31 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
−−→
HA +
−−→
HD = 2
−−→
HO;
−−→
HA +
−−→
HB +
−−→
HC = 2
−−→
HO;

a) AB = AB nếu
−→
AB cùng hướng với
−→
e .
b) AB = −AB nếu
−→
AB ngược hướng với
−→
e .
c) AB + BC = AC.
4.3 Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A;
−→
i ;
−→
j ) trong đó
−→
i và
−−→
AD
cùng hướng,
−→
j và
−→
AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai
đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm M của CD.
4.4 Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3,

BAD = 60
◦

điểm C.
ĐS: C(0; 4).
5
4.13 Cho A(−2; 1), B(4; 5). Tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành với
O là gốc tọa độ.
ĐS: C(2; 6).
4.14 Viết tọa độ của các vec tơ sau:
−→
a = 2
−→
i + 5
−→
j ;
−→
b =
5
3
−→
i − 5
−→
j ; c = 3
−→
i ;
−→
d = −2
−→
j .
4.15 Viết vec tơ
−→
u dưới dạng

−→
b .
4.17 Xét xem các cặp vec tơ sao có cùng phương không ? Trong trường hợp cùng phương thì
xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng
a)
−→
a = (2; 3),
−→
b = (−10; −15) b)
−→
u = (0; 7),
−→
v = (0; 5)
c)
−→
m = (−2; 1),
−→
n = (−6; 3) d)
−→
c = (3; 4),
−→
d = (6; 9)
4.18
a) Cho A(−1; 8), B(1; 6), C(3; 4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
b) Cho A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
4.19 Cho bốn điểm A(−2; −3), B(3; 7), C(0; 3), D(−4; −5). Chứng minh AB  CD.
4.20 Cho ABC. Các điểm M(1; 1), N(2; 3), P (0; −4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
4.21 Cho hình bình hành ABCD. Biết A(2; −3), B(4; 5), C(0; −1). Tìm tọa độ của đỉnh D.
4.22 Cho ABC đều có cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;

giác biết độ dài cạnh của lục giác là 6.
5 Một số dạng tổng hợp
5.1 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD. Nối AF và CE, hai đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh
−−→
DM =
−−→
MN =
−−→
NB.
5.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ
−−→
EH và
−→
F G bằng
−−→
AD. Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.
5.3 Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ
a)
−→
u =
−→
AB +
−−→
DC +
−−→
BD +
−→
CA b)
−→

−→
AE +
−→
AF +
−−→
AN +
−−→
MN.
5.7 Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện |
−−→
MA +
−−→
MB| = |
−−→
MA −
−−→
MB|. Chứng
minh rằng OM =
1
2
AB với O là trung điểm của AB.
5.8 Cho ABC và M tùy ý. Chứng minh
−→
v =
−−→
MA + vtMB −2
−−→
MC không phụ thuộc vào vị
trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
−−→

AD,
−→
v =
−→
AB.
5.11 Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ (O;
−→
i ;
−→
j ) sao cho
−→
i
và
−→
OC cùng hướng,
−→
j và
−−→
OB cùng hướng.
a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của ABC.
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I’ của I qua tâm O. Chứng minh A, I’, D thẳng hàng.
d) Tìm tọa độ của các vec tơ
−→
AC,
−−→
BD,
−−→
BC.
7