MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải
hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục
tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên môn Toán năm
2005, tr. 1).
Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:
“Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”.
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh”.
1.2. Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh, có thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy
học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các
bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học
sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt
động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học
Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối
với chất lượng dạy học Toán.
1
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông
có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học
sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những

và các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc -
Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần
Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá!
(2002) đều sắp xếp sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức.
Cách sắp xếp sai lầm dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức như các tác giả
nói trên chưa thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả
các kiểu sai lầm cho học sinh. Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu sai lầm
thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy,
sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng,
Có thể nói, cho đến nay chưa có một công trình nào nghiên cứu sai lầm
của học sinh khi giải Toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét
các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán học.
Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của
Luận văn là:
“Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải
Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông trong giải
Toán Đại số và Giải tích mà các công trình nghiên cứu trước đây hoặc chưa đề
cập, hoặc chưa phân tích một cách sâu sắc và đề xuất các quan điểm khắc phục.
3
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu làm sáng tỏ được các dạng sai lầm của học sinh Trung học phổ thông
khi giải Toán Đại số và Giải tích, thì có thể đề xuất được các quan điểm để
phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm này, góp phần nâng cao chất lượng
dạy học Toán ở trường phổ thông.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
4.1. Trong giải Toán Đại số và Giải tích, học sinh thường mắc phải một số
kiểu sai lầm phổ biến nào?

6. Đóng góp của Luận văn
Chương 1. Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh
Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
1.1. Một số công trình có liên quan
1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi
giải Toán
1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán
Đại số và Giải tích
1.4. Kết luận Chương 1
Chương 2. Góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học
sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai
lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
2.4. Kết luận Chương 2
5
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm
Kết luận
Những công trình của tác giả hoặc đồng tác giả đã được công bố
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

6

dễ hiểu hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh để từ đó họ có ý thức phòng tránh
các sai lầm này, mặt khác chưa đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp như:
sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan
đến phân chia trường hợp riêng,
Như vậy trên phương diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã được nghiên cứu ở một mức độ nào đó.
Tuy nhiên chưa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ
hoạt động toán học, xem xét các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành
các hoạt động toán học. Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm
của học sinh khi giải Toán thường xem xét theo phương diện chủ đề kiến thức,
còn cách tiếp cận của Luận văn này sẽ theo phương diện khác, đó là phương diện
hoạt động.
1.2. SỰ CẦN THIẾT PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI
LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A. A. Stôliar, 1969, tr. 12) là một
luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của
học sinh là hoạt động giải bài tập Toán. Trình độ học Toán của học sinh đến mức
độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán. Vai trò của bài tập trong
dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên
cứu về phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ
thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu
(1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)). Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P. M.
Ecđơnnhiev trong [67]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình
dạy học Toán". Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập
với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học
8
sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng
có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và
định lí toán học.
Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải

bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
1.3.1.1. Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của
cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi
giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh
quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình
m(x + m) = x + 1
(?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m
2
từ đó rút ra
2
1 m
x
m 1
−
=
−
. Để phép chia có nghĩa thì phải có điều kiện m
1≠
. Kết luận: m
1≠
và x = - m - 1.
(!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phương trình có nghiệm, mà
đây là bài toán giải và biện luận phương trình. Khi giải và biện luận phương
trình, kể cả trường hợp phương trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét.
Giả sử có điều kiện m
1≠
thì ta thực hiện được phép chia 1 – m
2
cho m - 1,

(?): Bất phương trình
⇔
mx - m
2
+ 3m
≥
mx - 2m +6
⇔
m
2
– 5m + 6
≤
0
⇔
2
≤
m
≤
3
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2
≤
m
≤
3.
(!): Thực ra
2 m 3≤ ≤
chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ
không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất
phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu
biện luận.

Ví dụ 5: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: y =
x
x m−
(?): Học sinh cho rằng đường thẳng x = m là tiệm cận đứng và đường
thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
(!): Thực ra khi m = 0 thì
x
y 1
x
= =
với tập xác định
x 0≠
. Lúc này đồ thị
của y là đường thẳng y = 1 bỏ đi một điểm. Không thể xem đường thẳng
x m 0
= =
(tức trục tung) là tiệm cận đứng được. Theo nghĩa rộng ta có thể xem
y = 1 là tiệm cận ngang.
1.3.1.3. Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép
biến đổi tương đương
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
lg(x
2
+ 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
(?): (1)
⇔
lg(x
2
+ 2mx) = lg(x - 1)
⇔

+ >

− >

, hay nói gọn hơn là,
phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
12
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x
2
+ x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất
một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:
0
b
1
2a
∆ =



− >


và
2 1
0
x 1 x
∆ >


> ≥

2x ay 5 0
− + =


+ + =

có nghiệm
Ta có: D = a + 4; D
x
= - a – 10; D
y
= - 3.
13
Nếu a
≠
- 4 hệ có nghiệm
a 10
x
a 4
3
y
a 4
+

= −


+



t
5
= −
. Nghĩa là trong
trường hợp a = - 4, E đạt giá trị nhỏ nhất bằng
9
5
tại các điểm x, y bất kì thỏa
mãn điều kiện 5x – 10y – 11 = 0.
1.3.1.5. Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác
không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia
Ví dụ 9: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình

x a x 2a x 3a− − − > −
(1)
(?): Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số
a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩ
nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biến
đổi
(1
)
⇔
( ) ( )
x a x 2a x 3a 4a x 2 x 2a x 3a
− > − + − ⇔ − > − −

⇔
2 2
3a x 4a
3x 12ax 8a 0

3x 12ax 8a 0
≤ <


− + <

a(6 2 3)
3a x
6
+
⇔ < <
TH 3: Nếu a < 0, điều kiện của x là x ≥ a, khi đó (1) tương đương với
4a – x >
( ) ( )
2 x 2a x 3a− −
.
Vì a < 0 và x ≥ a nên
4a x 3a (a x) 0− = + − <
, do đó bất phương trình này
vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan
trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện:
x a≥
;
x 2a≥
;
x 3a
≥
. Phần sau của Luận văn sẽ trở lại vấn đề này.
1.3.1.6. Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường

>



. Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3:
15
x
1
≤ 3 < x
2

af(3) 0
5
m 3 3
S
2
3
2
≤


⇔ ⇔ < ≤ +

>


là điều kiện cần tìm.
(!): Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài toán, với


( ) ( ) ( )
2 2 2
a b a b a b+ = + = +
; log
c
(a.b) = log
c
a.log
c
b;
m n m.n
a. a a=
;
(-x)
n
= - x
n
(không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ),
−
=
1
1
f (x)
f(x)
; cos
4
x =
2
1 cos 2x

. Đặt u =
2
1 dx
du
ln x
x(ln x)
−
⇒ =
; v = lnx
dx
dv
x
⇒ =
.
Theo công thức nguyên hàm từng phần I =
udv uv vdu
= −
∫ ∫
ta có
I =
2
1 1
.ln x ln x. dx
ln x
x(ln x)
 
− −
 ÷
 
∫

nhiên, ít học sinh có thể thấy được (2) một cách trực giác và chứng minh (2)
bằng định nghĩa của
k
n
C
, học sinh không hiểu bản chất là, một tập X (gồm n
phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k (
k n
≤
) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con
gồm
n k−
phần tử .
Ví dụ 14: Khi học xong định lí về giới hạn hàm số, học sinh trả lời nhanh
kết quả tính
2
x 1
x 2x 1
lim
x 2
→
+ +
+
với một cách suy nghĩ hình thức là thay giá trị x = 1
vào
2
x 2x 1
x 2
+ +
+

+ +
+
có cực đại lớn hơn cực tiểu.
Nhưng thực ra, nếu hàm số có cực trị thì giá trị cực tiểu lại lớn hơn giá trị cực
đại.
1.3.2.4. Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái
niệm khác có những từ gần giống
Ví dụ 17: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do
bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính
chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa
không chẵn, vừa không lẻ.

1.3.2.5. Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ
của ngôn ngữ tự nhiên
Ví dụ 18: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm)
b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3)
c.
∃
ngày như
∀
ngày (một ngày như mọi ngày)
1.3.2.6. Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn
Ví dụ 19: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết
2
x x=
; học sinh
còn cho rằng
= ±36 6
.
Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,

x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
−
có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó thì
học sinh phiên dịch thành hai khoảng đồng biến là
( ) ( )
−∞ ∪ + ∞; 2m 2m;
. Hoặc
ngay cụm từ “miền giá trị” và “tập giá trị” học sinh hiểu là như nhau, nhưng ta
thấy từ “miền” có thể vô hình gợi ý cho học sinh hình dung rằng một đoạn hay
một khoảng hữu hạn hay vô hạn điều này thường xảy ra đối với các hàm sơ cấp.
Nhưng với hàm “phần nguyên của x” :
[ ]
x
, xác định bởi quy tắc là số nguyên
lớn nhất không vựơt quá x và nói rằng miền giá trị của hàm
[ ]
x
là tập hợp số
nguyên Z gọi là tập giá trị, gọi như vậy e có phần lủng củng.
1.3.3. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan
Ví dụ 21: Tìm m để hàm số
2
x 2mx 5
y
x 1
− + −


∆ = + − <

, 2
m 3
1 15 m 1 15
m 2m 14 0
(!): Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng cực đại, cực tiểu nằm về
hai phía của một đường thẳng nghĩa là đồ thị
hàm số không cắt đường thẳng
y 2x=
. Nhưng
thực ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại
hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm cực
tiểu vẫn nằm khác phía so với đường thẳng y =
2x.
Lẽ ra học sinh phải giải như sau: Hàm số
có cực đại và cực tiểu tương đương với m < 3.
Gọi A
( )
1 1
x ; y
, B
( )
2 2
x ; y
là các điểm cực trị
của đồ thị hàm số. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = - 2x
+ m, khi đó
1 1

x 1
y
x
+
=
. Tìm hai điểm A, B thuộc về hai nhánh
khác nhau của đồ thị sao cho AB có độ dài ngắn nhất.
(!): Thông qua hình vẽ trực quan học sinh dự đoán rằng hai điểm cần tìm
là: điểm cực đại và điểm cực tiểu, khi đó AB =
2 5
; sau đó cố gắng chứng minh
A, B là hai điểm cần tìm. Nhưng thực tế không phải như vậy!
(?): Ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị là x = 0. Vì hai điểm nằm về hai phía
của tiệm cận, nên thực chất bài toán quy về tìm 0 < a < b sao cho

( )
2
2 2
2
b 1 a 1
M b a
b a
 
 
+ +
 
= − + −
 ÷
 
 

 
+ + ≥ + = +
 ÷
 
M đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
a
2 2
= −
,
1
b
2 2
=

Kết quả cuối cùng của bài toán cho thấy A, B không phải hai điểm cực trị
như dự đoán ban đầu!
Ví dụ 23: Giải phương trình:
x
1
16
1
log x
16
 
=
 ÷
 

(?): Với x > 0, hàm số y = f(x) =

4
−
; g(2) =
2
1
16
 
 ÷
 
nên giao điểm của hai
đồ thị nằm trên đường thẳng y = x. Do đó việc giải phương trình đã cho được
quy về giải phương trình
x
1
x
16
 
=
 ÷
 
, nghiệm của phương trình x =
1
2
hoặc
1
x
4
=
(!): Nhưng ta thấy rằng với nghiệm x =
1 1

thôi.
Xin dẫn ra mệnh đề đúng “cho hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến; hàm
ngược của nó là y =
1
f (x)
−
. Nếu đồ thị (C): y = f(x) và
,
(C )
: y =
1
f (x)
−
có điểm
chung M(
0 0
x ; y
) thì M nằm trên đường phân giác y = x”.
Ví dụ 24: Cho (P): y =
2
x 2x 3− +
và đường thẳng d: y = 2x + m. Xác
định m để (P) cắt d tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho AB = 2.
(?): Phương trình hoành độ
giao điểm của của (P) và d là
2
x 4x 3 m− + =
(1).
23

sao cho AB = 2, do trực quan học sinh nhầm tưởng hai giao điểm của d với (P)
và hai giao điểm của (P
1
) với d
1
có cùng tọa độ giao điểm, nhưng thực ra chỉ có
cùng hoành độ chứ không có cùng tung độ.
Lẽ ra bài toán phải được giải như sau: Hoành độ giao điểm của của (P) và
d là nghiệm của phương trình
2
x 4x 3 m− + =
(1), phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
⇔
m > - 1. Gọi A(
+
1 1
x ; 2x m
); B(
+
2 2
x ; 2x m
), khi
đó
( ) ( )

nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và
vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi
suy luận chứng minh) [57].
Ví dụ 25: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái
niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai
lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm
của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc
khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu
nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các
họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả:

⇔
x = k.
2
Π
; x =
Πk
3
; x =
Πk.

Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây
là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình:
sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k360
0
hoặc x = 60
0
-