BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Quang Minh Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết
rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm vi của đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì học sinh chưa
được nghiên cứu ngành toán học này . Trong trường hợp đó, đ ường thẳng, mặt
phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệ u còn cách tiếp
cận nào khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh
hưởng ra sao đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh?
Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi :
- Q’1
: Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và
các vấn đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ?
- Q’2
: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung
này xuất hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong
việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh
hưởng gì đến việc học HHGT của học sinh?
Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà
chúng tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi
trên.
Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán
hiện đang được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một
sự thay đổi quan trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian
chỉ được dạy ở lớp 12, sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt
phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây,
chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ này.
Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò của công cụ vectơ trong
dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn chúng tôi đến với
việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung HHGT dạy ở
lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của v ectơ trong việc nghiên cứu
quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong

HHGT cùng với quan hệ vuông góc trong không gian.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ
thể, chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau:
3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic)
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho
học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời
gian tồn tại trên địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần
phải chọn lựa, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một
mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình
biến đổi một đối tượng tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc
quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi,
tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và
các tác giả SGK.
Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa
học và tri thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt
phẳng, vị trí tương đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng
giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số
ràng buộc của thể chế dạy học ở phổ thông đối với các kiến thức nêu trên.
3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho
phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng
cũng như mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “… Một đối tượng
tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ
và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều
kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng
này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể
chế đang xét.”
3.3. Quan hệ thể chế
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

nhân X duy trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho
phần trả lời cho câu hỏi Q’2
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của
luận văn
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất
phát Q’2 được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau:
Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông,
vectơ được đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế
nào với những vấn đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về
đường thẳng và mặt phẳng?
Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK
hình học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực
hiện trong việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công
cụ vectơ trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng?
Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian
vào như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các
kiến thức thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc?
Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về
các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của
chúng tôi một nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích
lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho
phép giải quyết, những vấn đề, những quan niệm gắn liền với nó, …) là không thể.
Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng
tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo trình đại học . Cách làm này vẫn thường
được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic toán, với giả thuyết rằng tri thức
trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác học. Chúng tôi đặt ra cho
mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi Q1, Q2, Q3.
Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành
như thế nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc
xây dựng đó?

Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương
trình đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian?
Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm.
Chương cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả
đạt được từ nghiên cứu này.
Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt
bằng sơ đồ dưới đây.
NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
(tham khảo)
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
Quan điểm so sánh
Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế
NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM
Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN

1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng
1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một
đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” không tượng trưng. Ông cho rằng
nếu tọa độ x và y của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một
hằng số và có một tỉ lệ cho trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M
nằm trên một đường thẳng.
1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình
biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một
phương trình và đi xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó.

2
– ax = by, viết c
2
dưới
dạng ad và nhận được phương trình
b dx
=
ay
−
. Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là
MZ, từ đó, ông nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ
MZ

ZT
và ông kết luận chúng,
như một sự chứng minh đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.
Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất
cả những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã
chỉ ra là một trường hợp.
Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a
2
biểu diễn một hyperbol và
tổng quát kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y,
một số hạng xy và một hằng số, ông đi đến phương trình đường thẳng . Fermat
khẳng định rằng quỹ tích của tất cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi
những số hạng x
2
, y
2
và xy, không có số hạng hằng số, là một đường thẳng.

Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa
phương trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai
khó khăn sau :
Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc không có
duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay
tất cả các phương trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến
những chữ chỉ biểu diễn những số dương, vì vậy không có một cách viết nào tính
đến đồng thời hai phương trình ax – c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c không
phải cùng một thứ như nhau.
Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải
quyết những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các
trường hợp hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết
luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu
chúng ta thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ.
Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các
trục cho trước làm phức tạp nhiều cho bài toán…
Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử
xác định phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên
nghiệm một phương trình cho trước vì không có trục cho trước và phương trình
được xem xét có tất cả các nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên
một quỹ tích nào đó xác định cùng một phương trình.
Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, không chỉ
cần phải chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng
một phương trình, như Fermat đã làm ở đây mà còn phải chứng minh rằng đó là
những điểm duy nhất xác định phương trình này.
Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm
thì không được xem xét, ông chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc
phần tư thứ nhất (x
≥
0 và y

những đường thẳng như x
2
= y
2
hay x
2
+ axy = by
2
.
1.1.3. Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu
thế kỷ XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ
trục tọa độ không phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa
độ âm cho phép đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định
phương trình của một đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình
hoặc những phương trình của một đường.
Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đầu tiên được đề cập trong
tác phẩm của Lagrange xuất hiện năm 1770. Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất
hiện trong cùng năm đó, một của hầu tước L’Hospital và một của Marie-Gaetana
Agnesi, các tác giả đưa ra ba phương trình đường thẳng:
y = ax + b, y = – ax + b, y = ax – b.
Phương trình y = – ax – b không được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó
không đi qua góc phần từ thứ nhất.
Cuối thế kỷ XVIII, những phương pháp xử lí giải tích của những đường cong
trong mặt phẳng hay không gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều
SGK và trong cả chương trình phổ thông.
1.1.4. Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng
phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm
khác của phương pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành
bài toán đại số, với phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạ m vi
hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi

V được kí hiệu là
f(M, N) =
MN

với các điểm M, N thuộc A và vectơ
MN

thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:
i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ
u

thuộc V có duy nhất điểm N thuộc A sao cho
MN

=
u

.
ii) Với mọi ba điểm M, N, P thuộc A ta luôn có
MN

+
NP

=
MP

.
Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trên trường K và



được gọi là cái phẳng afin
α
đi qua điểm I và có phương là
α


{ }
α M | IM α
=∈∈
A
   
.
Nếu
α

có số chiều bằng m thì
α
gọi là cái phẳng m chiều (được gọi tắt là phẳng m chiều) hay
còn gọi là m – phẳng.
Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt phẳng còn n –
phẳng của không gian afin n chiều A
n
chính là A
n
. Nếu dimA = n thì
(n – 1) – phẳng còn được gọi là siêu phẳng của không gian đó. (trang 12)
Trong cách xây dựng này, phương trình tham số của m – phẳng được xây dựng
dựa vào tính chất của không gian vectơ. Một m – phẳng hoàn toàn được xác định

X(x
1
, x
2
,…, x
n
)
∈
A
m

⇔

m
0
AX∈V
⇔

0 101 202 m0m
AX tAA tAA t AA= + ++
   

Với t
1
, t
2
,…, t

0i

+ t
1
(a
1i
– a
0i
) + t
12
a
2i
– a
0i
) + … + t
m
(a
mi
– a
0i
) với i = 1, 2,…, n. (trang 14)
Điều kiện quan trọng trong cách xây dựng trên là m – phẳng được xác định bởi
m + 1 điểm A
0
, A
1
,…, A
m
độc lập, tức là hệ m vectơ {
0i

n
(ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
+ b = 0
trong đó hạng của ma trận (a
1
, a
2
,…, a
n
) bằng 1, tức là có ít nhất một a
i

≠
0. Trong
không gian afin không có khái niệm vectơ pháp tuyến vì không xét đến quan hệ
vuông góc.
Xét trường hợp n = 2 và n = 3.
Với n = 2, 1 – phẳng là đường thẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó, theo

()
x a tb a
y a tb a
=+−


=+−

.
Khử tham số t trong phương trình tham số ta có phương trình tổng quát của d.

Với n = 3, 1 – phẳng là đường thẳng và 2 – phẳng là mặt phẳng và cũng chính
là siêu phẳng. Khi đó phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường
thẳng và mặt phẳng được xây dựng hoàn toàn như trường hợp n = 2. Chỉ khác là
phương trình tổng quát của đường thẳng được tạo bởi từ hai phương trình tuyến tính
bậc nhất ba ẩn.
Như vậy, vectơ với vai trò công cụ trong việc thiết lập phương trình m – phẳng
được sử dụng theo tinh thần của đại số tuyến tính.
1.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Ơclit
Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều.
Các định nghĩa có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ :
1)
a

.
b

= |
a


⊥
b


⇔

a

.
b

= 0. (trang 87)
Không gian ơclit ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở bậc
phổ thông được kí hiệu là E
3
. Trong không gian này, mặt phẳng ơclit là không gian
ơclit hai chiều và được kí hiệu là E
2
. Các không gian
3
E
 
và
2
E
 
là không gian các
vectơ tự do ba chiều và hai chiều. Tích vô hướng trong không gian
3
E

n
giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng
α
có phương trình
a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ … + a
n
x
n
+ a
0
= 0.
Gọi
α

là phương của siêu phẳng
α
. Ta xét vectơ
( )
12 n
n= a , a , , a


+ a
0
= 0 vectơ pháp tuyến là
( )
12
;n aa=


a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ a
3
x
3
+ a
0
= 0 vectơ pháp tuyến là
( )
123
;;n aaa=

.
Giáo trình không đưa ra cách vi ết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp

31
x
x
x
−
−
−= =
−

Đường thẳng này có vectơ chỉ phương
(1, 3, 1)a = −

.
Mặt phẳng R đi qua M(1, 2, 3) và vuông góc với đường thẳng
∆
nên có phương trình dạng:

1 23
30x xxb+ − +=
.
Vì M
∈
R nên ta có: 1 + 6 – 3 + b = 0
⇒
b = - 4.
Vậy mặt phẳng R có phương trình là:
1 23
3 40x xx+ − −=
.
1.2.3. Kết luận : hai cách tiếp cận để giải quyết bài toán lập phương trình

Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trò chính trong việc xác định
phương và chiều của cái phẳng. Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến
tính với nghĩa tổng quát của khái niệm không gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là
một trường hợp đặc biệt của nó.
• Tiếp cận hình học
Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện trong không gian ơclit hai chiều và ba
chiều của ình học ơclit. Ở đó phương của đường thẳng và mặt phẳng được định
nghĩa dựa vào đặc trưng định phương của vectơ hình học . Cách thiết lập phương
trình của đường thẳng và mặt phẳng dựa vào điều kiện cùng phương hoặc điều kiện
trực giao của hai vectơ.
Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan của vectơ hình học đóng vai trò
chính trong việc xác định phương của đường thẳng, mặt phẳng. Tuy nhiên, khi viết
phương trình thì người ta hoàn toàn tính toán đại số trên toạ độ.
Như vậy, về phương trình đường thẳng và mặt phẳng có ít nhất là hai cách
chuyển đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông,
một theo cách tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học. Cụ thể
a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:
- Tiếp cận hình học: Phương trình đư ờng thẳng được lập bằng phương pháp
vectơ (sử dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận
phương trình siêu phẳng (n – 1) – phẳng là phương trình bậc nhất n ẩn:
a
1
x
1
+ a
2
x
2


+ + +=

.
Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thì không thể thiết lập được phương trình
tham số của đường thẳng và mặt phẳng mà chỉ có thể chuyển từ phương trình tổng
quát sang phương trình tham số.
1.3. Về vị trí tương đối gữa đường thẳng và mặt phẳng
Vị trí tương đối giữa các phẳng trong không gian afin và không gian ơclit được
định nghĩa như sau :
Trong không gian afin A
n
cho p – phẳng A
p
có phương là V
p
và q – phẳng A
q
có phương là V
q
.
Ta giả sử p
≤
q. Căn cứ vào phương chung V
p

∩
V
q
và điểm chung A
p

p

∩
A
q
=
∅
thì A
p
, A
q
gọi là chéo nhau (hoàn toàn).
b) V
p

∩
V
q
= V
r
với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng A
p
, A
q
có phương chung
(hay A
p
cùng phương với A
q
).

V
q
ta nói rằng A
p
cùng phương với A
q
và nếu A
p

∩
A
q

≠∅

ta nói rằng A
p
bị chứa trong A
q
(A
p

⊂
A
q
) còn nếu A
p

∩
A

β
gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu
α
⊥
β
nếu hai không gian
vectơ
α

và
β

trực giao với nhau (mọi vectơ thuộc
α

đều trực giao với mọi vectơ
thuộc
β

).
• Hai phẳng
α
và
β
gọi là bù vuông góc với nhau nếu
α

và
β


toàn. Khái niệm vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ở phổ thông chính là sự
bù vuông góc theo định nghĩa trên.
1.4. Kết luận
1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt
phẳng
- Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp
nhiều khó khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp
của Fermat là việc gán một phương trình (đại số) bởi một đường.
- Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hoàn toàn thoát
khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá
trình tìm tòi lời giải bài toán.
- Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải
quyết. Việc nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng
vẫn ở lại trong phạm vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp
cận hoàn toàn dựa vào không gian vectơ.
Như vậy, vectơ đã đóng một vai trò công cụ tối quan trọng trong việc nghiên
cứu hình học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
1.4.2. Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp cận phương trình đường
thẳng, mặt phẳng
- Vectơ là một phần tử của không gian vectơ thỏa mãn các tiên đề của không
gian afin hay không gian ơclit.
- Phương trình m – phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính.
Việc thiết lập nó và các vấn đề liên quan hầu hết đều phải sử dụng tọa độ. Chính vì
thế mà các đặc trưng định hướng (phương và chiều) và đặc trưng độ dài của vectơ
tự do là không được thể hiện trong việc xây dựng phương trình của m – phẳng.
Ngoài ra, đặc trưng định phương và đặc trưng độ dài của vectơ tự do cũng hoàn
toàn không được sử dụng trong vấn đề xét vị trí trương đối của các phẳng và quan
hệ vuông góc giữa chúng. Công cụ vectơ để thiết lập phương trình đường thẳng,
mặt phẳng và xét vị trí tương đối của chúng ở cấp độ tri thức khoa học hoàn toàn
được thể hiện theo tinh thần vectơ của đại số tuyến tính.

Những kết quả có được trong chương I sẽ là cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân
tích thực hiện ở chương này.
Ngoài ra, như đã nói khi trình bày phương pháp luận nghiên cứu, chúng tôi sẽ phân
tích hai cuốn SGK Toán hiện đang được sử dụng ở Mỹ cho các lớp 10 và 12, nhằm
hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho việc làm rõ mối quan hệ của thể chế
Việt nam đối với công cụ vectơ trong dạy học đường thẳng, mặt phẳng.
PHẦN A
VECTƠ VỚI VẤN ĐỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG,
MẶT PHẲNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở MỸ

Chương trình trung học ở Mỹ có ba cuốn sách, trong đó các nội dung về hình
học chỉ nằm trong hai cuốn của cùng một chương trình (không có SBT):
• GEOMETRY, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 10 ở Việt Nam), ta kí
hiệu là M1. Cuốn này hoàn toàn viết về hình học.
• PRECALCULU, 2007 (tương đương với sách Toán lớp 12 ở Việt Nam), ta
kí hiệu là M2. Cuốn này bao gồm Graphical, Numerical và Algebraic.
Với việc nghiên cứu quan điểm vectơ với vai trò công cụ trong nghiên cứu
đường thẳng, mặt phẳng chúng tôi sẽ phân tích vectơ trong hệ thống tri thức đó.
Ngoài ra, trong hai cuốn sách trên không trình bày quan hệ vuông góc trong không
gian nên chúng tôi chỉ phân tích vấn đề phương trình của đường thẳng, mặt phẳng.
Thứ tự trình bày các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng
trong M1 và M2 như sau:
…
→
Phương trình đường thẳng (M1)
→
Vectơ (M1)
→
Nhắc lại và bổ sung phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (M2)
→