Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Phần một
đặt vấn đề
1. Cơ sở lí luận
Trong môn toán ở bậc tiểu học các bài toán đố có một vị trí rất
quan trọng . Một phần lớn thời gian học toán của học sinh dành cho việc
học giải các bài toán ấy . Kết quả học toán của học sinh cũng đợc đánh
giá trớc hết qua khả năng giải toán . Học sinh biết giải thành thạo các
bài toán là tiêu chuẩn để đánh giá trình độ toán học của mỗi học sinh .
Sở dĩ việc giải toán có vị trí quan trọng nh trên là vì nó có những tác
dụng rất lớn và toàn diện nh :
Việc giải toán giúp học sinh củng cố , vận dụng và hiểu sâu sắc
thêm tất cả các kiến thức về số học ,về đo lờng và các yếu tố đại số ,
về các yếu tố hình học đã đợc học trong môn toán ở tiểu học . Hơn
thế nữa phần lớn các biểu tợng , khái niệm , qui tắc tính chất toán học
ở tiểu học đều đợc học sinh tiếp thu qua con đờng giải toán chứ không
phải qua con con đờng lí luận .
Nếu chỉ nhắm vào một mục đích đơn giản là phấn đấu để
đạt đợc điểm tốt trong môn toán thì chỉ cần giải đúng các bài toán là
đủ . Muốn thực sự trở thành một học sinh giỏi toán thì sau khi đã giải
xong tìm ra đúng đáp số của bài toán thì mỗi học sinh phải tập thêm
cho mình thói quen cha tự bằng lòng mỗi khi đã giải xong bài toán tìm
ra đúng đáp số , ngay cả trong trờng hợp đã thử lại cẩn thận đâu vào
đó học sinh nên suy nghĩ tiếp tục để khai thác bài toán đó bằng
nhiều cách giải khác . Đây là giai đoạn làm việc hoàn toàn có tính
chất sáng tạo nhằm giúp học sinh hiểu sâu thêm bài toán , học một hiểu
mời
Việc đi sâu vào tìm nhiều cách giải khác nhau của một bài toán
có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng , củng cố kiến thức rèn
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 1 -

Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 2 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Phần hai
giải quyết vấn đề
I . những vấn đề cần giải quyết
Trong các môn học không có môn nào lại giúp rèn luyện năng
lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn toán. Thông
qua các nội dung thực tế nhiều hình nhiều vẻ của các đề toán . học
sinh sẽ tiếp nhận đợc những kiến thức phong phú về cuộc sống và
có điều kiện để rèn luyện mình . Việc giải toán bằng nhiều cách
khác nhau còn đòi hỏi học sinh phải biết tự mình xem xét các vấn
đề , tự mình tìm tòi cách giải quyết vấn đề , tự mình thực hiện
các phép tính , tự mình kiểm tra lại các kết quả . Từ đó mà các em
sẽ hiểu rõ hơn " cơ sở toán học " của lời giải và những mối liên hệ
giữa dãy tính gộp của bài toán với các cách giải khác .
Do đó giải toán là cách tốt nhất để rèn tính kiên trì , tự lực vợt
khó , cẩn thận , chu đáo yêu thích sự chặt chẽ , chính xác
Vì những tác dụng to lớn đã nói ở trên nên mỗi giáo viên tiểu học
khi dạy toán cần quan tâm bồi dỡng năng lực toán học cho học sinh
bằng cách khai thác tiềm năng SGK nh :
* Phát triển các năng lực thực hiện các thao tác t duy , phân tích
tổng hợp , so sánh ,khái quát hoá đặc biệt hoá , trừu tợng hoá cụ thể
hoá
* Phát triển năng lực nhìn nhận các vấn đề toán học theo nhiều
góc độ khác nhau
* Phát triển năng lực đánh giá các giải pháp để lựa chọn giải pháp
tối u cho việc giải toán .
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 3 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán

3 . a - ( b + c ) = =
4 . a - ( b - c ) =.=
5 . a x ( b x c ) = =
6 . a x ( b : c ) =.=
7 . a : ( b x c ) = =
8 . a : ( b: c ) =.=
9 . ( a + b) x c = =
10 . ( a - b ) x c =.=
11 . ( a + b ) : c = =
12 . ( a - b ) : c =.=
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 5 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Học sinh vận dụng các tính chất đã học của phép tính cộng , trừ
,nhân , chia dễ dàng thực hiện đợc bài toán nh sau :
1 . a + ( b + c ) = ( a+ b ) +c = ( a + c ) + b
2 . a + ( b - c ) = ( a + b ) - c = ( a - c ) + b
3 . a - ( b + c ) = ( a - b ) - c = ( a - c ) - b
4 . a - ( b - c ) = ( a + c ) - b = ( a - b ) + c
5 . a x ( b x c ) = ( a x b ) x c = ( a x c ) x b
6 . a x ( b : c ) = ( a x b ) : c = ( a : c ) x b
7 . a : ( b x c ) = ( a : b ) : c = ( a : c ) : b
8 . a : ( b : c ) = ( a x c ) : b = ( a : b ) x c .
9 . ( a + b) x c = a x c + b x c .
10 . ( a - b ) x c = a x c - b x c .
11 . ( a + b ) : c = ( a : c ) + ( b : c )
12 . ( a - b ) : c = ( a : c ) - ( b : c )
Từ đó tôi cho học nêu tên các tính chất của phép toán và ghi nhớ
1 . Tính chất giao hoán của phép cộng
2. Tính chất kết hợp

= 56 : 2 - 24 : 2
= 28 - 12 = 16
Nhận xét
Sau khi học sinh giải đợc bài toán này tôi cho các em nhận xét "
cơ sở toán học " của việc tìm nhiều cách giải cho bài toán nói trên là
gì ?
Học sinh dễ dàng nhận ra việc giải toán bằng nhiều cách khác
nhau dựa vào việc biến đổi biểu thức theo các tính chất của 4 phép
tính cộng , trừ , nhân , chia . Nh chúng ta đã biết nội dung bài toán này
thật đơn giản nhng khi dạy cho học sinh , bạn đừng vội cho là học sinh
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 7 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
thấy dễ mà bỏ qua phân tích kĩ lời giải của bài toán . Sau khi phân
tích ta nhìn thấy đợc điều thú vị của bài toán . Nó là nền tảng là cơ
sở vững chắc để học sinh rút ra kinh nghiệm giải qua các bài toán từ
đơn giản đến phức tạp , từ đó để học sinh phát hiện ra Đặc điểm
của ph ơng pháp này . Sau khi tôi cho học sinh luyện tập 1 số bài tập
dạng đơn giản ở SGK , tôi cho các em làm với yêu cầu cao hơn cụ thể
nh bài sau :
Bài toán 3
Tính giá tri của biểu thức theo 8 cách khác nhau
18000 : ( 4x 5 ) x 12 x 10 =
Giải
Học sinh vận dụng các tính chất của các phép tính đã học để
biến đổi biểu thức dới các cách khác nhau nh sau :
Cách 1 : 18000 : ( 4x5 ) x 12 x 10 =
Cách 2 : [18000 : (4x5 )] x 12 x 10 =
Cách 3 : { [ (18000 : 5 ) : 4 ] x 12 } x10 =
Cách 4 : [ (18000 : 5 ) x (12 : 4 ) ] x 10 =

Số bông hoa Lan hái đợc là :
14- 8 = 6 ( bông hoa )
Đáp số 6 bông hoa
B ớc 2 Nhận xét
Với bài toán trên thật đơn giản nhng bạn đọc đừng vội bỏ qua .
Hãy đánh giá rút kinh nghiệm các giải pháp để lựa chọn giải pháp tối u
cho việc giải các bài toán phức tạp hơn đó là việc cần làm của ngời
học toán
Sau khi cho học sinh giải xong 3 cách của bài toán tôi cho học
sinh nhận xét rút kinh nghiệm để tìm ra đặc điểm của cách giải
bài toán , các quy tắc chung để giải bài toán cùng loại đó chính là cơ
sở toán học của việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 9 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Trong cách giải thứ 1 ta lấy số hoa của Hằng (8 bông) cộng với số
hoa của Lan (5 bông ) trớc rồi đi tìm hiệu của tổng số hoa 3 bạn ( 19
bông ) với tổng số hoa của Hằng và Lan . Cách giải này tơng ứng với dãy
tính : 19 - ( 8 + 5 )
Trong cách giải thứ 2 , ta đi tìm tổng số hoa của của Nga và
Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn (19 bông ) và số hoa của
Hồng trớc rồi lấy tổng số hoa đó trừ đi số hoa của Nga ( 5 bông ) .
Cách giải này tơng ứng với dãy tính : ( 19 - 8 ) - 5
Trong cách giải thứ 3 ta đi tìm tổng số bông hoa của Hồng và
Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn ( 19 bông ) với số hoa của
Nga (5 bông ) rồi lấy tổng đó trừ đi số hoa của Hồng ( 8 bông ) thì
đợc số hoa của Lan . Cách giải này tơng ứng với dãy tính
( 19 - 5 ) - 8
Sở dĩ cả 3 cách giải trên đều cho cùng 1 đáp số ( 6 bông ) là do
theo tính chất 1 số trừ đi 1 tổng thì có thể biến đổi dãy tính nh sau :

của bài toán 1 để thực hiện bớc 2
B ớc 2 Lập biểu thức đáp số ( hay dãy tính gộp )
Biểu thức này đợc lập bằng cách thay các giá trị trong biểu thức đã có
trớc đó ở trong lời giải của cách 1 cụ thể nh sau :
Trong lời giải của cách 1 biểu thức cuối cùng của đáp số là :
20,05 = 58,35 - ( 19,55 + 18,75 ) (2)
Giá trị 19,55 đợc thay bởi biểu thức (1) thì biểu thức (3) trở thành
20,05 = 58,35 - [ (18,75 +0,8 ) + 18,75 ] ( 3)
Nhận xét
Sau khi thay nh vậy ta có biểu thức (3) chứa các giá trị đã cho
của bài toán gọi ( 3) là biểu thức đáp số .các giá trị trong biểu thức
đáp số đợc lập chứa và chỉ chứa các giá trị đã cho trong đề bài toán
B ớc 3 Biến đổi biểu thức đáp số
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 11 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Để có nhiều cách giải thì cần phải có nhiều biểu thức đáp số tơng
ứng . Giáo viên hớng dẫn học sinh vận dụng các tính chất của phép toán
để biến đổi biểu thức ( 3)
- áp dụng tính chất 1 số trừ đi 1 tổng ta có :
58,35 - [ (18,75+0,8 ) + 18,75 ] =
= (58,35 - 18,75)- ( 0,8 + 18,75 ) Kết quả 2
= 58,35 - (18,75+0,8 ) - 18,75 Kết quả 3
Nếu ta coi biểu thức đáp số là kết quả 1 thì sau khi vận dụng
các tính chất của phép tính ta lại có thêm đợc 2 kết quả tơng ứng với 2
cách giải khác
B ớc 4 . Đặt câu lời giải cho từng phép tính
- Mỗi bài giải đều có 2 phần chủ yếu xen kẽ là :
- Các câu lời giải
- Các phép tính giải

cách giải sẽ tơng ứng với 3 câu trả lời hoặc 2 câu trả lời thì tơng ứng
với phép tính gộp
2 .Dạng chỉ có phép tính nhân và chia
Để giúp học sinh nắm chắc về đặc điểm của phơng pháp tìm
nhều cách giải của 1 bài toán và rèn kĩ năng biến đổi biểu thức có
chứa phép nhân và chia tôi còn đa thêm 1 số dạng bài tập khác và
nâng cao hơn cho học sinh luyện tập thực hành , có dịp so sánh các
cách giải đó chọn ra cách hay hơn và tích luỹ đợc nhiều kinh nghiệm
để giải toán .
Bài toán 3
Mỗi ngời ăn hết 450 gam gạo trong 1 ngày . Một gia đình có 4 ngời ăn
trong 1 tháng ( 30 ngày ) hết bao nhiêu gạo ?
Tóm tắt :
1 ngời ăn trong 1ngày 450 gam gạo
4 ngời ăn trong 30 ngày ? gạo
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 13 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Sau khi cho học sinh phân tích bài toán các em đều hiểu và có ngay
lời giải thứ nhất của bài toán ( đó là bớc 1)
Giải
Số gạo của 4 ngời ăn trong 1 ngày là :
450 x 4 = 1800 gam
Số gạo của 4 ngời ăn trong 1 tháng là :
1800 x 30 = 54000 gam
= 54 kg
Đáp số 54kg
Để tìm nhiều cách giải của 1 bài toán học sinh cần tiến hành
lập đợc biểu thức của đáp số
B ớc 2 Lập biểu thức đáp số của bài toán

Số gạo của 4 ngời ăn trong 1 tháng là :
450 x 120 = 54000 gam
=54 kg
Đáp số ( 54 kg)
Bài toán 4
5 ngời mỗi ngời mua 4 kg táo phải trả số tiền là 18000 đồng . Nếu 10
ngời mỗi ngời mua 12 kg táo thì số tiền phải trả là bao nhiêu?
Giải
1 . Tr ớc tiên tìm cách giải gọi là cách 1
Tổng số kg táo của 5 ngời mua là :
5 x 4 = 20( kg)
Giá tiền 1 kg táo là :
18000 : 20 = 900 (đồng )
Tổng số kg táo 10 ngời mua là ;
12 x 10 = 120 ( kg )
10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :
900 x 120 = 108000 (đồng )
B ớc 2. Lập biểu thức đáp số
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 15 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Biểu thức này đợc lập bằng cách thay các giá trị trong biểu thức cuối
cùng của đáp số bởi các biểu thức đã có trớc đó ở trong lời giải của cách
1
Cụ thể :
Trong lời giải cách 1 biểu thức cuối cùng của đáp số là : 900 x 120
+ Giá trị 900 ta thay bởi các biểu thức 18000 : 20
+ Giá trị 120 ta thay bởi biểu thức : 12 x 10
+ Ta lại thay giá trị 20 trong biểu thức 18000 : 20 bởi biểu thức 4 x 5
- Sau khi thay ta có biểu thức chứa các giá trị đã cho ở bài toán của đáp

Giá tiền 1 kg táo là :
3600 : 4 = 900 (đồng )
Tổng số tiền mua 12kg táo là :
900 x 12 = 10800 đồng
10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :
10800 x 10 = 108000 (đồng )
Đáp số 108 000 đồng
Cách 4 Đối với biểu thức đáp số :
[ (18000 : 5 ) x (12 : 4 ) ] x 10
Mỗi ngời mua 4kg phải trả số số tiền là :
18000 : 5 = 3600 (đồng )
Mỗi ngời mua 12kg táo phải trả số tiền là :
3600 x ( 12: 4 ) = 10800 (đồng )
10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :
10800 x 10 = 108000 (đồng )
Đáp số 108 000 đồng
Cách 5 Đối với biểu thức đáp số ( 18000 : 4 ) x 12 : 5 x 10
5 ngời mỗi ngời mua 12 kg táo phải trả số tiền là :
(18000 : 4 ) x 12 = 54000 ( đồng )
Mỗi ngời trong 5 ngời phải trả số tiền là :
54000 : 5 = 10800 (đồng )
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 17 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :
10800 x 10 = 108000 (đồng )
Đáp số 108 000 đồng
Cách 6 Đối với biểu thức đáp số : ( 18000 : 4 ) x ( 10 : 5 ) x12
5 ngời mỗi ngời mua 1 kg phải trả số tiền là :
18000 : 4 = 4500 (đồng )

Ta gọi tắt là biểu thức đáp số )
- Bớc 3 : áp dụng các tính chất 4 phép tính đã học để biến đổi
biểu thức đáp số
- Bớc 4 : Đặt câu lời giải cho từng phép tính hoặc cặp phép
tính gộp
* Nhận xét
ở bài toán 4 tôi đã hớng dẫn học sinh tìm đợc 8 cách giải tơng
ứng với 8 dạng biến đổi của biểu thức đáp số . Bạn đọc có thể tìm
thêm 1 số dạng biến đổi biểu thức nữa để có thêm 1 số cách giải khác .
ở bài toán này nếu đọc kĩ ta ta thấy biểu hức chứa giá trị đã cho của
đáp số chỉ có 2 phép tính nhân và chia nên trong biến đổi ta cũng
nhận đợc những biểu thức có 2 loại phép tính đó . Đặc biệt số lần
thực hiện phép tính là không đổi ( luôn là 4 lần ) trong các dạng
biến đổi biểu thức đáp số của bài toán đã nêu. Do vậy mỗi cách 1, 2, 3
có 4 câu lời giải cho từng phép tính các cách còn lại có 3 hoặc 2 câu
lời giải là do ta đặt câu lời giải cho 1 hoặc 2 phép tính gộp . Nếu
bạn đọc để ý sẽ thấy : trong tất cả các cách giải thì câu lời giải cuối
cùng là nh nhau .
- Việc đặt câu câu lời giải cho từng phép tính hoặc cặp phép tính
gộp không phải là dễ mà đòi hỏi học sinh phải nắm vững cơ sở toán
học , các dữ kiện đã cho và hỏi của đề bài để đặt câu lời giải
chính xác đủ ý và diễn đạt gãy gọn . Để bạn đọc ( HS) thấy đợc tác
dụng và làm quen với phơng pháp này . Tôi lấy 1 số ví dụ trong SGK
để bạn đọc ( HS ) thẩm định lại :
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 19 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Bài tập 1
Có 64 chai loại 0,75 lít mỗi chai chứa 0,75 lít dầu hoả . Mỗi lít
dầu hoả nặng 0,76 kg , mỗi vỏ chai nặng 0,25 kg . Hỏi 64 chai dầu

Đáp số 52,48 kg
Cách 3 : Đối với kết quả : 0,76 x ( 64 x 0,75 ) + 0,25 x 64
Số dầu có trong 64 chai là :
0,75 x 64 = 48 lít
Khối lợng dầu hoả trong 64 chai là :
48 x 0,76 = 36,48 kg
Khối lợng của 64 vỏ chai là
0,25 x 64 = 16 kg
Khối lợng của 64 chai dầu hoả là :
36,48 + 16 = 52,48 kg
Đáp số 52,48 kg
Bài tập 2
Một học sinh có một tờ giấy màu làm thủ công hình chữ nhật
dài 27 cm rộng 19 cm . Bạn đó cắt lấy một hình vuông cạnh đúng bằng
chiều rộng tờ giấy . Hỏi diện tích chỗ giấy còn thừa là bao nhiêu ?
Giải 27cm
vẽ hình
19cm

Diện tích tờ giấy là :
27 x 19 = 513 (cm
2
)
Diện tích phần hình vuông là :
19 x 19 = 361 (cm
2
)
Diện tích phần còn thừa là
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 21 -

45 + 5 = 50 m
Diện tích hình chữ nhật ABQP là :
160 x 50 = 8000 (m
2
)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
160 x 45 = 7200 (m
2
)
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 22 -
H
1
H
2
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
Diện tích hình chữ nhật CDPQ là :
8000- 7200 = 800 m
2

Vì cùng bằng diện tích hình chữ nhật ABQP trừ diện tích cũ nên
diện tích MNQP = diện tích CDPQ và cùng bằng 800 m
2
Độ dài phải bớt đi MB là
800 : 50 = 16( m)
Đáp số 16 m
Bớc 2 Lập biểu thức đáp số
16 = 800 : 50 = ( 8000 - 7200 ) : 50
=

=
160 x ( 45 + 5- 45
45+5
=
160 x 5
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 23 -
Tìm nhiều cách giải của một bài toán
45 +5
Bớc 4 Đặt câu lời giải cho từng phép tính
Cách 2
+ Với kết quả
160 -
160 x 45
45 + 5
Giải cụ thể nh sau :
Diện tích miếng đất là :
160 x 45 = 7200 (m
2
)
Chiều rộng miếng đất sau khi tăng thêm là :
45 + 5 = 50( m )
Chiều dài miếng đất sau khi đã giảm đi là :
7200 : 50 = 144 (m )
Độ dài phải bớt đi là :
160- 144 = 16 (m)
Đáp số 16m
Cách 3 Với kết quả là biểu thức
=
160 x 5

36 - 14 = 22 (con )
Đáp số 14 con chó
22 con gà
B ớc 2 Lập biểu thức đáp số
Bài toán có 2 đáp số
Đáp số 1 Ta có biểu thức ( 100 - 2 x 36 ) : ( 4-2 ) (1)
Đáp số 2 Ta có biểu thức 36 - ( 100 - 2 x 36 ) : ( 4 - 2 ) (2)
B ớc 3 Biến đổi biểu thức đáp số
* Đáp số 1
( 100 - 2 x 36 ) : ( 4-2 )= 100 : ( 4 -2 ) - 2 x 36 : ( 4 -2 )
= 50 - 36 (3)
* Đáp số 2
36 - ( 100 - 2 x 36 ) : ( 4 - 2) = 36- [ (100- 2 x36) : (4-2)]
= [36 x ( 4 - 2) - (100 - 2 x 36 )] :( 4-2)
= (4 x 36 -100 ) : ( 4 - 2 ) (4)
B ớc 4 Đặt câu lời giải cho các cách khác nhau
Cách 2 Đối với kết quả (50 - 36)
Nếu mỗi con gà chỉ có 1 chân , mỗi con chó chỉ có 2 chân thì tổng
số chân có trong đàn là
100 : 2 = 50 chân
________________________________________________________
Lê Phú Thịnh - Trờng tiểu học Thắng Lợi - - 25 -