Giáo án lớp 11 ban khoa học tự nhiên
Môn Toán đại số và giải tích
Tuần 1 :
Chơng I
Hàm số lợng giác - Phơng trình lợng giác
Mục tiêu:
- Giới thiệu các hàm số lợng giác: Định nghĩa các hàm lợng giác, tập xác định,
tính tuần hoàn và chu kì, sự biến thiên và đồ thị
- Tiếp tục trình bày các phép biến đổi lợng giác: Biến đổi tổng thành tích, tích
thành tổng cũng nh biến đổi biểu thức asinx + bcosx
- Nắm đợc cách giải các phơng trình lợng giác cơ bản, biết cách giải các phơng
trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác và một số phơng trình đa về dạng này
Nội dung và mức độ:
Về các hàm lợng giác:
- Nắm đợc cách khảo sát các hàm lợng giác:y = sinx, y = cosx, y = tanx, y =
cotx
- Hiểu đợc tính chất tuần hoàn có chu kì của các hàm lợng giác, sự biến thiên và
vẽ đợc gần đúng dạng đồ thị của chúng
Về phép biến đổi lợng giác:
- Không đi sâu vào các biến đổi lợng giác phức tạp. Nắm và sử dụng thành thạo
các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng. Biến đổi biểu thức có
dạng asinx + bcosx
Về phơng trình lợng giác:
- Viết đợc công thức nghiệm của phơng trình cơ bản: sinx = a, cosx = a, tanx =
m, cotx = m và điều kiện của a để phơng trình có nghiệm.
- Giải đợc các phơng trình bậc hai đối với một hàm lợng giác và một số các ph-
ơng trình lợng giác cần có phép biến đổi đơn giản đa đợc về phơng trình lợng
giác cơ bản
Về kĩ năng:
- Khảo sát thành thạo các hàm lợng giác cơ bản y = sinx, y = cosx, y = tanx, y =
cotx

Hoạt động của giáo viên
a) Dùng máy tính fx - 500MS ( hoặc
máy có tính năng tơng đơng ) tính và cho kết
quả:
sin
0,5
6

=
, cos
3
0,8660
6 2

=
sin
2
0,7071
4 2

=
,cos
2
0,7071
4 2

=
sin1,5 0,9975 cos1,5 0,0707
sin2 0,9093 cos2 -0,4161 vv
b) Sử dụng đờng tròn lợng giác để biểu

y = sinx
Hoạt động 3 ( xây dựng kiến thức mới )
Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số y = sinx.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Sử dụng đờng tròn lợng giác để tìn đợc - Củng cố khái niệm hàm số y =
tập xác định và tập giá trị của hàm số sinx. sinx
- ĐVĐ: Xây dựng khái niệm hàm
số y = cosx
b) Hàm số y = cosx
Hoạt động 4 ( xây dựng kiến thức mới )
Đọc SGK phần hàm số cosin.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Đọc, nghiên cứu SGK phần hàm số cosin
với thời gian 5 - 8 phút để biểu đạt đợc sự
hiểu của mình khi giáo viên phát vấn.
- Phát vấn về định nghĩa, tập xác
định và tập giá trị của hàm số y =
cosx
- Củng cố khái niệm về hàm y =
sinx, y = cosx
2- Hàm số tang và côtang
a) Hàm số y = tanx
Hoạt động 5 ( xây dựng kiến thức mới )
Xây dựng khái niệm hàm số y = tanx
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Xây dựng hàm số theo công thức của
tanx nh SGK lớp 10 : y =
sinx
cosx


hiểu của mình khi giáo viên phát vấn
- Phát vấn về định nghĩa, tập xác
định và tập giá trị của hàm số y =
cotx
- Củng cố khái niệm về hàm y =
tanx, y = cotx
Hoạt động 7 ( Củng cố khái niệm )
Trên đoạn [ - ; 2 ] hãy xác định các giá trị của x để hàm số y = sinx và y =
cosx cùng nhận giá trị:
a) Cùng bằng 0 b) Cùng dấu c) Bằng nhau
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a)Không xảy ra vì:
sin
2
x + cos
2
x = 1 > 0 x
- Hớng dẫn sử dụng đờng tròn l-
ợng giác
- Củng cố khái niệm về hàm y =
sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx
b)x ( - ; -
2

) ( 0 ;
2

) ( ;
3
2

Hoạt động 9 ( Củng cố, luyện tập về tính tuần hoàn của hàm số)
Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số sau đây nếu có?
a) y=sin2x b) y=tan2x
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a)Ta chứng minh y=sin2x tuần hoàn chu kì

- Ta có sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x.
- Giả sử có T thỏa 0<T< và
sin2(x+T)=sin2x xR. Ta chọn x=
4

thì:

)voõlớ(Zk,kT1)T2
2
sin( ==+

. Vậy
là chu kì của hàm số y=sin2x.
b) Làm tơng tự ta cũng đợc T=
2

là chu kì
của hàm số y=tan2x.
- Nhận xét đánh giá và sửa chữa
cho học sinh.
- Kết luận về tính tuần hoàn của
hàm số lợng giác.
Hoạt động 10 (củng cố và luyện tập tính chẵn lẻ của hàm số)
a) Hàm số f( x ) = cos5x có phải là hàm số chẵn không ? Vì sao ?

) tan( x +
7

) nên
g(x) không phải là hàm số lẻ.
III- Bài tập về nhà và hớng dẫn:
Bài tập 1, 2 trang 14 ( SGK )
Hớng dẫn bài tập 1.
- Phần b,d: Có mẫu thức.
- Phần c: Chú ý hàm số này có chứa căn và mẫu thức.
Tuần 1:
Tiết 3 :
Bài 1. CáC Hàm số lợng giác
A -Mục tiêu: Nắm đợc sự biến thiên và đồ thị của các hàm lợng giác y = sinx, y
= cosx và áp dụng đợc vào bài tập.
B - Nội dung và mức độ : Khảo sát đợc sự biến thiên của các hàm y=sinx, y =
cosx trên [0; ]. Làm đợc các bài tập 3,4,5. (Trang 14 - SGK)
C - Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa , mô hình đờng tròn lợng
giác.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
* ổn định lớp:
- Sỹ số lớp,đồng phục, vệ sinh lớp.
- Nắm tình hình sách gtáo khoa của học sinh.
* Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động 1 ( Kiểm tra bài cũ,xây dựng kiến thức mới )
Gọi một học sinh lên sữa bài tập 1 ( SGK )
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Trình bày đợc lời giải với ngôn ngữ
dùng chính xác.
- Nêu các bớc giải bài toán khảo sát sự

3sinx
2
x
2
sinx
2

x
4
sinx
1
x
1
sinx
1 0 A x 0 x
1
x
2

2

x
3
x


) = cosx nên ta có
thể suy ra đợc đồ thị của f( x ) từ đồ
thị của y = sinx bằng phép tịnh tiến
song song với Ox sang trái một đoạn
có độ dài
2

.
- Hớng dẫn học sinh chứng minh các
nhận định của mình.
- Ôn tập công thức của góc có liên
quan đặc biệt.
- Ôn tập về phép tịnh tiến theo
v
r
.
- ĐVĐ: Xét sự biến thiên, vẽ đồ thị
của hàm số y = f( x ) = cosx thì có nên
xét trên toàn tập xác định của nó. Nếu
không, nên xét trong đoạn nào.
- Cho học sinh lập bảng biến thiên của
hàm số y = cosx trong một chu kì [-
; ].
Hoạt động 5 ( Xây dựng kiến thức mới )
Vẽ đồ thị của hàm số y = cosx ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx, dùng
phép tịnh tiến để suy ra đợc đồ thị của
hàm số y = f( x ) = cosx.


và nghịch
biến trên mỗi khoảng
Zk,2k
2
3
;2k
2







+

+

- Có đồ thị là một đờng hình sin.
- Có TXĐ là R.
- Có TGT là đoạn [-1;1].
- Là hàm số chẵn.
- Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 .
- Đồng biến tên mỗi khoảng
( )
Zk,2k;2k +
và nghịch biến
trên mỗi khoảng
( )

Mặt khác giả sử có số T/ 0 < T < và sin2( x + T ) = sin2x x
Chọn x =
4

ta đợc sin (
2

+ 2T ) = sin
2

= 1
2

+ 2T =
2

+ k2 với k Z
Suy ra T = k trái với giả thiết 0 < T <
2
3

2


2

2
3
2
5

].
- Nêu đợc bảng biến thiên.
- Dựng đợc gần đúng dạng đồ thị của
hàm số
- Hớng dẫn đợc học sinh giải toán
nếu có vớng mắc
- Củng cố các kiến thức cơ bản
- ĐVĐ: Khảo sát, vẽ đồ thị của các
hàm y = tanx, y = cotx.
I- Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx, y = cotx.
1- Hàm số y = tanx
Hoạt động 2: ( Xây dựng kiến thức mới )
Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = tanx
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nêu tập xác định, tính chẵn, lẻ, tuần
hoàn và chu kì của hàm số. Nêu đợc tập
khảo sát của hàm là [0;
2

] hoặc [-
2

;
2

]
- Dùng đờng tròn lợng giác, lập đợc bảng
biến thiên của hàm số trên tập khảo sát.
- Hớng dẫn học sinh tìm đợc tập
xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn và

thức đã đọc.
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số y = cotx.
- Phát vấn học sinh để kiểm tra sự
hiểu, cách nắm vấn đề của học sinh.
Hoạt động 5: ( Củng cố kiến thức )
Dựa vào đồ thị của hàm số y = tanx và tính tuần hoàn của hàm số, hãy tìm các
giá trị của x sao cho tanx = 1?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Từ đồ thị của hàm số y = tanx, viết đợc
x =
3
;
4 4 , và biết áp dụng tính tuần
hoàn với chu kì để viết đợc các giá trị x
còn lại là x =
k
4

+
với k Z.
- Hớng dẫn học sinh đa về bài toán
tìm hoành độ của giao điểm hai đồ
thị y = tanx và y = 1
- Củng cố tính chất và đồ thị của
các hàm số y = tanx, y = cotx
BảNG TóM TắT

;k
2
- Có đồ thị nhận đờng thẳng
Zk,k
2
x +

=
làm đờng tiệm cận.
- Có TXDĐ là: D=
{ }
Zk,k\R
.
- Có TGT là R.
- Là hàm số lẻ.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì .
- Nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
Zk,k;k +
- Có đồ thị nhận đờng thẳng
Zk,kx =
làm đờng tiệm cận.
Hoạt động 6: ( Củng cố kiến thức - luyện kĩ năng giải toán )
Trong khoảng ( 0;
2

) so sánh tanx và cotx ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Trong khoảng ( 0;
2

- Hớng dẫn học sinh hớng giải
quyết bài toán:
So sánh tgx và cotx với số 1 = tan
4

- Củng cố các kiến thức cơ bản
- ĐVĐ: Trong khoảng ( 0;
2

) so
sánh sin( cosx ) với cos( sinx )
Bài tập về nhà: 4 trang 14 - SGK
Bài tập làm thêm:
1- Trong khoảng ( 0;
2

) so sánh sin( cosx ) với cos( sinx )?
2- Chứng minh rằng hàm số y = cot(2x +
4

) tuần hoàn có chu kì
2

?
HD bài tập 1:
Trong khoảng ( 0;
2

) ta có sinx < x ( ? )
suy ra cos( sinx ) > cosx ( do 0 < sinx < 1 <

hợp với tính tuần hoàn của hàm cosx viết
đợc các khoảng còn lại:
2

+ k2 < x <
+ k2
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh
trong khi trình bày lời giải.
- Củng cố t/c của hàm lợng giác nói
chung và của hàm số y=cosx nói
riêng.
- ĐVĐ: Tìm tập hợp các giá trị của x
để cosx > 0 ? cosx > 0 và sinx > 0 ?
Hoạt động 2 ( Củng cố )
Giải bài tập sau: Tìm GTLN của các hàm số sau:
a)
1)xcos1(2y ++=
b)
)
6
xsin(y

=
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a- Do cosx 1 x nên 1 + cosx 2
x và do đó: 2( 1 + cosx ) 4 x suy
ra đợc:
y =
2(1 cosx) 1 3+ +
x và y = 3

2

) ta có sinx < x
( nhận biết từ đồ thị của hàm y = sinx: đồ
thị của hàm nằm hoàn toàn bên trên đờng
y = x trong khoảng ( 0;
2

) ). Suy ra:
cos( sinx ) > cosx ( do 0 < sinx < 1 <
2


và hàm số cosx nghịch biến trong ( 0;
2

)).
Mặt khác vì 0 < cosx < 1 <
2

nên:
sin(cosx) < cosx < cos(sinx)
- Dựa vào hớng dẫn của GV ở tiết
3, cho HS thực hiện giải bài toán.
- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh trong khi trình bày lời giải.
- Củng cố: dựa vào đồ thị của y =
sinx và y = x trong ( 0 ;
2


1
4
sin2x 8 +
1
4
x
Hay
31
4
y
33
4
x
Vậy maxy =
33
4
khi sin2x = 1
miny =
31
4
khi sin2x = - 1
- Ôn tập công thức sin2x =
2sinxcosx
- HD học sinh dùng đồ thị của
hàm
y = sin2x để tìm các giá trị của x
thỏa mãn sin2x = - 1, sin2x = 1
( Có thể chỉ cần chỉ ra ít nhất một
giá trị của x thỏa mãn )
- Củng cố: Tìm GTLN, GTNN của

Hoạt động 1 ( Kiểm tra bài cũ)
Gọi một học sinh lên bảng chữa bài tập: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = 2sin
2
x - 1
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Biến đổi đợc : y=-cos2x. Nên GTLN
của hàm số là maxy=1 và GTNN của
hàm số miny=-1
- Tổ chức cho học sinh hoạt động theo
nhóm với nhiệm vụ
- ĐVĐ: Viết công thức của x thỏa mãn:
sinx = a, cosx = a ?
I - phơng trình lợng giác cơ bản:
1 - Phơng trình sinx = a
Hoạt động 2: ( Dẫn dắt khái niệm )
Có giá trị nào của x để sinx = - 2 ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Dùng máy tính bỏ túi:
Máy cho kết quả Math ERROR
( lỗi phép toán)
- Dùng mô hình đờng tròn lợng giác:
không có giao điểm của y = - 2 với đờng
tròn
- Giải thích bằng tính chất của hàm y =
sinx.
Giải thích: Do
sinx 1
nên | a | > 1
thì phơng trình sinx = a vô nghiệm.

k2
2

+
sinx = 0 x =
k
- Thuyết trình về công thức thu gọn
nghiệm của các phơng trình:
sinx = - 1 ; sinx = 0 ; sinx = 1
- Viết các công thức theo đơn vị
bằng độ ?
Hoạt động 4: ( Dẫn dắt khái niệm )
Viết công thức nghiệm của phơng trình: sinx =
1
3

?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đặt là cung mà sin =
1
3

cho:
x = + k2
x = - + k2 với k
Z
- Viết công thức nghiệm dới dạng:
x = arsina + k2
x = - arsina + k2 với k
Z

trong trờng hợp đặc biệt : a = - 1; 0;
1. Kí hiệu arccos.
Hoạt động 6: ( Chú ý về đơn vị độ và radian trong công thức nghiệm)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc phần chú ý trong SGK và trả lời
các câu hỏi giáo viên vấn đáp.
- Khi cung đợc viết ở đơn vị độ hoặc
radian thì công thức nghiệm cũng
phải tính ở đơn vị tơng ứng.
- Chẳn hạn: sin(x+45
0
) =1thì công
thức nghiệm là:
Zk,360.k45x
00
+=
chứ không
viết:
Zk,2.k45x
0
+=
Hoạt động 7 ( Củng cố khái niệm )
Giải các phơng trình:
a) cosx = cos
6

b) cos3x =
2
2


x 105 k360

= +

= +

k Z
- Củng cố về phơng trình sinx = a,
cos = a : Điều kiện có nghiệm,
công thức nghiệm, các công thức
thu gọn nghiệm, kí hiệu arcsin,
arccos
- Các trờng hợp:
sinx = sin, cosx = cos
ĐVĐ: Có thể giải đợc các phơng
trình không phải là cơ bản không ?
Hoạt động 8:( Củng cố khái niệm )
Giải phơng trình: 5cosx - 2sin2x = 0
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Đa phơng trình đã cho về dạng:
( 5 - 4sinx )cosx = 0

cosx 0
5
sinx
4
=




Sách giáo khoa
D - Tiến trình tổ chức bài học:
* ổn định lớp:
- Kiểm tra sĩ số lớp, vệ sinh và đồng phục của học sinh.
- Nắm tình hình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
* Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động 1 ( Kiểm tra bài cũ)
Gọi một học sinh lên bảng giải bài tập: sinx=
3
2
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
* sin2x =
3
2
cho:
2x k2
6
5
2x k2
6


= +





= +


Do tanx = a
sinx
cosx
nên điều kiện của
phơng trình là cosx 0 x
k
2

+
,kZ
- Hớng dẫn học sinh viết điều kiện
của x thỏa mãn cosx 0
- ĐVĐ: Viết công thức nghiệm của
phơng trình tanx = a ?
Hoạt động 2:( Dẫn dắt khái niệm )
Đọc sách giáo khoa phần phơng trình tanx = a
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc sách giáo khoa phần phơng trình
tanx=a
- Trả lời các câu hỏi của giáo viên biểu
- Hàm y = tanx tuần hoàn có chu kì là
bao nhiêu ?
- Đặt a = tan, tìm các giá trị của x
đạt sự hiểu của mình về các vấn đề đã
đọc
- Viết và hiểu đợc các công thức
x = + k và x = arctana + k
x =
0
+ k180

1
3
) + k
k Z
x =
1
2
arctan(-
1
3
) + k
2

k Z
c) tan(3x + 15
0
) =
3
3x + 15
0
= 60
0

+ k180
0
x = 15
0
+ k.60
0


sinx
nên điều kiện của
phơng trình là sinx 0 x
k
.
- Hớng dẫn học sinh viết điều kiện
của x thỏa mãn sinx 0
- ĐVĐ: Viết công thức nghiệm của
phơng trình cotx = a ?
Hoạt động 6:( Dẫn dắt khái niệm )
Đọc sách giáo khoa phần phơng trình cotx = a.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc sách giáo khoa phần phơng trình
cotgx = a
- Trả lời các câu hỏi của giáo viên biểu
đạt sự hiểu của mình về các vấn đề đã
đọc
- Viết và hiểu đợc các công thức
x = + k và x = arccota + k
- Hàm y = cotx tuần hoàn có chu kì là
bao nhiêu ?
- Đặt a = cot, tìm các giá trị của x
thoả mãn cotx = a ?
- Giải thích kí hiệu arccota ?
- Viết công thức nghiệm của phơng
trình trong trờng hợp x cho bằng độ.
x =
0
+ k180
0

b) cot3x = - 2 3x = arccot(- 2 ) +
k
x =
1
3
arccot(- 2 ) +
k
3

c) cotg( 2x - 10
0
)=
1
3
2x -
10
0
=60
0
+k180
0
x = 35
0
+ k90
0
k Z
- Hớng dẫn học sinh viết các công
thức nghiệm.
- Uốn nắn cách biểu đạt, trình bày
bài giải của học sinh.