ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ VĂN HƯỞNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Chun ngành: Giải tích
Mã số : 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên
Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu />i
Mục lục
MỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính.

n×n
, là ma trận hằng với mỗi tham số p ∈ {1, 2, , N},
detE
p
= 0, σ là tín hiệu chuyển mạch.
Khi mỗi ma trận E
p
là khả nghịch thì hệ (0.2) đưa về hệ chuyển mạch vi
phân thường (0.1)(hoặc gọi tắt hệ chuyển mạch).
Bài tốn về ổn định của hệ chuyển mạch đã nhận được rất nhiều sự chú
ý của các nhà khoa học trong hai thập niên qua và nó đang là vấn đề mang
tính thời sự. Có những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch mặc dù tất
cả các hệ con ổn định nhưng hệ chuyển mạch vẫn khơng ổn định, cũng có
những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch tất cả các hệ con ổn định
thì hệ chuyển mạch ổn định nhưng tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch. Hệ
chuyển mạch là ổn định tiệm cận với sự chuyển mạch tùy ý nếu và chỉ nếu
các hệ con có chung một hàm Lyapunov thích hợp.
Năm 1892 A. M. Lyapunov (1857-1918) nhà tốn học người Nga đã giải
quyết bài tốn ổn định bằng hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc
trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất
của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
thứ hai của Lyapunov). Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là
phương pháp hàm Lyapunov.
Vấn đề đặt ra là ta cần phát triển đầy đủ các điều kiện đảm bảo sự ổn
định của hệ chuyển mạch vi phân đại số trên cơ sở tồn tại hàm Lyapunov
thích hợp. Nội dung chính của bản luận văn này là dựa trên kết quả trong
bài báo “ On stability of linear switched differential algebraic equations” của
tác giả D. Liberzon and S. Trenn, trong đó đã nêu được các điều kiện đủ về
sự ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định của hệ chuyển

Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1. Hệ phương trình vi phân thường
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE)là hệ phương
trình dạng
dy
i
dt
= f
j
(t, y
1
, y
2
, , y
n
), (j = 1, 2, , m) (1.1)
trong đó t là biến độc lập; y
1
, y
2
, , y
n
là các hàm cần tìm; f
j
là các hàm
xác định trong bán trụ
T = I
t

11
(t)y
1
+ a
12
(t)y
2
+ + a
1n
(t)y
n
+ f
1
(t)
dy
2
dt
= a
21
(t)y
1
+ a
22
(t)y
2
+ + a
2n
(t)y
n
+ f

i
(t) lần lượt gọi là các hệ số và hệ số tự do và chúng được giả thiết là
liên tục trên khoảng I = (a, b) nào đó.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Dùng kí hiệu ma trận có thể viết hệ (1.2) dưới dạng thu gọn
dY
dt
= A(t)Y + F (t (1.3)
trong đó A(t) = (a
ij
(t)) là ma trận cấp n × n, F (t) = (f
1
(t), , f
n
(t))
T
là
vector cột.
Nếu F(t) ≡ 0 ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất, nếu F (t) = 0 ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính khơng thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) của hệ
dY
dt
= F (t, Y ) (1.4)
trong đó Y = colon(y
1
, y
2
, , y
n

) < δ (1.5)
xác định trong khoảng [t
0
, +∞) tức là Y (t) ∈ D
y
khi t ∈ [t
0
, +∞)
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
Y (t) − Z(t) < ε khi t
0
≤ t < ∞. (1.6)
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) được gọi là ổn định
tiệm cận khi t → +∞ nếu
1. Ổn định Lyapunov.
2. Với mọi t
0
∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(t
0
) > 0 sao cho mọi nghiệm Y (t),
(t
0
≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t
0
) − Z(t
0
) < δ thì
lim
t→∞
Y (t) − Z(t) = 0 (1.7)

(t), , x
nn
(t))
Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại t = t
0
, tức là X(t
0
) = I
n
,
thì
Y (t) = X(t)Y (t
0
) (1.10)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là
ổn định(hoặc khơng ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t) của nó ổn
định (hoặc khơng ổn định) Lyapunov khi t → +∞.
Định nghĩa 1.1.6. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → +∞.
Định lý 1.1.7. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến
tính (1.3) ổn định với số hạng tự do bất kì F (t) là nghiệm tầm thường
Y
0
≡ 0 (t
0
< t < ∞, t
0
∈ (a, ∞))
của hệ thuần nhất tương ứng (1.9) ổn định.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7

ma trận hằng ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng
λ
i
= λ
i
(A) của A đều có phần thực âm, tức là
Reλ
i
(A) < 0 (i = 1, 2, , n)
1.2. Hệ phương trình vi phân đại số
1.2.1.Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Cho P ∈ L(R
n
). P được gọi là một phép chiếu nếu
P
2
= P .
Nhận xét 1.2.2.
1. Cho P là phép chiếu. Khi đó ta có KerP ⊕ ImP = R
n
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
2. Mỗi phân tích R
n
= U ⊕ V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho
ImP = U và KerP = V , khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V .
Đặt Q := I − P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc
theo U.
Cho A, B ∈ L(R
n

ImA
k
+ KerA
k
= ImA
k
⊕ KerA
k
= R
n
với k ≥ indA
Định nghĩa 1.2.5.[5] Cho A, B ∈ L(R
n
). Cặp ma trận (A, B) được gọi
là chính quy nếu ∃ c ∈ R sao cho det (cA + B) = 0. Trường hợp ngược lại,
ta gọi cặp ma trận (A, B) là khơng chính quy.
Định nghĩa 1.2.6.[5] Cho cặp ma trận (A, B) chính quy, c là số mà
det(cA + B) = 0. Chỉ số của cặp ma trận (A, B) kí hiệu ind(A, B), là
chỉ số của ma trận (cA + B)
−1
A
ind (A, B) = ind ((cA + B)
−1
A)
(Định nghĩa này khơng phụ thuộc vào việc chọn giá trị c)
Định lý 1.2.7.[5] Nếu Q ∈ L(R
n
) khơng suy biến thì
ind (QA, QB) = ind (AQ, BQ) = ind (A, B)
Nếu A, B giao hốn được thì ind(A, B) = ind A.

= 0 với mọi l < k.
3. Nếu A(t), B(t) ∈ C(J, L(R
n
))
η(t, λ) = det(λA(t) + B(t)) = a
r
(t)λ
r
+ + a
1
(t)λ + a
o
(t)
với a
r
= 0 trên J thì tồn tại các ma trận khả nghịch S, T ∈ C(J, L(R
n
))
sao cho
S(t)A(t)T
−1
(t) =

I
r
0
0 N(t)

S(t)B(t)T
−1

0
0 0

, S(t)B(t)T
−1
(t) =

M(t) 0
0
I
n−r

Định lý 1.2.8.[5] Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương
1. Cặp ma trận (A, B) chính quy với chỉ số 1.
2. Từ x ∈ KerA và Bx ∈ ImA kéo theo x = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
3. Cặp ma trận (A, B) chính quy và deg det(λA + B) = rankA.
4. Cặp ma trận (A, B+AW ) chính quy và ind(A, B+AW ) = 1,∀ W ∈ R.
5. Ma trận G := A + BQ khơng suy biến với Q là phép chiếu lên KerA.
6. Với S = {x ∈ R
n
: Bx ∈ im A} thì S ⊕ KerA = R
n
.
7. Nhân vào bên trái ma trận khơng suy biến thích hợp E ∈ R
n
thỏa mãn
EA =


với y ∈ ImA mà Ay = y.
2. A
+
y = 0 với y ∈ KerA
T
.
được gọi là nghịch đảo Moore -Penrose của ma trận A ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.10.[5] Giả sử A ∈ R
n
và ind (A) = k. Ma trận thỏa
mãn các tính chất
1. A
D
y = x nếu y ∈ imA
k
và y = Ax
2. A
D
y = 0 và y ∈ kerA
k
được gọi là nghịch đảo Drazin của A.
Định lý 1.2.11.[5] Giả sử A ∈ R
n
ta có
1. A
+
AA
+

, , s
m
) , S = [s
1
, , s
m
]
thì A = S diag (M, N)S
−1
trong đó M là (r × r)-ma trận khơng suy biến
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
và N là k -lũy linh.
Định lý 1.2.13. Giả sử cặp ma trận (A, B) ∈ R
n
× R
n
có ind(A, B) = 1,
khi đó S = {x ∈ R
n
: Bx ∈ Im A} được gọi là khơng gian liên hợp của cặp
(A, B).
Mệnh đề 1.2.14.[5] Nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy, ind(A, B) và Q
là phép chiếu lên kerA thì các đẳng thức sau đây là đúng
G
−1
A = I − G, G
−1
BQ = Q
trong đó G := A + BQ
Định lý 1.2.15.[5] Giả sử cặp ma trận (A, B) chính quy chỉ số 1. Khi


− x
2
= 0
, t ∈ R (α).
Ta có A =

1 0
t 0

⇒



rankA = 1
A

x
1
x
2

=

x
1
tx
1

; B =


0
0

⇔

x
1
= 0
x
2
∈ R

=

0
x
2

|x
2
∈ R

Khi đó S(t) =

z ∈ A

−1 0
0 − 1


Suy ra hệ (α) đã cho là hệ chính quy chỉ số 1.
P
can
là phép chiếu chính tắc lên S dọc theo N tức là

P u = 0, ∀u ∈ N
P v = v, ∀v ∈ S
(∗)
Đặt P
can
=

p
11
p
12
p
21
p
22

(∗) ⇔









22

x
1
tx
1

=

x
1
tx
1













p
12
x
2

= tx
1
⇒ p
11
= p
21
= 1
⇒ P
can
=

1 0
1 0

Suy ra Q
can
= I − P
can
=

0 0
−1 1

Xét
G(t) = A + BQ =

1 0
t 0

+

can
nói trên, hệ (α) tương đương hệ

P
can
x

+ P
can
G
−1
BP
can
= 0
Q
can
+ Q
can
G
−1
BP
can
= 0
⇔







P
can
x

=

1 0
1 0

x
1

x
2


=

x
1

x
1


Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Q
can
x =


−1 0
0 −1

x
1
x
1

=

1 0
1 0

1 0
t + 1 −1

−x
1
−x
1

=

1 0
1 0

−x
1
[−(t + 1) + 1] x



−x
1
−x
1

=

0
x
1
− tx
1

.
1.1.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.2.16. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (DAEs) là
phương trình có dạng
A(t)x

(t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ (−∞; +∞) (1.12)
trong đó A(t) B(t) ∈ C(I, L(R
n
)), q(t) liên tục trên I, detA(t) = 0 với
∀t ∈ I.
Trường hợp A, B ∈ L (R
n
) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số
với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.2.17. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.12) được

) có đúng một nghiệm của (1.13)
đi qua vào thời điểm t
0
. Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.13) được
xác định bởi
x(t) = P
can
(t)u(t),
trong đó u(t) ∈ imP (t) là nghiệm của phương trình vi phân thường
u

= (P

− P A
1
−1
B
0
)u. (1.14)
Định nghĩa 1.2.19. Phương trình (1.12) được gọi là chuyển được (trans-
ferable) nếu N(t) là trơn và ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t),
trong đó Q(t) ∈ C
1
(P ) là phép chiếu lên N(t), có nghịch đảo bị chặn trên
mỗi đoạn [0; T ] ⊆ R.
Định nghĩa 1.2.20. Hai phương trình
u

= (P



W(t) 0
0
I
m−s

trong đó J(t) là k-lũy linh và ker J(t) = ker J(0).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
Định nghĩa 1.2.22. Một ma trận vng X(t) cấp m được gọi là ma trận
nghiệm cơ bản (FSM) của (1.13) nếu r véctơ cột đầu tiên của nó là các
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.13) và (m − r) véc tơ cột còn lại là các
véctơ khơng.
Chú ý: Mọi nghiệm của (1.13) đều thuộc khơng gian nghiệm im P
can
= S(t)
có số chiều là r do đó có nhiều nhất r nghiệm độc lập tuyến tính. Vậy tập
hợp tất cả các nghiệm của (1.13) là khơng gian tuyến tính có số chiều khơng
vượt q r.
Hơn nữa trong [5] đã chỉ ra rằng, nếu p
j
(j = 1, , r) là r véc tơ độc lập
tuyến tính của im P(0) và các véc tơ u
j
(t), x
j
(t) được suy ra từ hệ phương
trình trạng thái x(t) = P
can
(t)u(t) với điều kiện ban đầu u
j

)).
Giả sử khơng gian hạch N(t) := ker A(t) là trơn, nghĩa là nó là bao tuyến
tính của những hàm khả vi liên tục.
Trong trường hợp A(t) có hạng khơng đổi, rõ ràng tất cả các nghiệm của
(1.17) thuộc về khơng gian con S(t). Giả sử (1.17) có chỉ số 1, khi đó có
đúng một nghiệm qua mỗi điểm của S(t) tại thời điểm t. Sử dụng bất kì
hàm chiếu Q(t) thuộc lớp C
1
lên N(t) và P(t) := I − Q(t), bài tốn giá trị
ban đầu (IVPs) là đúng với điều kiện đầu
P (0)(x(0) − x
0
) = 0 (1.18)
Bài tốn giá trị ban đầu (1.17),(1.18) có nghiệm duy nhất ∀x
0
∈ R. Các
nghiệm của (DAE) (1.17) thuộc về khơng gian hàm
C
1
N
:=

x ∈ C : P x ∈ C
1

Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Điều này dễ dàng hiểu được nhờ các đồng nhất thức
A(t) = A(t)P (t), A(t)Q(t) = 0
A(t)x


P (t) đều chiếu dọc theo N(t). Nếu x ∈ C, P x ∈ C
1
thì
¯
P x =
¯
P P x thuộc về lớp C
1
, vì
¯
P vàPx cũng như vậy. Ngồi ra chúng
ta có
A(t) {(P x)

(t) − P

(t) x(t)}
= A(t)
¯
P (t) {(Px)

(t) − P

(t) x(t)}
= A(t){(
¯
P P x)

(t) −
¯

P (0)(X(0) − I) = 0
chúng ta có thể viết các nghiệm cơ bản của (1.17), (1.18) là
x(t; x
0
) = X(t)x
0
Chúng ta sử dụng dạng biểu diễn của ma trận cơ bản X của DAE, sử dụng
ma trận cơ bản của ODE (Xem [7])

U

+

−P

P
can
+ P (A + BQ)
−1
B

U = 0
U(0) = I
(1.20)
ở đây, P
can
(t) là phép chiếu chính tắc lên S(t) dọc theo N(t. Khi đó
X(t) = P
can
(t))U(t)P (0). (1.21)

Phương trình (1.22) gọi là dạng chuẩn tắc Kronecker nếu:
¯
A(t) =

I
n
0

,
¯
B(t) =

W(t)
I
n

Hệ thức giữa khơng gian con riêng và phép chiếu chính tắc có thể mơ tả
bằng
¯
N(t) = F
−1
(t)N(t),
¯
S(t) = F
−1
(t)S(t)
¯
P
can
(t) = F

là
¯
P
can
(t) = diag(I, 0). Do đó bắt đầu với hệ chỉ số 1 dạng chuẩn tắc Kro-
necker sử dụng phép biến đổi F thuộc lớp C
1
chúng ta thu được DAEs với
những phép chiếu chính tắc khả vi liên tục. Như một hệ qủa, coi dạng chuẩn
tắc Kronecker thay cho DAEs với hệ số liên tục.
Định nghĩa 1.2.23. Hệ phương trình Ax

+ Bx = 0 được gọi là chính
quy chỉ số k nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k.
Bổ đề: Khi cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k và
rank

(cA + B)
−1
A

k = r
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
thì tồn tại các ma trận khả nghịch W, T sao cho:
A = W

I
r
0
0 U


+ Bx = 0
P (x(0) − x
0
) = 0
với mỗi x
0
có một nghiệm x(t, x
0
) xác định trên [0, ∞). Hơn nữa với mỗi
ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho x(t, x
0
) < ε với t ≥ 0 và ∀x
0
∈ R thỏa
mãn P (x
0
) < δ
0
, thì ta có x(t, x
0
) → 0 khi t → ∞.
Định lý 1.2.27. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ax

+ Bx = 0 là ổn
định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma
trận (A, B) có phần thực âm.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
1.2.3. Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau

x(t; t
0
, x
0
) < ε, ∀t ≥ t
0
Định nghĩa 1.2.30. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.24) được gọi
là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số δ
0
(t
0
) > 0 sao cho nếu
P (t
0
, x
0
) < δ
0
(t) thì x(t; t
0
, x
0
) → 0 khi t → +∞
Định nghĩa 1.2.31. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.24) được
gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương λ và mọi số ε > 0
cho trước đều tồn tại số δ = δ(t
0
, ε) > 0 sao cho nếu x
0
∈ R

Gọi S là tập các cặp (σ, x), trong đó σ là tín hiệu chuyển mạch và x là tín
hiệu trong R
n
.
Định nghĩa 1.3.2. Hệ chuyển mạch là hệ phương trình có dạng
˙x = f
σ
(x) (1.25)
trong đó x = ρ(σ, σ
−
, x
−
); (σ, x) ∈ S.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm của hệ chuyển mạch là cặp (σ, x) ∈ S thỏa
mãn
1. Mọi khoảng mở trên đó σ là hằng số, x là nghiệm của hệ chuyển mạch
˙x = f
σ
(t)
(x).
2. Tại mỗi thời điểm chuyển mạch t, x(t) = ρ(σ(t), σ
−
(t), x
−
(t)).
Hình 1.1: Sự chuyển mạch của hệ với các tín hiệu chuyển mạch khác nhau.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Định nghĩa 1.3.4.
• K là tập các hàm liên tục tăng chặt α(.) : R
+

 ≤ c
dọc theo mỗi nghiệm (σ, x) ∈ S của hệ chuyển mạch.
• Điểm cân bằng x
eq
∈ R
n
ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định Lyapunov
và mỗi nghiệm mà nghiệm đó tồn tại trên [0, ∞)
x(t) → x
eq
khi t → ∞
• Điểm cân bằng x
eq
∈ R
n
là ổn định tiệm cận đều nếu ∃ β ∈ KL sao cho
x(t) − x
eq
 ≤ β (x(t
0
) − x
eq
 , t − t
0
) ∀t ≥ t
0
≥ 0
dọc theo mỗi nghiệm (σ, x) ∈ S của hệ chuyển mạch.
Định nghĩa 1.3.6. Cho hệ chuyển mạch ˙x = f
σ

Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
thậm chí nếu tất cả f
q
, q ∈ P là ổn định thì hệ chuyển mạch có thể khơng
ổn định.
3. Khi các hệ con ổn định nhưng hệ vẫn khơng ổn định và sự ổn định con
tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch ban đầu. Dưới đây là hình 1.2 minh
họa khi tín hiệu thay đổi thì hệ là khơng ổn định với tín hiệu chuyển mạch
ban đầu là σ(t) :=

1 với x
1
x
2
≤ 0
2 với x
1
x
2
> 0
Hình 1.2
1.3.2. Hàm Lyapunov chung (Xem [6])
Cho hệ phương trình ˙x = f
σ
(x), (σ, x) ∈ S
all
.
Định lý 1.3.9. Giả sử tồn tại hàm V : R
n
→ R khơng bị chặn theo tia, xác