Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ DUY HÒA BỒI DƢỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HÌNH HỌC CHƢƠNG
“PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”
(HÌNH HỌC 10)
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Cao Thị Hà Thái Nguyên, 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi; các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận văn

iii
MỤC LỤC
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Tư duy 4
1.2. Tư duy sáng tạo 4
1.3. Một số yếu tố chính của tư duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng ở trường
phổ thông 5
1.3.1. Tính mềm dẻo 5
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn 7
1.3.3. Tính độc đáo 8
1.3.4. Tính hoàn thiện 8
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề 8
1.4. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 9
1.5. Thực trạng việc dạy và học Hình học lớp 10 ở trường THPT 10
1.6. Kết luận chương 1 11
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM BỒI DƢỠNG CÁC YẾU
TỐ CHÍNH CỦA TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC PHẲNG Ở TRƢỜNG THPT 12
2.1. Các yêu cầu có tính định hướng xây dựng biện pháp sư phạm 12


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, ở nước ta cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là
quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm vụ và mục
tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi
mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống
công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
ở các trường phổ thông của những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển
toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý
tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm
chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật
giáo dục 1998, Chương I, điều 2); theo điều 28 "Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh".
Theo Quyết định số 1483/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ về:
“
Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 đến 2020”,
đã nêu rõ: “Phát triển nền Toán học Việt Nam mạnh mẽ về mọi mặt: Nghiên cứu,
ứng dụng và giảng dạy, cả về số lượng lẫn chất lượng, tương xứng với tiềm năng trí
tuệ của người Việt Nam, đáp ứng nhu cầu phát triển của đất nước trên các lĩnh vực
khác nhau như: Khoa học, công nghệ, giáo dục và đào tạo, kinh tế và củng cố quốc
phòng; phấn đấu đến năm 2020 Toán học nước ta có thể xếp vào hàng các nước tiên
tiến trên thế giới”.
Điều đó càng khẳng định Đảng và Nhà nước rất quan tâm đến việc phát hiện và
bồi dưỡng năng lực học toán của học sinh, trong đó biểu hiện cơ bản là suy nghĩ và

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp và vận dụng chúng một
cách hợp lí trong dạy học Hình học lớp 10 thì có thể góp phần bồi dưỡng được một số
yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh trường Trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm rõ hơn khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu tố chính của
tư duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng lớp 10.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3
- Xây dựng và khai thác hệ thống lý thuyết, bài tập Hình học lớp 10 phù hợp
với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,
tính hiệu quả của đề tài.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học
môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán; các công trình nghiên cứu có liên
quan trực tiếp đến đề tài.
- Phương pháp điều tra: Tiến hành tìm hiểu, điều tra năng lực nhận thức và kĩ
năng giải bài tập Hình học lớp 10 ở trường THPT Tháng 10, tỉnh Tuyên Quang.
- Phương pháp Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án
tại trường THPT Tháng 10, tỉnh Tuyên Quang nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
6. Cấu trúc luận văn
Phần mở đầu
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các yếu tố chính của tư duy
sáng tạo cho trong dạy học giải bài tập hình học phẳng ở trường THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo
thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái
mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người.
Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo
ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Tư duy sáng tạo là
tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó
bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của
tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”[15].
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đối
với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết” [17]. Như
vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu
người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi
chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Như vậy, tư duy sáng tạo là tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải
quyết vấn đề cao.
1.3. Một số yếu tố chính của tƣ duy sáng tạo trong dạy học Hình học phẳng ở
trƣờng phổ thông
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … tư duy sáng tạo có 5
yếu tố chính như sau ([17]):
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của
hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, suy
nghĩ không rập khuôn, máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới.

6
Giải:
Khi giải bài toán trên, để tìm được tọa độ điểm
B
, học sinh thường coi
B
như là
giao điểm của các cạnh
,BC BD
hoặc
,BC BA
hoặc
,BD BA
. Tuy nhiên trong bài này để
tìm được phương trình các đường thẳng
,,BC BA BD
theo cách thông thường (biết một
điểm và véc tơ chỉ phương, hoặc véc tơ pháp tuyến) là không thể mà nó được tìm thông
qua khai thác một cách mềm dẻo các tính chất của hình thoi. Do vậy ta có lời giải bài
toán trên như sau:
Phương trình đường thẳng
AB
qua
M
có dạng:
22
1
0 ( 0)
3
ax b y a b

b
a b a b

Chọn
4;b=3a
ta được PT
:4 3 1 0AB x y
.
Do
ABCD
là hình thoi nên
AC BD
, do đó
 
11
tan 2 os os(AB,BD)
55
AI AC
ABI c ABI c
BI BD

Đường thẳng
22
: ( 2) ( 1) 0, 0BD m x n y n m
.
Ta có:

2 2 2 2
22
22

B
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 7
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả
thuyết mới. Tính nhuần nhuyễn thể hiện rõ nét là tính đa dạng của các cách xử lý
khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn
nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được
phương án tối ưu.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với
7
( ;3), (1;2), ( 4;3)
4
A B C
. Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A.
Chúng ta có thể hướng dẫn học sinh làm theo một số cách như:
Cách 1: Sử dụng công thức tính khoảng cách để giải, theo cách này lời giải
gồm các bước sau:
Bước 1: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC
Bước 2: Gọi điểm M(x;y) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng AB, AC khi đó, ta có
( , ) ( , )d M AB d M AC
. Từ đó ta suy ra phương trình 2
đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc tạo bởi AB, AC.

8
cos( , ) cos( , )AB AD AC AD
   
từ đây suy ra t từ đó
có tạ độ D
+ Viết phương trình đường thẳng AD
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được biểu hiện bởi khả năng nhìn ra những mối liên
hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau; khả
năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với
7
( ;3), (1;2), ( 4;3)
4
A B C
. Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A.
Trong phần trên ta đã phân tích và tìm được 3 cách giải của bài toán này, tuy
nhiên ta nhận thấy
ABC
đã biết tọa độ của 3 đỉnh nên tam giác đó hoàn toàn xác
định. Do vậy ta hoàn toàn có thể dựng được một tam giác
AMN
cân nằm trên hai
cạnh
,AB AC
của
ABC
. Khi đó đường phân giác trong của góc



1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có
nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 9
Các yếu tố chính trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật
thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc
sắc (tính độc đáo). Tất cả các yếu tố chính nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng
tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
1.4. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo
cho học sinh
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là một trong những
yếu tố quan trọng, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến
thức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo
và khả năng sáng tạo.
Khi dạy chủ đề hình học phẳng cho học sinh, bên cạnh việc giúp học sinh giải
quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng to lớn trong
việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh, đó là thông qua việc xây
dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cho học sinh phát hiện

- Về tình hình dạy và học:
Qua tham khảo sổ điểm, các bài kiểm tra khảo sát chất lượng của học sinh;
qua trao đổi trực tiếp với các giáo viên bộ môn và học sinh chúng tôi thu được kết
quả như sau:
+ Đối với giáo viên:
Đã áp dụng các phương pháp dạy học khác nhau khi giảng dạy nhưng chưa
nhiều. Đại bộ phận giáo viên dạy theo phương pháp truyền thống, chưa quan tâm hết
đến các đối tượng học sinh, ít trú trọng đến việc phát huy tính tự giác tích cực của học
sinh; việc đầu tư chuyên môn chưa cao, chưa chịu khó học hỏi và trau dồi chuyên
môn, nghiệp vụ. Trong dạy học, giáo viên chưa quan tâm tới việc giúp học sinh tự
mình phát hiện, khám phá, tự mình vận dụng kiến thức tìm tòi mở rộng các vấn đề,
chưa đặt vấn đề tự học vào đúng vị trí của nó, điều này ảnh hưởng nghiêm trọng đến
chất lượng học tập của học sinh.
Thời gian lên lớp hạn chế (45 phút/tiết), khối lượng kiến thức và yêu cầu truyền
đạt theo SGK thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối chương trình nên chưa phát
huy được tính độc lập của học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập
khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 11
+ Đối với học sinh:
Chất lượng học tập Hình học 10 của học sinh còn thấp; đa số học sinh cho rằng
Hình học 10 là môn học trừu tượng, khó hiểu nhưng vì bắt buộc phải học nên chưa có
hứng thú trong học tập; khả năng tự học còn kém, thường thì chỉ học những nội dung
mà giáo viên giảng dạy trên lớp chứ chưa chịu khó tìm tòi khám phá thêm kiến thức;
đối với các hình thức dạy học tích cực khi được thực hiện học sinh chưa thật sự tham
gia vào hoạt động; kỹ năng vận dụng vào thực tiễn yếu.
1.6. Kết luận chƣơng 1
Trong chương này luận văn đã làm rõ hơn các khái niệm tư duy, tư duy sáng

phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo toán học của học sinh để xây dựng các biện
pháp sư phạm phù hợp góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học bài tập hình học không gian.
- Mang tính khả thi, tính thực tiễn và tránh khuynh hướng lý thuyết hóa, có thể
vận dụng thực hiện hiệu quả trong mỗi điều kiện thực tế của quá trình dạy học.
- Có phổ ứng dụng rộng trong dạy học nói chung, có thể áp dụng ở mức độ nào
đó đối với dạy học một số môn học khác chứ không chỉ đơn thuần chỉ với bài tập
hình học không gian.
- Quán triệt các nguyên lý giáo dục trong môn Toán, phải hướng hoạt động dạy
học bài tập hình học không gian vào phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 13
- Các biện pháp sư phạm nằm trong một chỉnh thể logic, đồng bộ, không mâu
thuẫn, tác động và hỗ trợ nhau để thực hiện mục tiêu xuyên suốt là rèn luyện tư duy
logic, tư duy biện chứng và tư duy sáng tạo cho học sinh.
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm bồi dƣỡng các yếu tố cơ bản của tƣ duy
sáng tạo trong DH giải bài tập Hình học phẳng ở trƣờng THPT
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh biết khai thác kiến thức hình học tổng
hợp trong giải quyết các bài toán
a) Mục tiêu của biện pháp: Nhằm rèn luyện cho học sinh tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo.
b) Cơ sở lý luận: Việc rèn luyện cho học sinh thói quen khai thác các kiến
thức hình học tổng hợp để giải các bài toán là một yếu tố quan trọng vì có nhiều bài
toán học sinh dễ dàng làm được bằng phương pháp tọa độ thuần túy mà không cần vẽ
hình cũng như sử dụng các kết quả được suy luận ra dựa trên hình vẽ và các tính chất
hình học. Tuy nhiên cũng có không ít bài toán có lời giải phức tạp thậm chí không
giải được nhưng khi học sinh biết phân tích đề bài, mềm dẻo, linh hoạt trong việc kết
hợp các giả thiết của bài toán với các kiến thức đã biết để tìm ra một số giả thiết mới

2
sao cho
12
IA IB IBd
2
d
1
A

I

B
1
B
2
I
1
I
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 14
- Tìm được tọa độ 2 điểm I
1
, I
2

66
( 2;2 2), ( 2 ;2), ( 2 ;2)
33
A B C
.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phân tích: Với ví dụ trên, học sinh có thể làm theo các cách như:
- Cách 1: Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn.
+ Hướng 1: Tân I là giao điểm của 2 đường trung trực
+ Hướng 2: Tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
- Cách 2: Gọi phương trình đường tròn có dạng:
22
2 2 0.x y ax by c
ĐK:
22
0a b c

Tuy nhiên vì tọa độ các điểm A, B, C lẻ nên việc tính toán khá công kềnh. Nếu
chú ý đến đặc điểm tam giác thì chúng ta có lời giải ngắn gọn hơn. Thật vậy:
Ta có:
24 24 24
;;
3 3 3
AB BC AC
. Từ đó suy ra tam giác ABC đều, do đó
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trọng tâm G của tam giác.
Do đó, đường tròn cần tìm có tâm và bán kính là:
28
( 2;2 );
33

( )
o
min
MA MB M M M,A,B+ Û º Û

,MA MB
 
cùng phương
00
0
00
1 x 1 x 1 1
MA k.MB x ( ; )
2 x 4 x 4 4
-+
Û = Û = Û = -
- - - +
uuur
uuur

Cách 2: Sử dụng đẳng thức tam giác:
Ta thấy,
:M MA MB AB
.
( )
min
MA MB+
khi M là giao điểm của đường
thẳng d và đường thẳng AB.
Đường thẳng AB đi qua A và có VTCP

M
0
B
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 16
Cách 2: Gọi điểm cần tìm có tọa độ
( ; )xy
, dựa vào các dữ kiện đã cho của bài
toán tìm x, y.
Đối với bài toán trên học sinh hoàn toàn có thể tìm được tọa độ điểm B là giao
điểm của đường thẳng d đi qua A, vuông góc với . Nhưng khi tìm tọa độ điểm C
học sinh sẽ không làm được như vậy vì học sinh chưa được học đến cách viết phương
trình đường thẳng khi biết hệ số góc mà cần phải gọi điểm
( ; )C x y
sau đó dựa vào
điều kiện C nằm trên và
AB BC
để tìm tọa độ điểm C.
Từ đó học sinh có thể giải chi tiết như sau:
- Tìm toạ độ điểm B:
Gọi
d
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
Khi đó
:2( 1) ( 3) 0 2 1 0d x y x y

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
2 2 0 0

c
C
c
C
x
y
C
x
y

- Tìm tọa độ điểm D:
Gọi
( ; )
DD
D x y
. Ta có:
2 1 1
2 2 4
DD
DD
xx
AB DC
yy
 

Vậy, tọa độ các điểm cần tìm là:
(0;1); (2;2); (1;4)B C D
.
Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy khi tìm tọa độ của một điểm học sinh dễ
dàng chuyển từ cách tìm giao điểm của hai đường thẳng sang cách gọi tọa cần tìm là

MP
R
. Cụ thể, chúng ta có
các lời giải sau:
Cách 1: Gọi
( ; )I a b
và R là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm.
Ta có:
IM IN IP
, hay:
2 2 2 2
2 2 2 2
(1 ) ( 2 ) (1 ) (2 ) 3
0
(1 ) ( 2 ) (5 ) (2 )
x y x y x
y
x y x y

Vậy, đường tròn cần tìm là:
22
( 3) 8xy

Cách 2: Gọi
12
,dd
lần lượt là đường trung trực của đoạn thẳng NM, NP.
Ta có: đường thẳng
1
d

Cách 3: Gọi đường tròn có dạng:
22
2 2 0.x y ax by c
ĐK:
22
0a b c

Vì đường tròn đi qua 3 điểm N, M, P nên ta có hệ:
2
1 ( 2) 2 4 0 3
1 4 2 4 2 0 0
25 4 10 4 0 1
a b c a
a b b
a b c c

Vậy, đường tròn cần tìm là:
22
( 3) 8xy

Cách 4: Dựa vào đặc điểm
MNP
:
Ta có:
(0;4), (4;0), 4 2NM NP MP
 

Từ đó suy ra:
.0NM NP NM NP
   

ABC
biết
(1;2)A
và 2 đường trung tuyến lần lượt là
2 1 0, 1 0x y y
. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
.
Phân tích: Với yêu cầu bài toán là xác định tọa độ một điểm trong mặt phẳng
thì cần gợi cho học sinh những cách tìm như sau:
- Tọa độ một điểm là giao điểm của 2 đường thẳng cắt nhau.
- Gọi tọa độ điểm cần tìm là
( ; )M x y
. Sử dụng các giả thiết của bài toán tìm
được
,xy
.
Dựa vào cách phân tích trên ta có thể định hướng cho học sinh giải như sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 19
Cách 1: Tìm tọa độ điểm dựa vào 2 đường thẳng cắt nhau
Ta thấy điểm A không thuộc 2 đường trung tuyến đã cho, do đó 2 đường trung
tuyến phải xuất phát từ 2 đỉnh B và C.
Gọi
1
: 2 1 0d x y
và
2

12
,dd
về dạng tham số, từ đó suy ra tọa độ điểm B, C.
+ Từ
3
3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y y
tìm được tham số và tìm được tọa độ điểm B, C.
Cách 2: Gọi tọa độ điểm cần tìm là
( ; )xy
.
Gọi
1
( ; )B x y d
;
1
C
là trung điểm của AB thì
12
Cd
. Từ đó tìm được tọa độ
điểm B.
Tương tự đối với điểm C.
Từ cách phân tích trên, bài toán có thể giải theo các cách sau:
Cách 1: Ta thấy điểm A không thuộc 2 đường trung tuyến trên, gọi
1
: 2 1 0d x y