A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT
PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp giải.
Cách 1:
- Đưa phương tnh đă cho về dạng: (C) : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (1)
- Xét dấu biểu thức P = a
2
+ b
2
– c
+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =
2 2
a b c+ −
+ Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= P (2).
+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R =
P
+ Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và
bán kính nếu có.
a) x

c) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và
bán kính R =
5
2
7
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x
2
và y
2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x
2
+ y
2
-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn ⇔ a
2
+ b
2
– c > 0 ⇔ m
2
– 3m + 2 > 0 ⇔
2
1

c) Có R
2
= 2 sin
2
α ≤ 2. R
max
=
2
⇔ anpha = π /2 + k π
d) Toạ độ tâm I:
os
sin
x c
y
α
α
=


=

Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương
trình đường tròn: x
2
+ y
2

= 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.

c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
Giải:
2 2
1 5+
=
26
a) Đường tròn này có bán kính là OI =
2 2
1 5+
=
26

phương trình đường tròn có dạng (x-1)
2
+ (y+5)
2
= 26
2
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =
2 13
13
2
=
 Phương trình đường tròn: (x-4)
2
+ (y-3)
2
= 13
d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x
2
+ y
2
+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ ).= R
- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R
- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
⇔ d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.
Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )
Ta có: R = d(I;;∆ ) =
3
3
1
=

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)

1
5
R
R
=


=

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)
2
+ (y+1)
2
= 1
(x-5)
2
+ (y+5)
2
= 25
3
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d
1
: 3x + 4y + 5 = 0 và d
2
: 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình
đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d
1
và d
2


*) Với a = 0 ⇒ I(10;0) và R = 7 ⇒ ptđt: (x-10)
2
+ y
2
= 49
*) Với a = -70/33 ⇒ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)
2
+ (y+70/33)
2
= (97/33)
2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +
13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
Giải:
Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường
thẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
⇒
2 2
7 7 5 13
(1)
5 2 2
13
(1 ) (2 ) (2)
2
x x y
x y
x y


2
= 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x
2
+ 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)
2
+ (y-3)
2
= 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y –
35; x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường
thẳng đã cho bằng nhau:
4
⇒
3 4 35 3 4 35
(1)
5 5
1
3 4 35
(2)
1
5
x y x y
x
x y

+ − − −

x R
y
x R

= = ± =


= − =


= ⇒


= =


Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)
2
+ y
2
= 256
(x-5)
2
+ y
2
= 16
(x-35/3)
2
+ (y+40/3)

10
b− +
.
⇒
2 40
18 14 3
8
10
b R
b b
b
R

= − =

− = − ⇔ ⇒


=
=



Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)
2
+ (y+2)
2
= 40
(x-5)

(x-4)
2
+ (y-3)
2
= 25
b) Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 ⇒ r =
S
p
=2
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)
2
+ (y-2)
2
= 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
4 3 65 7 24 5 3 4 5

x y by c
+ + =


+ − − + =

- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc với
đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròn
tại hai điểm phân biệt
Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.
TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.
Nhận xét:
Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm
đến toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R =
13
a) Viết phương trình đường tròn.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.

5
Khoảng cách từ tâm I đến d là h =
2
3
1
m
m
+
+
TH1:
2
3
1
m
m
+
+
<
5
⇔ (m+3)
2
<5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4> 0 ⇔
1
2
2
m


= −


=

⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).
TH3:
2
3
1
m
m
+
+
>
5
⇔ (m+3)
2
>5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2
⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x
2
+ y
2

đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
min
⇔ d(I;AB)
max
= ID
⇔ AB ⊥ ID tại D ⇒ ∆
1
đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình có
dạng: x-4y+3 = 0.
c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P =
.DA DB
uuur uuur
=-2DA
2

mà P = ID
2
– R
2
= 17 – 25 = -8 ⇒ DA
2
= 4
⇒ (x
A
– 1)
2
+ (y
A
– 1)
2

M và nhận
IM
uuur
(x
0
– a; y
0
– b) làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:
(x
0
– a)(x- x
0
) + (y
0
– a)(y- y
0
) = 0 (1)
Chú ý:
+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x
0
– a)(x- a) + (y
0
– a)(y- b) = R
2
(1a)
+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến

9
∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I;∆ ) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆ có
phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.
+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ có dạng: y =
k(x-x
0
) + y
0
.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.
Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:
- Tính IM.
- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn
+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.
+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.
Cách 2:
- Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: a(x-x
0
) + b(y-y
0
) = 0 trong đó a
2
+ b
2
≠ 0.
- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇔ d(I;∆ ) = R (*)
- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên
có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
Giải:

(3 1) ( 1 3)a b
a b
− + − −
+
=2 ⇔ (a - 2b)
2
= (a
2
+ b
2
) ⇔ 3b
2
-4ab = 0 ⇔
0
4
3
b
b a
=



=

.
*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.
*) Nếu b=
4
3
a. Chọn a = 3, b = 4

3
4
(x–1) + 3 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0
Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp
lại khá ngắn gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạn
chế. Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xét
trường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc)
và do đó bài toán sẽ mất nghiệm.
Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x
2
+ y
2
+4x +4y -17 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)
b) d đi qua A(3;6)
c) d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = 0
Giải:
Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5
a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.
Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại
M(2;1) là:
11
2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0
⇔ 4x + 3y-11 = 0.
b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.
Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:
a(x – 2) + b( y – 6) = 0
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R
⇔

2 c+
=25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn x
2
+ y
2
-2x -6y + 6 = 0 và điểm M(2;4).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho
M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
Đại học Tài chính kế toán- 1997
Giải:
Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2.
a) Ta có: IM =
2
< 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đều
cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm
của AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận
IM
uuur
(1;1) làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆:
x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0.
b) Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0
12
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
1 3
1 1
m+ −

Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.
Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2
2 6 6 0
x
x y x y
=


+ − − + =

⇔
2
2
x
y
=


=

⇒ M(2; 2)
Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
5
2 6 6 0
y
x y x y
=

1
x y
a b
+ =
⇔ bx + ay – ab = 0
S
AOB
= 4 ⇒
1
2
ab
=4 ⇒ ab = 8.
AB tiếp xúc với (C) ⇒ d(I,AB) = R ⇔
2 2
b a ab
a b
− −
+
=
5
⇒ b – a = -2 ⇒
4
2
a
b
=


=


1 0
( 1) ( 2) 20
x y
x y
− + =


+ + − =

Giải hệ này ta được: x = -3, y = -2
x = 3, y = 4.
Vậy có hai điểm M thoả mãn M
1
(-3;-2) và M
2
(3;4)
VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn: (C1): x
2
+ y
2
-2a
1
x -2b
1
y + c
1
= 0
(C2): x

- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C1) và (C2) có một giao điểm ⇒(C1) tiếp
xúc với (C2)
. - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai giao điểm .
- Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)
Phương pháp 2:
- (C1) có tâm I
1
(a
1
; b
1
) và bán kính R
1
- (C2) có tâm I
2
(a
2
; b
2
) và bán kính R
2
- Tính I
1
I
2
= d
- Biện luận vị trí tương đối:
+ Nếu
1 2 1 2
R R d R R− < < +

-2x -6y +-15 = 0
(C) x
2
+ y
2
-6x -2y -3 = 0
Giải:
(C1) có tâm I
1
(1;3) và bán kính R
1
= 5
(C2) có tâm I
2
(3;1) và bán kính R
2
=
13
I
1
I
2
= 2
2
Ta thấy:
1 2 1 2 1 2
R R I I R R− < < +
⇒ hai đường tròn cắt nhau.
Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: (C): x
2

Để viết phương trình tiếp tuyến chung ∆ của hai đường tròn ta làm như sau:
*) Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m( đường thẳng không có hệ số góc) có
phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn không.
*) Xét ∆ : y = ax+ b.
Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔ khoảng cách từ I
1
đến ∆
= R
1
và khoảng cách từ I
2
đến ∆ = R
2
⇔
1 1
2 2
( ; )
( ; )
d I R
d I R
∆ =


∆ =

Giải hệ này ta sẽ tìm được a và b.
Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn:
(C1): x
2
+ y

=

hoặc
3
4
x
y
=


=

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
*) Xét đường thẳng x = m ⇔ x – m = 0.
Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔
4 10
3 5
2 2
m
m

− =


− =


hệ này vô
nghiệm ⇒ đường thẳng dạng x = m không phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
*) Xét đường thẳng ∆ có dạng: y = ax + b ⇒ ax – y + b = 0




=



−

=







=




⇒ có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + 3 và y = -1/3 x + 17/3
VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN
Trong vấn đề này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như
sau:
Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) = 0
Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (Cm)
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của
m bằng 0 kể cả hệ số tự do.
- Giải hệ đó ta sẽ tìm được x
0
và y
0
.
Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.
Phương pháp giải:
- Giải sử A(x
0
;y
0)
) là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m
⇔ phương trình f(x
0
, y
0
, m) = 0 vô nghiệm m.
- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của
m bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.
- Giải hệ đó ta sẽ tìm được điều kiện của x
0
và y
0
.
17
Ví dụ 26: Cho (Cm): x
2
+ y

1 1 2 2
2 2
1 1
m m
m m
− + − + +
= −
+
⇔
2
1
m
m
=


= −

(tm)
b) Từ giả thiết ⇒ AHIK là hình vuông ⇒ AI = R
2
⇒ m = 4±
41
c) Từ giả thiết ⇒
¼
¼
0
0
5
5





= −


(tm)
Ví dụ 27: Cho đường cong: (Cm) có phương trình: x
2
+ y
2
+(m+2)x –(m+4)y + m+1 = 0
a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Tìm tập hợp các tâm của đưòng tròn khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố
định.
d) Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ (Cm) không đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị
nào.
Giải: a)Ta có : a
2
+ b
2
– c =
2
4 8
2
m m+ +
> 0 ∀ m ⇒ (Cm) là đường tròn với mọi m.
b) Toạ độ tâm I của đường tròn là

0
) là điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua. Khi đó ta có:
x
0
2
+ y
0
2
+(m+2)x
0
–(m+4)y
0
+ m+1 = 0 ∀ m.
⇔ (x
0
– y
0
+ 1) m + x
0
2
+ y
0
2
+ 2x
0
– 4y
0
+ 1 = 0 ∀ m
⇔
0


+ + − + =
=





=



. Vậy có hai điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua ∀
m
d) (Cm) không đi qua điểm (x
1
;y
1
) với mọi m
khi và chỉ khi phương trình ẩn m:
(x
1
– y
1
+ 1) m + x
1
2
+ y
1
2

giá trị của m là đường thẳng ∆ có phương trình y = x + 1, bỏ đi hai điểm M
1
( -1;0) và M
2
(1;2).
B. BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC.
Bài 1: Đại học cao đẳng khối D năm 2003.
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): (x-1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d:
x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với (C) qua d. Tìm toạ độ các
giao điểm của (C) và (C).
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 2. Khi đó (C) là đường tròn có tâm I'
là điểm đối xứng của I qua d và cững có bán kính bằng 2.
*) Tìm I'.
Gọi H là hình chiếu của I trên d dễ dàng tìm được toạ độ của H là H(2;1).
⇒ Toạ độ của I' là (3;0) ⇒ phương trình (C) là: (x – 3)
2
+ (y
2
= 4
*) Giao của (C) và (C) chính là giao của d với (C).
Xét hệ phương trình:
2 2
1 0
( 1) ( 2) 4
x y
x y

2
+ (y
0
– 4)2

= 25 ⇔ y
0
2
– 8y
0
+ 7 = 0 ⇒ y
0
= 7 hoặc
y
0
= 1.
Vậy có hai đường tròn thoả mãn là: (C): (x – 2)
2
+ ( y – 7)
2
= 49
(x – 2)
2
+ ( y – 1)
2
=1
Bài 3: Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006.
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): x
2
+ y

) và T
2
(x
2
;y
2
) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến MT
1

và MT
2
.
Phương trình tiếp tuyến MT
1
có dạng: (x – 1)(x
1
– 1) + (y – 3)(y
1
– 3) = 4
Phương trình tiếp tuyến MT
2
có dạng: (x – 1)(x
2
– 1) + (y – 3)(y
2
– 3) = 4
Do hai tiếp tuyến đều đi qua điểm M(-3;1) ⇒
1 1
2 2
4(1 ) 2(3 ) 4

2
và vuông góc
với MI ⇒ phương trình T
1
T
2
là: 2x + y – 3 = 0.
20
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm A(8; 0), B(0;6), C(9; 3). Chứng minh ABC là
tam giác vuông và viết phương trình đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác.
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ viết phương trình đường tròn qua A(2;4) và tiếp xúc với
đường tròn: (C): x
2
+ y
2
-2x -4y + 4= 0
Đáp số: x = 2 và 3x – 4y + 10 = 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho đuờng tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 3)
2
= 9 và đường thẳng d:
x – 3y – 1 = 0.
1/ Tìm điểm A, B là giao của d với (C).
2/ Tìm C để tam giác ABC là tam giác vuông và nội tiếp trong (C).
Đáp số: 1/ A(1;0), B(-4/5; -3/5)
2/ C(14/5; -27/5) hoặc C(1;-6)
Bài 4: Cho đuờng tròn (C) x
2

-1)
2
Bài 7: Cho hai đường tròn (C) : x
2
+ y
2
-x -6y + 8 = 0và (C) : x
2
+ y
2
-2mx -1 = 0
Tìm m để (C) tiếp xúc với (C). Nói rõ loại tiếp xúc.
Đáp số: (C) tiếp xúc ngoài với (C): m = 2 hoặc m = -11/2.
- Không có tiếp xúc trong.
Bài 8: Có bao nhiêu tiếp tuyến chung với hai đường tròn (C1) và (C2) sau:
(C1): x
2
+ y
2
-4x -6y + 8 = 0
(C2): x
2
+ y
2
-16x + 44 = 0
Đáp số: (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) nên có 3 tiếp tuyến chung.
Bài 9 : Cho hai họ đường thẳng phụ thuộc tham số m: d: mx – y – m = 0, d': x + my + 5 =
0.
21
Chứng minh rằng khi m thay đổi giao điểm I của hai đường thẳng nằm trên một