PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Phương trình tham số - phương trình chính tắc
Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ chỉ phương
( ; ; )u a b c
r
thì d có:
* Phương trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

t

/ / /
0
/ / /
0
.
.
.
x x a t
y y b t
z z c t

= +

= +


= +

d đi qua M(x
0
; y
0;
z
0
) và có vectơ chỉ phương là
( ; ; )u a b c
r
d
/
đi qua

.
* th2:
u
r
và
/
u
r
không cùng phương, ta giải hệ phương trình:
/ / /
0 0
/ / /
0 0
/ / /
0 0
.
.
.
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
+ = +


+ = +


+ = +

+ Nếu hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì d và d


=


= − +

và mp(P): x + y + z – 3 = 0
Viết phương trình hình chiếu vuông góc d
/
của d lên (P).
4. Cho tam giác ABC có A(3;2-1), B(1;4;-2), C(5;-2;3)
Viết phương trình của:
a. Trung tuyến AM b. Đường cao AH của tam giác ABC.
5. Tìm phương trình đường thẳng d:
a. Song song với đường thẳng:
1 1
2 1 2
x y z− −
= =
−
và cắt cả hai đường thẳng
1
2
1
x t
y t
z t
= − +



là giao tuyến của hai mặt phẳng
x +y +z -1= 0; y + 2z -2 = 0
c. Qua B(3;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng d
1
:
1 3
2
x t
y t
z t
= +


= − +


=

và d
/
với d
/
là giao tuyến của hai mặt phẳng
2x +y -z + 2= 0; x - 2 y + 3z -5 = 0
6. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):
a. Qua điểm A(2;-3;1) và đường thẳng
4 2
2 3
3
x t

1 2 8
2 6 8
x y z− + −
= =
−
và
2 3 1
3 9 12
x y z+ − +
= =
− −
b.
2
1 2
3 4
x t
y t
z t
= +


= +


= −

và
1 2
2 4
5 3

y t
z t
=


= +


= −

d.
12 9
10 5
5
x t
y t
z t
= − +


= − +


= − +

và
6 9
5
3
x t

1 2 1
2 1 1
x y z− + −
= =
−
(P): 4x – y –z + 5 = 0
c. d:
5
1 9
4
x t
y t
z t
=


= +


= +

(P): 4x – 3y + 7z – 7 = 0
d.
1 2
2 4
3
x t
y t
z t
= +


= +

11. Cho mặt phẳng (
α
): x – 2y – 2z – 6 = 0 và đường thẳng d:
1 1 1
6 1 1
x y z− − −
= =
− −
a. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (
α
)
b. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(
α
) và vuông góc với đường thẳng d tại A.
12. Cho hai mặt phẳng
( )
α
: x – 2y + 2z – 1 = 0;
( )
β
: x + 6y + 2z + 3 = 0
a. Tìm phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
) và
( )
β
b. Tìm phương trình đường thẳng d qua A(-1;2;3) và song song với hai mặt phẳng (

= =
−
và
7 3
2 2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= −

15. Viết phương trình của đường thẳng nằm trên mp y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng:

1
4
x t
y t
z t
= −


=



A(1;1;-2) song song với mp(P) và vuông góc với d.
18. Cho A(3;2;1) và đường thẳng d:
3
2 4 1
x y z +
= =
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d
b.Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt d.
19. Cho mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0 và điểm M(1;2-1)
a. Tính khoảng cách từ M đến (P) b. Tìm tọa dộ M’

đối xúng với M qua (P)
20. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (
α
): 2x – y + 2z – 3 = 0 và cách M(1;2;3) một khoảng bằng 5
21. Tìm phương trình tổng quát của mp(P)
a. Qua A(0;1;2) và song song với (Q): x – 2y – z = 0. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
b. Cách mp(
α
): 3x – y + z – 2 = 0 một khoảng bằng
11
22. Tính khoảng cách giữa hai mp song song:
a. x + y – z + 4 = 0 và 2x + 2y – 2z – 5 = 0 b. 2x – y + 2z – 4 = 0 và -4x + 2y – 4z – 7 = 0
23. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a. M(1;0;2) và d:
2
2 2
3
x t
y t

/
:
3 3 2
2 1 2
x y z+ + +
= =
b. d:
1 6 2
2 1 2
x y z+ − +
= =
−
và d
/
:
2
2
3
x t
y t
z t
= − +


=


= −



1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và cắt d
2
:
1
3
x
y t
z t
= −


=


= +

b. Qua B(3;2;1), vuông góc và cắt d
/
:
3
2 4 1
x y z +
= =
28. Cho đường thẳng d:
1 2
2

và d
2
:
7 3
1 2
8
x t
y t
z
= − +


= − +


=

b. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2

+ y
2
+ z
2
– 6x - 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4;3;0)
30. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu cho bởi phương trình sau:
a. (S): x
2

+ y

32. Cho mặt cầu (S): (x + 2)
2
+ (y -1)
2
+ (z + 5)
2
= 49 và đường thẳng d:
5 3
11 5
9 4
x t
y t
z t
= − +


= − +


= −

Tìm tọa độ giao điểm của d với (S), viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm nói trên.
33. Cho mp(P): 2x – 3y – 6z + 10 = 0 và đường thẳng d:
7 3
13 9
1 2
x t
y t
z t
= − +