Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9Tập 2
Họ và tên :___________________________________
Lớp :______________________________________
Trang 1
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi E, F là trực tâm tam giác ABO, ACO. D
là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN. Đường vuông góc với
AN tại N cắt AM , AB tại Q, P. Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K.
Chứng minh KQ vuông góc BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường
thẳng m,n,p.m cắt n tại C1.m cắt p tạí B1.Va n căt p tại A1.Goi M la điêm bất kỳ
không thuộc AA1 ,BB1,CC1
CMR:tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1,MBB1,MCC1 thẳng hang
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có BADˆ tù
Đường thẳng qua A vuông góc với AD,AB cắt CB,CD tại E,F.
Chứng minh rằng O,E,F thẳng hang
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). MN là dây cung chuyển động nhưng độ dài
không đổi. Chứng minh đường thẳng Simson của M và N với tam giác ABC hợp
với nhau 1 góc không đổi.
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH vẽ ra phía ngoài tam giác hai tia
Ax,Ay tạo với AB,AC hai góc nhọn bằng nhau gọi I và K là hình chiếu của B,C trên
Ax,Ay M là trung điểm của BC cmr:
a> MI=MK
b>I,M,K,H cùng thuộc một đường tròn
Bài 7: Cho hình vuông ABCD.Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở

trên một đoạn thẳng cố định. Tìm vị trí của M,N để MN min
c) Qua O' kẻ các đường thẳng song song voi cac cạnh của tam giác. Mỗi đường
thẳng này cắt hai cạnh còn lại của tam giác tao thành các đoạn thẳng MN, PQ, KL.
C/m: MN2+PQ2+KL2≥16r2
Bài 13: Cho ABC, kẻ đường cao AH. Nửa đường tròn đường kính MN tiếp xúc
với AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC)
CMR: AH, BB', CC' đồng quy
Bài 14: Cho ABC, Gọi (O1),(O2),(O3) lần lượt là các đường tròn bàng tiếp
Aˆ,Bˆ,Cˆ và các tiếp điểm tương ứng là A', B', C'
Trang 3
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9CMR: AA', BB', CC'đồng quy tại M ( gọi là điểm Naghen)
Bài 15: Cho △ABC,I la giao diem cac duong phan giac trong tam giac .duong
thang d qua I cat tia BC va cac doan AC,AB lan luot tai D,E,F. CMRP:
BC.ID+AC.IE=AB.IF
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên
đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn
AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng BO,OF,BF,CE.
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng.
Bài 17: (O) (O') {M,N}. tiếp tuyến chung ngoài AB, cát tuyến CD qua M
không song song với AB. AC cắt BD ở E, AN cắt CD ở P, BN cắt CD ở Q.
CM EPQ cân.
Bài 18: Cho tam giac ABC vuông ở A.trên tia AB lấy E trên tia AC lấy F sao cho
BE=CF=BC.trên đường tròn đường kính BC lấy điểmM.CMR:MA+MB+MC
FE

AC.CMR:MN song song với BC
Bài 29: Cho tam giác ABC.M Chuyển động trên cạnh BC.Vẽ hình bình hành
MEAF với E AB,F AC.Gọi N là điểm chia đoạn EF theo tỉ số 1/3.Tm giác
ANK vuông cân tại N.Tìm tập hợp K
Bài 30: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến
MA, MB (A,B là tiếp điểm ) và một đưởng thẳng qua M cắt đường tròn tại C và
D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E,F,K lần lượt là các giao điểm của đường
thẳng AB với các đường thẳng MO,MD,OI.
Trang 5
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 91/Chứng mình rằng R2=OE.OM=OI.OK
2) Chứng minh rằng 5 điểm M,A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
3) Khi CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng DECˆ=2DBCˆ
Bài 31: Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE,PF tới đường
tròn (E,F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai
điểm A,B ( A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q.
a) Khi cat tuyến đi qua O, Chứng minh : PAPB=QAQB(1)
b) đẳng thức (1) có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm O?
Hãy chứng minh điều đó.
Bài 32: Cho ABC nhọn . M di động trên[BC]. Đường tròn đường kính AM
cắt AB,AC ở P,Q. Tiếp tuyến của nó tại P,Q cắt nhau ở T.
Tìm quĩ tích T khi M di động
Bài 33: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M,N lần lượt nằm trên [AB],[CA]. K là
trung điểm MN.d là trung trực [BC].(AMC) (ANB)={A,T}.
C/m:AT đi qua O d đi qua K.
Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất
kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho

thẳng qua D vuông góc với DC cắt lại đường tròn tại K. Chứng minh rằng nếu K
không trùng E thì KE song song AB
Bài 41: Cho tam giác ABC,đg cao BB',CC'.
L,M,N là trung điểm C'B',BC',CB'.
Đường thẳng qua M vuông góc với BL cắt đg thg qua N vuông góc với CL tại K.
CMR:KB=KC
Bài 42: cho tam giác ABC có đường tròn (O) qua B và C cắt AB và AC lần lượt
tại E và F.Một đường tròn(T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc ngoài với cung EF
của đưởn tròn (T) tại M.chứng minh phân giac' góc BMC đi qua tâm đưởng tròn
nội tiếp tam giác ABC
Bài 43: cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB
Trang 7
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9và BC lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm
BD,GE và FH đồng quy
Bài 44:
1.ΔABCVẽ ra ngoài 2 ΔABE,ACF vuông cân tại A.M tđ BC. CMR:MA⊥EF
2.ΔABCVẽ ra ngoài 3 ΔABE,ACF,BCK đều.G trọng tâm BCK. CMR:GA⊥EF
Bài 45: Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên
các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:
AMAB=BNBC=CPCD=DQDE=EREF=FSFA
Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua
một điểm cố định
Bài 46: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi K là trung điểm đường
cao. Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC. Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N
Bài 47: Cho tam giác ABC.I là điểm bên trong tam giác ABC sao cho góc IBA
bằng góc ICA .IM vuông góc với AB tại M,IN vuông góc với AC tại N.D là trung

qua A cắt đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Tìm quĩ tích
P.
Bài 54: Cho tam giác ABC. Trực tâm H. Kẻ AA', BB', CC' sao cho các tia phân
giác của các góc A'AH, B'BH, C'CH song song với nhau. CMR các đường thằng
AA', BB', CC' đồng qui tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 55: cho hình bình hành ABC. Trên BA và CD lấy M và K sao cho AM=CK.
Trên AD lấy P tùy ý. MK cắt PB và PC tại E và F.
Chứng minhSPEF=SBME+SCKF
Bài 56: cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi I là giao điểm của
AC và BD.Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD . Qua I ,dựng đường
thẳng d bất kì cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD và đường tròn
ngọai tiếp tứ giác ABCD lần lượt tại 4 điểm M ,N,P,Q.Chứng minh MN = PQ
Bài 57: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.MN là một đường
kính di động của đường tròn này.Gọi m là đường thẳng sim son được vẽ từ điểm
Trang 9
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9M xuống các cạnh của tam giác ABC.Định nghĩa tương tự với đối với đường
thẳng n(được vẽ bởi điểm N).Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng sim son m và
n.Tìm quỹ tích của I.
Bài 58:cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường
thẳng m,n,p. đường thẳng m cắt n tại C1. đường thẳng m cắt p tạí B1. Và đường
thẳng n cắt p tại A1. Gọi M là điểm bất kỳ không thuộc AA1 , BB1, CC1
CMR: tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1, MBB1, MCC1 thẳng
hàng
Bài 59:Chứng minh rằng: không thể phủ đươc 1 hình vuông cạnh là 5 bởi 3 hình
vuông có cạnh là 4
Bài 60 :Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=10. Tam giác DEF vuông
cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC).

trên còn đúng không.
Bài 65:
1/Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B,C). Vẽ MD
vuông góc AB và ME vuông góc AC ( D thuộc AB, E thuộc AC).Xác định vị trí
của M để diện tích tam giác MDE max.
2/Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') với R'>R, cắt nhau tại hai điểm A,B. Tia OA
cắt (O') tại C và tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACD tại E. So sánh BC và BE.
3/Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại
tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của (O) lấy M bất kì khác A.Trên tiếp
tuyến tại M của (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA.Đường thẳng BM
cắt (O) tại điểm thứ hai N.
a) CM: BDNE nội tiếp.
b) CMR đường tròn ngoại tiép tứ giác BDNE tiếp xúc với (O).
Bài 66:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH(H thuộc BC). Lấy D trong
AH.
Qua D vẽ Dx vuông góc với AH. Dx cắt AC tại E. Trên tia AH lấy F sao cho
AD=HF.
Trang
11
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9Tính góc BFE
Bài 67 :Cho góc xBy, từ điểm A thuộc Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ
AD vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.
a)Chứng minh: tứ giác ABHD nội tiếp. Xác định tâm O và vẽ đường tròn đó.
b)Chứng minh: OD vuông góc với AH
c)Tiếp tuyến tại A với đường tròn tâm O cắt By ở C, đường thẳng BD cắt AC tại
E.Chứng minh: HDEC nội tiếp.

a)ARMS là hình gì?
b)Tìm quỹ tích các trung điểm I của RS khi M thay đổi trên BC
Bài 73:Một mảnh vải dạng hình thang vuông ABCD.AB là đường cao và có độ
dài 16m.BC=28m.Đáy AD=12m.Muốn cắt từ mảnh vải đó ra 2 hình chữ nhật bởi
2 nhát cắt song song với AB và BC thì phải cắt như thế nào?
Bài 74:Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, có chu vi là 20 cm, một đường tròn
nội tiếp . Một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với cạnh BC cắt hai
cạnh còn lại tại MN. MN dài 2.4 cm. Tính BC.
Bài 75:Cho hình chữ nhâ.t ABCD có AB=18cm,AD=12cm.GỌi E là điểm tùy ý
trên AB.Tia DE cắt tia CB ở G,cắt AC ở F.
a)Chứng minh rằng: FD^2=FE.FG
b)Tính độ dài các đoạn DE,DG,DF tronh trường hợp E là trung điểm của AB
Bài 76:cho tam giac ABC , phân giác AD,BE,CF .AD cắt EF ở A', BE cắt DF ở
B', CF cắt DE ở C' .Chứng minh AA'=BB'=CC' khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Bài 77:Cho hình vuông có cạnh là 1 cm và tứ giác lồi nội tiêp hình vuông đó sao
cho diên tích của nó lơn hơn 1/2 ,chứng minh đoạn thẳng có đầu mút nằm ở trên
tứ giác đó và song song với cạnh hình vuông có độ dài lớn hơn ½
Bài 78:Cho lục giác ABCDEF có các tất cả các góc đều bằng nhau.Chứng minh
rắng |AB-DE|=|BC-EF|=|CD-FA|
Bài 79:Cho một hình vuông và 4n+1 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình
vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là 2 : 3. Chứng minh trong 4n+1 đường
thẳng đó có ít nhất n+1 đường thẳng cùng đi qua một điểm .
Bài 80:Cho tứ giác lồi ABCD. K ,M lần luợt là trung điểm của AB ,CD .L và N
trên AD và BC sao cho KLMN là hình chữ nhật. Chứng minh: diện tích
Trang
13
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9KLMN=12 Diện tích ABCD.

thành 10 cung bằng nhau.
CMR: A1A4−A1A2=R
Bài 90: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy E thuộc AB, F thuộc AC sao cho trung
điểm của EF là I thuộc BC.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 91: Cho hai đường tròn tâm O1,O2 cắt nhau ở A và B. Hãy xác định điểm I
sao cho mọi đường tròn đi qua A và I đều cắt hai đường tròn trên ở hai điểm khác
A cách đều I
Bài 92: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây
cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng
tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với
nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện
tích lớn nhất .
Bài 93:Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH. Nửa đường tròn đường kính MN
tiếp xúc với AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC). CMR: AH, BB', CC' đồng quy
Bài 94: cho tam giác ABC. Trên tia AB, CB lấy điểm p và Q sao cho AP=CQ=p
(p là nửa chu vi của tam giác ABC) . BK là đường kính đường tròn (O) ngoại tiếp
tam giác ABC. (O',r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trang
15
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9a) Chứng minh KO' vuông góc với PQ
b) Gọi M là một điểm di động trên tia AB (M khac A va B) , N là điểm di động
trên tia AC sao cho AM+AN=AB=AC không đổi. C/m trung điểm của MN luôn

M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Đường thẳng qua M cắt AB,AC tại P,Q
va cắt đường tròn tại D. BQ giao CP tại N.
CM DN di qua trung điểm BC.
Bài 102:Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là 1 điểm thuộc (O), đường cao
CH, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC, J là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác CHB. Gọi giao điểm của IJ với AC, AB lần lượt tại M và N.
Chứng minh tam giác CMN cân.
Bài 103:Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp trong một
đường tròn là các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh tứ giác và vuông góc
với cạnh đối diện thì đong quy.
Bài 104:Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi M là giao điểm của AC và BE, N là giao
điểm của BD và AC, P là giao điểm của CE và BD, Q là giao điểm của AD và CE,
và R là giao điểm của BE và AD. Hãy so sánh diện tích ngũ giác MNPQR và tổng
diện tích của 5 tam giác MAB,NBC,PCD,QDE,RAE
Bài 105:1 nước có 41 thành phố được nối với nhau bởi các đường 1 chiều .Từ mỗi
tp có đúng 16 đường dẫn đến các tp khác và cũng có đúng 16 đường từ các tp
khác dẫn đến nó CMR: giữa 2 tp bất kì có thể đến được với nhau mà chỉ qua
không quá 2 tp trung gian biết rằng giữa 2 tp bất kì có không quá 1 con đường
trong các đoạn nối trên.
Bài 106:Cho ΔABC nội tiếp đường tròn(O) có BACˆ=60 độ, AK là phân giác
ngoài của BACˆ (K thuộc đường tròn (O)). Gọi F là trung điểm của AK, tia OF cắt
Trang
17
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9đường cao CE của ΔABC tại H.
CMR: BH vuông góc với AC.
Trang
18