BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCLÊ THỊ DUNG
XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG
CÁC ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học: TS. Mai Xuân Thảo
THANH HÓA, NĂM 2014
Mở đầu
1
Như chúng ta đều biết: chuẩn xác định trên không gian các
hàm liên tục bị chặn trên một tập S theo công thức

sup ( )
x S
f f x
∞
∈
=
được gọi là chuẩn đều ( chuẩn Tchebycheff). Bài toán tìm đa
thức gần một tập hợp cho trước theo nghĩa chuẩn đều được gọi là
xấp xỉ Tchebyshew.
Khi xét xấp xỉ hàm liên tục
f
xác định trên đoạn
[ ]
,a b

2
1, , , ,
n
x x x
bằng các hàm
xác định
0 1
, , ,
n
g g g
với đa thức tổng quát có dạng
1
n
i i
i
c g
=
∑
Như vậy, bài toán xấp xỉ có dạng

1
1 2 3 4
( ) log cos ( 2)
x
f x c x c x c e c x
−
≈ + + + −
Trường hợp đặc biệt xét biểu diễn (2) trên
( 1)n +
điểm thì bài

[ ]
;a b
, giả sử
P
là đa thức của
f
tại n nút
i
x
có bậc
n<
nội
suy trong đoạn
[ ]
;a b
và giả sử
W( ) ( )
i
x x x= −
∏
thì ta có:

( )
1
W
!
n
f P f
n
− ≤

≤
2n -1 sao cho
P
và
đạo hàm của nó
'P
nhận các giá trị cho trước tại
n
điểm.
1.2. Định lý Weierstrass
1.2.1 Đa thức Bernstein
Với mỗi
[ ]
0,1f C∈
, một dãy các đa thức gọi là đa thức
Bernstein
n
B f
được xác định bởi công thức
4
0
( )( ) ( ) (1 )
n
k n k
n
k
n
k
B f x f x x
k

B
. Như vậy
với mỗi phần tử
[ ]
0;1f C∈
, có tương ứng một phần tử khác
n
B f
của
[ ]
0;1C
được xác định như ở trên sao cho điều kiện
tuyến tính được thỏa mãn, đó là

( ) ( )
n n n
B af bg aB f bB g+ = +
(2)
Các toán tử
n
B
có thêm tính chất quan trọng, đó là với mọi
[ ]
; 0;1f g C∈
mà
f g≥
thì
n n
B f B g≥
(3)

x
f m f x
∈
=
Sự mở rộng nổi bật về định lí của Benstein hiện tại đã được đưa
ra bởi Bohman và Korovkin, ở đó các tính chất (2),(3),(4) là đủ
5
cho bất kỳ dãy toán tử
n
L
nào có tính chất
n
L f f→
với mọi
[ ]
0;1f C∈
Định lí 1.5 Với mỗi dãy các toán tử tuyến tính đơn điệu
{ }
n
L
trên
[ ]
;C a b
, các điều kiện sau là tương đương
(i)
n
L f f→
( hội tụ đều) với mọi
[ ]
;a b

;a b
, với
mỗi
0
ε
>
có
tương ứng một đa thức P sao cho
f P
ε
− <
và do đó
( ) ( )f x P x
ε
− <
với mọi
[ ]
;x a b∈
.
Trong công thức Hermite, chúng ta thấy
( )
i i
y f x=
và
'
0
i
y =
, các
toán tử kết quả sẽ được gọi là toán tử Fejér-Hermite, nó có dạng

6

( )
( )
( ) '( )
i
i i
W x
l x
x x W x
=
−

Nếu chúng ta tính đạo hàm và sử dụng quy tắc L’Hospital để ước
lượng dạng không xác định thì ta nhận được
'
W"(x )
1
( )
2 W'(x )
i
i i
i
l x =
Như vậy từ (5) ta có dạng thay thế
2
( ) "( )
( )
( )( ) ( ) 1
'( ) ( ) '( )

.

7
Chương 2. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức tổng quát
2.1. Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất
Ở các phần trước chúng ta đã xem xét việc xấp xỉ của các hàm
số bởi các đa thức thường có bậc
n≤
, dĩ nhiên những đa thức
này là đơn giản chúng là các tổ hợp tuyến tính đơn giản của các
hàm
2
1; ; ; ;
n
x x x
.
Điều hết sức tự nhiên là cần mở rộng khái niệm về đa thức để bao
gồm tổ hợp tuyến tính của các hàm cho trước, đó là
1 2
, , ,
n
g g g
Chúng ta luôn giả sử những hàm như thế là liên tục trên một
không gian metric compact
X
cho trước. Tổ hợp tuyến tính của
chúng
1
( )
n

1
( ), , ( )
n
g x g x
.
Chú ý định lí trên có thể mở rộng trong trường hợp phức, tập
điểm
{ }
ˆ
( ) : ( )r x x r x r=
được viết lại là
{ }
ˆ
( ) : ( )r x x r x r=
Ở đây
( )r x
là liên hợp phức của
( )r x
.
Với những loại cụ thể của các đa thức tổng quát, đặc trưng của
xấp xỉ tốt nhất có thể đưa ra theo một dạng tiện lợi hơn rất nhiều
8
đó là điều kiện Haar.
Điều kiện Haar. Hệ các hàm
{ }
n
gg , ,
1
là thỏa mãn điều kiện
Haar nếu mỗi g

là các điểm phân biệt.
Hệ Tchebycheff : Một hệ hàm thỏa mãn điều kiện Haar được
gọi là hệ Tchebycheff nếu có ít nhất
n
nghiệm trên [a;b].
Chú ý rằng hệ
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thỏa mãn điều kiện Haar nếu và
chỉ nếu 0 là hàm duy nhất có dạng
1
0
n
i i
i
c g
=
=
∑
,
Bổ đề 2.1. Cho
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
là các phần tử của

1
0
i i
λ λ
−
<

với mọi
1, ,i n=
Định lí 2.2. ( Định lí đan dấu )
Cho
{ }
1
, ,
n
g g
là các phần tử của
[ ]
,C a b

thỏa mãn điều kiện
Haar, giả sử
X là tập con đóng bất kỳ của
[
a,b
]
. Điều kiện cần và đủ để đa
9
thức
1

=
Định lý trên là rất quan trọng cho sự xác định bằng số cho xấp xỉ
tốt nhất , ví dụ nếu chúng ta hi vọng xấp xỉ sin
2
x
π
bởi đa thức
0 1
( )P x c c x= +
trên [0,1] thì hàm sai số
f P−
cần phải đổi dấu
ít nhất 3 lần. Từ phác thảo dưới đây, ta giả sử 3 điểm đổi dấu là
0,
ξ
,1 , ở đây
ξ
là điểm chưa biết. Cho
f P
ε
= −

Khi đó :
(0) (0)f P
ε
− = −

( ) ( )f P
ξ ξ ε
− = +

0 1
1c c
ε
+ = +
Nếu chúng ta biết
ξ
, chúng ta có thể tính được
0 1
; ;c c
ε
.
Tại
ξ
, sai số giữa
f
và
P
là lớn nhất. Do vậy
'( ) '( ) 0f P
ξ ξ
− =
10
Hay
1
os
2 2
c c
π πξ
=
. Do

chứng minh một “ định lí không tồn tại ”. Đầu tiên, ta định nghĩa
một hệ Markoff.
Hệ Markoff. Hệ có thứ tự vô hạn (hoặc hữu hạn) các hàm liên
tục
{ }
, ,
21
gg
trên đoạn
[ ]
ba,
được gọi là hệ Markoff nếu mọi
đoạn đầu
{ }
n
ggg , ,
21
thỏa mãn điều kiện Haar.
Chẳng hạn các đơn thức
2
1; ; ; x x
có dạng hệ Markoff trên
đoạn bất kỳ.
Định lý 2.3. Cho
{ }
1 2
, ,
n
g g g
là một hệ Markoff vô hạn trên

1
, ,
n
g g
. Lúc này 0 là điểm của
n
M
và gần
f g−
nhất.
Theo định lý đan dấu
f g−
thể hiện ít nhất n+1 dao động với
biên độ
ε
. Điều này là đúng với mọi n, do vậy
f g−
không thể
liên tục, suy ra
g
không liên tục mâu thuẫn với giả thiết là
g M∈
. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Sau đây là một ứng dụng khác của định lý đan dấu, chúng ta lấy
X
là tập tùy ý của n+2 điểm trên đường thẳng thực. Chúng ta
có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1. Cho
P
và

là
P Q
λ
−
, ở đây
λ
được chọn sao cho
P Q
λ
−
có bậc
n≤
. Sai số trong xấp xỉ này là
λ
Chứng minh. Sự tồn tại của
P
và
Q
được đảm bảo bởi tính chất
nội suy. Vì
Q
là thay đổi dấu tại điểm
i
x
đồng thời có
( )
1n +
nghiệm và do đó nó có bậc
( )
1n +

Định lí 2.4. (Định lí de La Vallée Poussin).
Nếu
P
là một đa thức sao cho giá trị
f P−
đổi dấu luân
phiên tại n+1 điểm liên tiếp
i
x
của [a;b] thì
1
( ) min ( ) ( )
i i
i n
E f f x P x
≤ ≤
≥ −
Như trong nội dung của những phần trước, chúng ta giả
sử hệ các hàm liên tục, độc lập tuyến tính
{ }
1 2
, , ,
n
g g g
trên
một đoạn [a,b]
chúng ta đã trình bày một số định lý đặc trưng về xấp xỉ của
f
bởi một đa thức tổng quát ,
i i

và
Q
là hai đa thức tổng quát phân
biệt của xấp xỉ tốt nhất cho
f
cho trước. Nhờ bất đẳng thức tam
giác ta nhận được
( )
1
2
P Q+
cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất của
f
. Thật vậy nếu ta ký hiệu
ρ
là tập hợp tất cả các đa thức tổng
13
quát. Khi đó ta có

min
g
P f g f
ρ
∈
− = −

min
g
Q f g f
ρ

[ ]
,a b
sao cho
1
( ) ( )( ) ( 1)
2
i
i i
f x P Q x
ε
− + = −
, ở đây
f P
ε
= −

ở đây
1 1
[ ( ) ( )]+ [ ( ) ( )] ( 1)
2 2
i
i i i i
f x P x f x Q x
ε
− − = −

Vì các số trong ngoặc vuông có độ lớn không vượt quá
ε
,
chúng ta nhìn thấy rằng

∀
f
thì
tập các hàm
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
là thỏa mãn điều kiện Haar. Trong
hướng thứ hai chúng ta có thể nhận được một vài thông tin chi
tiết về
f P−
tăng nhanh như thế nào khi
P
dần xa xấp xỉ tốt
nhất. Ở đây ta có thể làm nhẹ X là một khoảng bằng một không
gian metric compact bất kỳ.
Định lí 2.6 ( Định lý duy nhất mạnh )
Cho tập các hàm
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thỏa mãn điều kiện Haar,
giả sử
0
P
là đa thức xấp xỉ tốt nhất của hàm

f P− >
. Nhờ định lí đặc trưng,
nên tồn tại các điểm
0
, ,
K
x x
và dấu
0
,
K
σ σ
sao cho
0 0
( ) ( )
i i i
f x P x f P
σ
− = −
sao cho gốc của n không gian nằm
trong bao lồi của bộ n
[ ]
( ), , ( )
i i i n i
g x g x
σ
.
Do vậy phương trình

0

0
( ) 0
n
i i i
i
Q x
θ σ
=
=
∑
Nhờ điều kiện Haar, các số
( )
i i
Q x
σ
không thể bằng số 0 với
mọi
i
.
Vì
0
i
θ
>
nên chúng ta suy rằng ít nhất có một số
1
( )
i
Q x
σ

thì đa thức tổng quát
0
0
P P
Q
P P
−
=
−
có chuẩn bằng 1, khi đó có
một chỉ số
i
với
( )
i i
Q x
σ γ
≥
chúng ta có

( )( )
i i
f P f P x
σ
− ≥ −
0 0
( )( ) ( )( )
i i i i
f P x P P x
σ σ

1
: , ,
n
X g g
. Với mỗi
[ ]
f C X∈
, cho
Jf
là đa thức tổng
quát của xấp xỉ tốt nhất cho
f
. Khi đó
J
là toán tử liên tục, hơn
thế nữa nó còn thỏa mãn điều kiện Lipschitz, đó là
Định lí 2.8. ( Định lí Freud)
Với mỗi
0
f
có tương ứng một số
λ
>0 sao cho với
mọi
f
ta có:

0 0
Jf Jf f f
λ

Y
của
X
chúng ta cần một độ đo để
Y
lấp đầy
X
. Với mục đích này, chúng ta định nghĩa tính trù mật của
Y
trong
X
bởi phương trình

axinf ( , )
y Y
x X
Y m d x y
∈
∈
=
Từ tính trù mật được dùng ở đây vì
0Y →
khi
Y
trở nên “ trù
mật ”.
Ví dụ một tập
Y
có n+1 điểm cách đều nhau trong [-1;1] có mật
độ

γ
=
và
0f ≠
. Do vậy nó là không
thể để có bất đẳng thức có dạng
x Y
f k f≤
.
Tuy nhiên trong trường hợp đặc biệt, bất đẳng thức như thế là có
thể , điều này được thể hiện bởi bổ đề sau
Bổ đề 3.1 . Cho
{
1
, , }
n
g g
là tập bất kỳ các hàm liên tục trên
không gian metric compact
X
. Với mỗi
1
α
>
có tương ứng
δ
>0 sao cho
P P
γ
α

f x f y
δ
ω δ
≤
= −
.
Hàm
ω
xác định như trên đuợc gọi là modul liên tục của
f
. Ví
dụ, nếu đồ thị của
f
có một buớc nhảy độ lớn bằng 1 thì
( )
0→
δω
khi
0
→
δ
.Thực vậy, cho
0
ε
>
tồn tại hàm liên tục
đều và một số
0
δ
>

f P−
hội tụ tới
X
f P−
nếu
19
0Y
δ
< →
, theo bất đẳng thức
( )
( )
Y
f P f P P
ω δ β δ
− < − + + Ω
ở đây
β
là không phụ
thuộc vào
f
và
P
,
ω
là modul liên tục của
f
,
Ω
là modul liên

Để diễn đạt các kết quả tiếp theo, chúng ta cần đến khái niệm
của một tập cơ bản. Một tập G trong
[ ]
C X
được gọi là một tập
cơ bản nếu với mỗi phần tử của
[ ]
C X
có thể được xấp xỉ tốt tùy
ý bởi một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của
G
, nghĩa là với
mỗi
[ ]
f C X∈
và
0
ε
>
, cần tồn tại
i
g G∈
và các hệ số
i
c
sao
cho
1
n
i i

X
sao cho với mọi
[ ]
f C X∈
xấp xỉ tốt nhất
( )
1
n
n
n i i
i
P c g
=
=
∑
của
f
trên
n
Y
hội tụ
đều tới
f
khi
n → ∞
20
Định lý 3.3. Cho
X
là không gian metric compact và
1

− − − <
Chúng ta quan sát thấy rằng nếu tập các hàm của chúng ta
{ }
1
; ;
n
g g
thỏa mãn điều kiện Haar thì từ định lí duy nhất mạnh
chúng ta có bất đẳng thức

1
( ) 2 ( )
y X
P P f
γ ω δ αβ δ
−
− ≤  + Ω 
 
(*)
Ở đây hằng số
γ
phụ thuộc vào
f
nhưng không phụ thuộc vào
β
3.2. Sai số trong không gian metric compact
[ ]
1,1X = −
Mục này ta sẽ áp dụng các kết quả của mục trước cho không
gian metric compact

1−≤ n
ta có

( ) ( )
2
1 1 1 1
ax ax 1
x x
m P x m n x P x
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤ −
Bổ đề 3.4. Nếu
S
là một đa thức lượng giác lẻ có bậc
n≤
thì

( )
ax . ax ( )
sin
S
m n m S
π θ π π θ π
θ
θ
θ
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤
Bất đẳng thức Bernstein
21

n≤
xác định trên
[ ]
1;1X = −
Khi đó các biểu thức bị chặn dưới cho
Y
P
P
:
)i

Yn
2
1−
. khi
ax min
y Y
x X
Y m x y
∈
∈
= −
)ii

Yn−1
. khi
( )
1 1
ax min cos cos
y Y

,
[ ]
1,1Y ⊂ −
và
Y
P
là
đa thức đại số bậc
n≤
xấp xỉ tốt nhất cho
f
trên
Y
Khi đó
Y X
P P→
khi
0Y →
và
(i)
( )
( )
1
1 2 2
2 1
X Y
P P n f n
γ ω δ δ δ
−
−

ở đây
δ
thỏa mãn

1 1 1
ax min cos cos
y Y
x X
m x y n
δ
− − −
∈
∈
= − <
22
Nhận xét: Vì bất đẳng thức
( )
ii
là thuận lợi hơn bất đẳng thức
( )
i
nên chúng ta có thể dành được ưu thế rõ ràng về sự phân bố
các điểm rời rạc cho xấp xỉ đa thức theo cách không đều. Mặc dù
định lí này không làm lộ rõ sự phân bố tối ưu của các điểm là gì,
nhưng nó đã cho thấy nếu chúng ta có m điểm ở sự sắp đặt của
chúng ta trên đoạn
[ ]
1;1−
thì chúng ta nên đặt
(2 1)

1
2
( )
2 2
X Y
n
P P f
m m n
π π
γ ω
π
−
 
− ≤ +
 
−
 
Để làm tối ưu giới hạn trong (i) chúng ta nên chọn
(2 1)
1
i
i
y
m
−
= − +
Do vậy
1
ax min
y


1 1 1
,
ax min cos cos
n
x X y Y
m x y n
δ λ
− − −
∈ ∈
= − ≤
với
λ
<
2
23
Khi đó đa thức
n
P
với bậc
n≤
là xấp xỉ tốt nhất của
[ ]
1;1f C∈ −
trên
n
Y
hội tụ đều tới
f
khi