HÌNH HỌC 11

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Đỗ Văn Thọ
(Biên Soạn)
Hội An
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

2





O
A
B
C
D

OA OB
AB CD
OD OC
 
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

3

P
O
A
B
C
D

PC PD CD
CD AB
PA PB AB
  

- Cách 2: Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến của hai mặt phẳng

đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB và SCD
a. Chứng minh
EF
AD BC
 

Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

4

b. Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (ABF) với SD và K là
giao điểm của mặt phẳng (CDE) với SA. Chứng minh
HK AD


Bài 3.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao
điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng
PQ MN

và
PQ AC


Bài 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy
lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB
a. Chứng minh
MN CD


Bài 3.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi
M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng
MN BD

(dùng định lý
Ta-let đảo)
Bài 3.7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các
tam giác ABC, ABD. Chứng minh
JI CD


Bài 3.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD
với đáy là AD và BC. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

5

giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M,
N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q
a. Chứng minh MN song song với PQ
b. Giả sử
AM BP E
 
và
CQ DN F
 
. Chứng minh rằng
EF
MN PQ



b. Gọi M là điểm trên cạnh SC và không trùng với S. Tìm giao
tuyến của (HKM) và (SCD)
* Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt
phẳng

- Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một
đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nào đó
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

6

d'
d
P



 
 
'
'
d P
d d d P
d P






MG ACD


Bài 4.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi
1
G
và
2
G
lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng
1 2
G G
song
song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 4.3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong
hai mặt phẳng phân biệt . Gọi O là giao điểm của AC và BD,
O’ là giao điểm của AE và BF
a. Chứng minh


OO'
ADF

và


OO'
BCE


Bài 4.5*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,
đáy lớn là AD và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
G là trọng tâm của tam giác SCD
a. Chứng minh rằng


OG SBC


b. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng


CM SAB


c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho
3
2
SC SI
 . Chứng
minh rằng


SA BID


Bài 4.6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang có hai
đáy là AB và CD với AB=2CD. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, I là giao điểm của AD và BC, K là điểm thuộc đoạn SI sao



EN SBC


Bài 4.9: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành ABCD
a. Chứng minh rằng


AD SBC

và


CD SAB


b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABD.
Chứng minh


MN SAD


Bài 4.10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của AB, AD, BD
a. Chứng minh rằng



Bài 4.12: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AD, BC
a. Tìm giao tuyến của (SIJ) với các mặt phẳng (SAD), (SBC),
(ABCD), (SAB) và (SCD)
b. Chứng minh rằng


IJ
AB S

và


IJ
CD S


Bài 4.13: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ
giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau
a. Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD)
b. Tìm giao tuyến của (SCD) với (SAB)
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

9

c. Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC)
d. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và K là điểm bất
kỳ trên SD. Tìm giao điểm của IJ với (SCD)
e. Chứng minh rằng

* Dựng thiết diện song song với một đường thẳng
Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Cho đường thẳng d song
song với mặt phẳng (P). Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d và cắt
(P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d
Bài 5.1: Cho tứ diện ABCD. Một điểm M trên cạnh AC. Mặt
phẳng (P) đi qua M và song song với AB và CD. Tìm thiết diện
của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD
Bài 5.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang
với đáy lớn AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB và (P) là
mặt phẳng qua M song song với AD và SB
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

10

a. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp
b. Chứng minh rằng SC song song với (P)
Bài 5.3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy
lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là
trọng tâm của tam giác SAB
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG)
Bài 5.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD. M
là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng (IJM)
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
* Phương Pháp: Chứng minh mặt phẳng (P) song song với mặt
phẳng (Q)
- Nếu hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng
(P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau nằm



OMN SBC


b. Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh


PQ SBC


Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt
phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho AM=BN. Các đường thẳng song song với AB
vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’
a. Chứng minh




CBE ADF


b. Chứng minh




EF ' '
D MNN M

A KG AIB


Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm
trên các cạnh AC, BC, CD sao cho
AM BN DP
AC BC SC
  . Chứng
Quan hệ song song trong không gian Đỗ Văn Thọ

12

minh rằng hai mặt phẳng


ABD
và


MNP
song song với
nhau
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, B’C’, DD’
1. Chứng minh rằng




' '

1. Chứng minh rằng




OMN SBC


2. Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và
cách đều AB, CD. Chứng minh


IJ
SAB


3. Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là
các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB.
Chứng minh


EF
SAD


Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng



