Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 1

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Phương pháp 1
d2'
d2
d1'
d1
Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng
90



Phương pháp 2
.0a b u v  

Với
,uv

lần lượt là hai VTCP của a và b

Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa)

P
a
c
b

 

a / /(P), b P b a  


Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 )
a
A
C
B
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông
góc với cạnh còn lại.

a AC, a BC a AB   


Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk)
c
b
a
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

b / /c , a b a c  


Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường
thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).

 
a b,a c
aP
b P ,c P ,b c I





   




Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk)
P
b
a
Mặt phẳng nào vuông góc với một
trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
 

 
a / /b ; P a P b  


Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk)
P
a
Q

Chú ý : Khái niệm trục

của tam giác ABC : là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk)
c
a
Q
P
c
a
b
H
Q
P

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
     
 
 
P (Q), P Q c
aQ
a P ,a c
  





c
a
Q
P
c
a
b
H
Q
P

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau.
   

   
a P ,a Q P Q   


Phương pháp 3
P
Q
R
Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song
song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
       

   
P / / Q ; R P R Q  


a
b
P
Q
d
p
q
Q
R
P

Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ
việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q.
Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q
B
B'
C'
C
D'
E'
A'
A
E
D

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)

BM ND
(do
MAB NAD
)
+) Xét
SBD
có
SB SD
MN BD
BM DN








* CMR:
 
SC mp AMN

 Cách 1:
Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 5

+) Vì
 
 

với 2 cạnh của 1 tam giác thì

với cạnh còn
lại)
CM tương tự ta có:
NA SC

Vậy
 
SC mp AMN

 Cách 2:
+) Vì
 
BC SAB
SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có:
 
1MA SB MA SC  

+)
 
CD SAD
SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có
 
2AN SD AN SC  

Vậy từ (1) và (2) ta có:
 

()MN SAC MN AK   

2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
2SA a
, AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì
ASC
có AS = AC = a
2

0
45goc SCA  
góc cần tìm là
0
45

+)
SBC
vuông tại B có
3,SB a BC a

 
0
1
tanCSB CSB 30
33
BC a

BC CD
nên
AC CD
(định lý ba đường vuông góc)
Vậy
2 2 2 2 2 2
AD AC CD AB BC CD    

tức là:
2 2 2
AD a b c  

b/ Vì


0
90ABD ACD
nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD

Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
c/ Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC


Giải

OBCOA 
nên
OA BC

Vậy
AH BC
(định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC.
Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của
tam giác ABC.
* Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì
AK BC
, mặt khác
OA BC
nên
 
BC AOK
, suy ra
BC OK
. Tương tự như trên ta cũng có:
AB OK
. Vậy
 
OK ABC
, tức là
K trùng với H.
c/ Nếu
AH BC
tại
A

Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có
 
ABCSA mp
, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/
 
BHKSC mp

c/
 
SBCHK mp

Giải
K
H
A
B
C
S
A'

a/ Gọi
AA

là đường cao của tam giác ABC, do

 
SC BHK

c/ Từ câu b ta suy ra
HK SC
. Mặt khác
HK BC
do
 
BC SAA



Vậy
 
HK mp SBCBài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC
a/ Chứng minh rằng:
 
ABCSG mp
. Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để
(P) cắt SC tại điểm
1
C
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi

3
3
a
SG SA AG b

   




Từ đó:
2
2
3
a
SG b
(Với
22
3ba
)
b/
G
C'
A
B
C
S
C1

Dễ thấy

1
11
11
. . . .
22
ABC
S AB C C a C C



(Với
C

là trung điểm của AB)
Mặt khác
1
C C SC SGCC



1
.SG CC
CC
SC




Tức là:
2


Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 9

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục
giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải
P
Q
R
S
N
M
D
C
A
C'
A'
B'
D'
B

a/ Ta có
AC AB AD AA

  

 
AC BCD
  


b/ Gọi M là trung điểm của BC thì
MA MC


(vì cùng bằng
5
2
a
)
nên M thuộc mặt phẳng trung trực
 

của
AC


Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm
của CD,
, , ,DD D A A B B B
     
)
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp
 

là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh

Giải
Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 10

O
D
A
B
C
S
O1

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ
1
OO
vuông góc với SC, dễ thấy mp
 
1
BOD
vuông góc với SC.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng
1
BO
và
1
DO

Mặt khác

120 60BO D BOO  
(Vì
1
BO D
cân tại
1
O
)

0
1
1
.tan60
.3
BO OO
BO OO



Ta lại có:


11
.sin .sin .
SA
OO OC OCO OC ACS OC
SC
  

Như vậy

AJ CD

Do
   
mp ACD mp BCD
nên
 
AJ mp BCD

Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân,
suy ra
2 2 2
2,AB AJ AJ a x  
hay
22
AJ a x

Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 11

Vậy
 
22
2AB a x
với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên
1
2
JI AB


Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ
không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Giải
D
B
A
C
S
I
J

a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD.
Từ giả thiết, ta có
SA BC
nên
SA AD

Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên

0
45SDA 
là góc phải tìm.
Vậy góc giữa BC và SD bằng
0
45



O
C
A
B
D
S

a/ Vì ABCD là hình bình hành và
O AC BD
nên OA = OC và OB = OD.
Mặt khác SA = SC nên
SO AC
và SB = SD nên
SO BD

Vậy
 
SO mp ABCD

b/ Vì AB // CD mà
   
d = mp SAB mp SCD

nên d // AB và d qua S
Tương tự
1
d // AD
và
1

E
D
H
K

a/ Ta có
 
AB BCE
CH AH
CH BE









Vậy ACH là tam giác vuông tại H
Tương tự, ta có BKF là tam giác vuông tại K
b/ Ta có
CH BE
CH BF
CH AB






a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó

2
2
2 2 2 2
36
39
aa
DH DA AH a

    


6
3
a
DH

Do I là trung điểm của DH nên
6
6
a
IH 

Khi đó
22
2

IH IA IB IC IA
   
hay
3
IA
IH 

Do D là điểm đối xứng với H qua I nên
2
3
IA
DH 
và DA = DB = DC
Đặt IA = x thì
2
,2
3
x
DH AB x

Khi đó
2
2 2 2
2 2 2 2
4 2. 3 4 2
2
3 3 3 3
x x x x
DA DH HA x


I
H
C
A
B
D
S

a/ Gọi H là trung điểm của AB thì
SH AB

Do
   
SAB ABCD
nên
 
SH ABCD
SH AD

Mặt khác
AD AB

Vậy
 
AD SAB

Từ đó
   
SAD SAB


Vậy
 
DI SHC
, từ đó
   
SDI SHC
.

Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a
để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.
Giải
O
N
M
C
A
B
D
S

a/ Vì
,MN AB SO AB
nên
 
AB SMN


vuông góc với cả hai mặt phẳng
 
SAB
và
 
SCD

b/ Dễ thấy
   
, //SAB SCD St St AB

Như vậy
 
St SMN
, từ đó

MSN
hoặc

0
180 MSN
là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Tính

MSN

Ta có:
2 2 2 2
SM SN h a  



Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là

mà
22
22
cos
ha
ha





Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a

Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Giải
D
A
B
I
J
C
S
C1

2
SDA 

Tương tự
 
0
tan 1 45SBA SBA  

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng

mà
1
tan
2


và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc
0
45

b/ Vì
   
SAD SAB
nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
0
90

Ta cũng có
 
CD SAD

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Ta có:

.tan 2 5AJ AC ACD a1
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 6 5
55
6
a
AC
AC AS AC a a a
      

Đặt

1
AC J


thì
1
25
tan 2 6
5
6
AJ a


1
IC J


thì
6
26
6
2
tan
2
6
1 2 6.
2


  


Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là
0
180


mà
6
tan
2


AC BD a AC  
nên
22
22
4
33
aa
BD OB  

Xét tam giác vuông SOB, ta có
2
2 2 2
26
33
aa
SO SB OB SO    

Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 17

Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân tại S
b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ
1
OA
vuông góc với SA thì
 
1
ASA mp BD


0
1
90BAD 
hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác
ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC . Chứng minh rằng :
       
 
a)mp ADE mp ABC va mp BFK mp ABC
c) HK mp ABC



Bài làm
H
K
F
D
C
B
A

a)Vì AD vuông góc (DBC) nên AD vuông góc BC
Mặt khác AE vuông góc BC. Vậy BC vuông góc (ADE), từ đó ta có (ABC) vuông góc (ADE)
vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK vuông góc DC. Theo giả thiết AD vuông góc(DBC)
Vậy BK vuông góc với AC ( định lý 3 đương vuông góc).
Kết hợp với BF vuông gọc với AC ta có
AC vuông góc (BFK) từ đo (ABC) vuông góc (BFK)
b) từ a) ta có (BFK) vuông góc (ABC)

Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD
Do AD vuông góc (SEF), từ đó St vuông góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180
o
- cung ESF là góc giữa
hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)
Vì S thuộc đường tròn đường kính È nên cung ESF là 90
o

Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B
b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'
Chứng minh rằng AC' vuông góc với mp( MNP)
M
D'
C'
B'
A'
P
N
D
C
B
A

Bài làm
a) ta có
 
' ' ' ' , ' 'C B ABB A B A A B



2
2 2 2
2
2 2 2
5a
4
5a
' ' '
4
AN AP AM
A N C P C M
  
  

Từ đó
 
'AC MNP

Bài 20 (BT 54 - tr 124 m- SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a . Xét tứ diện AB'CD'.Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua
tâm của hình lập phương và song song với mp(ABC). Tính diện tích thiết diện thu được . Hãy xét kết
quả của bài toán khi ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật với ba kích thước là a,b,c
Bài làm
Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 19

O
B'
A'
C'
C''
M
C
B
A

Bài làm
Vì AB//A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB, Dễ thấy AC’’=BC’’ nên ABC’’ là
tam giác cân . từ đó

0
'' 90ABC 

Vậy góc giữa AB và BC’’ là

''ABC
Gọi M là trung điểm của AB thì

5
. '' , ''
22
aa
MB BC MB MC  

Từ đó


MC
a
  

Vậy

'' 30
o
CMC 
hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng 30
oChuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 20

ĐỀ BÀI

Cho hình chóp S.ABC có
 
ABCSA mp
, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/
 
BHKSC mp

c/
 
SBCHK mp

Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC
a/ Chứng minh rằng:
 
ABCSG mp
. Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để
(P) cắt SC tại điểm
1
C
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi
cắt bởi mp(P)
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

SO mp ABCD

b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD);
1
d
là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng
minh rằng
 
1
,SO mp d d

Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và
BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh
rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/
BF AH
và
AC BK

Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung
điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên
mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB)
vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng

a
AC 
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác
ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC . Chứng minh rằng :
       
 
a)mp ADE mp ABC va mp BFK mp ABC
c) HK mp ABC



Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) Lời giải
Bài 1:
1.a/ * CMR:
MN BD

+) Ta có:
SAB SAD AM AN  
(2 đường cao tương ứng)

BC AB gt
BC SA do SA







 
BC SAB BC MA   

+) Có
 
MA BC
MA SB gt








MA SC
(1đường thẳng

với 2 cạnh của 1 tam giác thì

với cạnh còn

+)
MN BD

Mà
BD AC
với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
MN SC

+)
()AM SC SC AMN  

b/ CMR:
AK MN

Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 23

Có
 
BD AC
BD SAC
BD SA








Lời giải
a
a
a
I
H
C'
B'
A'
B
C
A

+)SÏ tÝnh ®-îc :

2
'2 '2 ' '2
13

4
a
IB IC B C   2
'2 '2
13

4
a

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên
mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng
đáy của hình lăng trụ bằng

. Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau.
Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.
Lời giải
Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc

Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 24

M
H
C'
B'
A'
B
C
A

Gọi H là trực tâm
ABC
.Theo giả thiết
'
()A H ABC
nên AH là hình chiếu của
'
AA
trên
mp(ABC)

Trong tam giác vuông
33
' : ' , ' '
cos 3cos 3cos
AH a a
A AH A A B B A A



Vậy
2
''
3
3
.
3cos 3cos
BCC B
a
a
Sa



Bi19 ( C Giao thụng Vn ti 2007)( s 35 tr 46- stt TTS 2002-2003 n 2008-2009)
Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A, bit AB = AC = AA = a (a > 0)
.Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC v BC.
Li gii
y
x
z
















,'AC BC
chéo nhau
KHoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AC và
'BC
là:

3
44
, ' .
2
( ; ')
2
2
0
,'

đều)

(1)

Kẻ
AH SM
tại H,
AH BC
theo (1)

AH SBC
. Vậy
( ,( ))d A SBC AH

Có AM là đ-ờng cao của

đều ABC cạnh
3a

( 3). 3 3
22
aa
AM

Có AH là đ-ờng cao của

vuông SAM ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 6
9 4 5