Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
“PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11”
GV: NGUYỄN ĐĂNG LONG - Tổ: Toán – Lí
Trường THPT Võ Thị Sáu
A. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU
1. Mục đích
Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho các em học sinh
lớp 11 một số kỹ năng vẽ hình cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán
liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu, vẽ hình chính
xác và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Từ
đó các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong
sách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các lớp 11A1 , 11A2,
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.
Thời gian dạy: 10 tiết
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
4. Thực trạng của vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong
không gian đa số học sinh vẽ hình không chính xác, chưa phân loại và định hình được
cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan
hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình
hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc

thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Định lí 1 : Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
Định lí 2 : Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một
trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Định lí 1 : Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( α ) và d song song
với d ' nằm trong ( α ) thì d song song với ( α )

Định lí 2 : Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) . Nếu mặt phẳng ( β )

chứa d và cắt ( α ) theo giao tuyến d ' thì d song song với d ' .
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3 : Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
4. Hai mặt phẳng song song

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

2


2) Yêu cầu đối với hình vẽ :
• Đúng ( các bất biến của các phép chiếu phải được tôn trọng tuyệt
đối ) .
• Trực quan ( trông giống hình thật trong thực tế ).
• Không rườm rà .
• Hình vẽ phải có tính thẩm mỹ cao ( gây hứng thú rất nhiều cho học
sinh ) .
• Đường nét của hình vẽ phải phù hợp với mục đích của bài toán
3) Phương pháp tìm tòi cách vẽ hình :
• Tìm hiểu nội dung bài toán ( đọc kỹ đề ) .

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

3


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

• Tưởng tượng ra hình thật trong thật trong thực tế ( thầy cố gắng chỉ
các hình thực tế để học sinh tưởng tượng ) .
• Các bất biến của phép chiếu song song
• Đối với phép chiếu song song thì tìm xem trong hình thật có các
đường nào song song , các điểm nào thẳng hàng , tỉ lệ các đoạn thẳng
cùng phương …
• Chọn đường , điểm cơ bản chủ đạo và các điểm , đường phụ thuộc
(Thường là chân đường cao và đường cao là điểm cơ bản , đường cơ
bản).
III. Một số dạng toán cơ bản về quan hệ song song.


Hình 4

a / / ( α )

* Định lý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ ( β )
thì a // b

( α ) ∩ ( β ) = b

(hình 5)

d / / ( α )

* Hệ quả: Nếu d / / ( β )
thì a // d. ( hình 6)

( α ) ∩ ( β ) = a

Hình 5

Hình 6

Hình 7

( α ) / / ( β )
( γ ) ∩ ( β ) = b
* Định lý 3: (SGK trang 67). Nếu 
thì 
( hình 7)


E

B
A

E

F

C

C

D

D

Hình 8

Hình 9

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai
M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 10)
S

B
A

E

P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi
ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo
viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho
biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?

A

B

D
x

B

D

C

C
M

Q

M
Q
N
A'

D'

(3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 11)
* Chú ý:

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

7


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và
mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 12)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, (
α ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) và mp(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( α )
Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định mp( α ).
Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp( α ) ta cần tìm thêm một điểm nằm trên
mp( α ) nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho. Từ đó mà ta có thề tìm được giao
tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) , (SAC) và thiết diện của hình chóp với mp( α )

Hình 13
a) Xét 2 mp(SAB) và ( α ) có:

Hình 14


Hình 16

• Phương pháp:
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm giao điểm của đường
thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α ) ( hình 15)
 A ∈ d
Tóm tắt: Nếu 
thì A = d ∩ ( α )
 A ∈ a ⊂ ( α )
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp ( β ) chứa d sao cho ( β ) cắt ( α ).
- Tìm giao tuyến a của hai ( α ) và ( β ) (hình 16)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao
viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn ( β ) sao cho
phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình
vẽ
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho
AJ =

2
AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
3

Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm
chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện để
hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và
không song song.

GV: NguyÔn §¨ng Long

C

Hình 17

Hình 18

Lời giải:
Từ giả thiết ⇒ IJ và BD không song song.
 K ∈ IJ
Gọi K = IJ ∩ BD ⇒ 
 K ∈ BD ⊂ ( BCD )
Kết luận: K = IJ ∩ ( BCD ) (hình 18)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 19) học sinh khó mà tìm
được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường
thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC.
Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao
tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO.
Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm.
(hình 20)

S

S

I


10


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Hình 19

Hình 20

Với câu b) (hình 21) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm
trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sự
hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên
mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là
đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F (hình 22).
S

S

I

I

J

J
P

M
A

mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài
toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và
mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là
tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải
của mình.

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

11


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11
S

S

I

J

I

P

M
A

J


Hình 23
* Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)

Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD)
Gọi P=BM ∩ SO ; ⇒ Kết luận: P=BM ∩ (SAC)
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất
Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai
⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC)

Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC)

( Hình 23)

c) Ta có SC ⊂ (SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF = (IJM) ∩ (SBC)
Gọi H = JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM)

(Hình 24)

Dạng 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ).
* Phương pháp: (Định lý 1 SGK trang 61 ).
d ⊄ ( α )

Tóm tắt: Nếu d / / a thì d // ( α )
a ⊂ α

* Lời giải:
Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên
G là trọng tâm tam giác ACC’ nên

AI
2
= (1)
AM 3

AG 2
=
AN 3

B

M

C

G
N

(2)

AI
AG 2
=
=
Từ (1) và (2) suy ra
AM AN 3

- Với câu a) thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là đường thẳng
DF đối với mp(ADF), và là đường thẳng CE đối với mp(BCE).
- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là đường thẳng
nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp khó khăn. (Hình 27)
* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh M và N là trọng tâm của
tam giác ABF và ABC. Sau đó vận dụng định lý Talet đảo. Từ đó giúp cho học sinh thấy
được hướng giải quyết của bài toán.
* Lời giải:
a) CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE)
Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE
⇒ OO’//DF và OO’ // CE Mà DF ⊂ ( ADF ) , CE ⊂ ( BCE )
F

Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE).

M

b) CM MN // (CDFE) .

O'

A

ta thấy M và N lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác

B

O

ABF và ABC. Gọi I là trung điểm của AB


GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

14


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc sinh phát hiện ra được vấn đề của
bài toán.
* Ví dụ:
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ,
ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song.
Nhận xét:
Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặt
phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán là cách xác định các
trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm dựa vào tính chất
không nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến.

A

* Lời giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
Ta có:

AM AN 2 ⇒
=

a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF).
b) Chứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N).
* Nhận xét:
Với câu a) thì học sinh dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu b) thì giáo
viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

15


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và
M’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo.
* Lời giải:

F

E

N

N'

a) Ta có AF // BE ⊂ mp( BCE)
AD // BC ⊂ mp (BCE)



Mà AM = BN, AC = BF ⇒
Từ (*), (**) và (***) ⇒

AM BN
=
AC BF

(*)
(**)
(***)

AM ' AN ' ⇒
=
M’N’ // DE ⊂ mp(DEF) (2)
AD
AF

Mà MM’, M’N’ ⊂ mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3) ⇒ (DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Dạng 5 : Xác định thiết diện
* Phương pháp: Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp(P) với các mặt của
hình chóp.
Bài 10 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi. Lấy điểm M trên cạnh SA. Xác định
thiết diện của mp ( MCD ) với hình chóp.
* Lời giải:

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC )

b)

Lấy điểm E trên SC. Mặt phẳng (ABE) cắt SD tại F. Tứ giác ABEF là hình
gì ?

* Lời giải:
a) Ta có S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) , và hai mặt phẳng này chứa hai đường thẳng song song là
AD và BC nên giao tuyến của hai mp là đường thẳng d qua S và song song với AD và
BC.
b) Hai mp (ABE) và (SCD) có điểm E chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD
song song nên chúng cắt nhau theo giao tuyến EF song song với AB
Vậy tứ giác ABEF là hình thang. (hình 31)

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

17


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

d

S

F
A


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

S

K

P
H

Q

N

A

D
O
B

M

C

Hình 32
IV. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SA và SB.
c) Chứng minh MN // CD


a) Chứng minh ( OMN ) // ( SBC )
b) Chứng minh ( OMR ) // ( SCD )
Bài 6 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm trên
cạnh BD sao cho BK = 3KD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( MNK ) với các mặt phẳng

( BCD )

và ( ACD ) .

Bài 7 : Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a và kéo
dài BD một đoạn DF = a . Gọi M là trung điểm của AB. Xác định và tính thiết diện của
tứ diện với mặt phẳng ( MEF ) .
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi E và F là trung điểm của
SA và SB. Lấy điểm M trên cạnh SC. Mặt phẳng ( EFM ) cắt hình chóp theo hình gì ?
Bài 9 : Cho hình thang ABCD(AB // CD) và điểm S nằm ngoài mặt phẳng hình thang.
Lấy điểm M trên cạnh CD. Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với SA và BC.

a) Mặt phẳng ( P ) cắt hình chóp theo hình gì ?
b) Tim giao tuyến của mặt phẳng ( P ) với mặt phẳng ( SAD )
Bài 10 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của B’C’

a) Chứng minh ( AA 'M ) ∩ BC = N và AN / / A ' M
b) Chứng minh AC’ // (BA’M)

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

20


Người thực hiện
Nguyễn Đăng Long

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

21


Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian 11

GV: NguyÔn §¨ng Long

THPT Vâ Thj S¸u

22