BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ
VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
33
22
4 16
1 5 1
x y y x
yx

  


  



HD: Thay
22
45yx
, hệ có 4 nghiệm
     
0; 2 , 1; 3 , 1;3  

VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
22
32
8 12
2 12 0



HD: Trừ từng vế, đáp số
2y

VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
   
2 2 2 2
2
3 3 2
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y x

      


    



ĐS:
   
2;0 , 1; 3

VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
 
1
2

32
3 2 3
2 5 3 3 10 6
6 13 10
x y x y x x y
x x x y y

        


    



HD: Từ phương trình thứ hai suy ra
2yx
, thay vào phương trình đầu, đáp số
 
2; 0xy

VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
 
3 3 2
3
7 3 12 6 1
4 1 3 2 4
x y xy x y x x
x y x y

     

0;0 , 1;1

VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
4 2 0
8 3 4 0
x xy x y
x x y x y

   


   



HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho
2
x
. ĐS:
     
0;0 , 1;1 , 2;1
.
VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
4 2 2 2
2
2 7 7 8
3 13 15 2 1
y xy y x x


ĐS:
   
0;1 , 1;2
.
VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:
   
 
2
1 1 1 6
2 1 4
x x y y
x x y

     


   



HD: Cộng vế với vế. ĐS:
   
0;3 , 1;0
.
VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
22
12
2
1 2 3 3

3 1 4
6
x
x y y
y
x x y x y


  




    



HD: Từ PT đầu có
2
1yx
, thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS:
 
2;3
.
VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:
Trang 3

 
22
5 3 6 7 4 0



HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS:
   
11
0;0 , ; , 1;1
22





VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:
   


2
2
2
30
1 3 1 2 2 0
x xy x
x y xy x y y

   


      



     
     
     

VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình:
22
3
61
5
xy
x
x y x y





    



ĐS:
 
2; 2

VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:
 
  
2
1 2 17 0


    



HD: Từ PT hai có
2xy
. ĐS:
 
33
22
0;0 ; log 4;log 2




VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình:
2 3 3 5 3 2
22
99
24
x y y x x x
y y x x

    


  



xy





. ĐS:
 
17 76
2;1 ; ;
25 25


II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
VD1. Giải hệ phương trình:
22
2 2 2 2
6 3 7
3 6 2
x y y x xy
x x y y x y

   


     








VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:
 
 
2
2
2
41
2 7 2
x x y y x
x x y y x

   


   



HD: Đặt
2
1
u x y
y
v

3
5
ux
v
y







, đáp số:
2 1 5
;5 , ;
3 3 2
   
   
   

VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
   
22
2 3 8 1 0
8 3 13 0
x y y x
x x y y

    


x y x y
    



   



Trang 5

HD: Đặt
x y a
xy x b





, ĐS
3 5 1 5 3 5 1 5
; , ;
2 2 2 2
   
       
   
   
   

VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:

1
1 2;1 2 , 2;1 , 1;
2

   



VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
  
 
 
22
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x y xy

  


   



HD: Đặt
x y a
xy b



HD: Đặt
x y a
x y b





. ĐS
   
3;2 , 1;2

VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:
12 3 4 16
4 5 5 6
x y xy
xy

  


   



HD: Đặt
4
4
x y a
xy b

y y v







. ĐS
3 13 3 13 9 21
;0 , ; 4 , ; 2 ,
2 2 6
     
  

     
     
     

VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
1
11
3
xy xy x
y y y
x x x

  



1 2 1 3 3 2
y
x y y x y x
x y y x

    

  


    



HD: Từ phương trình đầu có
21yx
, thay vào PT thứ hai. ĐS
 
11 9
1;1 , ;
42




VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
2 1 1
3 2 4
x y x y
xy




. ĐS:
1 58
;
77





VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình:
3 2 2
3
3 1 0
8 3 1 0
x x y
y xy

  


  



HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt
t xy
. ĐS:

HD: Từ PT đầu suy ra
0y 
, nhân hai vế của PT đầu với
2
4 1 1y 
và thay
2
2 x x y
ta
đưa đến PT:
2
2
1 1 1
1 2 4 1 2y y y
x x x
    
, đến đây sử dụng hàm số ….
VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:
22
2
2
2
11
11
4 3 2 2
9
xy
xy
xx
x

1 2 4 8 4 4
x y x y x y
x x x x xy

      


     



Trang 7

HD: Từ PT thứ nhất có
4 2 1xy
, thay vào PT thứ hai. ĐS:
11
;
22




.
VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:
 
3 2 2
3
3 2 2
1




.
VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình:
3 3 2
3 3 2
1 2 2
x x y y
xy

   


   



HD: Xét hàm số
 
3
3 , 1f t t t t  
, từ PT thứ nhất suy ra
1xy
. ĐS:
 
2;3

VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình:
3 3 2

x y y y

     


   



HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số
 
3
f t t t
, suy ra
2 1 2xy  
. ĐS:
 
2;1

IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
1)
22
4 2 2 4
4
8
x xy y
x x y y

  



; 4)
3 3 3 3
5
17
x xy y
x x y y
  


  

;
Trang 8

5)
1 1 9
2
15
2
xy
xy
xy
xy

   




x









; 2)
1 6 3
1 6 3
xy
yx

   


   


;
3)
4
3
4
3
y
xy











Bài 3. Giải các hệ phương trình:
1)
2
22
2
2 4 2 14
x xy
x xy y




  


; 2)
 
 
 
 

2 2 2
21x y xy m
x y xy m m
   


  
