TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1

LỜI NÓI ĐẦU

Các em thân mến.
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng
của thời học sinh. Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai
của các em.
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách
khó khăn của cuộc sống. Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó
là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy
nghĩ bồng bột, lười nhác…
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển
tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.
Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang
bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
3
PHẦN 1. GIẢI TÍCH
CHƢƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài 1. ĐƢỜNG THẲNG

I. Phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Định nghĩa:
- Phƣơng trình     

 

 đƣợc gọi là




  







  


Khi đó:




 

  






II. Vị trí tƣơng đối:
1. Đường thẳng và đường thẳng














2. Điểm và đường thẳng
Cho



   

 

 và








   

 

 và 






Khi
đó











 

 














trong đó 




Khi đó













với 

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
5
Bài 2. ĐỊNH LÝ VI ET VÀ ỨNG DỤNG

1. Định lý:
Phương trình 

    có 2 nghiệm phân
biệt 



thì



 











 








 



















hoặc
…).
a. Hàm số  đƣợc gọi là đồng biến trên  nếu:




 có 








b. Hàm số  đƣợc gọi là nghịch biến trên  nếu:




 có 













+ Nếu  nghịch biến trên  thì 





+ Nếu  không đổi trên thì 





Định lý 2.
+ Nếu 




 thì hàm số đồng biến trên 
+ Nếu 




 thì hàm số nghịch biến trên 
+ Nếu 

Ví dụ 1:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau





 

   






 
 


  Giải
a.







Hàm số nghịch biến trên các khoảng:




TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
8

b.




Tập xác định 








 


Tập xác định 









 
 


 

 
 






Bảng biên thiên
 

Bảng biên thiên
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên  Ví dụ 2:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau


 

 




 

  





 

  
Đồng biến trên 
TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
10
Giải
a.   


Hàm số liên tục trên




Vì




  





 Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c.





 

  
Tập xác định: 




  





 Hàm số đã cho đồng biến trên


 

trên



 Giải
Hàm số liên tục trên








 

  





  

 




Vậy




tại 




 tại 

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
12

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau
a. 

 

 trên









  
  


 









.
Ta có










TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
13
Định lý
a. Hàm số  đơn điệu (









 trên 
Khi đó phƣơng trình 



 có nhiều nhất một nghiệm trên 
b. Hàm số  đơn điệu (







Giải
ĐK 
Xét hàm số






 

   











Bảng biến thiên 






   















đồng biến trên 
Phƣơng trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm
Ta có 




Phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 










 








đồng biến trên 
Phƣơng trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm
Ta có 




Phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
15

 







 
Hàm số đồng biên trên 
Ta có 



 và
















 
Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?


     

  
Vế trái cũng có dạng trên.
TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
16
Do đó có thể vận dụng b. để giải phương trình này.
Giải
Điều kiện 


  


Xét hàm 





 





 

      

 
Phân tích
Vế phải có dạng hàm






 
Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?


 

     

  
Vế trái cũng có dạng trên.
Do đó có thể vận dụng b. để giải phương trình này.
Giải
Điều kiện 





  



 




 



Vậy 





TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
17
Nhận xét.
Ví dụ trên nhằm giúp các em làm quen với việc nhận dạng
hàm số.





 

 


 


 



   

 


 


 







 



 





 


Hàm số đồng biến trên 
Ta có






 













 Khi
đó hệ sau tương đương với























Phân tích
Hai vế của (1) có dạng 







 
Có thể dùng hàm để giải hệ trên
Giải
Điều kiện 
Xét hàm số








 

















Thế vào  ta đƣợc nghiệm của hệ đã cho là












TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP




Xét hàm 





 







 
Ta có





 






  



 


 

    Phân tích
Phương trình (1) có dạng hàm. Nhưng bị thiếu yếu tố để đưa
ra phương trình đặc trưng
Để giải quyết thiếu sót đó ta có thể cộng hoặc từ vế theo vế 2
phương trình trong hệ.
Giải
Điều kiện 
Cộng vế theo vế cả hai phương trình trong hệ ta được
  



 

 






 









  
 

Với   thế vào (2) ta đƣợc







Với    thế vào (2) ta đƣợc










 


   

  Giải
Điều kiện 










 



 
Xét hàm





 







Ta có












Thế vào  ta đƣợc

    

     (Bấm máy tính đƣợc
nghiệm duy nhất  Dùng hàm để tìm nghiệm).

  




Hàm số  dòng nghịch biến trên 



Phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất.
Ta có 



 nên  là nghiệm duy nhất của 
Với 
Vậy nghiệm của hệ là 






Chú ý: khoảng xác định của hàm  phải chứa
khoảng điều kiện của 
Phải ở về 2 vế của hệ. Nếu có căn thức thì thường nhân
liên hợp








Khi đó:
Điểm

đƣợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số 
trên khoảng



nếu 



thì 








 Và 


đƣợc
gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Chú ý:
Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị.
Nếu 

là một điểm cực đại (cực tiểu) thì ta nói rằng hàm số
đạt cực đại (cực tiểu) tại 











1. Dấu hiệu 1
 đổi dấu từ dƣơng sang âm qua 

thì 

là điểm cực đại.
 đổi dấu từ âm sang dƣơng qua 

thì 

là điểm cực tiểu.

Hàm số đạt cực tiểu tại 













 Quy tắc 2:
B1: Tìm 




B2: Cho 

 suy ra 




B3: Tại 

tính









Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại 


Hàm số đạt cực tiểu tại 






