1
MỞ ĐẦU 2
1. Lí do chọn đề tài 3
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
4. Giả thiết khoa học 4
5. Đối tƣợng nghiên cứu 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7. Đóng góp của khóa luận 4
8. Cấu trúc của khóa luận 4
Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG THEO NGỮ NGHĨA . 4
1.1. Đại số mệnh đề 5
1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 5
1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề 10
1.1.3. Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề. 17
1.2. Đại cƣơng về đại số vị từ 18
1.2.1. Vị từ và các phép toán vị từ 20
1.2.2. Công thức của đại số vị từ 21
1.2.3. Các quy tắc suy luận của đại số vị từ 22
1.3. Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông 23
1.3.1. Một số yếu tố logic toán trong môn Toán tiểu học 23
1.3.2. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học cơ sở 23
1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học phổ thông 24
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông
25
1.3.5. Vấn đề phát triển tƣ duy logic cho hoc sinh 26
Chƣơng 2: GIỚI THIỆU LÔGIC TOÁN XÂY DỰNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP
TIÊN ĐỀ 30
2.1. Giới thiệu hệ toán mệnh đề. 30 3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phong trào cải cách giáo dục toán học đƣợc khởi xƣớng từ đầu thể kỉ XX
đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung môn Toán trong nhà
trƣờng với thành tựu phát triển của Toán học. Một số nhà lí luận dạy học đã đƣa
ra ý kiến cho rằng: cần phải đƣa một số kiến thức toán học hiện đại vào giảng
dạy trong các trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi
sự cố gắng cải cách một cách triệt để nội dung dạy học môn Toán trong các
trƣờng phổ thông đều không mang lại hiệu quả. Từ thực tế đó, xu hƣớng chung
đƣợc mọi ngƣời thừa nhận là nội dung môn Toán ở trƣờng phổ thông chủ yếu
vẫn bao gồm các tri thức toán học truyền thống nhƣng cần đƣợc trình bày dƣới
sự soi sáng của toán học hiện đại. Với quan điểm đó không cần đƣa nhiều kiến
thức toán hiện đại vào chƣơng trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức môn
Toán tiếp cận đƣợc với xu thế phát triển của Toán học.
Với cƣơng vị là một sinh viên chuyên ngành Sƣ phạm Toán sắp rời giảng
đƣờng đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé
của mình giúp bạn đọc nắm vững nội dung, mối liên hệ logic giữa Toán phổ
thông với toán học Cao cấp. Chính điều đó đã thôi thúc tôi làm khóa luận với đề
tài: “Logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn Toán Trung học phổ
thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu mối liên hệ logic toán phổ thông với toán cao cấp cho sinh viên
ĐHSP Toán trƣờng Đại học Tây Bắc.
- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5
Chƣơng 1. SƠ LƢỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG
THEO NGỮ NGHĨA
Nghiên cứu logic toán thông qua ngữ nghĩa là chúng ta dựa vào nội dung
các phát biểu và đối chiếu với thực tiễn để khẳng định tính đúng hay sai của phát
biểu đó. Trình bày logic toán theo ngữ nghĩa bao gồm hai phần chính là đại số
mệnh đề và đại số vị từ. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một cách sơ lƣợc về hai
phần này để có những hiểu biết cơ bản về logic toán giúp cho việc phân tích các
yếu tố logic toán trong kiến thức môn Toán phổ thông.
1.1 . Đại số mệnh đề
1.1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
1.1.1.1. Khái niệm mệnh đề
Đại số mệnh đề bắt đầu với khái niệm mệnh đề. Đó là những phát biểu mà
ta có thể xác định đƣợc nó đúng hay sai. Một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai mà
không thể vừa đúng vừa sai. Việc phân định đúng hay sai là dựa vào nội dung
phát biểu và đối chiếu với thực tiễn. Chú ý rằng, thực tiễn nói đến ở đây bao
gồm thực tiễn trong đời sống sinh hoạt bình thƣờng và cả thực tiễn khoa học, tức
là những tri thức khoa học đã đƣợc xác định.
Vậy, mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai. Không có mệnh đề
vừa đúng vừa sai, những câu cảm thán, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh,…
không là mệnh đề.
Để kí hiệu các mệnh đề ta dùng các chữ cái
, , , a b c
Trong đại số mệnh đề,
ngƣời ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh đề mà chỉ quan
tâm đến tính “đúng” hoặc “sai". Nhƣ vậy, ngữ nghĩa ở đây chỉ đƣợc sử dụng để
” ta viết :
"2 3 5" a
3. Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề:
a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh
đề nào không đúng cũng không sai.
b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): Không có mệnh
đề nào vừa đúng lại vừa sai.
1.1.1.2. Các phép toán mệnh đề
a) Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu
a
, đúng khi
a
sai và sai
khi a đúng. Bảng giá trị chân lí của phép phủ định đƣợc cho bởi bảng sau:
a
a
1
0
0
1
Ví dụ:
+) Mệnh đề
a
“Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập đƣợc mệnh đề
a
= “Số 30 không chia hết cho 4”.
a
b
c a b
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Ví dụ:
Từ hai mệnh đề:
a
= “Mỗi năm có 12 tháng”,
b
= “Mỗi năm có 4 mùa”
ta thiết lập mệnh đề
c
= “Mỗi năm có 12 tháng và 4 mùa”
Mệnh đề c là hội của hai mệnh đề a và b đã cho.
Chú ý:
a
,
b
là đúng và sai khi cả hai
mệnh đề
a
,
b
cùng sai. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển
8
a
b
c
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
5. Giữa các phép toán phủ định, hội và tuyển còn liên hệ với nhau bởi luật
Đờ Moocgăng nhƣ sau:
; p q p q p q p q
.
Với luật này, khi chứng tỏ một hội của hai mệnh đề là mệnh đề sai ta chỉ
cần chỉ ra một trong hai mệnh đề thành phần sai là đƣợc và để chứng tỏ tuyển
của hai mệnh đề là sai thì phải chứng tỏ cả hai mệnh đề thành phần đồng thời
sai.
d) Phép kéo theo
Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là
ab
, sai khi
a
đúng mà
b
sai
và đúng trong các trƣờng hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo 9
a
b
ab
1
1
1
1
a
kéo theo
b
” thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới nhiều hình thức
khác nhau, chẳng hạn: “nếu
a
thì
b
”; “
a
suy ra
b
”; “có
a
thì có
b
”.
e) Phép tương đương
Mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là
ab
, đúng khi cả hai
mệnh đề
a
,
b
cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trƣờng hợp còn lại.Bảng
giá trị chân lí của mệnh đề tƣơng đƣơng
a
b
a
tƣơng đƣơng
b
” còn đƣợc diễn đạt bằng nhiều hình thức
khác nhau, chẳng hạn: “
a
khi và chỉ khi
b
”; “
a
nếu và chỉ nếu
b
”.
10
1.1.2. Công thức của đại số mệnh đề
1.1.2.1. Khái niệm công thức của đại số mệnh đề
Giả sử cho
, , ,p q r
… là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử
dụng các phép toán logic ,
,
,
,
ta lập đƣợc những mệnh đề mới,
phức tạp hơn nhƣ
+) Nếu
,PQ
là những công thức thì
P
,
PQ
,
PQ
,
PQ
,
PQ
cũng
đều là công thức.
Nhận xét: Khái niệm công thức trong logic mệnh đề tƣơng tự nhƣ khái niệm
biểu thức đại số trong đại số.
Ví dụ 1: Xét công thức
()p q r
.
a. Khi thay
p
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3”
q
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5”
r
bằng mệnh đề “45 chia hết cho 15”
thì công thức
()p q r
1p
,
1q
, lúc đó
1pq
(theo định nghĩa
của phép hội), mặt khác
1r
. Nhƣ vậy, theo định nghĩa của phép kéo theo
(dòng 1 của bảng chân lí của phép kéo theo) mệnh đề
()p q r
là đúng, tức
là mệnh đề “Nếu
45
chia hết cho 3 và 45 chia hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”
là mệnh đề đúng.
Trong trƣờng hợp b. ta có
1p
,
1q
, lúc đó
1pq
(theo định nghĩa
của phép hội), mặt khác
0r
nên mệnh đề
()p q r
sai (dòng hai bảng chân
lí của phép kéo theo) nghĩa là mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia hết
cho 5 thì 45 chia hết cho 8” là mệnh đề sai.
( , , )
n
p p p
đã cho. Nó có thể tính đƣợc bằng
cách lập bảng giá trị chân lí của công thức.
Ví dụ 2: Lập bảng chân lí của công thức
( ) ( ) p q p q
.
p
q
p
q
pq
p
q
( ) ( ) p q p q
0
0
1
1
0
1
( ) ( ) p q p q
là mệnh đề sai (dòng 3).
Khi
p
là mệnh đề sai,
q
là mềnh đề sai thì
( ) ( ) p q p q
lại là mệnh
đề đúng (dòng 1).
Chú ý:
+) Khi lập bảng chân lí ta phải nêu đầy đủ tất cả các bộ giá trị có thể có
của bộ các mệnh đề.
+) Với công thức chứa hai biến mệnh đề nhƣ trên bảng chân lí gồm 4
dòng vì mỗi mệnh đề nhận 2 giá trị 0 hoặc 1 nên có
2 2 4
bộ giá trị
+) Với công thức chứa 3 mệnh đề ta phải lập bảng chân lí gồm
3
2 2 2 2 8
dòng, và nếu công thức chứa n mệnh đề thì bảng giá trị chân lí
có
2
n
dòng.
*) Sự bằng nhau của hai công thức:
Hai công thức
A
và
tƣơng đƣơng. Việc kiểm tra lại sự đúng đắn của các đẳng thức đƣợc thực hiện
bằng cách lập bảng giá trị chân lí hoặc một vài nhận xét đơn giản sau
+
pp
+ Tính chất giao hoán của phép hội, tuyển:
p q q p
,
p q q p
+ Tính chất kết hợp của phép hôi, tuyển:
( ) ( ) p q r p q r
,
( ) ( ) p q r p q r
+ Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyền:
( ) ( ) ( ) p q r p q p r
+ Tính chất phân phối của phép tuyển đối với phép hội:
( ) ( ) ( ) p q r p q p r
+
p q p q
+ Luật Đờ Moocgăng:
pq
=
p
)
(
p q r
) là công thức có dạng
chuẩn tắc tuyển.
Mệnh đề:
“Mọi công thức của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc về
dạng chuẩn tắc tuyển”.
Tuyển sơ cấp: Ta gọi một công thức có dạng tuyển của các biến mệnh đề
14
hoặc phủ định của biến mệnh đề là một tuyển sơ cấp.
Dạng chuẩn tắc hội: Một công thức gọi là dạng chuẩn tắc hội nếu nó
biểu thị ở dạng hội của các tuyển sơ cấp. Kí hiệu “dạng chuẩn tắc hội” là CH –
dạng.
Mệnh đề:
“Mọi công thức của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng đƣơng đƣợc về
dạng chuẩn tắc hội”.
Tích sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề: Xét các công thức của
n
biến
mệnh đề
12
, ,
n
p p p
. Ta gọi một công thức có dạng hội của các biến mệnh đề
hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi
i
. Ta gọi một công thức dạng tuyển của các biến mệnh đề
hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi
i
, trong công thức có mặt
i
p
hoặc
i
p
nhƣng không đồng thời có mặt cả hai, không lặp lại hai lần một kí hiệu
biến là một tuyển sơ cấp đầy đủ của
n
biến mệnh đề. Với
n
biến mềnh đề ta lập
đƣợc đúng
2
n
tuyển sơ cấp đầy đủ.
Dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn: Một công thức được nói là có dạng
chuẩn tắc hội hoàn toàn nếu nó là hội của các tuyến sơ cấp đầy đủ.
Ví dụ:
“Một công thức không hằng đúng của đại số mệnh đề luôn biến đổi tƣơng
đƣơng đƣợc về dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn”.
15
1.1.2.5. Hệ đầy đủ các phép toán của đại số mệnh đề
Khi xây dựng công thức của đại số mệnh đề ta sử dụng năm phép toán là
phủ định, hội, tuyển, kéo theo, tƣơng đƣơng. Thậm chí có thể sử dụng cả những
, ta có các hệ
2
S
= {phủ định, hội} và hệ
3
S
= {phủ định, tuyển}
cũng đầy đủ. Từ đẳng thức
p q p q
, ta cũng có
() p q p q
, nên hệ
4
S
= {phủ định, kéo theo} cũng là hệ đầy đủ. Nhƣ vậy, chỉ cần sử dụng một số
ít phép toán thích hợp là có thể biểu thị đƣợc tất cả các công thức của đại số
mệnh đề.
1.1.2.6. Công thức đối ngẫu
Nhƣ trên ta thấy có thể biến đổi một công thức bất kì của đại số mệnh đề
về dạng chuẩn tắc, nghĩa là về dạng trong đó chỉ có các phép toán phủ định, hội
và tuyển.
Định nghĩa: Giả sử
( , , , )A p q r
là công thức chỉ chứa các phép toán
phủ định, hội, tuyển.
Nếu trong công thức
( , , , )A p q r
ta thay phép hội bởi tuyển và ngƣợc
lại thay tuyển bởi hội thì công thức mới nhận đƣợc sau phép thay thế đó gọi là
A
và
A
là hai công thức đối ngẫu nhau. Công thức đối ngẫu của công thức dạng
chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạng chuẩn tắc hội.
Dùng khái niệm công thức đối ngẫu ta có thể mở rộng công thức Đờ Moocgăng
đã biết về sự phủ định của hội và tuyển:
p q p q
,
p q p q
.
Xét công thức
( , , , )A p q r
chỉ chứa các phép toán phủ định, hội, tuyển.
Áp dụng công thức trên đồng thời sử dụng luật phân phối của phép hội với phép
tuyển và của phép tuyển đối với phép hội, ta thấy rằng muốn phủ định công thức
A
, trƣớc hết trong
A
ta thay dấu hội, tuyển lần lƣợt bởi dấu tuyển, hội sau đó
trong công thức nhận đƣợc thay
, , p q r
tƣơng ứng bởi
, , ,p q r
.
Nhƣ vậy ta có:
*
( , , , ) ( , , , )S p q r S p q r
. Đó là nội dung của định lí sau đây:
p q p q
.
1.1.2.7. Luật của đại số mệnh đề
Cho công thức
A
. Ta gọi:
a)
A
là công thức hằng đúng, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 1 với
17
mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó.
b)
A
là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với
mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó.
Công thức đƣợc gọi là thực hiện đƣợc nếu tồn tại ít nhất một bộ giá trị của
các biến sao cho giá trị tƣơng ứng của công thức là 1.
Công thức hằng đúng của đại số mệnh đề còn dƣợc goi là luật của đại số
mệnh đề.
Một số luật thƣờng gặp của đại số mệnh đề:
- Luật đồng nhất:
pq
- Luật bài trung:
pp
- Luật phi mâu thuẫn :
pp
12
, , ,
n
A A A
và kết luận
B
nếu ứng với mọi bộ giá trị của các biến sao cho tất cả
các công thức
12
, , ,
n
A A A
đều nhận giá trị chân lí bằng 1 ta có
B
cũng nhận giá
trị chân lí bằng 1. Khi đó ta sử dụng kí hiệu
12
, , ,
n
A A A
B
Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:
+ Khi xét một quy tắc suy luận ta không quan tâm đến các bộ giá trị của
các biến mà ít nhất một trong các công thức
12
, , ,
n
A A A
nhận giá trị 0.
12
n
A A A B
.
Danh sách các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề thƣờng đƣợc sử dụng trong
giải toán:
+ Quy tắc kết luận:
, A A B
B
+ Quy tắc bắc cầu:
,
A B B C
AC
hoặc
1 2 2 3 1
1
, , ,
nn
n
A A A A A A
AA
+ Quy tăc suy luận phản đảo:
+ Quy tắc suy luận loại trừ:
,A B A
B
+ Một số quy tắc khác:
,,
; ; ;
A A B C D A B C D
B A A C B D A C B D;
( ) ( ) ( ) ( )
A B A C
A C A B C B C A B C
1.2. Đại cƣơng về đại số vị từ
1.2.1. Vị từ và các phép toán vị từ
1.2.1.1. Vị từ, miền đúng của vị từ
Định nghĩa: Giả sử
D
là một tập cho trƣớc. Ta gọi mỗi ánh xạ
: f D I
, trong đó
{0,1}I
Xét một vị từ
: f D I
- Tập hợp
{x D| f(x) =1}
đƣợc gọi là miền đúng của vị từ
f
và kí hiệu
là
Ef
hay
()Ef x
.
- Tập hợp
\ ( )D f x
đƣợc gọi là miền sai của vị từ
f
.
- Một vị từ trên tập hợp
D
đƣợc gọi là vị từ hằng đúng nếu miền đúng
của nó là
D
.
- Một vị từ trên tập hợp
D
đƣợc gọi là vị từ hằng sai nếu miền đúng của
nó là tập hợp rỗng.
1.2.1.2. Các phép toán vị từ
Cho các vị từ
D
, kí hiệu là
( ) ( )f x g x
, nhận
( ) ( )Ef x Eg x
làm miền đúng.
Nhƣ vậy,
( ( ) ( )) ( ) ( ) E f x g x Ef x Eg x
.
- Phép tuyển: Tuyển của
()fx
với
()gx
, kí hiệu là
( ) ( )f x g x
, là một vị từ
trên
D
nhận
( ) ( )Ef x Eg x
làm miền đúng.
Ta cũng có
( ( ) ( )) ( ) ( ) E f x g x Ef x Eg x
.
- Phép kéo theo: Vị từ
()fx
kéo theo
()gx
đƣợc định nghĩa là
( ) ( )f x g x
()fx
là phủ định của
()fx
.
+ Phép hội vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp.
+ Phép tuyển vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp.
+ Phép hội vị từ phân phối đối với phép tuyển vị từ.
+ Phép tuyển vị từ phân phối đối với phép hội vị từ.
+ Với mọi vị từ
()fx
trên tập
D
luôn có
( ) ( )f x f x
là một vị từ hằng
đúng và
( ) ( )f x f x
là một vị tự hằng sai.
+ Với các vị tự
()fx
và
()gx
trên
D
ta có
( ( ) ( )) \ ( ( ) ( )) \ ( ( ) ( )) E f x g x D E f x g x D Ef x Eg x( \ ( )) ( \ ( )) ( ) ( ) D Ef x D Eg x E f x Eg x
thỏa mãn bất đẳng thức
23x
” sai vì không
có số tự nhiên nào lớn hơn 2 nhỏ hơn 3. Nhƣ vây, việc đặt từ “tồn tại” trƣớc một
hàm mệnh đề đã biến mệnh đề đó thành một mệnh đề hoàn toàn xác định.
Tổng quát: Giả sử
()fx
là hàm mệnh đề trên tập
X
. Đặt lƣợng từ “tồn
tại” trƣớc hàm mệnh đề
()fx
ta có mệnh đề “tồn tại
x
sao cho
()fx
”. Ta kí
hiệu mệnh đề này là
()fx
hay
( )( ( ))x X f x
.
21
Chú ý :
1)
Mệnh đề
()fx
đúng khi và chỉ khi miền đúng của hàm mệnh đề
()fx
10x
”, mệnh đề đúng ; “với mọi
x
có tính chất
2
3 2 0 xx
”, mệnh đề sai.
Tổng quát: Giả sử
()fx
là hàm mệnh đề trên tập
X
. Đặt lƣợng từ “với
mọi” trƣớc hàm mệnh đề
()fx
ta có mệnh đề “với mọi
x
có
()fx
”. Ta kí hiệu
mệnh đề này là
()fx
hay
( )( ( ))x X f x
.
Chú ý :
1)
Mệnh đề
()fx
đúng khi và chỉ khi miền đúng của hàm mệnh đề
()fx
còn có thể
chứa các biến tử khác) thì
()x DA x
và
()x DA x
cũng là công thức.
(4 )i
Nếu
,AB
là những công thức sao cho không có biến tử nào tự do trong
22
công thức này lại bị ràng buộc trong công thức kia thì
AB
,
AB
,
AB
,
AB
cũng là công thức.
Các đẳng thức biểu thị tính chất các phép toán vị từ trên một miền
D
nào đó :
1.
( ) ( )f x f x
2.
( ) ( ) ( ) ( ) f x g x g x f x
;
6.
( , ) ( , ) 1; x yf x y y xf x y
( ( ) ( )) ( ) ( ) 1; x f x g x xf x xg x
7.
( ) ( ) 1; xf x x f x
8.
( ) ( ) 1. xf x x f x
1.2.3. Các quy tắc suy luận của đại số vị từ
Khái niệm quy tắc suy luận của đại số vị từ đƣợc hiểu tƣơng tự nhƣ trong
đại số mệnh đề.
Định nghĩa: Cho
12
, , ,
n
A A A
và
B
là những công thức của đại số vị từ
sao cho không có biến nào tự do trong công thức này lại bị ràng buộc trong công
thức kia. Khi đó ta nói có quy tắc suy luận của đại số vị từ với tiền đề là
12
, , ,
n
A A A
và kết luận B nếu có luật
12
nhận thức sai lệch về bản chất kiến thức. Đồng thời với hình thành kiến thức
toán cho học sinh, việc làm cho học sinh hiểu đƣợc ý nghĩa và cách sử dụng các
từ nối logic ngay từ bậc tiểu học là rất cần thiết. Trên cơ sở đó thƣờng xuyên tập
luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ, đặc biệt là tập luyện thói quen lập luận
có căn cứ là điều đảm bảo cho sự phát triển vững chắc về sau. Mặc dù yếu tố
chứng minh ở bậc tiểu học chƣa đặt ra sự nghiêm ngặt, nhƣng dƣới dạng giải
thích cho hành vi, sự lựa chọn, phân tích các sự kiện, là những cơ hội để tập
luyện những thao tác tƣ duy logic cho học sinh.
1.3.2. Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học cơ sở
Ở cấp trung học cơ sở, yếu tố suy diễn đƣợc đƣa vào khá sớm. Mặc dù số
tiết không nhiều, nhƣng các kiến thức hình học ở lớp 6 trình bày theo tinh thần
phƣơng pháp tiên đề đã nói lên điều đó. Các yếu tố logic trong môn Toán trung
học cơ sở đƣợc thể hiện ở những điểm sau đây:
24
- Hiểu đúng nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu toán học.
- Biết thừa nhận tính đúng đắn của các tính chất cơ bản của các khái niệm
hình học cơ bản ở lớp 6. Biết nghĩa và sử dụng đúng một số thuật ngữ biểu thị
các khái niệm hình học ở lớp 6.
- Nắm đƣợc khái niệm định lí và chứng minh định lí, cấu trúc của một
định lí, ghi đƣợc giả thiết, kết luận của định lí. Nắm đƣợc tiên đề Ơclit, phát biểu
và nắm đƣợc cách chứng minh các định lí trong chƣơng trình toán 7, 8, 9.
- Hiểu đƣợc khái niệm hai phƣơng trình tƣơng đƣơng; hai bất phƣơng
trình, hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng. Hiểu và vận dụng các quy tắc chuyển vế và
quy tắc nhân vào giải phƣơng trình, bất phƣơng trình. Vận dụng các phƣơng
pháp giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
1.3.3. Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học phổ thông
Một số kiến thức toán đƣợc đƣa vào giảng dạy tƣờng minh và trình bày
trong sách Đại số 10. Nội dung cụ thể gồm các kiến thức sau đây :
Mệnh đề: Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa
hiện chứng minh các mệnh đề toán học với lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán Trung học phổ
thông
1.3.4.1. Lƣợc đồ chứng minh
Giả sử cho trƣớc giả thiết
A
và yêu cầu chứng minh kết luận
B
. Khi đó
để chứng minh
B
ta cần thiết lập một dãy các suy luận
10
nn
B B B
,
trong đó
0
B
chính là
B
và
n
B
là
A
cùng với các kiến thức (những điều đúng) đã
vấn đề đƣợc tách ra đó có thể vận dụng phƣơng pháp phân tích đi lên (hay còn
gọi là phép suy ngƣợc) đƣợc trình bày dƣới đây.
1.3.4.2. Phƣơng pháp suy ngƣợc để phát hiện cách chứng minh một kết luận
Để chứng minh một kết luận
A
nào đó ta cần tìm một điều kiện đủ của
A
. Thông thƣờng, cùng một kết luân
A
có thể có nhiều điều kiện đủ. Trong các
điều kiện đủ đó ta chỉ cần chọn lấy một điều kiện, kí hiệu là
1
A
. Lập luận của
Copyright: Tài liệu đại học ©