1 Bùi Thị Thu Hiền
Về một số nội dung của hình học ơclit
n

chiều trong chơng trình toán
trung học phổ thông Khoá luận tốt nghiệp: Đại học S phạm Toán.

1.2. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng 15
1.2.4. Khoảng cách giữa hai phẳng 19
1.2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng 24
1.3. Hộp 26
1.3.1. Tâm tỉ cự 26
1.3.2. Tập lồi 27
1.3.3. Hộp 28
1.4. Đơn hình 29
Chơng 2. một số phép biến hình 32
2.1. ánh xạ afin 32
2.1.1. các định nghĩa 32
2.1.2. Tính chất
33

3

2.1.3. Các định lí cơ bản 34
2.1.4. Biểu thức toạ độ 34
2.1.2.
Phép chiếu song song trong
n

A
,
n

E
35
2.2. Biến đổi afin 37
2.2.1. định nghĩa 5 37

Đại học vào công tác giảng dạy sau khi ra trờng là một trong những yêu cầu và là
nhiệm vụ của ngời sinh viên khi đang ngồi trên ghế trờng Đại học. Đây là một
trong những yêu cầu có tính nguyên tắc của việc học đi đôi với hành mà không phải
sinh viên nào cũng có thể làm đợc và làm tốt nó. Ngoài việc đợc học những kiến
thức do giáo viên cung cấp, bản thân mỗi sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên
cứu để thấy đợc mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức
đợc giảng dạy sau này ở bậc phổ thông.
Đề tài Về một số nội dung của hình học Ơclit n chiều trong chơng trình
Toán THPT sẽ giúp chúng ta một phần nhỏ trong việc giải quyết khó khăn khi
tìm mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức đợc giảng
dạy sau này ở bậc phổ thông.
Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài bao gồm 3
chơng:
Chơng 1. Phẳng, đơn hình, hộp, khoảng cách.
Chơng 2. Một số phép biến hình.
Chơng 3. Một số bài tập.
Chơng 1 và chơng 2 trình bày các nội dung lí thuyết của hình học Ơclit n chiều
và sự đặc biệt của nó trong chơng trình Toán THPT. ở chơng 3, các bài tập áp
dụng trong không gian Ơclit n chiều và các kết quả của nó ở phổ thông.

5

Lần đầu tiên đợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm bản thân
cha có nên nội dung đề tài vẫn còn những thiếu sót, tôi rất mong nhận đợc sự
đóng góp của các thầy cô giáo, bạn bè để đề tài đựơc hoàn chỉnh hơn.
MN

, M, N
A

Bộ ba (
A
, ,
V
) đợc gọi là không gian afin trên trờng
K
nếu hai tiên đề sau
đợc thoả mãn:
(i) Với mọi M

A
và với mọi vectơ
u


V
có duy nhất điểm N
A
sao cho
MN

=
u



V
liên kết
với không gian afin
A
thờng kí hiệu là

A
. Không gian afin
A
đợc gọi là n chiều
và viết

A
n
nếu dim

A
= n.
Đặc biệt nếu
A
là tập hợp các điểm,
V
là tập hợp các vectơ trong mặt phẳng và
trong không gian thông thờng, ta có mặt phẳng afin và không gian afin thông
thờng đang sử dụng ở trờng phổ thông.
Định nghĩa 2 (Không gian vectơ Ơclit).
Không gian vectơ trên đó đợc trang bị một tích vô hớng đợc gọi là không gian
vectơ Ơclit.
Định nghĩa 3 (Không gian Ơclit).
Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn

afin đã cho.
Định nghĩa 4 (Mục tiêu trực chuẩn, hệ toạ độ trực chuẩn).
Mục tiêu afin (O;
1
e

,
2
e

, ,
n
e

) của không gian Ơclit n chiều
E
n

đợc gọi là
mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ độ Đềcác vuông góc) nếu cơ sở ={
1
e

,
2
e

, ,
n
e

lần lợt trên 2 trục đó
Ta có :
2
i


=
2
j = 1 và
i

.
j
= 0

OM

= x.
i

+ y.
j

(Khi đó cặp số (x, y) là toạ độ của điểm M đối với mục tiêu
trực chuẩn (O;
i

,
j



= 0,

j
.
k

= 0,

8i

.
k

= 0,

OM

= x.
i

+ y.
j

+ z.
k


=
{
}
/
M IMA
,
đợc gọi là cái phẳng (gọi tắt là phẳng) đi qua I và có phơng


. Nếu dim


= m
thì

đợc gọi là m- phẳng hay phẳng m chiều.
Đặc biệt:
0- phẳng là một điểm;
1- phẳng gọi là đờng thẳng;
2- phẳng gọi là mặt phẳng;
n- phẳng của không gian afin n chiều
n
A
chính là
n
A
;

là không gian con của


.
- Các phẳng
và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song 9

song với nhau .
- Giao


đợc hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp gọi là giao của hai cái
phẳng

và

.
- Tổng

+

là giao của tất cả các phẳng chứa

và

và nó đợc gọi là tổng
của hai cái phẳng

cho trớc.
Đặc biệt:
+ Trong chơng trình hình học ở trờng phổ thông hai đờng thẳng (mặt phẳng)
trùng nhau vẫn xem là song song với nhau (theo định nghĩa trên). Tuy nhiên có
đờng thẳng song song với mặt phẳng nhng không có mặt phẳng song song với
đờng thẳng .
+ Qua một điểm đã cho có duy nhất một đờng thẳng (mặt phẳng) song song
với một đờng thẳng (mặt phẳng) cho trớc.
1.1.4. Định nghĩa sự trực giao các phẳng
Định nghĩa 6. Cho W
1
,W
2
là 2 không gian của không gian của vectơ Ơclit
V
.
(i) W
1
đợc gọi là trực giao với W
2
( kí hiệu W
1

W
2
)

với mọi
x



W
1

W
2
và

W
1

W
2
=
V
.
Đặc biệt trong không gian Ơclit
E
n
cho các phẳng

có phơng


và phẳng


có phơng



+ Trong
E
2
hai đờng thẳng vuông góc là trực giao với nhau và cũng là bù trực
giao với nhau.
Khi n =3
+ Trong
E
3
(hệ toạ độ Oxyz): Hai mặt phẳng vuông góc với nhau không phải là
hai mặt phẳng trực giao với nhau. Nhng đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng là
bù trực giao với nhau.
Nh vậy trong chơng trình Toán THPT sự trực giao của các phẳng trong
E
2
,
E
3

chính là quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng với đờng thẳng, đờng thẳng với
mặt phẳng trong không gian.
Định lí 2: Hai phẳng trực giao với nhau có không quá một điểm chung. Hai phẳng
bù trực giao với nhau có một điểm chung duy nhất.
Đặc biệt
- Trong
E
2
hai đờng thẳng là bù trực giao với nhau nên có một điểm chung duy
nhất.
- Trong


đờng thẳng a cho trớc.
+ Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau . b

a b
c b






a // c a
c
Khi n = 3: b
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông
góc với một đờng thẳng thì song song với nhau. :
(P)

d
(Q)

d (P) // (Q)
(P)

(Q)
+ Qua một điểm O cho trớc, có một và
chỉ một đờng thẳng vuông góc với một mặt
phẳng cho trớc.

, ,
n
b
) và có phơng


. Chọn một cơ sở của


là


1
, ,


m
và gọi
toạ độ của chúng đối với cơ sở

= (
1


, ,
n


) là
i

, , t
m
Đặc biệt khi n = 2 thì phơng trình tham số của đờng thẳng

đi qua A(x
0
; y
0
) có
phơng
u

= (a; b)

0

là:

0
0
x x at
y y bt
= +


= +

(t là tham số);
Khi n = 3, thì phơng trình tham số của đờng thẳng


(t là tham số);
Khi n = 3 thì phơng trình tham số của mặt phẳng

đi qua A(x
0
; y
0
; z
0
) có phơng


= L(
u

1
,
u

2
) với
u

1
= (a
1
; b
1
; c
1


= + +

x x at a t
y y bt b t
z z ct c t
(t
1
, t
2
là các tham số)

13

Đó là các kết quả ta đã biết ở trờng phổ thông.
1.1.6. Phơng trình tổng quát của m- phẳng
Trong không gian afin n chiều
A
n
(n

1) với mục tiêu đã chọn (O;

), mỗi m -
phẳng

đều đợc xem là giao của n- m siêu phẳng nào đó. Vì vậy hệ gồm n- m
phơng trình tuyến tính của n ẩn số x
1
, x

n m n m n m n n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

+ + + + =


+ + + + =




+ + + + =
11 1
,
,1
n
n m n
n m
a a
A
a a


+ + + =


+ + + =

a x b y c z d
a x b y c z d

Phơng trình tổng quát của mặt phẳng là: ax+ by+ cz+ d = 0.
Đó là các kết quả ta đã biết ở trờng phổ thông.
1.2. Khoảng cách
1.2.1. Định thức Gram
Định nghĩa 7. Trong
n

E
cho hệ m vectơ
1
u

,
2
u

, ,
m
u

. Ta gọi là định thức Gram
của hệ m vectơ là định thức sau và kí hiệu là:


) =
1 1
.
u u

=
2
1
u

. Vậy
1
u

=
1
( )
Gr u

.
Đó chính là độ dài của đoạn thẳng P
0
P
1
với
0 1
1
P P u
=
=
2 2
2
1 1 2
2
. ( . )
u u u u


=
2 2
1 2
.
u u

2
1 2
1
[ - cos ( u ,u )] =
2 2
1 2
.
u u

sin

, P
1
, P
m
là một số, kí hiệu V(H), đợc xác định
là: V(H)=
1 2
( , , , )
m
Gr u u u

.
1.2.2. Khoảng cách giữa 2 điểm
Định nghĩa 8
Trong không Ơclit n chiều
E
n
, khoảng cách giữa 2 điểm M và N đợc định nghĩa
là một số, kí hiệu là d(M, N) đợc xác định bởi
d(M, N)=
MN

=
2
MN

.
Định lí 5. Trong
E
n


.
Đặc biệt: n = 2, ta có M(x
1
; x
2
), N(y
1
; y
2
) thì d(M, N) =
2 2
2 2 1 1
( ) ( )
y x y x
+
.
n = 3, ta có M(x
1
, x
2
,

x
3
), N(y
1
, y
2
, y

.
Định lí 6.
Nếu

là đờng vuông góc chung của và

, và giao điểm của

với và


là I và J thì: d(,

)= d(I, J).
Hệ quả 5.
Nếu điểm I không thuộc phẳng thì qua I có đờng duy nhất vuông góc và
cắt
, giao điểm J của đờng thẳng đó với phẳng gọi là hình chiếu vuông góc
của I trên . Khi đó d(I, )= d(I, J).
Hệ quả 6.
Nếu phẳng

song song với phẳng

và phơng


của phẳng

là không gian

, cho điểm A và m-
phẳng P. Thế thì tồn tại duy nhất một điểm H thuộc m- phẳng P, sao cho với mọi
điểm M của P ta có: d(A, H)

d(A, M).

16

Khi đó khoảng cách d(A, H) đợc gọi là khoảng cách từ điểm A tới m- phẳng P, ký
hiệu d(A, P) và điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng
A P H M

Khoảng cách từ điểm A đến m-phẳng P
d(A, P)= d(A, H)

d(A, M)
Định lý 7. Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho điểm A và m- phẳng P đi qua
điểm S và có phơng
P
= L(
1
u

,

2

Trờng hợp 1.

m = 0, khi đó m- phẳng P chính là điểm S(
x
1
; y
1
), điểm A(
x
0
; y
0
).Vậy ta có công
thức tính khoảng cách giữa hai điểm: d(A, P) = d(A, S) =
2 2
1 0 1 0
( ) ( )
x x y y
+ .
Trờng hợp 2.

m = 1, khi đó m- phẳng P là đờng thẳng với phơng trình tổng quát


:
ax+by +c = 0
đi qua điểm S(
x


thì
( , )
Gr u SA

= 0 do đó d(A, P) = 0

17

+ Nếu
u
,
SA
là độc lập tuyến tính A



thì ta có Gr(
u
) =
22
ba +
và do toạ độ
của
u
= (
b; -a
) và
SA


) +a(x
0
- x
1
)]
2
= (ax
0
+ by
0
+ c)
2

(vì ax
1
+ by
1
+ c
= 0).
Suy ra d(A,

) =
0 0
2 2
+ +
+
ax by c
a b
chính là khoảng cách từ một điểm đến một đờng
thẳng trong mặt phẳng ta đã học ở phổ thông.

1
; z
1
), còn A(
x
0
; y
0
; z
0
). Vậy ta có
công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
d(A, P) = d(A, S) =
2 2 2
1 0 1 0 1 0
( ) ( ) ( )
+ +
x x y y z z
.
Trờng hợp 4:
m = 1, khi đó m- phẳng P chính là đờng thẳng

có phơng
u
= (
a, b, c
) đi qua
điểm S(
x
1



u SA
u
.
Vậy:
+ Nếu
1

u
,
SA
là phụ thuộc tuyến tính (tức điểm A thuộc phẳng P) thì:
[
1

u
,
SA
] =
0

, do đó khoảng cách d(A,

) = 0 .
+ Nếu
1

u
,

x
0
, y
0
, z
0
). Khi đó ta có công thức:
[d(A, P)]
2
=
1 2
1
2
( , , )
( , )
Gr u u SA
Gr u u


=
2
1
2
2
2
2
[ , ].
[ , ]
u u SA
u u

2

u
=(
a
2
; b
2
; c
2
) là phơng của
phẳng P. Khi đó có thể chọn (
a; b; c)
= [
1

u
,
2

u
].
Suy ra

SA
= (
x
0
- x
1

2
0 1

b
b
y y

2
1
2
0 1

c
c
z z
=
=
1
2
a
a




1
2
b
b
(

c
x x
c





Bởi vậy:
+ Nếu A

P thì 3 vectơ
1
u

,
2
u

,
SA

là đồng phẳng tức là phụ thuộc tuyến tính .Do
đó ta có định thức Gr(
1
u

,
2
u

,
SA

) =
a(x
0
- x
1
)+ b(y
0
- y
1
)+ c(z
0
- z
1
) = ax
0
+ by
0
+ cz
0
+ d
,
vì
ax
1
+ by
1
+ cz


,

) là số: d(

,

)=




M
N
inf
d(M, N).
Định lý và khái niệm
.
Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho p- phẳng P song song với q- phẳng Q.Với
điểm A tuỳ ý của p- phẳng P, thì d(A, Q) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí
của điểm A trong p- phẳng P. Hằng số đó gọi là khoảng cách giữa hai cái phẳng
song song P và Q, ký hiệu d(P, Q).
Định lý 8
. Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho m- phẳng P có phơng

Định lí 9
.
Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho p- phẳng P đi qua điểm A và q- phẳng Q
đi qua điểm B. Gọi
1
u
,
2
u
, ,
m
u

là hệ vectơ cơ sở của không gian vectơ tổng
P Q
+

. Khi đó khoảng cách giữa hai phẳng P và Q đợc tính theo công thức:
[d(P, Q)]
2
=
m
m
Gr u u u AB
Gr u u u
1 2
1 2

thức tính khoảng cách giữa hai điểm đã học ở phổ thông:
d(P, Q) = d(A, B) =
2 2
2 1 2 1
( ) ( )
+
x x y y
.
Trờng hợp 2:

Với p = 0 phẳng P là điểm A, q = 1 phẳng Q là đờng thẳng, thì ta có công thức
tính khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng nh trờng hợp 2 của công thức
tính khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng đã xét ở trên.
Trờng hợp 3
:
Với p = 1 phẳng P là đờng thẳng đi qua A với phơng
1

u
, q = 1 phẳng Q là đờng
thẳng qua B với phơng
2

u
. Khi đó ta có:
- Nếu
1

u
,

,

AB
) = 0 suy ra
d(P, Q) = 0.
+ Nếu P

Q, thì đặt A(
x
0
; y
0
), B(
x
1
; y
1
), P:
ax+ by+ c


= 0
, Q:
ax+ by+ c = 0
.
Khi đó P // Q thì khoảng cách giữa hai cái phẳng song song P, Q là khoảng cách từ
một điểm thuộc đờng thẳng này tới đờng thẳng kia mà ta đã gặp ở phổ thông. Ta

21


Q
chính là vectơ
1

u
,
2

u
thì
1

u
,
2

u
,
AB

phụ thuộc tuyến
tính, do đó Gr(
1

u
,
2

u
,

khoảng cách giữa hai điểm trong không gian mà ta đã gặp ở phổ thông.
Trờng hợp 5
.
Với p = 0 phẳng P là một điểm A, q = 1 phẳng Q là một đờng thẳng

đi qua B
có phơng

u
= (
a; b; c
), ta thấy lại trờng hợp 4 của công thức (1) đó chính là
khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng trong không gian mà ta đã gặp ở
phổ thông. d(A,

) = 0 nếu

A
,
2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
( , )
y y z z z z x x x x y y
b c c a a b
d A
a b c

+ +
=

). Trờng hợp này ta thấy lại công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng nh trong trờng hợp 5 của công thức (1). Đó
là các kết quả ta đã biết trong chơng trình Toán ở phổ thông.

22

Trờng hợp 7.

Với p = 1 phẳng P là đờng thẳng đi qua A có phơng
1
u

= (
a
1
; b
1
; c
1
), còn phẳng
Q cũng là đờng thẳng đi qua điểm B có phơng
2
u

= (
a
2
; b
2
; c

,

AB
phụ thuộc tuyến tính (phẳng P trùng với phẳng Q) thì d(P, Q)= 0.
+ Nếu
1 2
,

u u
độc lập tuyến tính thì không gian véctơ

P
+

Q
có cơ sở là véctơ
1 2
,

u u
.
Bởi vậy:
- Nếu
1
,

u

2
,

là độc lập tuyến tính (đờng thẳng P và đờng thẳng Q là
chéo nhau) thì ta có công thức:
1 2
1 2
1 2
1 2
, .
( , , )
( , )
( , )
,
u u AB
Gr u u AB
d P Q
Gr u u
u u= =

(Đây là công thức tính khoảng cách hai đờng thẳng chéo nhau đã biết ở trờng
phổ thông)
Trờng hợp 8.




Q
n v v
= (
a, b, c
) và phơng trình của mặt phẳng Q:
ax+ by+ cz+ d = 0. 23

+ Nếu

u
,
1

v
,
2

v
là độc lập tuyến tính thì không gian
+

P Q

chính là


1

v
,
2

v
là độc lập tuyến tính nên
+

P Q

có cơ sở là
1

v
,
2

v
(đờng thẳng P song song với mặt phẳng Q hoặc nằm
trong Q). Bởi vậy:
- Nếu
1

v
,
2

v

2
= [ax
A
+ by
A
+ cz
A
+ d]
2
và
Gr(
1

v
,
2

v
) =
a
2
+ b
2
+ c
2
. Trong trờng hợp này
d(P, Q) = d(A, Q) = d(B, P) =
2 2 2
A A A
ax by cz d

Trờng hợp 9
.
Phẳng P là mặt phẳng đi qua điểm A có phơng trình:
a
1
x+ b
1
y+ c
1
z+ d
1
= 0
với phơng
1
u

= (
p
1
; q
1
; r
1
),
2
u

= (
p
2

( ; ; )
v r s t
=

và có thể chọn
1 2 2 2 2
, ( ; ; ;)
Q
n v v a b c

= =


.
+ Nếu trong bốn véctơ
1
,

u
2
,

u

1

v
,
2



u

1

v
,
2

v
là phụ thuộc tuyến
tính thì
+

P Q
có cơ sở là
1
,

u

2

u

hoặc
1

v
,

2 2 2
1 1 1
B B B
a x b y c z d
a b c
+ + +
+ +
= d(B, P)
(Đây chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đã học ở phổ thông)
- Nếu
1
,

u

2
,

u

AB
là phụ thuộc tuyến tính (mặt phẳng P trùng với mặt phẳng (Q)
thì ta có: Gr(
1
,

u

2
,

+ + a
n
x
n
+ a
0
=0

0
1
0
=+

=
n
i
ii
axa

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến siêu phẳng P đợc tính theo công thức:



N
A
i i 0
i=1
N
2
i

E
2

đó chính là khoảng cách từ một điểm A đến một
đờng thẳng

trong mặt phẳng

và ta thấy lại công thức đã nêu trong trờng hợp 2
của công thức (1), đó là:

Điểm

A(
x
0
; y
0
) và siêu phẳng

với phơng trình tổng
quát:

:
ax+by +c = 0
đi qua điểm S(
x
1
; y
1

u S
1
u
H


Với n = 3 gọi
1

e
,
2

e
,
3

e
là một cơ sở trực chuẩn của
E

3

Trờng hợp 2
:
Với n = 3, thì siêu phẳng trong
E

P.
Đó chính là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong chơng trình Toán
ở phổ thông.
Nh vậy khoảng cách từ một điểm đến m- phẳng, khoảng cách giữa hai cái phẳng