CNG ễN TP VO THPT
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0A
2. Hằng đẳng thức:
AA =
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA =

)0;0( BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0( > BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:

2
BABA =

)0( B

Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32 + x
2)
2
2
x
3)
3
4
+x
4)
6
5
2
+

x
5)
43 +x
6)
2
1 x+
7)
x21
3

8)
53
3

25
1
25
1
+
+

11)
234
2
234
2
+


12)
21
22
+
+
13)
877)714228( ++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2


)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Bài2:
THCS LAN MU
1
CNG ễN TP VO THPT
1)
( ) ( )
22
2323
++
2)
( ) ( )
22
3232
+
3)
( )
( )
2
2
3535 ++
4)
1528 +
-
1528
5)
(

=x
7)
6144
2
=++ xx
8)
3)12(
2
=x
9)
64
2
=x
10)
06)1(4
2
= x

II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.

1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+


2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+

a
a
a
a
aa
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
5

a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1

Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x

2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=






+




* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy +=
Trong đó a; b là các hệ số
0a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy +=
là hàm số bậc nhất là:
0a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
THCS LAN MU
3
CNG ễN TP VO THPT
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất

3003 mm
Tính chất:
+ TXĐ:
Rx

+ Đồng biến khi
0>a
. Nghịch biến khi
0<a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):

): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
)
,
aa
.
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện
'
bb =
.
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì :
.1.
'
=aa
+ Song song với nhau: (d
1
) // (d
2
)
',
; bbaa =
.
+ Trùng nhau: (d

23
=




=





=
m
m
m
m
m
b/ (d
1
) cắt (d
2
)

123

mm
c/ (d
1
) cắt (d

-Dạng 3: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
THCS LAN MU

)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0
v y = (2 - m)x + 4 ;
)2( m
. Tỡm iu kin ca m hai
ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc
tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1
v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +

-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố định B . Tính BA
?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
I. các kháI niệm:
Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(
0

a
hoặc

)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
THCS LAN MU
5
CNG ễN TP VO THPT
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ ph ơng trình t ơng đ ơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế:
a) Quy tắc thế :
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để
đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng th-
ờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1).
Ví dụ: xét hệ phơng trình:



=+
=





=
+=




=++
+=




=++
+=
0
1
0
21
3263
21
32)21(3
21
y
x
y
yx





=+
=
42 yx
myx






=
=+
2
623
yx
yx




=+
=
264


4 2
3 2 4
x y
x y
+ =


+ =




2
2 3 9
x y
x y
=


=



2x 3y 2
4x 6y 2
=


+ =



=
=+
032
852
yx
yx
THCS LAN MU
6
CNG ễN TP VO THPT




=
=+
323
223
yx
yx






=
=+
736

=+
6156
252
yx
yx





=
=
346
423
yx
yx
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau




=++
=++
5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx





1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx

Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
a)



=
=
42
22
yx
yx
b)




=++
=+
0386
243
yx
yx
f)







=+
=
8
3
2
4
1
32
y
x
y
x
Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)



x
3
2
2y
2
x
1
c)







=

+
+
=


+
1
2
3
2
20
1
2

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:



=
=+
8050)4(
16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :

2
-2007x +2005= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ;
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có: =.= >0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ;
5) Giải phơng trình: x
4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==

=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1
=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
2
==>
x
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2
- 50 = 0 c)54x
2
= 27x e)y+
y
-6=0

+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22
= 0
THCS LAN MU
8
CNG ễN TP VO THPT
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x
4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
4)
1
1
2
1

0845yy8y5y
2
2
=++
8)
( )
6555
22
=
yy
9)
0224
22
=++
xx
bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x
2
+ mx - m
2
-12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2 thì:
5.2
2
+m.2 -m
2
-12=0
8+m.2 -m

= Nên 2 + x
2
=-
5
4
x
2
=.=
+)Với m
2
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
2
= Nên 2 + x
2
= x
2
=.=

2
+ m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
3x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m
2
- 4m + 12
= m
2
- 2(.).m +( )
2
- +12 = ( - .)
2
+.
Nhận thấy: ( m - .)
2
0 Với mọi m 3 ( m - .)
2
+ 8 .>0 Với mọi m 3
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.

a) x
2
+ 2x + m - 1 = 0 b) x
2
+ mx + 7 = 0
c)-3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x
2
- 2(2m+1)x+ m
2
-2 5 = 0 e) (m
2
+ 4 m
+4)x
2
+ mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x
2




Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx
2
- 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5
c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223
1

và
223
1
+
e)
ba
+
1

2
=(.).( )=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình: .= 0
Vậy phơng trình cần lập là:
Bài 13 : Cho phơng trình : x
2
+ 5x - b = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
1
= x
1
2
+ 1 và y
2
= x
2
2


=
=+
35y.x
5yx
b)



=
=
60y.x
11yx
c)



=
=+
12y.x
25yx
22
bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x
2
- 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x
2
- 7x + 2 = 0

=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x
2
+ x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
+ x +2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= < 0
=> phơng trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
các phơng trình sau :
1) 3x
2
+ 5x - 1 = 0 3) 5x
2
- 14x + 1 = 0
2) 7x
2
-3x + 1= 0 4) 2x
2
- 4x - 3 = 0
5) 4x
2
- 3x +2 = 0 6) x
2
+5x +1 = 0
bài mẫu: Cho phơng trình : x





Giải(1): 4-m > 0 .<=>
Giải(2): 2 > 0 luôn đúng
Giải(3): . > 0 .<=>
Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:
THCS LAN MU
11
CNG ễN TP VO THPT
Vậy m
Bài 17 : Cho phơng trình : x
2
- 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
1) có 2 nghiệm trái dấu
2) có 2 nghiệm cùng dấu
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
5) Có 2 nghiệm cùng âm
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2mx + (m-1)
2
= 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x
2
- 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
c) x

1
+
; C =
1
2
2
1
x
x
x
x
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E = x
1
(1-x
2
) + x
2
(1-x
1
) ; F = x
1
3
- x

2
= 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x
1
; x
2

thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x
2
- 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x
1
2
+ x
1

-2m( )+(.)
2
-+24
=( )
2
+
Nhận thấy: ( )
2
0 với mọi giá trị của m
=> ( )
2
+ > 0 với mọi giá trị của m
Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.


=
=
(I)
Lại có: A= x
2
1
x
2


THCS LAN MU
12
CNG ễN TP VO THPT
<=> ( )
2
- với mọi giá trị của m
Hay -4A với mọi giá trị của m A với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2
-17= 0 (1) (ẩn x)
Hãy m để biểu thức A= x
1
+ x
2

đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x
1
, x
2

là nghiệm của phơng
trình (1) )
Giải: phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2

1
theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x
2
+ mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x
2
1

+ x
2
2
) - x
1
(x
1
-x

2
+ 2mx + m
2
+ 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x
1
+x
2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x
1
+x
2
+x
1
.x
2
+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x
2
- (m+1)x + m
2
-2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x
2
1
+ x

1
+ x
2
; S = x
1
. x
2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x
2
- (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x
2
-2(m-3)x - 2(m-1) = 0
c) x
2
+ (m-1) x+ m
2
+ 5m = 0 d) (m-1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x

CNG ễN TP VO THPT
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x
2
- (3m+2) x + 12 = 0
4x
2
- (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+(3m+2n)x - 4 = 0
x
2
+ (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0 và x
2
+ p
2
x + q
2
= 0
Biết rằng: p

1
b) (bc
1
-b
1
c)
Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x
2
- 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1-x
1
) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x
1
2
+x
2

Bài 40:Cho phơng trình: x
2
- (a-1) x - a
2
+a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính S= x
1
2
+ x
2
2
theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
độc lập với a.
4)Tìm a để nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
1
x

a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thức
A=
2
2
2
1
)3x2(2
1
)3x2(2
1
+
+
+
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là
1x
1x
1
1

+
và
1x
1x
2
2

+
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .

2
x
2
+ x
2
2
x
1
3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
CHủ đề 5:

giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình
dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến
chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự
định lúc đầu
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở
vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc ng-
ời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định là 45 phút nên
ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi
theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời
gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và
đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc
xe đạp.

THCS LAN MU
15
CNG ễN TP VO THPT
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca
nô. Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần khác
ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của
dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc của
dòng nớc là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với
vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô
nô đến nơi cùng một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút 2
ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng
là 9 km/h. Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến
A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận
tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về
ít hơn thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút . Biết vận tốc thực của ca
nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn
vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian
đi quang đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi

CNG ễN TP VO THPT
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành
3
2
công việc . Nếu
để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao lâu
xong công việc.
Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm
trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao
lâu mới hoàn thành công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải
điều đi làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời làm
trong bao lâu thì xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng cộng số giờ làm
việc là 12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm
riêng thì mất bao lâu xong việc.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau
5
4
4
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng
2
1
1
l-
ợng nớc ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế ngời
1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3

3
do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích bể chứa.
Bài 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo năng
suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày
( tăng, giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kế hoạch.
Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt
mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết
máy.
Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt
mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong
tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày đánh bắt
thêm đợc 8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi
số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
THCS LAN MU
17
CNG ễN TP VO THPT
Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng số cây
các bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính
số học sinh nam và nữ.
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau2m. Tìm các cạnh
góc vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của v-
ờn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m
2
. Tính các kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại bằng 15m.
Tính cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông là 7 cm.

phần thứ hai : hình học
I_chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn.
O
P
Q
E
F
x
G
H
O
A
K
M
N
A
D
C
B
A
D
C
B
A
Bài 2 : Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn
(O). M là một điểm tuỳ ý trên dây BC (MB ; M C) đờng thẳng vuông góc với OM tại M cắt AB, AC lần lợt ở
D và E. CMR
a. Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp một đờng tròn.
b. M là trung điểm của DE.

b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK
c> chứng minh MI.MK= MH
2

Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M là một điểm trên đờng tròn(MA; M B).
C là một điểm trên cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đ-
ờng tròn (0) tại E va F chứng minh
a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn
b> Tam giác ECF vuông tại C
Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB và CC cắt nhau tại H
a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp . Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC.
b)Tia AO cắt đờng tròn (O) ở D, cắt BC ở I. CMR tứ giác BIDC nội tiếp,
từ đó suy ra AO BC
c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M của BC
Bài 9 : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. AE cắt
OC ở F, DE cắt AB ở N.
a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó
b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy
Bài 10 : cho hai đờng tròn (O
1
) ; (O
2
) cắt nhau tại E và F ; O
1
O
2
cắt (O
1
) tại A, C ; cắt (O
2

= BD
2
= 2R
2
Bài 5 : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB . Trên Bx lấy một điểm O sao cho BO =
2
AB
. Tia AO cắt đờng tròn
(O ; OB) ở D và E ( D nằm giữa A và O). đờng tròn (A ; AD) cắt AB ở C
a. Tìm vị trí tơng đối của (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE)
b. Chứng minh rằng : DE
2
= AD. AE
c. AC
2
= BC. AB.
Bài 6 : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . AK cắt BC ở I
và cắt đờng tròn (O) ở P. Kẻ đờng kính PQ. Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BK và CK với đờng thẳng AQ.
Chứng minh rằng
a. PC
2
= PI. PA
b. 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn.
THCS LAN MU
19
CNG ễN TP VO THPT
Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, P là giao
điểm của AB và CD, tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và cắt AD thứ tự tại E và Q.
a. Chứng minh rằng : DE // BC
b. Chứng minh : DP. DC = DA. DQ

Bài 6 : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm của AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, cắt CI tại
H
a. Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác ABC.
b. Gọi B là điểm đối xứng với B qua AC. Chứng minh rằng B cũng thuộc đờng tròn (O).
c. Chứng minh ngợc lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC
tiếp xúc với AB.
Bài 7 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R
2
(M nằm ở giữa cung
AN) AM cắt BN ở C ; AN cắt BM ở D.
a. Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN.
b. Chứng minh rằng CD vuông góc với AB.
c. Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN
d. Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đờng thẳng cố định.
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và BC ( vẽ cùng một
phía của AC). trên đờng thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 90
0
.gọi giao điểm của
DA và DC với 2 nửa đờng trònl à E và F .Chứng minh rằng
a. EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
b. Tứ giác AEFC nội tiếp một đờng tròn
c. Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuông.
Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đờng tròn (O,R) H là giao điểm của các đờng cao
AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chứng minh các góc PNB
= BNM = CBQ
1. Chứng minh rằng : Q thuộc đờng tròn tâm (O)
2. Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC ở K. Chứng minh rằng xy là
tiếp tuyến của đờng tròn (O) và AK
2
= KB. BC

a. Chứng minh rằng OT// AB
b. Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng
c. tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R
Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng :
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD.
b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD.
Bài 8:
Cho đờng tròn đờng kính BC. Một điểm P ở ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đờng
tròn. Giao của PB, với PC với đờng tròn lần lợt là M, N, giao của AN với đờng tròn là E. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng tròn
b) EM vuông góc với BC.
Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đờng tròn (O), ngoài ra ACB = 45
0
. Các đờng cao AH,
BH của tam giác cắt đờng tròn lần lợt tại P, Q. Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S.
a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng tròn (O).
b) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành
c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau
Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác trong của các góc B,và C lần lợt cắt đờng tròn
tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt tại H; I .CMR:
a) MN//AC.
b) CD.MN = CM.BD
B ài 11:Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với nhau tại I .CMR
a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD
b)Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong góc với AD.
Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là một điểm trên
A ở ngoài đờng tròn .Giao điểm của PB và PC với đờng tròn lần lợt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đờng
tròn là E .CMR:
a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng tròn.
b)EN vuông góc với BC.

Bài 5 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn ở E. Kẻ đờng kính AOF.
a. Chứng minh tam giác BCEF là hình thang cân
b. Chứng minh BAE = CAF
c. Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh H, I, F thẳng hàng.
VI. phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O) cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đờng tròn (O) và
(O) lần lợt tại C, D. Các đờng thẳng CA, DA cắt (O), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tiếp
b) AB là phân giác góc FBE
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp.
Bài 2:Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng
thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M và N.
a) Chứng minh rằng IN, IM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và N đi qua trung điểm E của CD
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) và (O , R) tiếp xúc ngoài tại A(R>R). Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O)
và (O) theo thứ tự tại B và C(B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm I của BC, BC cắt đờng tròn (O) tại D.
VII. toán tổng hợp và toán khác
Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh 4 cm. điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 cm . vẽ đờng tròn tâm O
có đờng kính BM đờng tròn nay cắt AC ở E ( khác A )
1. tính bán kính đờng tròn (O)
2. CMR: DC là tiềp tuyến của đờng tròn (O)
3. CMR: tam giác BEM là tam giác vuông cân
4. tiếp tuyến Bx của đờng tròn (O) cắt DC ở K . CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng
Bài 2: cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và(O) cắt nhau tại hia điểm Avà B . đờng thẳng vuông góc với AB kẻ
qua B cắt đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB với đờng tròn
tâm (O) . Gọi giao điểm thứ hai của 2 đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O) là N và giao điểm của hai đờng
thẳng CM và DN là P
a. tam giàc AMN là tam giác gì ? tại sao?

3. Tứ giác MDBF nội tiếp .
4. DB cắt (O') tại G . Chứng minh DF,EG,AD đồng quy.
5.DE = 2 MF. và MF là tiếp tuyến (O').
Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P là điểm chính giữa cung AB không chứa C và D . Hai dây PC ,PD cắt
dây AB tại E,F ; các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài ncắt nhau tại K.
1. So sánh hai góc CID và CKD .
2. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
3. Chứng minh IK song song với AB.
4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A,F,D.
một số bài toán hình học lớp 9
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt
đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng
tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là là đờng
kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho
AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
THCS LAN MU
23
CNG ễN TP VO THPT
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng
hàng.
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
c) Chứng minh BAF là tam giác cân.
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.

2. BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các
nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB
với các nửa đờng tròn (I), (K).
1. Chứng minh EC = MN.
2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
3. Tính MN.
4. Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn .
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC.
đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD
đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC
tại E. Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.
THCS LAN MU
24
CNG ễN TP VO THPT
Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3. AC // FG.
4. Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C,

1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.
Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng
thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2. Tính góc CHK.
3. Chứng minh KC. KD = KH.KB
4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE.
1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.
2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, Chứng minh FBC là tam giác vuông
cân.
3. Cho biết ABC > 45
0
; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng
nằm trên một đờng tròn.
4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 45
0
. Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt
BA và BC tại D và E.
1. Chứng minh AE = EB.
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn HE đi qua trung
điểm I của BH.
3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE.
Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C
chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống
các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.