i s 11 Trn S Tựng
Trang 60

I. Gii hn ca dóy s Gii hn hu hn Gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:

1
lim0
n
n
đ+Ơ
=
;
1
lim0()
k
n
k
n
+
đ+Ơ
=ẻ
Â
n
) = a b

ã
lim (u
n
.v
n
) = a.b

ã

lim
n
n
u
a
vb
=
(nu b
ạ
0)
b) Nu u
n


0,
"
n v lim u
n

1
q + u
1
q
2
+ =
1
1
u
q
-

(
)
1
q
<

1. Gii hn c bit:
lim n
=+Ơ

lim()
k
nk
+
=+Ơẻ
Â

lim(1)

= a
ạ
0, lim v
n
= 0
thỡ lim
n
n
u
v
=
.0
.0
n
n
neỏuav
neỏuav
ỡ
+Ơ>
ớ
-Ơ<
ợ

d) Nu lim u
n
= +
Ơ
, lim v
n
= a

dng vụ nh.

Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s:

ã
Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n.
VD: a)
1
1
11
limlim
3
232
2
n
n
n
n
+
+
==
+
+
b)
2
1
13
3
limlim1
1

(
)
(
)
(
)
33
22333
;
ababababaabbab
-+= ++=-

VD:
(
)
2
lim3
nnn

=
(
)
(
)
( )
22
2
33
lim
3

"
n v lim v
n
= 0 thỡ lim u
n
= 0
VD: a) Tớnh
sin
lim
n
n
. Vỡ 0
Ê

sin1
n
nn
Ê
v
1
lim0
n
=
nờn
sin
lim0
n
n
=


lim0
21
n
=
+
nờn
2
3sin4cos
lim0
21
nn
n
-
=
+Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy:

ã
Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0.

ã
Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu
tha cao nht ca t v ca mu.

ã
Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l +
Ơ
nu h s cao nht

lim
4
nnn
n
++
+

d)
4
2
lim
(1)(2)(1)
n
nnn
+++
e)
2
4
1
lim
21
n
nn
+
++
f)
42
32
23
lim

nn
nn
++
+
+

d)
1
25
lim
15
nn
n
+
+
+
e)
12.37
lim
52.7
nn
nn
+-
+
f)
1
12.36
lim
2(35)
nn

lim
1
nn
nn
+-
++

d)
2
2
412
lim
41
nn
nnn
++
+++
e)
(21)(3)
lim
(1)(2)
nnn
nn
++
++
f)
22
2
441
lim

222
111
lim11 1
23
n
ổửổửổử

ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
d)
111
lim
1.22.3(1)
nn
ổử
+++
ỗữ
+
ốứ

e)
2
12
lim
3
n
nn
+++
+
f)

)
nnn
3
3
lim21
-+-

d)
(
)
nnn
24
lim131
+-++
e)
(
)
2
lim
nnn

f)
22
1
lim
24
nn
+-+

g)


Baøi 6: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
2cos
lim
1
n
n
+
b)
2
(1)sin(3)
lim
31
n
nn
n
-+
-
c)
22cos
lim
31
nn
n
-
+


Baøi 7: Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
222
111
11 1
23
n
æöæöæö

ç÷ç÷ç÷
èøèø
èø
, với " n ³ 2.
a) Rút gọn u
n
. b) Tìm lim u
n
.
Baøi 8: a) Chứng minh:
111
1(1)1
nnnnnn
=-
++++
("n Î N
*
).

í
=+³
ï
î
.
a) Đặt v
n
= u
n+1
– u
n
. Tính v
1
+ v
2
+ … + v
n
theo n.
b) Tính u
n
theo n.
c) Tìm lim u
n
.
Baøi 10: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
12
21
0;1

theo n. Từ đó tìm lim u
n
. Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 63

II. Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:

0
0
lim
xx
xx

lim()()
xx
fxgxLM
®
+=+[
]
0
lim()()
xx
fxgxLM
®
-=-[
]
0
lim().().
xx
fxgxLM
®
=

0
()
lim
()

fxL
®
=
thì
0
lim()
xx
fxL
®
=

3. Giới hạn một bên:
0
lim()
xx
fxL
®
=
ÛÛ

00
lim()lim()
xxxx
fxfxL
-+
®®
==

k
x
c
x
®±¥
=0
1
lim
x
x
-
®
=-¥
;
0
1
lim
x
x
+
®
=+¥00
11
limlim

xx
nếuLvàgxcùngdấu
fxgx
nếuLvàgxtráidấu
®
®
®
ì
+¥
ï
=
í
-¥
ï
ỵ

0
00
0
0lim()
()
limlim()0.()0
()
lim()0.()0
xx
xxxx
xx
nếugx
fx
nếugxvàLgx

Một số phương pháp khử dạng vơ định:
1. Dạng
0
0

a) L =
0
()
lim
()
xx
Px
Qx
®
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x
0
) = Q(x
0
) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD:
322
2
222
8(2)(24)2412
limlimlim3
(2)(2)24
4
xxx
xxxxxx

24242411
limlimlim
4
24
24
xxx
xxx
x
x
xx
®®®
+-
===
+-
+-

c) L =
0
()
lim
()
xx
Px
Qx
®
với P(x
0
) = Q(x
0
) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc

=+
ỗữ
ốứ

=
02
33
11115
lim
326
11
(1)11
x
x
xx
đ
ổử
+=+=
ỗữ
ỗữ
+-
++++
ốứ

2. Dng
Ơ
Ơ
: L =
()
lim

+-
==
++
++

b)
2
2
3
2
23
limlim1
1
1
11
xx
x
x
xx
x
đ-Ơđ-Ơ
-
-
==-
+-
-+-

3. Dng
Ơ


2
2
4
xx
xxx
x
x
x
++
đđ
-
-===
+
-
Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
23
0
1
lim
1
x
xxx
x
đ
+++
+

1
1
lim
3
x
x
xx
đ-
-
+-
e)
2
2
1
lim
1
x
xx
x
đ
-+
-
f)
2
1
23
lim
1
x
xx

2
0
1
limsin
2
x
x
đ

Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
32
2
1
1
lim
32
x
xxx
xx
đ
+
-+
b)
x
x
xx
4
32
1

đ
-++

e)
56
2
1
54
lim
(1)
x
xxx
x
đ
-+
-
f)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
đ
-
-


x
xx
đ-
-
+

Trn S Tựng i s 11
Trang 65

Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
2
413
lim
4
x
x
x
đ
+-
-
b)
3
3
1
1
lim.
442
x

lim
1
x
xx
x
đ
+-+
-
f)
2
02
11
lim
164
x
x
x
đ
+-
+-

g)
3
0
11
lim
11
x
x
x

lim
x
xx
x
đ
+-+
b)
3
2
2
8117
lim
32
x
xx
xx
đ
+-+
-+
c)
3
0
218
lim
x
xx
x
đ
+


lim
1
x
xx
x
đ
+
-

g)
0
14.161
lim
x
xx
x
đ
++-
h)
3
0
12.141
lim
x
xx
x
đ
++-
i)
3

đƠ
-+
-
c)
2
32
21
lim
32
x
x
xx
đ+Ơ
+
-+

d)
2
2
2341
lim
412
x
xxx
xx
đƠ
++++
++-
e)
2

xx
đ-Ơ

-
h)
2
2
23
lim
412
x
xxx
xx
đ+Ơ
++
+-+
i)
2
52
lim
21
x
xx
x
đ-Ơ
-+
+

Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)

ốứ
d)
lim
x
xxxx
đ+Ơ
ổử
++-
ỗữ
ốứ

e)
(
)
33
lim2121
x
xx
đ+Ơ
+
f)
(
)
3
32
lim312
x
xx
đ-Ơ
-++

-+-+
ốứ

Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
15
lim
2
x
x
x
+
đ
-
-
b)
2
15
lim
2
x
x
x
-
đ
-
-
c)
2

252
x
x
xx
+
đ
-
-+
f)
2
2
2
lim
252
x
x
xx
-
đ
-
-+

Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
11
0
11
()0
3

xkhix
ỡ
-
ù
<
==
ớ
-
ù
-
ợ

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 66
c)
2
3
4
2
2
8
()2
16
2
2
xx
khix
x
fxtaïix
x

khix
ì
-+
>
ï
ï
-
==
í
ï
-£
ï
î

Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
3
1
1
()1
1
21
x
khix
fxtaïix
x
mxkhix
ì
-
ï

î

c)
2
0
()0
1003
0
3
xmkhix
fxtaïix
xx
khix
x
ì
+<
ï
==
í++
³
ï
+
î
d)
2
31
()1
31
xmkhix
fxtaïix
Trn S Tựng i s 11
Trang 67

III. Hm s liờn tc

1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x
0



0
0
lim()()

fx
-
đ
)
B3: So sỏnh
0
lim()
xx
fx
đ
vi f(x
0
) v rỳt ra kt lun.
2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú.
3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v

lim()(),lim()()
xaxb
fxfafxfb
+-
đđ
==
4.
ã
Hm s a thc liờn tc trờn R.

ã
Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x
0

min()
ab
fx
, M =
[ ]
;
max()
ab
fx
. Khi ú vi mi T
ẻ
(m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c
ẻ
(a; b): f(c) = T. Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
1
()1
1
11
x
khix
fxtaùix
x
khix
ỡ
+

=
ù
ợ

c)
23
2
275
2
()2
32
12
xxx
khix
fxtaùix
xx
khix
ỡ
-+-
ù
ạ
==
ớ
-+
ù
=
ợ
d)
2
5

ớ
+>
ợ
f)
1
1
()1
21
21
x
khix
fxtaùix
x
xkhix
ỡ
-
<
ù
==
ớ

ù
-
ợ

Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra:
a)
xkhix
fxtaùix
mxkhix

ù
+=
ợ

i s 11 Trn S Tựng
Trang 68
c)
mkhix
xx
fxkhixxtaùixvaứx
xx
nkhix
2
0
6
()0,303
(3)
3
ỡ
=
ù
ù

=ạạ==
ớ
-
ù
=ù
ợ


()
4
1
3
xx
khix
x
fx
khix
ỡ
++
ạ-
ù
ù
+
=
ớ
ù
=-
ù
ợ
b)
2
342
()52
212
xxkhix
fxkhix
xkhix
ỡ

d)
2
2
2
()
2
222
x
khix
fx
x
khix
ỡ
-
ạ
ù
=
ớ
-
ù
=
ợ

Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)
2
2
2
()
2

+>
ợ

c)
32
22
1
()
1
31
xxx
khix
fx
x
xmkhix
ỡ
-+-
ù
ạ
=
ớ
-
ù
+=
ợ
d)
2
1
()
231

330
xx
-+=
b)
5
10
xx
+-=
c)
432
310
xxxx
+-++=

Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh:
53
5410
xxx
-+-=
cú 5 nghim trờn (2; 2).
Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s:
a)
3
(1)(2)230
mxxx
+-=
b)
42
220
xmxmx

axbxc
++=
vi a + 2b + 5c = 0
c)
32
0
xaxbxc
+++=

Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh:
2
0
axbxc
++=
luụn cú nghim x ẻ
1
0;
3
ộự
ờỳ
ởỷ
vi a ạ 0
v 2a + 6b + 19c = 0.
Trần Sĩ Tùng Đại số 11

2
lim
2
2
+
+
+
n
n
nn

d)
nn
nn
2
2
2
lim
231
+
+-
e)
n
n
51
52
23
lim
31
+

(
)
nnn
24
lim1
+-+

i)
n
n
2
2
2cos
lim
1
+
k)
n
nn
22
lim
311
+
l)
(
)
nnn
3
23
lim22

x
xxx
xx
32
2
3
443
lim
3
®
-+-
-

d)
x
xxx
xxx
432
432
1
2531
lim
3861
®
-++
-+-
e)
x
xx
xx

21
lim
21
® h)
x
x
xx
2
2
2
lim
252
®-
+
++
i)
x
x
x
2
2
1
(2)1
lim
1
®-
+-

83
lim
23
®
+-
+-

d)
x
x
x
4
123
lim
2
®
+-
-
e)
x
x
x
1
273
lim
32
®
+-
+-
f)

0
11
lim
®
+
i)
x
x
x
3
2
42
lim
2
®
-
-

k)
x
x
x
3
0
1
lim
1
®
-
-

2
232
lim
2
+
®-
-+
+
b)
x
x
xx
2
1
1
lim
34
-
®
-
+-
c)
x
xx
x
3
1
341
lim
1

-
f)
x
xx
xx
0
lim
+
®
+
-

g)
x
x
x
2
822
lim
2
+
®-
+-
+
h)
x
xx
x
2
2

2341
lim
523
®-¥
-+-
-+-+
b)
x
xx
xx
2
2
1
lim
21
®+¥
+-
++
c)
x
xx
xx
23
32
(23)(47)
lim
(31)(109)
®+¥
-+
++

i s 11 Trn S Tựng
Trang 70
g)
x
xx
x
2
1
lim
52
đ-Ơ
+-
+
h)
(
)
x
xxx
2
lim3
đ-Ơ
-++
i)
x
xx
x
531
lim
1
đ-Ơ

lim2
đ-Ơ
++

Bi 6. Xột tớnh liờn tc ca hm s:
a)
xkhix
fx
xx
khix
x
2
13
()
23
3
26
ỡ
-Ê
ù
=
ớ
>
ù
-
ợ
trờn R b)
x
khix
x

2
()
710
22
ỡ
-
ạ
ù
=
ớ
-+
ù
=
ợ
trờn R d)
xkhix
fx
xkhix
2
0
()
10
ỡ
ù
<
=
ớ
-
ù
ợ


b)
x
khix
fx
x
xakhix
2
1
1
()
1
1
ỡ
-
ù
ạ
=
ớ
-
ù
+=
ợ

c)
xx
khix
fx
x
akhix

ù
<
=
ớ
-
ù
+
ợ

Bi 8. Chng minh rng phng trỡnh:
a)
xxx
32
6910
+++=
cú 3 nghim phõn bit.
b) mxxx
324
(1)(4)30
+-=
luụn cú ớt nht 2 nghim vi mi giỏ tr ca m.
c) mxx
243
(1)10
+=
luụn cú ớt nht 2 nghim nm trong khong
(
)
1;2
- vi mi m.

mc
ff
mmm
2
1
(0).0
2(2)
ổử
+
=-<
ỗữ
++
ốứ

Bi 10.
a)